Investigación Operacional I EII 445

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1 Investigación Operacional I EII 445 Programación Lineal Método Simple Gabriel Gutiérrez Jarpa.

2 Propiedades Básicas de Programación Lineal Formato Estándar Un problema de programación lineal es un programa matemático en el cual la función objetivo es lineal en las incógnitas y las restricciones constan de igualdades y desigualdades lineales. Cualquier programa lineal se puede convertir a la forma estándar: Minimizar c + c + + c Sujeto a a + a + + a = b n n a + a + + a = b n n a + a + + a = b m m mn n m,,, n Donde b i, c i y a ij con constantes reales fijas y las i son valores reales a determinar. Se considera que b i, en el caso que no ocurriese, la restricción que la contiene será multiplicada por - n n

3 Propiedades Básicas de Programación Lineal Representación Matricial Una notación matricial más compacta sería: Minimizar T c s. a. A = b Donde es un vector columna n-dimensional, c T es un vector fila n-dimensional, A es una matriz de m n, b un vector columna m-dimensional. Las desigualdades implica que las componentes de son positivas. 3

4 Propiedades Básicas de Programación Lineal Representación Matricial Ejemplo: Minimizar z = 3 s. a = = = = 36 6,,,,, Representarlo en forma vectorial: 4

5 Propiedades Básicas de Programación Lineal Representación Matricial Ejemplo: Minimizar T c s. a. A = b Donde: c 3 T = c = [ 3 ], A =, b = y 3 =

6 Propiedades Básicas de Programación Lineal Representación Matricial Ejemplo: [ ] Minimizar 3 s. a = n = 6 m =4 6

7 Propiedades Básicas de Programación Lineal Convertir al formato estándar Sin embargo, generalmente los problemas tienen la siguiente forma: Minimizar c + c + + c Sujeto a a + a + + a b n n a + a + + a = b n n = a + a + + a b m m mn n m n n,,, srs, i n 7

8 8 Ejemplo (Variables de Holgura). Considere el siguiente problema:,, n m n mn m m n n n n n n b a a a b a a a b a a a Sujetoa c c c Minimizar Para transformarlo en el formato estándar se debe generar una nueva variable positiva en toda restricción del tipo menor o igual con el fin de transformarlas en igualdad. Esta variables son denominadas variables de holgura (h) Propiedades Básicas de Programación Lineal Convertir al formato estándar

9 9.Ejemplo (Variables de Holgura). Luego el problema transformado queda:,,,,,, 3 = = = m n m n mn m m n n n n n n h h h b h a a a b h a a a b h a a a Sujetoa c c c Minimizar Ahora se tiene n+m incógnitas y la matriz que representa las restricciones es del orden m (n+m) siendo epresada como [A I], donde A es la matriz original e I es la matriz identidad Propiedades Básicas de Programación Lineal Convertir al formato estándar

10 Propiedades Básicas de Programación Lineal Convertir al formato estándar Ejemplo (Variables de eceso). Si una restricción es del tipo: a + a + a + + a b i i i3 3 in n i Para transformarlo en el formato estándar se debe generar una nueva variable positiva con el fin de transformarla en igualdad. Esta variables son denominadas variables de eceso (e). La restricción estaría dada por: a + a + a + + a e = b i i i3 3 in n i i Con y i

11 Propiedades Básicas de Programación Lineal Convertir al formato estándar Ejemplo 3 (Variables sin restricción de signo). En el caso que eista una o más variables cuyo valores puede ser negativas, eiste dos método para transformarlas a la forma estándar ( ). Supongamos que j es irrestricta en signo. a) La variable es reemplazada por: j = u j - v j Donde es necesario que u j y v j. Por lo tanto ahora el problema tiene n + variables:,, 3,, u j, v j,, n.

