Facultad de Ciencias Básicas

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1 Facultad de Cencas Báscas ANÁLISIS GRÁFICO DE DATOS EXPERIMENTALES OBJETIVO: Representar gráfcamente datos expermentales. Ajustar curvas a datos expermentales. Establecer un crtero para el análss de grafcas de datos expermentales de acuerdo a la curva obtenda. INTRODUCCIÓN En el estudo de fenómenos físcos, muchas veces se desea medr una cantdad físca de un sstema bajo certas condcones. Es decr, encontrar la expresón matemátca que relacona dos o más varables dentro de un sstema. En el estudo de fenómenos físcos, muchas veces se desea medr una cantdad físca de un sstema bajo certas condcones. Es decr, encontrar la expresón matemátca que relacona dos o más varables dentro de un sstema. Para resolver esta stuacón se puede proceder de la sguente forma: Se acondcona el montaje, de tal forma que se puedan varar dos cantdades escogdas mentras las demás permanecen constantes. Mentras se varía la una, se observa como camba la otra y se regstra cada par de datos. Se realza una grafca. Se encuentra la ecuacón que mejor se ajusta a los datos expermentales. Se analzan las constantes que aparecen en la ecuacón para determnar las característcas físcas del sstema estudado. Se escrbe la expresón general que relacona las dos varables físcas estudadas. Se prueba la ecuacón mdendo a través de ella algunos valores y se comprueba expermentalmente su concordanca. Para el análss de las constantes que aparecen, se debe tener en cuenta que unas tenen relacón con lo que permanecó constante en nuestro expermento y otras con las condcones ncales. Tambén es necesaro realzar un análss dmensonal de las constantes para saber su sgnfcado físco. A menudo, nos confrontamos con stuacones en las que encontramos o suponemos que exste una relacón lneal entre las dos varables. Surge la pregunta: Cuál es la relacón lneal analítca que mejor se ajusta a nuestros datos? El método de cuadrados mínmos es un procedmento general que nos permte responder esta pregunta. Cuando la relacón entre las varables es lneal, el método de ajuste por mínmos cuadrados se denomna tambén método de regresón lneal. En esta sesón dscutremos el método de mínmos cuadrados, aplcándolo ncalmente a modelos lneales y luego algunas stuacones cuyo modelo es no lneal. MÉTODO DE CUADRADOS MÍNIMOS Ajustar una curva, es aproxmar una funcón f (x) a un conjunto N de datos expermentales dado ( x, y ),...N. La funcón f (x) elegda para ajustarse a los datos debe tener certo número de coefcentes C j que se deben determnar. Este método para determnar los coefcentes, se basa en la mnmzacón de las dscrepancas entre f (x) y los puntos de datos x, y ) : ( Elaborado por: Alberto Patño Vanegas

2 Facultad de Cencas Báscas r = y f x ) : Desvacón de cada observacón y respecto a la funcón elegda f (x). N r ( χ = : Suma del cuadrado de las desvacones. χ = 0 : Condcón de mnmzacón de las dscrepancas para encontrar los coefcentes C j. C j Aplcaremos el método de mínmos cuadrados para ajustar datos expermentales a stuacones que más se presentan en el estudo de fenómenos físcos: CASO : DATOS QUE SE AJUSTAN A UNA LINEA RECTA DE LA FORMA y = mx +b (regresón lneal). Fgura. S la funcón que ajusta el conjunto de datos x, y ) es lneal, es decr, de la forma y = mx +b, entonces, ( la condcón de mnmzacón de las dscrepancas: χ χ = 0 y = 0, permte encontrar los coefcentes C = m (pendente) y C = b (corte con el eje m b y) por las sguentes formulas: DN AB m = y E CB AD b = () E Donde N es el número de datos, A = N x, B = N y = N x N, D = x y, C, E = NC A Las formulas () se aplcan en el caso lneal cuando todos los datos de la varable dependente tenen la msma ncertdumbre absoluta; y la ncertdumbre de la varable ndependente se consdera desprecable. Elaborado por: Alberto Patño Vanegas

