Department of Physics and Electronics - Prof.: Juan Carlos Cersosimo

Transcripción

1 1 Ecuación de onda Objetivos: El objetivo principal de este capítulo es presentar al estudiante la ecuación de onda. El estudiante tendrá dominio de todos los términos de la ecuación para aplicarla a todo tipo de fenómeno ondulatorio. Con la ayuda de la animación interactiva, se utiliza el modelo de movimiento circular para explicar el significado del ángulo de fase en la ecuación de onda. Identificará los términos del dominio del tiempo y del espacio del movimiento ondulatorio. Después de terminar el capítulo 3, el estudiante 1. Utilizará el modelo de movimiento circular para explicar las oscilaciones 2. Identificará los términos y variables de la ecuación de ondas. 3. Reconocerá los términos del dominio del tiempo y del espacio. 4. Utilizará la ecuación de ondas para calcular sus propiedades físicas. 5. Calculará energía de los osciladores

2 Proyección del movimiento circular El movimiento de una partícula en una trayectoria circular puede proyectarse en cualquiera de los dos ejes del plano donde pertenece la trayectoria. Permitamos proyectar sobre el eje horizontal. La proyección sobre el eje horizontal es función del ángulo x = x cosωt [1] 2 La proyección de la posición sobre el eje vertical se expresa con la formula x : posición en el eje horizontal [m] x : radio de la trayectoria [m] ω : velocidad angular [rad/s] t : tiempo [s] y = x sinωt [2] y : posición en el eje vertical [m] Figure 1: Proyección del movimiento circular sobre el eje horizontal. La curva roja es la función posición de la partícula en función del ángulo. x : radio de la trayectoria [m] ω : velocidad angular [rad/s] t : tiempo [s]

3 La figura 2 muestra la proyección de la posición sobre el eje vertical. La función posición se grafica en función del ángulo, ω t 3 Figure 2: Proyección del movimiento circular sobre el eje vertical. La curva roja es la función posición de la partícula en función del ángulo. Solución: Ejemplo 1: Una bola amarrada de una cuerda de.2 m gira sobre una mesa sin fricción a 2 rad/s. Un niño apenas alcanza la mesa y ve desde un borde el movimiento. Cuál es la posición percibida a 45 o después que pasa frente a él? Cuando la pelota pasa frente al niño la posición es en el origen de coordenadas, xx =. Cuando tiene un ángulo de 45 grados después que pasa frente a el la posición vista desde el borde de la mesa es xx = xx oo cos ωωωω, o sea: xx =.2 cos 35 oo =.14 mm Tabla 2: Proyección de la posición sobre los ejes x y y Posición Angulo x y + x π/2 + y π x 3π/2 y

4 Problemas de reto: 1. En el modelo de movimiento circular para representar las oscilaciones, la amplitud, o sea la elongación máxima es igual a: a. El radio de círculo b. La mitad del radio del círculo c. A la velocidad angular d. A π e. Ninguna de las anteriores 2. La velocidad angular de un motor es ωω = 2ππ.65 rad/s. El ángulo de posicon después de.5 segundos que pasa por el punto de equilibrio de izquierda a derecha es: a. 117 b. 12 c. 137 d. 35 e La masa de la figura está sujeta a un resorte que oscila horizontalmente sin fricción. El movimiento se representa mediante la ecuación xx = xx oo cos ωωωω, si ωω = 2ππ.65 rad/segundo, y xx oo =.5 metros; la posición de la masa cuando ωωωω = 3 oo es: a..43 m b..5 mm c..3 m d m e..86 m 4. En el problema 3, cual es la posición de la masa cuando ωωωω = 9 oo a. m b..5 m c. -.5 m d. +.4 m e. -.4 m Masa sujeta a un resorte. El cuerpo oscila horizontalmente sin fricción. 5. En el problema 3, la posición del cuerpo un segundo después que pasa por el punto de equilibrio, de izquierda a derecha 1 segundo después a m b. -.5 m c m d..4 m e. -.4 m 4