12 Propiedades Básicas de Programación Lineal Convertir al formato estándar Ejemplo 3 (Variables sin restricción de signo). b) Otra forma es eliminar i junto con una ecuación de restricción. Para esto, toma cualquier restricción que debe cumplirse en igualdad y que el coeficiente que acompaña la variable sea distinto de cero, para luego despejar la variable y reemplazarla en las otras restricciones a + a + + a + + a = b i i ij j in n i j bi ( ai + ai ain n ) = a Como resultado de esta simplificación, se tienen un modelo de programación lineal con n - y m - restricciones ij

13 Propiedades Básicas de Programación Lineal Convertir al formato estándar Ejemplo 4 (Maimización de una función). En el caso que la función objetivo es de maimización para transformarla al formato estándar es necesario multiplicar por (-) la función: Ejemplo: Ma z = 3 5 Min z =

14 Propiedades Básicas de Programación Lineal Convertir al formato estándar Ejemplo: Transforme el siguiente modelo de programación lineal al formato estándar: Min z = () s. a () (3) (4) (5) 3 srs,, (6) 3 4

15 Propiedades Básicas de Programación Lineal Convertir al formato estándar Ejemplo: Transforme el siguiente modelo de programación lineal al formato estándar: Definamos =u -v Min z = 4u 4v () s. a 3 7u 7v h = () 3 u v + + e = 7 (3) 3 4u 4v e = 44 (4) 3 u + v h = 9 (5) 3 u, v,,, h, h, e, e (6 ) 3 5

16 Propiedades Básicas de Programación Lineal Soluciones Básicas Consideremos el sistema de desigualdades A = b (7) Donde es n-vector, b un m-vector y A una matriz de m n. Seleccionemos de las n columnas de A m columnas linealmente independiente, esto ocurre si el rango de A es m. Por notación seleccionamos las primeras m columnas de A y B es la matriz de m m determinas por estas columnas. 6

17 Propiedades Básicas de Programación Lineal Soluciones Básicas Consideremos que la matriz B es no singular y el siguiente sistema de ecuaciones: B B = b Claramente, éste tiene solución para el vector B. Por lo tanto, si = ( B,) se obtiene una solución para el sistema (7). Esto implicar igualar la primer m componentes de a las B y el resto hacerlas igual a cero. NOTA: B se denomina variables básicas, son aquellas que asumen un valor mayor o igual a cero. N se denomina variables no básicas, son aquellas que toman un valor cero. 7

18 Propiedades Básicas de Programación Lineal Soluciones Básicas Lo anterior da origen a la siguiente definición: Definición : Dado el conjunto (7) de m ecuaciones lineales simultáneas de n incógnitas, sea B cualquier submatriz de m m no singular formada por columnas de A. Entonces, si todas las (n m) componentes de no asociada a columnas B se igualan a cero, la solución del conjunto resultante de ecuaciones se llama solución básica de (7) respecto a la base de B. Las componentes de asociadas a columnas de B se denomina variable básicas y B se denomina matriz básica. 8

19 Propiedades Básicas de Programación Lineal Soluciones Básicas Se asumirá que: a) n> m, es decir, el número de variables es mayor al número de restricción b) Las filas de A son linealmente independiente lo que corresponde a la independencia lineal de las m ecuaciones. Considerar una dependencia lineal entra las filas de A daría lugar a restricciones contradictorias implicando no tener ninguna solución del sistema o resultaría redundante lo que podría eliminarse. Por lo tanto, se asumirá la hipótesis de rango completo: La matriz A de m n tiene m < n, y las m filas de A son linealmente independientes. Es decir, el sistema (7) siempre tendrá solución y de hecho siempre tendrá por lo menos una. 9

20 Propiedades Básicas de Programación Lineal Soluciones Básicas Definición : Si una, o más, variables básicas de una solución básica es igual a cero, se dice que esa solución es una solución básica degenerada. En el caso de las restricciones de un modelo de programación lineal se tiene que al sistema (7) se agrega el valor de no negatividad de las variables de decisión. Esto es: A=b (8)

21 Propiedades Básicas de Programación Lineal Soluciones Básicas Definición 3: Un vector que satisface (8), se dice que es factible para estas restricciones. Una solución factible para las restricciones (8) que también sea básicas, se denomina solución básica factible. Ahora si esta solución básica es degenerada, se denomina solución básica factible degenerada.