3 Facultad de Cencas Báscas 3 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN (ρ) Es una medda de la caldad del ajuste entre las varables. Está defndo como: Donde, ND AB Cov( x, y) =, N Cov( x, y) ρ = () Var( x) Var( y) N C A y Var ( x) = = x x, B N N Var( x) = = y y N N El valor de ρ varía entre - y. S ρ es próxmo a ±, se dce que el modelo lneal es adecuado para descrbr los datos expermentales. Cuando ρ se aparta de estos valores, se dce que un modelo lneal no es una buena descrpcón de los datos. En este caso, convene analzar detendamente el gráfco y buscar una relacón no lneal que aproxme mejor la dependenca. INCERTIDUMBRE DE LOS PARAMETROS DEL AJUSTE m y b. La mportanca del método de mínmos cuadrados resde en el hecho que nos permte obtener los errores asocados a los parámetros m y b (desvacón estándar: σ m, σ b ). Las ncertdumbres de los parámetros del ajuste venen dadas por las expresones: = m ( ) σ m, σ b = σ m x (3) N ρ Ejemplo : Los sguentes datos se regstraron del movmento de un objeto con velocdad constante: t(s) x (cm.) Tabla. a) Dbujar la gráfca x en funcón de t. b) Calcule el coefcente de correlacón. es lneal la relacón entre las dos varables? c) Encuentre la relacón entre las dos varables. d) Encuentre la dstanca recorrda por el carro al cabo de 0 segundos. e) Dé un sgnfcado físco a las constantes que aparecen en la relacón y encuentre su ncertdumbre. Elaborado por: Alberto Patño Vanegas

4 Facultad de Cencas Báscas 4 Solucón a) La gráfca se muestra en la fgura. Fgura. b) Cov(t,x)=.550 ;Var(t)= 0.79; Var(x)= Al aplcar la formula () se obtene: ρ = Lo que ndca que los datos están fuertemente correlaconados (su relacón se puede consderar lneal) y se puede aplcar drectamente el método de mínmos cuadrados para encontrar su relacón. c) N =, A = t = 0.5, B = x = 30. 4, = C t =. 75, D = t x =. 35, E =.5. Por la formula () se obtene: m =.09cm/ s y b =. 4cm. La ecuacón de la recta que mejor se ajusta a los datos expermentales queda (ver fgura 3): x =.09t +.4 (x en cm y t en s) Fgura 3. d) La anteror expresón permte encontrar la dstanca x recorrda del objeto estudado para cualquer tempo t. Para saber por ejemplo la dstanca recorrda al cabo de 0s, se remplaza t =0s y se obtene x =.3cm. Elaborado por: Alberto Patño Vanegas

5 Facultad de Cencas Báscas 5 e) Con las relacones (3) se obtene: σ m = 0.3cm/s σ t = 0.5cm. Por las undades (cm/s) la pendente representa la velocdad constante del objeto (v =.09±0.3 cm/s) y el corte con el eje vertcal las condcones ncales (t = 0), es decr, cuando se comenzó a contar el tempo el objeto ya había recorrdo x =.4±0.5 cm. CASO : DATOS QUE SE AJUSTAN A UNA LINEA RECTA DE LA FORMA (Regresón lneal que pasa por el orgen). y = mx. En éste caso, la expresón para calcular la pendente se reduce a: m N = N x y x (4) Ejemplo : Realzar un análss gráfco a los sguentes datos regstrados de la deformacón (x) de un resorte desde su poscón de equlbro al someterse a una fuerza (F): Solucón: x(cm) F(N) Tabla. Aplcando la formula () el coefcente de correlacón es: ρ = Indca que los datos se ajustan a una línea recta. Al aplcar la formula (4) y (3) se obtene: m = x F x = 0.5N / cm y σ m = 0.03N / cm Elaborado por: Alberto Patño Vanegas

