MAGNITUD. Para que queden definidas además de su valor o intensidad es necesario conocer además la dirección y sentido en el que actúan.

Transcripción

1 MAGNITUD CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón Magnitud es todo aquello que puede ser medido. Medir una magnitud consiste en compararla con otra de la misma especie elegida arbitrariamente llamada unidad y ver cuantas veces está contenida dicha unidad en la magnitud medida. Las magnitudes se clasifican en dos grandes grupos: Vectoriales Para que queden definidas además de su valor o intensidad es necesario conocer además la dirección y sentido en el que actúan. Un vector fijo en un plano es un segmento orientado que tiene su origen en el punto, A, del plano y su extremo en el punto, B, de dicho plano. Este vector así definido se escribe, AB. Si en un vector su punto origen, A, y su punto extremo, B, coinciden se dice que es un vector nulo. El conjunto de todos los vectores que existen en un plano se le denomina, R 2. Los elementos que caracterizan a un vector, AB, son: Origen, A Punto en el que comienza o está aplicado el vector, AB. Extremo, B Punto en el que termina el vector, AB. Dirección Es la dirección de la recta que contiene a los puntos, A, y, B, origen y extremo respectivamente del vector, AB. Sentido Es el recorrido de la recta cuando se va desde el punto, A, hasta el punto, B, origen y extremo respectivamente del vector, AB. Cada dirección tiene dos sentidos posibles, el que va desde el punto, A, hasta el punto, B, y el opuesto que va desde el punto, B, hasta el punto, A. Módulo Para medir la longitud de la mesa se ha elegido como unidad de medida el boli. Se mira cuántas veces el bolígrafo está contenido en la mesa. El resultado es 7 bolis. Es la longitud del segmento, AB, que tiene sus extremos respectivamente en los puntos, A, y, B, del plano. magnitud Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 173

2 Los vectores nulos tienen todos el módulo igual a cero. u 2 Si las coordenadas del punto origen del vector, AB, son A(x 1,y 1 ), y las coordenadas del punto extremo del vector, AB, son, B(x 2,y 2 ), en un sistema de coordenadas cartesiano, O,X,Y, entonces se definen las componentes del vector, AB, como la diferencia entre las coordenadas del punto extremo, B, y las coordenadas del punto origen, A. Escalares u 1 = B A= (x 2,y 2 ) - (x 1,y 1 )= (x 2 -x 1,y 2 -y 1 )= (u 1,u 2 ) Las componentes de un vector son sus proyecciones sobre los ejes coordenados, X, e, Y, del sistema de coordenadas cartesiano, O,X,Y. AB= u u 2 2 = (x 2 -x 1 ) 2 + (y 2 -y 1 ) 2 Aquellas que quedan perfectamente definidas dando su valor numérico. Existen diversos sistemas para medir una magnitud escalar: Sistema métrico decimal El sistema métrico y el sistema decimal de numeración están formados de la misma manera, cada unidad de un orden determinado equivale a 10 unidades del orden inmediato inferior. Por ello ambos sistemas son decimales U.millar Centena Decenas Unidad décimas centésimas milésimas U m C D U d c m km Hm Dm m dm cm mm kg Hg Dg g dg cg mg kl Hl Dl l dl cl ml Las principales magnitudes que se miden en el sistema métrico decimal son: Longitud, m La unidad fundamental de longitud es el metro, m. Para medir longitudes pequeñas se utilizan unidades menores al metro o submúltiplos: Decímetro dm. Es la décima parte del metro. 1 dm= 0,1 m Centímetro cm. Es la centésima parte del metro. 1 cm= 0,01 m Milímetro mm. Es la milésima parte del metro. 1 mm= 0,001 m Para medir longitudes grandes se utilizan unidades mayores al metro o múltiplos: Decámetro Dm. Son diez metros. 1 Dm= 10 m Hectómetro Hm. Son cien metros. 1 Hm= 100 m Kilómetro km. Son mil metros. 1 km= m Para pasar de una unidad mayor a otra menor o viceversa se multiplica o divide sucesivamente por 10 respectivamente. magnitud Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 174