22 Propiedades Básicas de Programación Lineal Soluciones Básicas Ejemplo: Sea el siguiente sistema = = 3 3 4,,, 3 4 a) Cuántas variables a lo más pueden ser distinta de cero? b) Determine al menos una solución básica. c) A lo más cuántas soluciones básicas eisten? d) Determine al menos una solución básica factible

23 Propiedades Básicas de Programación Lineal Soluciones Básicas Ejemplo: Sea el siguiente sistema a) Cuántas variables a lo más pueden ser distinta de cero? Variables distinta de cero pueden ser : m = b) Determine al menos una solución básica = = 3 3 4,,, 3 4 Si = 4 + = = = = Si 3 4 3, = 3 = + 4 = =, 4 = = + = Si = + 3 = 4 = 4 + = 3 3? Si = + 43 = 7 =, 3 = 4 = + 3 = 3 3 Si = + 4 = =, 4 = 4 = + = 3 Si 3 4 = + = 3 =, = 3 4 = + = 3 4 3

24 Propiedades Básicas de Programación Lineal Soluciones Básicas Ejemplo: Sea el siguiente sistema = = 3 3 4,,, 3 4 b) A lo más cuántas soluciones básicas eisten? 4 4! = = 6 (4 )!! c) Determine al menos una solución básica factible Si = + 4 = =, 4 = = + = Si = + = 3 =, = 3 4 = + = 3 4 4

25 Propiedades Básicas de Programación Lineal Teorema fundamental de PL y Punto etremo Teorema fundamental de la programación lineal: Dada un programa lineal en la forma estándar, donde A es una matriz de m n de rango m, ) Si hay una solución factible, hay una solución factible básica. ) Si hay una solución factible optimal, hay una solución factible básica optimal. Punto Etremo Definición 4: Un punto de un conjunto conveo C se denomina punto etremo de C si no hay dos puntos distintos y tales que = α +(-α) 5

26 Propiedades Básicas de Programación Lineal Teorema fundamental de PL y Punto etremo Teorema: Sea A una matriz m n de rango m y b un m-vector. Sea K el polito conveo formado por todos los n-vectores que satisface (8), es decir: A=b Un vector es un punto etremo de K si, y sólo si, es una solución factible básica del anterior sistema. Corolario : Si el conjunto conveo K correspondientes a (8) es no vacío entonces tiene al menos un punto etremo. Corolario : Si hay una solución optimal finita a un problema de PL, hay una solución optima finita que es un punto etremo del conjunto de restricciones. 6

27 Propiedades Básicas de Programación Lineal Teorema fundamental de PL y Punto etremo Corolario 3: El conjunto de restricción K correspondiente a (8) tiene a la sumo un número finito de puntos etremos. Corolario 4: Si el polítopo conveo K correspondiente a (8) es acotado, entonces es un poliedro conveo, es decir, K se componte de puntos que son combinaciones conveas de un número finito de puntos. 7

28 Método Simple Primal Parte de una solución básica factible (Punto etremo) y se continúa iterando a través de soluciones básicas factibles sucesivas hasta alcanzar el óptimo. Consideremos el siguiente ejemplo: Maimizar z = 3 + s. a , 8

29 La región factible es: Método Simple Primal F A E D C B F A E D C B 9

30 Método Simple Primal Se basa en ir identificando los puntos etremos sin utilizar la gráfica del espacio de soluciones. Resolver gráficamente un problema con dos variables es fácil, pero cuando se tiene más de dos variables Es posible? Estandarizando el problema planteado: Minimiza z = 3 s. a. + + h = 6 ( i) + + h = 8 ( ii) + + h = ( iii) 3 + h = ( iv) 4,, h, h, h, h 3 4 3

31 Método Simple Primal De acuerdo al modelo se tienen m = restricciones y n = variables. Cuántas variables no básica eisten? m n = 6 4 = Seleccionamos = y =, punto A del gráfico, como las variables no básicas N = {, }. + h4 = + + h3 = F E D C + + h = 6 A B + + h = 8 3

32 Método Simple Primal Por lo tanto, las variables básicas factibles son: B ={h, h, h 3, h 4 }, cuyos valores se deduce de las restricciones: h =6 ; h = 8, h 3 = y h 4 =. Minimiza z( =, = ) = 3 = s. a. + + h = 6 ( i) h = h = 8 ( ii) h = h = ( iii) h = h = ( iv) h = 4 4, Esta solución básica factible inicial se denomina solución inicial. 3

33 Método Simple Primal El valor de la función objetivo estaría dado por -z=-3 - = En este caso, la solución inicial es fácil de determinar debido a: Cada ecuación tiene una variable de holgura. Los segundos miembros de las ecuaciones no son negativos. Con la primera garantiza que número de variables de holguras es igual al número de restricciones, siendo fácil determinar las variables no básicas. La segunda implica que como los valores del lado derecho de las restricciones son positivos, inmediatamente se tienen una solución factible. 33