6 Facultad de Cencas Báscas Fgura 4. La ecuacón de la recta que mejor se ajusta a los datos expermentales queda (ver fgura 4): F = 0. 5x (x en cm y F en N) Ésta expresón permte encontrar la fuerza (F) que se ejerce sobre el resorte estudado para cualquer deformacón (x) que sufre. Para saber por ejemplo la fuerza que deforma el resorte 8cm, se remplaza x =8cm y se obtene F = 4.N. Por las undades (N/cm), la pendente representa la constante de elastcdad del resorte K= (0.5 ± 0.03) N/cm. CASO 3: DATOS QUE SE AJUSTAN A UNA CURVA DE FORMA CONOCIDA. Las fórmulas () sólo funconan cuando los datos se ajustan a una línea recta. Cuando al grafcar los datos no resulta una línea recta, pero por el fenómeno se sabe cual es su forma, en este caso, es necesaro realzar un cambo de varables (alguna operacón matemátca con los datos), de tal forma que al grafcar los nuevos datos estos se ajusten a una línea recta (lnealzacón) y así poder aplcar el método de mínmos cuadrados. Algunas de las stuacones que más se presentan son: CASO 3.: Datos que se ajustan a una curva de la forma y = kx (regresón cuadrátca) Para este caso se observa drectamente que se transforma en recta con el sguente cambo de varables: X = x y al grafcar y X se obtene una recta de la forma: y = kx Donde el valor de k (constante) se calcula con la formula (4). Ejemplo 3: Realce un análss grafco a los sguentes datos que corresponden al movmento de un objeto en caída lbre cerca de la superfce terrestre: t (s) h (cm.) Tabla 3. Elaborado por: Alberto Patño Vanegas

7 Facultad de Cencas Báscas 7 Solucón: Al grafcar se obtene (fgura 5): Fgura 5. Observamos que la ecuacón de la grafca es de la forma h = kt. Al realzar el cambo de varable (T = t ) se obtene la nueva tabla de datos: T = t (s ) h (cm.) Tabla 4. Al calcular el coefcente de correlacón a los nuevos datos (tabla 4) se obtene: ρ = Lo que ndca que el cambo de varables es adecuado para convertr a línea recta, tal como lo muestra la fgura. Fgura. La recta es de la forma h = kt Aplcando el método de mínmos cuadrados (formula 4) a la nueva tabla se obtene: Elaborado por: Alberto Patño Vanegas

8 Facultad de Cencas Báscas 8 k = T h T = 4.89m / s ; y aplcando la formula (3) se halla su ncertdumbre σ k = 0.0m/s La ecuacón de la recta que mejor se ajusta a los nuevos datos expermentales queda (ver fgura ): h = 4. 89T Fgura 7. Luego, la ecuacón de la curva que mejor se ajusta a los datos expermentales orgnales es (ver fgura 7): h = 4.89t (h en m y t en s) Ésta expresón permte encontrar la altura de caída (h) del objeto estudado para cualquer tempo (t) que tarde en caer. Para saber por ejemplo la altura de la cual cayó s se tardó 0s, se remplaza t =0s y se obtene h = m. λx CASO 3.: Datos que se ajustan a una curva de la forma y = y o e (regresón exponencal) Al aplcar logartmo natural obtenemos: Lny = λ x + ln y o (5) Observamos que al realzar el cambo de varables Y = Lny la grafca de Y x es una línea recta de la forma: Y = mx + b () Donde los valores de m y b se calculan con ayuda de las expresones (). Para el cálculo de las constantes λ y y o, se comparan las expresones (5) y () así: λ = m (7) b y o = e Ejemplo 4: Realzar un análss grafco de una muestra con trazadores, donde la radactvdad total de una muestra vegetal varaba con el tempo como lo ndca la sguente tabla: Elaborado por: Alberto Patño Vanegas

9 Facultad de Cencas Báscas 9 t (h) I (número/mn.) Tabla 5. Solucón: Al grafcar se obtene (fgura 8): Fgura 8. t Observamos que la ecuacón de la grafca es de la forma λ = o Al realzar el cambo de varable ( Y = LnI ) se obtene la nueva tabla de datos: t Y = LnI Tabla. Al calcular el coefcente de correlacón a los nuevos datos (tabla ) se obtene: ρ = Lo que ndca que el cambo de varables es adecuado para convertr a línea recta, tal como lo muestra la fgura 9. Fgura 9. Aplcando el método de mínmos cuadrados (formula y 3) a la nueva tabla se obtene: 3 m = y σ = m Elaborado por: Alberto Patño Vanegas