5 Diferencia de fase 5 La Figura 3 muestra la trayectoria del movimiento circular uniforme. A la derecha se muestra la proyección sobre el eje vertical, y luego se muestra la grafica de la partícula en función del tiempo. La ecuación que representa el movimiento de la partícula en función del tiempo es El ángulo yy = A sin ωωωω [3] θ = ωt es la fase del movimiento. En la figura 1 una partícula (color rojo) comienza a moverse en el circulo, el reloj mide el tiempo desde la salida, t =, en la posición. Luego se encuentra en 1 θ 1 = ωt para t1 t =. θ = ωt = Una segunda partícula (color azul) comienza el movimiento en el tiempo t = t. La fase inicial es 1 ω t t = 1 t. La diferencia de tiempo entre la salida de la primera y la segunda partícula es = t 1. El movimiento comienza en el origen, en el mismo lugar de donde partió la primera partícula, y con la misma velocidad angular. Figure 3: Izquierda: Proyección del movimiento circular en el eje vertical. Dos partículas se mueven en la trayectoria circular. A cada partícula se mide el tiempo utilizando un cronometro. La roja comienza en t=, la azul comienza en un tiempo posterior. La azul cronometro azul y la roja con cronometro rojo. En la figura 7 la diferencia de fase es φφ = ωω tt. La función de la posición de la partícula proyectada en el eje vertical en función del tiempo. La función tiene la forma yy = A sin ωωωω

6 La función que representa la posición de la partícula roja es: yy = A sin(ωωωω + ) con φφ = 6 La función que representa la posición de la partícula azul (atrasada respecto de la roja) es: yy = A sin(ωωωω ωω tt) [4] Si llamamos φφ = ωω tt; la ecuación [4] puede escribirse de forma más general: yy = A sin(ωωωω φφ) [5] Donde el ángulo de fase toma valores entre y 2π. La ecuación [5] es la ecuación de la onda cuyo argumento es independiente de la puesta en marcha del cronómetro. El signo indica si la perturbación está adelante o atrás respecto de una referencia arbitraria. Cuerda oscilando La Figura 4 representa una cuerda compuesta por una serie de partículas ligadas una a continuación de la otra. La perturbación impartida en un extremo se propaga por el resto de la cuerda. Figure 4: Modelo de cuerda oscilando. La ventana 1 muestra la partícula del extremo donde la cuerda es sometida a pulsos sucesivos. La ventana 2 muestra un punto arbitrario de la cuerda para compararlo con la anterior.

7 7 La partícula en el origen comienza a oscilar en el tiempo t =. La partícula que analizamos en la segunda ventana comienza en un tiempo posterior, la diferencia de tiempo en la oscilación respecto de la primera partícula se llama retardo. El producto de la velocidad angular por el intervalo de tiempo del retardo se llama ángulo de fases: φφ = ωω tt La función del movimiento de la partícula en la ventana de la izquierda es: yy = AA sin(ωωωω) El movimiento de la partícula en la ventana de la derecha es: yy = AA sin(ωωωω φφ) Relación entre el ángulo de fases y la oscilación de un elemento de la cuerda Tenemos una cuerda. La hacemos oscilar por un extremo (el izquierdo). La perturbación viaja por la cuerda. En otro punto cualquiera de la cuerda la perturbación llega en un tiempo tt, posterior respecto del inicio en el extremo. El tiempo que le toma a la perturbación en llegar allí es, tt = xx vv, siendo x la posición del punto en cuestión respecto del situado en el extremo izquierdo, y vv, es la velocidad de la perturbación. Con un poco de algebra demostraremos que el ángulo de fase describe el estado de oscilación del punto. Consideremos el tiempo congelado, es decir un tiempo t=cte, que arbitrariamente lo elegimos igual a cero. Entonces: yy = A sin(φφ) (hemos consideramos el modulo del ángulo). φφ = ωω tt = ωω xx vv, pero como vv = λλ T resulta: φφ = 2ππ xx λλ Vemos que la ecuación: yy = A sin 2ππ xx λλ

8 8 yy = AA sin 2ππ xx, describe la forma de la cuerda para un tiempo fijo. Los valores de y cuando xx = λλ λλ, implica que y= Se representan en la tabla la función que corresponde a la figura. Figura 9: Cuerda vibrando congelada en el tiempo x 2π x / λ 2πx y = A sin λ λ / 4 π / 2 A λ / 2 π 3 λ 4 λ 3 A π 2 2 π Ejemplo 1: Una partícula se somete a un MAS comenzando en el tiempo t = t. Una segunda partícula comienza a oscilar después en el tiempo t = ( t + 2) s. La ecuación del MAS para ambas partículas es y = Acos(. 3t ) metros. Cuál es el ángulo de fase de la segunda partícula respecto del tiempo inicial de la primera? y = Acos ωt φ. Debemos averiguar el ángulo de fase. Solución: ( ) metros El ángulo de fase φ = ω t =. 3 2 =. 6 rad. La segunda partícula esta atrasada.6 radianes o Ejemplo 2: El extremo izquierdo de una cuerda, de masa m1 se somete a una oscilación periódica comenzando en t. Un elemento de la cuerda, de masa mn comienza a oscilar cuando el cronometro marca el tiempo t posterior a t. La ecuación de la posición vertical es = π. ( t / ) metros y.4cos π 4 Determinar la amplitud, frecuencia, periodo y la fase Solución:

9 Comparando esta ecuación con la ecuación general = A ( ωt φ) A =. 4 m, ω = π rad / s, en consecuencia la frecuencia es: es: T = 1 / f = 2 s. La constante de fase es: φ = π 4 rad. y sin tenemos que: f = s 1 ω 2π =. 5 y el periodo 9 Ejemplo 3: Volviendo al problema del ejemplo 1, queremos averiguar cuanto tiempo tarda la perturbación en llegar hasta el elemento de la cuerda, mn. Solución: La constante de fase es: φ = π 4 rad. La frecuencia angular es: ω =.5 rad. El ángulo de fase se escribe: φ = ω t, o sea que el retardo es: t / ( / 4) 1 π = φ ω = π. 5 = 2 = s Comentario: Desde que comienza la oscilación en el extremo izquierdo la perturbación tarda 1.57 segundos en llegar hasta el elemento de masa m. Podemos comprobar este resultado n calculando el ángulo: φ = ωt = =. 785 = π / 4

10 Problemas de selección múltiple 1 1. El desplazamiento de una cuerda esta dado por y = Asin 2πft, cuya rapidez de propagación es v, La frecuencia angular es: a. 2 πf b. 2 π c. A d. 2π / f 2. Una partícula realiza un MAS dado por y = 2sin( 1t.25). La amplitud, la frecuencia y el ángulo de fase son: a. 2m, 1/2π,.25 b. 4m, 1 π,.25 c. 8m, 2 π,.25 d. 2m, 1/ π, Las ondas sísmicas de viajan a 4 m/s y a una frecuencia de 5 Hz. Se detecta el temblor a 1 km del epicentro, el ángulo de fase en la localidad es: a. 45 o mn b. 2 o c. 145 o d. 1 o 4. Un movimiento oscilatorio de una columna de aire satisface la ecuación y 2sin( 1t ) =, viajando a 3 m/s. A 3 metros de la columna el ángulo de fases de la oscilación es: a b. 2.5 c. 5 d. 1 y( x, t) = Asin ω t + φ. La perturbación viaja hacia la: a. Izquierda b. derecha e izquierda c. hacia la derecha y se detiene después de cierto tiempo d. Derecha 5. El desplazamiento de una cuerda está dado por ( )

11 Vibraciones El péndulo simple El péndulo oscila con movimiento periódico. La posición de equilibrio es donde el péndulo cuelga de forma vertical. Si desplazamos el péndulo con respecto al equilibrio la cuerda forma un ángulo θ, con la vertical. Observando la figura vemos como en la posición fuera del equilibrio la fuerza del peso, mg se descompone en dos; la componente a lo largo del movimiento, mg senθ, y la componente que se opone a la tensión T de la cuerda, mg cosθ. La fuerza que restaura el péndulo al equilibrio es: FF = mmmm sin θθ si el ángulo de oscilación es muy pequeño, se puede igualar entonces escribimos: sin θθ θ FF = mmmm sin θθ = mmmm xx LL De inmediato se puede identificar la constante de fuerza k a partir de la forma general: FF = kkkk, kk = mmmm LL Por lo tanto la frecuencia se obtiene directamente: Ejemplos: f = 1 k 1 = 2π m 2π 1. Qué Longitud debe tener un péndulo para que su periodo sea de 1. s en un lugar de la tierra donde la aceleración debida a la gravedad es 9.82 m/s 2? Solución: El período del péndulo está relacionada con la longitud y la aceleración 1 1 g de la gravedad: f = = T 2π L 2. Una bala de 5. g se dispara horizontalmente a un bloque de madera de 1kg de masa, que esta fijo a una barra de 1 metro de largo, que se sujeta del extremo opuesto y puede oscilar como un péndulo (péndulo balístico). La bala se incrusta en la madera y el péndulo se mueve hasta formar un ángulo de 55 grados respecto de la posición inicial. a. Qué energía cinética tiene la bala en el momento de chocar con el bloque? b. Cuál es la ecuación de movimiento del péndulo? ( θ = θ cos( ω )) g L t 11