34 Método Simple Primal El siguiente paso es identificar el desplazamiento a una nueva solución si es que eistiera. Cuándo se pasa a otra solución? Claramente, se pasa a otra solución sólo si se mejora el valor de la función objetivo. Una nueva solución se genera cuando una variable no básica (igual a cero) pasa a ser básica, para el ejemplo o. En el método simple hace cambio de base intercambiando un variable básica por una variable no básica en cada iteración. 34

35 Método Simple Primal Observando la ecuación z objetivo z 3 = Incremento unitario de z disminuye en 3 Incremento unitario de z disminuye en Las variables mejoran el valor de la F.O., luego es posible que cualquiera de las ingrese a la base. Cuál ingresa a la base entonces? El método simple utiliza un procedimiento lo heurístico: la variable no básica seleccionada es aquella con el coeficiente más negativo en la ecuación z objetivo. Se espera el menor nº de iteraciones. 35

36 Método Simple Primal Como el número de variable básicas es igual m, al ingresar a la base debe salir un variable básica actual para conservar el valor m. Para el ejemplo debe salir alguna variable de la base X B ={h, h, h 3, h 4 }, denominada variable saliente Cuánto podría aumentar? Para el ejemplo la nueva solución corresponde al punto B, puesto cualquier incremento sobre este punto saldrá del espacio factible. Por lo tanto, la restricción (3) se cumplirá en igualdad, implicando que la variable saliente es h 36

37 Método Simple Primal + h4 = + + h3 = F A E D C B + + h = h = 8 G Si aumentamos hasta llegar al punto B Qué ocurre? puede alcanzar un valor de 4 unidades (8/). Al cumplirse la restricción (ii) en igualdad ( + +h =8) obliga a que h = (Saliendo de la base, transformándose en una variable no básica). Notar que al aumentar en 4 unidades, las variables básicas ven modificado su valor, pero se sigue teniendo un solución factible. 37

38 Método Simple Primal Minimiza z( = 4, = ) = 3 = s. a. + + h = 6 ( i) h = + + h = 8 ( ii) h = + + h = ( iii) h = h = ( iv) h = 4 4,, h, h, h, h 3 4 B = { h,, h, h } = {, h } 3 4 N 38

39 Método Simple Primal + + h3 = A E D Ahora, Si aumentamos ocurre? F C hasta llegar al punto G Qué puede alcanzar un valor de 6 unidades, puesto que la restricción (i) se cumple en igualdad ( + +h =6), por lo tanto, h =. B + h4 = + + h = h = 8 G Pero es infactible 39

40 Método Simple Primal Minimiza z( = 6, = ) = 3 = 8 s. a. + + h = 6 ( i) h = + + h = 8 ( ii) h = 4, pero h (infactible) + + h = ( iii) h = h = ( iv) h = 4 4,, h, h, h, h 3 4 4

41 Método Simple Primal Haciendo un análisis gráfico podemos seleccionar la variable saliente determinando la intersección no negativa del eje con todas las restricciones, seleccionándose aquel punto de intersección con menor valor. En este caso sería intersección con la restricción (i) sería 6/ y con la restricción (ii) es 8/. Por lo tanto, la variable saliente sería h. + h4 = + + h3 = F E D C + + h = 6 A B + + h = 8 4

42 Método Simple Primal Si no se realizara en forma gráfica, consistiría en determinar la intersección de todas las rectas con el eje : + + h = 6 ( i) = 6/= h = 8 ( ii) = 8/ = h = ( iii) = 7/ ( ) = h = ( iv) = / = 4 4

43 Método Simple Primal En el caso de la restricción (iii) no sería de utilidad puesto que la intersección se realiza en un punto donde es negativa, contradiciendo la condición de no negatividad de la variable. Respecto a la restricción (iv) esta es paralela al eje. Por lo tanto, sólo intersecta las restricciones (i) y (ii). Si consideramos la intersección con la restricción (i) claramente se violará la restricción (ii), siendo este un punto básico no factible. PODRIA MEJORAR EL VALOR DE LA FUNCIÓN OBJETIVO? 43

44 Método Simple Primal El método simple se basa en la: Condiciones de optimalidad: la variable entrante en una minimización (en una maimización) es la variable no básica, con el coeficiente más negativo (más positivo) en la ecuación z objetivo. El óptimo se alcanza cuando todos los coeficientes no básicos en la ecuación z son no negativos (no positivos). Condición de factibilidad: tanto en problemas de maimización como de minimización, la variable saliente es la variable básica actual, con la menor interacción (razón mínima con denominador estrictamente positivo) en la dirección de la variable entrante. Un empate se rompe arbitrariamente. 44

