TEMA II.10. Gasto o Caudal. Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui. Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato DA-UG (México)

Transcripción

1 TEMA II.10 Gasto o Caudal Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato DA-UG (México) papaqui@astro.ugto.mx División de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 16

2 Descarga En el análisis de sistemas de fluido, con frecuencia se necesita saber el gasto de un fluido pasa por un tubo o canal. Q que es simplemente el volumen de fluido que pasa por un área por unidad de tiempo, m 3 /s. El gasto esta relacionado con la velocidad de flujo y con el área de sección transversal del tubo. Considere el flujo idealizado de un fluido en un tubo como el que se muestra en la Figura II.10.1, en el cual la velocidad es constante en toda la sección del tubo. TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 2 / 16

3 Descarga Figura II.10.1: Volumen de un fluido que fluye con distribución de velocidad uniforme que pasa por la sección A-A en un tiempo t TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 3 / 16

4 Flujo másico El fluido que pasa por un área A en el tiempo t se representa por el volumen. Cuya longitud de volumen es V t así que el volumen es V ol = V S t. La cantidad de flujo volumétrico que pasa por un área A es V ol / t = V, así que Q = A V Otra cantidad es el flujo másico, ṁ, que es la masa del fluido que para una estación por unidad de tiempo. Las unidades m = ρ A V t, donde ρ es la densidad. La ecuación para el flujo másico es ṁ = m/ t o bien ṁ = ρ A V = ρ Q TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 4 / 16

5 Flujo volumétrico Flujo volumétrico con distribución de velocidad variable La expresión Q = A V está basada en una velocidad uniforme. En general, la velocidad varía a través de la sección de tubo como se muestra en al figura II El gasto dq, por un área diferencial de la sección es VdA, y el flujo volumétrico total Q, se obtiene por integración sobre toda la sección de flujo: Q = V da A En una manera similar, el flujo másico que pasa por una sección está dado por ṁ = ρ V da A TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 5 / 16

6 Flujo volumétrico Figura II.10.2: Volumen de fluido que asa por la sección A-A en un tiempo t TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 6 / 16

7 Flujo volumétrico Si la densidad es constante a través de la sección de flujo, el flujo másico esta dado por ṁ = ρ V da = ρ Q A En los desarrollos que siguen, el área de sección transversal estará siempre orientada, normal al vector velocidad. Si se consideran otras orientaciones, tal como la mostrada en la Figura II.10.3, donde el flujo para la sección A-A, puede verse que sólo la componente de la velocidad (la componente x en este caso) contribuye al flujo por dicha sección. Por tanto, pata evaluar el flujo volumétrico, se debe siempre considerar ya sea el área de una sección normal a la velocidad total, o la componente de la velocidad normal a una área dada. TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 7 / 16

8 Flujo volumétrico Figura II.10.3: La velocidad no es normal a la sección TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 8 / 16

9 Flujo volumétrico Por tanto, el gasto para el caso de la Figura II.10.3 está dado por Q = u da o Q = V cos(θ) da A Si definimos un vector área como uno que tenga la magnitud del área en cuestión y que esté orientado normal al área, entonces por definición V cos(θ)da = V da, y el gasto puede escribirse como Q = V da y el flujo másico se convierte en ṁ = A A ρ V da A TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 9 / 16

10 Velocidad media Si al velocidad es constante en toda el área, entonces el gasto está dado como Q = V A El producto escalar o producto punto significa que se utiliza la componente de velocidad normal al área para obtener el gasto. En muchos problemas, se tiene el gasto y se quiere calcular la velocidad media (promedio) sin saber la distribución real de velocidad. Por definición, la velocidad media es el gasto dividido entre el área de sección transversal v = Q A Es costumbre quitar el símbolo de barra de la velocidad y simplemente indicar la velocidad media con v. TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 10 / 16

11 Gasto o Caudal Ejemplo: Aire que tiene una densidad de 1.24 kg/m 3 fluye por un tubo con un diámetro de 30 cm a un flujo másico de 3 kg/s Cuál es la velocidad media de flujo en este tubo, y el flujo volumétrico? Solución: ṁ = ρ Q Q = ṁ/ρ = 2.42 m 2 /s V = Q A = 2.42 m2 /s ( 1 = 34.2 m/s 4π)(0.30 m)2 TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 11 / 16

12 Gasto o Caudal Ejemplo: Fluye agua en un canal que tiene una pendiente de 30 o. Si se supone la velocidad constante de 12 m/s, y si se mide una profundidad de 60 cm a lo largo de una ĺınea vertical. Cuál es el gasto por metro de ancho del canal? (ver Figura II.10.4) Solución: El gasto en 1 metro de ancho es Q = V cos(30 o ) A = (12 m/s)(cos(30 o ))(0.6 m 1 m) = 62.4 m 3 /s El gasto por unidad de ancho se designa usualmente como q y se obtiene al dividir la entre el ancho ω, que en este caso es de 1 m, así que q = Q ω = 62.4 m2 /s TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 12 / 16

13 Gasto o Caudal Figura II.10.4: Canal con una pendiente TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 13 / 16

14 Gasto o Caudal Ejemplo: La velocidad del agua en el canal mostrado en la Figura II.10.5 tiene una distribución a través de la sección vertical igual a u/u max = (y/d) 1/2 Cuál es el gasto en la sección si esta tiene 2 m de profundidad (d = 2 m) y 5 m de ancho, y la velocidad máxima es de 3 m/s? Solución: El flujo volumétrico esta dado por Q = d 0 u da TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 14 / 16

15 Gasto o Caudal Figura II.10.5: Velocidad del agua en un canal TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 15 / 16

16 Gasto o Caudal El canal es de 5 m de ancho, así que un diferencial de área es 5 dy. Por tanto Q = 2 0 = 5u max d 1/2 u max (y/d) 1/2 5 dy 2 0 y 1/2 dy = 5u max 2 d 1/2 3 y 3/2 2 0 = (5)(3) 2 2 1/2 3 23/2 = 20 m 3 /s TEMA II.10: Gasto o Caudal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 16 / 16