12 12 3. La expresión de la ecuación de movimiento de una masa de.5 kg sujeta en el extremo de un resorte horizontal es: xx = xx oo cos ωωtt donde xx oo = 12 ccmm. La constante es k=15 N/m. a. Calcular la frecuencia, el periodo, y la amplitud. b. Cuál es la posición de la masa 1 segundos después que se libera la masa apartándola 12 cm de la posición de equilibrio? 4. Un bloque uniforme cuyos lados tienen longitudes a, b y c, flota parcialmente sumergido en agua. Es empujado un poco hacia abajo y se suelta dejándolo oscilar. Como el lado vertical tiene longitud b y la densidad del bloque es κ, a. Demostrar que el movimiento es armónico simple. Preguntas: Que debo demostrar para concluir que el movimiento MAS? Respuesta: La fuerza restauradora neta debe ser proporcional al desplazamiento. Pregunta: Qué fuerzas actúan sobre el bloque? Respuesta: El peso del bloque se equilibra con la fuerza del empuje del agua Pregunta: Qué determina la fuerza de empuje? Respuesta: El peso del agua desplazada por el bloque es la fuerza de empuje: FF ww = M ww g = ρρach g, donde la masa de agua desplazada es M ww = ρρaaaaaa Pregunta: si empujo el bloque una distancia adicional y, Cuánta fuerza de empuje adicional produce? Respuesta: F = [ ρg( ac) ]y (FF = kkkk) el término entre corchetes es constante. Pregunta: Qué determina la frecuencia? k = ρgac Respuesta: f 1 k =, donde 2π M Solución: El problema está casi resuelto: f = 1 ρgac 1 = 2π ρacy 2π g y El periodo es: T y = 2π. g

13 13 Energía en las vibraciones MAS: xx = AA cos(ωωωω + φφ), vv = ωωωω sin(ωωωω + φφ) KK = 1 2 mm vv2 = 1 2 mmωω2 AA 2 [sin(ωωωω + φφ)] 2 UU = 1 2 kkaa2 [cos(ωωωω + φφ)] 2 K y U son siempre cantidades positivas. La energía total: Sabiendo que: EE = KK + UU = 1 2 mmωω2 AA 2 [sin(ωωωω + φφ)] kkaa2 [cos(ωωωω + φφ)] 2 ωω 2 = kk/mm EE = KK + UU = 1 2 kkaa2 and KK mmmm = 1 2 mmωω2 AA 2 ; UU mmmm = 1 2 kkaa2 Por otra parte tenemos la energía total: EE = KK + UU = 1 2 mmvv kkxx2 = 1 2 kkaa2 vv = ± kk mm (AA2 xx 2 ) = ±ωω (AA 2 xx 2 ) Ejemplo: Un objeto de.5 kg unido a un resorte carente de masa despreciable, con una constante de fuerza de 2. N/m, oscila sobre una superficie horizontal, sin rozamiento. a) Calcular la energía total y la velocidad máxima si la amplitud del movimiento es 3. cm b) La rapidez del objeto cuando la posición es 2. cm c) La energía potencial y la energía cinética del sistema cuando la posición es 2. cm d) Para que valores de x es la rapidez del objeto igual a.1 m/s Ejemplo: Sea 25 gr la masa de un cuerpo, kk =.4 NN/mm la constante recupcradora, y supongamos quc el movimicnto se inicia desplazando el cuerpo xx oo = 1 cccc hacia la derecha de su posición de equilibrio, comunicandole una velocidad hacia la dereha de 4 cm/s. Calcular; a) el periodo T: TT = 2ππ mm/kk = 1.57 ss b) la frecuencia: ff = 1 =.638 TT c) la frecuencia angular: ωω = 2ππππ = 4 rrrrrr/ss d) la energia total: EE = 1 2 mmvv kkxx2 = JJ e) la amplitude: AA = 2EE/kk =.1 mm

14 14 f) la fase: sin θθ oo = xx oo AA θθ oo = arcsin xx oo AA = arcsin 1 2 g) la velocidad maxima: vv mmmm = 2EE/mm = ωωωω =.56 mm ss h) la aceleración maxima: aa mmmm = ωω 2 xx mmmm i) la elongación, velocidad y aceleración en el instante π/8 segundos depues del iniciado el movimiento.