3 También se utilizan en muchos casos otras unidades de longitud como: Otras unidades Equivalencia Pulgada 2,54 cm Palmo 20 cm Pie 30 cm Yarda 91 cm Braza 18 dm Milla terrestre 1,6 km Milla marina 1,8 km Las medidas de longitud se pueden dar en forma: Compleja Cuando se utilizan varias números y varias unidades para su medida. 2 m 28 mm Incompleja Cuando se utiliza un número y una sola unidad para su medida 2028 mm Una forma sencilla de transformar unidades complejas en incomplejas es usando una tabla de conversión como la que sigue: km Hm Dm m dm cm mm Si dan la medida en forma incompleja basta con colocarla en la tabla de forma que la última cifra no decimal esté en la columna que indica la unidad de la medida. Si dan la medida en forma compleja se coloca cada unidad en la columna que le corresponda. Capacidad, l La unidad fundamental de capacidad es el litro, l. Para medir capacidades pequeñas se utilizan unidades menores al litro o submúltiplos: Decilitro dl. Es la décima parte del litro. 1 dl= 0,1 l Centilitro cl. Es la centésima parte ldel litro. 1 cl= 0,01 l Mililitro ml. Es la milésima parte del litro. 1ml= 0,001 l Para medir capacidades grandes se utilizan unidades mayores al litro o múltiplos: magnitud Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 175

4 Decalitro Dl. Son diez litros. 1 Dl= 10 l Hectolitro Hl. Son cien litros. 1 Hl= 100 l Kilolitro kl. Son mil litros. 1 kl= l Para pasar de una unidad mayor a otra menor o viceversa se multiplica o divide sucesivamente por 10 respectivamente. Las medidas de capacidad se pueden dar en forma: Compleja Cuando se utilizan varias números y varias unidades para su medida. 2 l 28 cl Incompleja Cuando se utiliza un número y una sola unidad para su medida 238 cl Una forma sencilla de transformar unidades complejas en incomplejas es usando una tabla de conversión como la que sigue: Kl Hl Dl l dl Cl ml Si dan la medida en forma incompleja basta con colocarla en la tabla de forma que la última cifra no decimal esté en la columna que indica la unidad de la medida. Si dan la medida en forma compleja se coloca cada unidad en la columna que le corresponda. Masa, g La unidad de masa es el kilogramo aunque se utiliza como referencia el gramo, g. Para medir masas pequeñas se utilizan unidades menores al gramo o submúltiplos: Decigramo dg. Es la décima parte del gramo. 1 dg= 0,1 g Centigramo cg. Es la centésima parte del gramo. 1 cg= 0,01 g Miligramo mg. Es la milésima parte del gramo. 1mg= 0,001 g Para medir masas grandes se utilizan unidades mayores al gramo o múltiplos: Decagramo Dg. Son diez gramos. 1 Dg= 10 g Hectogramo Hg. Son cien gramos. 1 Hg= 100 g Kilogramo kg. Son mil gramos. 1 kg= g Miriagramo Mg. Son diez kg. 1 Mg= 10 kg Quintal q. Son cien kilogramos. 1 q= 100 kg Tonelada t. Son 1000 kilogramos. 1 t= 1000 kg magnitud Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 176

5 Para pasar de una unidad mayor a otra menor o viceversa se multiplica o divide sucesivamente por 10 respectivamente. Las medidas de masa se pueden dar en forma: Compleja Cuando se utilizan varias números y varias unidades para su medida. 2 g 38 cg Incompleja Cuando se utiliza un número y una sola unidad para su medida 238 cg Una forma sencilla de transformar unidades complejas en incomplejas es usando una tabla de conversión como la que sigue: Si dan la medida en forma incompleja basta con colocarla en la tabla de forma que la última cifra no decimal esté en la columna que indica la unidad de la medida. Si dan la medida en forma compleja se coloca cada unidad en la columna que le corresponda. Superficie, m 2 kg Hg Dg g Dg Cg mg La unidad de superficie es el metro cuadrado, m 2, que se corresponde con la superficie que tiene un cuadrado de 1 m de lado. La medida de una superficie se llama área. Para medir el área de superficies pequeñas se utilizan unidades menores al metro cuadrado o submúltiplos: Decímetro cuadrado dm 2. Área de un cuadrado de, 1 dm, de lado. 1m 2 = 100 dm 2 Centímetro cuadrado cm 2. Área de un cuadrado de, 1 cm, de lado. 1dm 2 = 100 cm 2 Milímetro cuadrado mm 2. Área de un cuadrado de, 1 mm, de lado.1cm 2 =100 mm 2 Para medir el área de superficies grandes se utilizan unidades mayores al metro cuadrado o múltiplos: Decámetro cuadrado Dm 2. Área de un cuadrado de, 10 m, de lado. 1 Dm 2 = 100 m 2 Hectómetro cuadrado Hm 2. Área de un cuadrado de, 100 m, de lado. 1 Hm 2 = 100 Dm 2 Kilómetro cuadrado km 2. Área de un cuadrado de, m, de lado. 1 km 2 = 100 Hm 2 Para pasar de una unidad mayor a otra menor o viceversa se multiplica o divide sucesivamente por 100 respectivamente. magnitud Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 177

