Vamos a estudiar la existencia de soluciones, nº de soluciones y cómo calcular las soluciones de un sistema lineal.

Transcripción

1 Te 3 Sistes de ecuciones lineles. 3. Sistes lineles notciones triciles y vectoriles. 3. Teore de Rouché-Froenius. Sistes lineles hoogéneos. 3.3 Resolución de sistes de ecuciones. 3.4 Discusión de sistes en función de un práetro. 3. Sistes de ecuciones lineles Vos estudir l eistenci de soluciones, nº de soluciones y cóo clculr ls soluciones de un siste linel. Considereos un siste de ecuciones lineles con ecuciones y n incógnits (iplícits) n n = n n = n n = donde,,, n son ls incógnits, los n os ij recien el nore de coeficientes de ls incógnits y los núeros i son los térinos independientes. Llreos solución del siste n núeros reles,,, n tles que l sustituirlos respectivente por,,, n se verificn ls ecuciones. Direos que un siste es coptile si dite l enos un solución. Direos que un siste es coptile deterindo si tiene un únic solución. Direos que un siste es coptile indeterindo si tiene infinits soluciones. Direos que un siste es incoptile si no dite ningun solución. Los sistes de ecuciones lineles se pueden epresr edinte trices teniendo en cuent A = n n n A* = A = n n n Mtriz de coeficientes Mtriz plid. Por tnto nuestro siste tendrí l siguiente epresión tricil

2 n n n n = llos X = n y B = nuestro siste en for tricil será A X = B, es decir, X = A -. B Tién se puede epresr en l lld for vectoril, si el siste tiene solución lo que nos dice es que l triz de térinos independientes es un coinción linel de ls coluns de l triz de coeficiente n n n n = 3. Teore de Rouché-Froenius "L condición necesri y suficiente pr que un siste de ecuciones lineles con "" ecuciones y "n" incógnits se coptile es que el rngo de l triz de coeficientes se igul que el rngo de l triz plid". (Se trt pues de un teore deostrr en los dos sentidos). Siste COMPATIBLE r(a) = r(a*) Deostrción º) Siste coptile r(a) = r(a*) Se s, s, s n un solución, por tnto s + s + + s n n n n = y eso es lo iso que decir que l últi colun de l triz plid es coinción linel de ls restntes. Por tnto, y coo consecuenci de ls propieddes del rngo, l triz plid tiene el iso rngo que l triz que result l supriir dich

3 colun coinción linel, es decir, l triz plid tiene el iso rngo que l triz de coeficientes. º) r(a) = r(a*) Siste coptile r(a) = r(a*) rg(c,c,, C n ) = rg(c, C,, C n, B) B es coinción linel de C,C,, C n Eisten s, s, s n núeros reles tles que s c + s c + + s n c n = B Eisten s, s, s n núeros reles que son solución del siste, por tnto el siste es coptile. Oservciones. Si r(a) = r(a*) < n (nº de incógnits) se trt de un siste coptile indeterindo. Si el rngo es r<n, hy un enor de orden r y el resto de ls ecuciones son coinciones lineles, por tnto podeos supriirls oteniendo un siste de r ecuciones y n incógnits. Psos ls n-r incógnits que "sorn" l º iero, oteniendo un nuevo siste de n-r incógnits y ecuciones, un siste de Crer que tiene solución únic pr ls r priers incógnits y dándole vlores ls restntes n-r oteneos ls infinits soluciones. Se dice que el siste tiene n-r grdo de liertd o de indeterinción.. Si r(a) = r(a*) = n (nº de incógnits) se trt de un siste coptile deterindo. 3. Si r(a) r(a*) el siste es incoptile. 4. Los sistes hoogéneos son de l for n n = n n = = 0 n n Por lo que un siste hoogéneo cuple siepre el teore de Rouché-Froenius, y que l triz plid ñde un colun de ceros l triz de coeficientes. Osérvese que todo siste hoogéneo dite l solución (0, 0, 0) lld solución trivil. Aplicndo ls conclusiones del prtdo nterior concluireos que 4. Si r(a) = n (núero de incógnits) será coptile deterindo, es decir solo dite un únic solución que será l trivil. 4. Si r(a) < n será un siste coptile indeterindo, es decir con iliitds soluciones que otendreos coo y vios en el prtdo nterior.