45 Método Simple Primal, Forma Matricial Consideremos m restricciones linealmente independientes, n variables y el problema en forma estándar. Minimizar T c s. a. A = b Sea un solución básica factible, de manera: B = N Donde B es el vector de las variables básicas N el vector de las variables no básicas (con valor cero) 45

46 Método Simple Primal, Forma Matricial La función objetivo se puede reescribir como: z = c + c T T B B N N Donde c B son los coeficientes de las variables básicas y c N son los coeficientes de las variables no-básicas. De igual manera, las restricciones pueden se escritas: (9) B + N = b B N () Reescribiendo las restricciones (): B B = b B NN () Al variar el valor de las variables no-básicas es posible obtener todas las soluciones posibles de A=b. 46

47 Método Simple Primal, Forma Matricial Reemplazando () en la F.O, se tiene: Por simplicidad se define: T T z = c B B b B N N + cn N z = c B b + c c B N El valor de la F.O quedaría: T T T B N B N T ( T T B ) y = c B = B c T T T z = y b + cn y N El vector y es el vector de los multiplicadores de simple. Los valores de las variables básicas y de la F.O son obtenidas considerando N =, siendo: ˆ = b = B b z = zˆ = c B b B N T B B 47

48 Método Simple Primal, Forma Matricial Ejemplo Minimizar z = s. a , = 3 = 3, = 5, z = 3 + =

49 Método Simple Primal, Forma Matricial Ejemplo (Estandarizado) Minimizar z = s. a. + + h = + + h = 7 3,, h, h, h 3 + h = 3 A =, b = 7, c = 3 Si B =(,, h ) T y N =(h 4, h 5 ) T, entonces: B = B N = =.5.5 T B,.5.5,, T ( ) ( ) c = y c = N 49

50 Ejemplo Método Simple Primal, Forma Matricial El valor de las variables de decisión son: El valor de la F.O. es: Si N, el valor de las variables de decisión: Mientras el valor de la F.O. 3 B = b = B b = = y = T ˆ z = y b = ( ) 7 = 3 3 ( ) ˆ T N B b B N 3 h B = N = h3 z y b c y N ( ) h T T T = + N N = 3 + h3 5

51 Método Simple Primal, Forma Matricial Sea ĉ j, correspondiente a la componente j del vector: La componente ĉ j es se conoce como costo reducido de j, entonces T T z = zˆ = y b + cˆ cˆt T T N = cn cb B N Cuál es valor de los costos reducidos en el ejemplo? N N Por lo tanto, si para una variable no-básica j aumenta en ε (no negativo) el valor de la función objetivo cambia en ĉ j ε 5

52 Método Simple Primal, Forma Matricial Luego, para el test de optimalidad se eamina que sucede cuando una variable no-básica se incrementa desde el valor cero: a. Si ĉ j >, el valor de la función objetivo crece. b. Si ĉ j =, el valor de la función objetivo no cambia c. Si ĉ j <, el valor de la función objetivo puede ser mejorada. Lo que implica que no se está en el óptimo, entrando a la base j 5

53 Método Simple Primal, Forma Matricial Si una variable no-básica ingresa a la base es necesario determinar en cuanto se puede incrementar antes de violar la condición de no negatividad de una variable básica actual. Por lo tanto, si una variable debe dejar la base una variable no-básica debe ingresar Recordar la ecuación (): B B = b B NN 53

54 Método Simple Primal, Forma Matricial Considerando que t ingresa a la base y todos los otros componentes de N son cero, se tiene que: = bˆ Aˆ B t t donde  t es el vector B - A t y A t es la t-ésima columna de A. Eaminado B, se tiene que una variable básica ( B ) i se puede epresar como: ( ) = ˆ ˆ b a B i i it t 54

55 Método Simple Primal, Forma Matricial Se observa que: ( ) = ˆ ˆ b a B i i it t Si â it > entonces ( B ) i decrecerá tanto como la variable t crece hasta convertirse en igual a cero cuando = bˆ / aˆ t i it Si â it < entonces ( B ) i crecerá Si â it = continúa sin cambiar. 55