10 Facultad de Cencas Báscas 0 b = 4.88 y σ = La ecuacón de la recta que mejor se ajusta a los nuevos datos expermentales queda (ver fgura 9): LnI = 0.05t Los valores de las constantes son: λ = m = 0.05 I o = e b b = 08 Fgura 0. Luego, la ecuacón de la curva que mejor se ajusta a los datos expermentales orgnales es (ver fgura 0): t I = 08e 0.05 (I en numero/mn. y t en horas) Ésta expresón permte encontrar en cuanto ha decaído la radactvdad total (I) de la muestra vegetal en estudo para cualquer tempo (t). Para saber por ejemplo la radactvdad total al cabo de 50h, se remplaza t =50h y se obtene I = 0 numero/mn. Elaborado por: Alberto Patño Vanegas

11 Facultad de Cencas Báscas n CASO 3.3: Datos que se ajustan a una curva de la forma y = kx Al aplcar logartmo natural obtenemos: Lny = nlnx + ln k (8) Observamos que al realzar el cambo de varables Y = Lny y X = Lnx la grafca de Y X es una línea recta de la forma: Y = mx + b (9) Donde los valores de m y b se calculan con ayuda de las expresones (). Para el cálculo de las constantes n y k, se comparan las expresones (8) y (9) así: n = m (0) b k = e En general, es posble encontrar el cambo de varables adecuado sempre y cuando se conozca la forma de la expresón que relacona las varables. Por ejemplo, la fuerza entre cargas electrostátcas está descrta por: qq F = 4πε o r Donde F y r son varables meddas para q y q fjas y conocdas. Cómo encontrar la constante ε o? Para ello, se realza una gráfca de F contra /r para obtener una línea recta que pasa por el orgen. La pendente (m) de la recta corresponde a qq m = 4πε o De la cual se obtene ε o. Elaborado por: Alberto Patño Vanegas

12 Facultad de Cencas Báscas TALLER Metodología: Aprenda a utlzar una calculadora o algún software que realce regresones lneales, exponencales, etc. Realce manualmente los sguentes ejerccos y compare sus respuestas con la obtenda con la ayuda del software.. En certo movmento de un cuerpo bajo la accón de una fuerza, el desplazamento x y el tempo t se dan en la sguente tabla. t (seg) x (m) 0 4, 0,0 7,9 8, 40,0 53,8 3.. Dbujar la gráfca de x en funcón de t. 3.. Se sabe que la ecuacón de este movmento se da por x = / a.t. Deducr gráfcamente la constante a Encuentre cuanto habrá recorrdo el objeto al cabo de un mnuto. 4. Se aplca una fuerza constante F a un carrto de masa m y se mde su aceleracón a del movmento producdo. Se repte el procedmento para otros valores de masa mantenendo sempre la msma fuerza. Los resultados se consgnan en la sguente tabla: m (Kg) a (m/seg ) 4,30 3,7 8,5,30 4,90 4,5 4.. Dbujar la gráfca a en funcón de m. 4.. Se sabe que F = m.a. Deducr gráfcamente la constante F Encuentre la aceleracón cuando la masa del carrto es de 00Kg. 5. El rtmo al cual las moléculas de agua pasan por osmoss a través de una membrana sempermeable desde un recpente de agua pura a otro con una dsolucón de azúcar puede medrse utlzando el marcado radactvo de algunas de las moléculas de agua. El rtmo (r) a que se mueven las moléculas de agua a través de la membrana vene dado en funcón del tempo (t) en la sguente tabla: r(undades arbtraras) t (h) Represéntese los resultados en una gráfca. λt 5.. Admtendo que la curva sgue una relacón de la forma r = r o e, determínese por el método de mínmos cuadrados los valores de λ y r o A qué rtmo se moverían las moléculas de agua por la membrana en estudo al cabo de 0h. Elaborado por: Alberto Patño Vanegas