4 Ejercicio Estudi l coptiilidd de los siguientes sistes lineles ) - 3y + z - t = + z t = y 7t 3z - 3y - t 3y z 3t - = - ) - y - z = y z = - + 3y 3z = 0 c) - y - 3z = 0 + y z = + y 4z = d) y - z t = 0 - y - z - t = 0 y z - t = 0 y - 7z - 4t 0 e) 3y - z = 0 - y z = z = Resolución de sistes de ecuciones. Pr resolver sistes de ecuciones lineles teneos tres étodos cálculo de invers, étodo de Guss y regl de Crer. ) Si l triz de coeficientes A es un triz cudrd inversile podeos resolver el siste linel utilizndo l triz invers. Ejercicio Resuelve el siguiente siste linel - y + z = + y - z = + y - z = Dos sistes de ecuciones lineles son equivlentes si tienen l(s) is(s) solución(es). Ls trnsforciones que dn lugr sistes equivlentes son ) Cir el orden de ls ecuciones. ) Multiplicr un ecución por un núero rel distinto de cero. 3) Supriir ecuciones que son coinción linel de otrs. 4) Sustituir un ecución por un coinción linel de otrs ecuciones. ) Método de Guss consiste, coo y seos por ls trices, en hcer cero jo l digonl principl, utilizreos ls propieddes del rngo slvo que trjreos por fils y no por coluns. Muchos ejercicios nos pide que discutos el siste y después resolverlo, es es l ventj del étodo de Guss, nos perite discutir y, con el trjo, hecho resolver. 3

5 Ejercicio 3. Resolver los siguientes sistes de ecuciones lineles, utilizndo el étodo de Guss 3y - z = y 3z = 3 ) 3 + 5y - z = - 6 4y z 3y - z = 5 ) - y 3z = y - 5z = c) 3y - z t = 5 - y t = - y - 3z - t = 0 3y 6z - t c) Regl de Crer Se dice que un siste de ecuciones lineles es un siste de Crer si tiene el iso núero de incógnits que de ecuciones y l triz de coeficientes A=( ij ) es regulr (es decir, tiene rngo n, su deterinnte es 0). Deostreos l regl de Crer pr un siste de 3 incógnits y serí nálogo pr el resto de los sistes. Ddo el siste de ecuciones lineles = = = 3 siendo A l triz de coeficientes y eistiendo A -. L regl de Crer nos dice que podeos clculr ls soluciones de l siguiente for X = i n n n n nn A i =,, n Ejercicio 4 Resuelve los siguientes sistes de ecuciones, utilizndo el étodo de Crer y z 4 y z 7 y z 3y z 9 z 4 y z 0 y z 5 3 y z 4 3y z Págin 79 Ejercicio 4 4

6 3.4 Discusión de sistes en función de un práetro. Veos edinte un ejeplo en qué consiste l discusión de un siste en función de un práetro. Se el siste - y + z = + y - z = 0 + y - z = - Oserv que pr cd vlor que deos l práetro "" oteneos un siste distinto. Se trt de verigur pr qué vlores de "" el siste es coptile y pr qué vlores es incoptile. Así iso, dentro de los csos de coptiilidd hy que especificr cuándo qued un siste deterindo y cundo indeterindo. Pr tl discusión nos servireos del teore de Rouché- Froenius. Ejercicio 5 Discute los siguientes sistes y resuelve cundo se coptile ) 5 - y z = y 3z = + y z = 6 ) y ( - )z 3y z = = - y - z = c) y z = + 3y z = que en l solución se teng que z = d) y = ky z = 0 + (k )y kz =k Clculr k pr e) y = y z = + y - z = f) y 3y + y z z = 4 z = 5 = 4 g) 3y z = 5 z = 0 y - z = Resolución de proles págins 80 y 8 ejercicios 5 l 3, 33 l 38, 43 l 48 5