6 Para medir superficies de terreno de cultivo se utilizan las unidades agrarias, las cuales son: Hectárea ha. 1 ha= 1 Hm 2 = m 2 = 100 a Área a. 1 a= 1 Dm 2 = 100 m 2 = 100 ca Centiárea ca. 1 ca= 1 m 2 Volumen, m 3 El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. La unidad fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico, m 3, que se corresponde con el espacio que ocupa un cubo que tiene 1 m de arista. Para medir el volumen de espacios pequeños se utilizan unidades menores al metro cúbico o submúltiplos: Decímetro cúbico dm 3. Volumen de un cubo de, 1 dm, de lado. 1 m 3 = dm 3 Centímetro cúbico cm 3. Vvolumen de un cubo de, 1 cm, de lado. 1 dm 3 = cm 3 Milímetro cúbico mm 3. Vvolumen de un cubo de, 1 mm, de lado. 1 cm 3 = mm 3 Para medir el volumen de espacios grandes se utilizan unidades mayores al metro cúbico o múltiplos: Decámetro cúbico Dm 3. Volumen de un cubo de, 10 m, de lado. 1 Dm 3 = m 3 Hectómetro cúbico Hm 3. Volumen de un cubo de, 100 m, de lado. 1 Hm 3 = Dm 3 Kilómetro cúbico km 3. Volumen de un cubo de, m, de lado. 1 km 3 = Hm 3 Para pasar de una unidad mayor a otra menor o viceversa se multiplica o divide sucesivamente por respectivamente. El volumen y la capacidad son dos magnitudes equiparables, por lo que si las capacidades son muy grandes, en lugar de utilizar múltiplos del litro se suelen expresar en metros cúbicos. Se verifica: Un cubo cuya arista tiene un metro, tiene un volumen de, 1 m 3, y tiene una capacidad de, litros. 1 m 3 = 1000 l magnitud Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 178

7 Un cubo cuya arista tiene un decímetro, tiene un volumen de, 1 dm 3, y tiene una capacidad de, 1 litro. 1 dm 3 = 1 l Un cubo cuya arista tiene un centímetro, tiene un volumen de, 1 cm 3, y tiene una capacidad de, 1 mililitro. 1 cm 3 = 1 ml Sistema Sexagesimal Los números sexagesimales dan información de dos tipos de magnitudes en la que cada unidad de un orden determinado equivale a 60 unidades del orden inmediato inferior. Las magnitudes que se miden en este sistema son: Ángulo Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas secantes. Las dos semirrectas se llaman lados del ángulo y el punto donde éstas se cortan se denomina vértice del ángulo. La amplitud de un ángulo es su abertura. En función de su amplitud los ángulos se clasifican en: Agudo Su abertura es menor de 90º. Recto Su abertura es 90º. Obtuso Su abertura es mayor de 90º Llano Su abertura es 180º. Para medir la amplitud de un ángulo se utiliza distintos tipos de unidades: Grado Sexagesimal, º Es el resultante de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. Si se divide un grado en 60 partes iguales, cada una de ellas representa a un minuto,. 1º son 60 Si se divide un minuto en 60 partes iguales, cada una de ellas representa a un segundo,. 1 son 60 Un ángulo sexagesimal se mide pues es grados, minutos y segundos. Las unidades para medir ángulos aumentan o disminuyen de 60 en 60. Por esta razón a este sistema se le denomina sistema sexagesimal. magnitud Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 179

8 Radián Ángulo al que le corresponde un arco de circunferencia cuya longitud es coincidente con el radio de la misma. Un radián aproximadamente equivale a un ángulo de, 57,3º. Dados dos ángulos se dicen: Consecutivos Si comparten un lado y el vértice. La medida del ángulo que forman es la suma de los dos ángulos. Opuestos Si comparten el vértice y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales numéricamente. Complementarios Si suman, 90º, es decir, entre los dos forman un ángulo recto. Suplementarios Si suman, 180º, es decir, entre los dos forman un ángulo llano. Se verifica que: La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo siempre es igual a, 180º. La suma de los cuatro ángulos de cualquier cuadrilátero siempre es igual a, 360º. Al trazar la diagonal del cuadrilátero, éste queda dividido en dos triángulos. La suma de los ángulos de cada uno de ellos es de, 180º, por lo que se deduce que la suma de los ángulos del cuadrilátero es de, 360º. Tiempo La unidad de medida del tiempo es la hora, h. Es el resultado de dividir la duración de un día en, 24 partes iguales. Si se divide una hora en, 60 partes iguales, cada una de ellas representa a un minuto, m. 1 h son 60 m Si se divide un minuto en, 60 partes iguales, cada una de ellas representa a un segundo, s. magnitud Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 180

9 1 m son 60 s El tiempo se mide pues en horas, minutos y segundos. Con los números sexagesimales, tanto si representan medida de ángulos o de tiempos, se realizan las siguientes operaciones: Sumar La suma de dos números sexagesimales da como resultado otro número sexagesimal cuyo valor se obtiene sumando por separado los grados u horas, los minutos y los segundos de cada uno de los números sexagesimales sumados. Se ha de tener en cuenta que en el número sexagesimal resultante, los minutos y los segundos no pueden pasar del valor, 60. De hacerlo se quitan tantas veces, 60, como hagan falta aumentando en una unidad en la unidad inmediatamente superior por cada bloque que se reste de la cantidad, 60. Otro procedimiento sería dividir el resultado de esa columna entre, 60, siendo el resto de la división el resultado final de la misma y el cociente la cantidad que hay que sumarle a la columna que está a su izquierda. Para sumar números sexagesimales se colocan sus unidades en columnas haciendo coincidir sus grados u horas, sus minutos y sus segundos. Se suman por separado dichas columnas. Si la columna de los segundos pasan de 60 unidades, se transforman en minutos completos, quedando el resto como unidades de segundos. Los minutos transformados se suman a los ya existentes en la columna de los minutos. Si esta suma pasa de 60 unidades, se transforman en grados u horas completos, quedando el resto como unidades de minutos. 12º º º º º Restar La resta de dos números sexagesimales da como resultado otro número sexagesimal cuyo valor se obtiene restando por separado los grados u horas, los minutos y los segundos del número minuendo y del número sustraendo. Si faltan unidades de un orden para efectuar la resta, se toma una unidad del orden inmediatamente superior y se convierte. Para restar números sexagesimales se colocan sus unidades en columnas haciendo coincidir sus grados u horas, sus minutos y sus segundos. Se restan por separado dichas columnas, para lo cual el valor del minuendo de cada columna debe de ser mayor que el valor del sustraendo de dicha columna. Si alguna de las columnas de los minutos o de los segundos no cumpliesen esta condición se transforman unidades de grado superior que se suman a las existentes en dicha columna. -1º º º º º º º º Multiplicar un número sexagesimal por un número Al multiplicar un número sexagesimal por un número real da como resultado otro número sexagesimal cuyo valor se obtiene multiplicando por dicho número las magnitud Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 181

10 unidades de los distintos órdenes separadamente, y al final, si es necesario, se reorganiza el resultado pasando unidades de un orden a otro. 2º x 3 6º º º Dividir un número sexagesimal por un número Al dividir un número sexagesimal por un número real da como resultado otro número sexagesimal cuyo valor se obtiene dividiendo por dicho número las unidades de los grados u horas. El resto de esta división se transforma en minutos y se suma a la columna de los minutos existente. Esta suma se divide por dicho número real y su resto se transforma en segundos y se suma a la columna de los segundos existente. Esta suma se divide por dicho número. Si la división no es exacta se puede seguir aproximando esta división para tener los segundos con cifras decimales. 26º ºx60= º x60= 17 2 La medida de un número sexagesimal se puede dar en forma: Compleja Cuando se utilizan varias números y varias unidades para su medida. 1 h 0 m 15 s Incompleja Cuando se utiliza un número y una sola unidad para su medida 3615 s Para pasar de la forma compleja a la incompleja se transforman los grados u horas a minutos y se suman a los existentes. Finalmente se transforman estos minutos a segundos y se suma el resultado a los segundos existentes. 2º = º.60= = = = 8117 Para pasar de la forma incompleja a la compleja se han de ir haciendo divisiones sucesivas entre, 60. Los restos de estas divisiones leídas en orden inverso expresan su forma compleja = 2º magnitud Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 182