56 Método Simple Primal, Forma Matricial Claramente, la variable t puede incrementarse tanto como todas las variables sean no sean negativas. Por lo tanto el valor de t que puede asumir es: t bˆ i = min : aˆ it > i m aˆ it El mínimo valor identifica la nueva variable no básica y es posible determinar la nueva solución básica factible con t como una nueva variable básica. La nueva solución básica factible estaría dada por: Aˆ y zˆ zˆ + cˆ B B t t t t 56

57 Método Simple Primal, Forma Matricial. Test de Optimalidad: Identifique el vector y T =c BT B - y calcule los costo reducidos ĉ NT =c NT y T N. Si ĉ NT la solución básica es óptima y termina. En otro caso seleccione la variable no-básica t que satisfaga ĉ t <.. Calcule  t =B - A t (A t columna de la variable entrante t en la matriz A) y los coeficientes de la variables salientes respecto a la variable entrante. Determine el índice s tal que: bˆ aˆ s st bˆ i = min : aˆ it > aˆ it ( B ) s será la variable que sale de la base y â st es el pivote de entrada. 3. Actualice la matriz B y el vector de variables básicas B 57

58 Método Simple Primal, Forma Matricial Ejemplo Minimizar z = s. a , = 3 = 3, = 5, z = 3 + =

59 Método Simple Primal, Forma Matricial Ejemplo (Estandarizado) Minimizar z = + h + h + h s. a h = + + h = 7 3,, h, h, h 3 + h = 3 A =, b = 7, c = 3 59

60 Método Simple Primal, Forma Matricial Iteración (Inicialización) Solución básica factible inicial. En este caso es fácil determinarla. N = {, } B ={h, h, h 3 } Matrices: B = B = ; N = Valores de las variables h = = = 7 = 7 h 3 3 B h B b 3 Valor función Objetivo T T z cb B cb B b = = = 6

61 Método Simple Primal, Forma Matricial Iteración i. Test de Optimalidad (calculo costos reducidos) T T T cˆ N = cn y N N T T T y = cbb = = y N = T cn = ( ); N = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T cˆ N = cn y N N = = Por lo tanto, el costo reducido de las variables nobásicas: No estamos en la solución óptima!!! cˆ = < ; cˆ = < Por heurística siempre se selecciona aquella variable no básica con costo reducido más negativo. Sin embargo, para verificar que se llega a la misma solución seleccionemos 6 para ingresar a la base

62 Método Simple Primal, Forma Matricial..Iteración ii. Variable saliente de la base (calculo costos reducidos) ˆ ˆ A = B A 7 t = = b = B b = b = 3 bˆ = { bˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, h / a } { },, b, h / a,, b 3, h / a 3 3, = /, 7 /, 3 / = aˆ MIN Mínimo, h 3 deja la base {,, 3} iii. Actualización, B ={h,h, } N ={,h 3 } B = B ; N ; c = = B = ; cn = h 8 8 = h = B b = 7 = z = c B b = = 3 B T B ( )

63 Método Simple Primal, Forma Matricial Iteración i. Test de Optimalidad (calculo costos reducidos) T T T cˆ N = cn y N N T T T y = cb B = = y N = = T cn = ( ); N = h3 ( ) ( ) ( ) ( ) T T T cˆ N = cn y N N = ( ) ( ) = + h h 3 Por lo tanto, el costo reducido de las variables nobásicas: cˆ = < ; cˆ = > h 3 La única variable con costo reducido negativo es. Por lo tanto ingresa a la base. 3 Todavía No estamos en la solución óptima!!! 63

64 Método Simple Primal, Forma Matricial..Iteración ii. Variable saliente de la base (calculo costos reducidos) 8 ˆ A ; ˆ = B A t = = b = = B 3 bˆ = = = = aˆ { bˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, h / a } { },, b, h / a,, b 3, / a 3, 8 / 8, / 5, Mínimo, h deja la base iii. Actualización, B ={h,, } N ={h,h 3 } / 4 3/ B = B = / / ; N = ; cb = ; cn = h / 4 3/ 3 3 T B = = B b = / / 7 = 5 z = cbb b = ( ) =

65 Método Simple Primal, Forma Matricial Iteración 3 i. Test de Optimalidad (calculo costos reducidos) T T T cˆ N = cn y N N / 4 3 / T T T y = cb B = = y N = = h T cn = ( ); N = h3 ( ) / / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h T T T cˆ N = cn y N N = = h + h3 3 Por lo tanto, el costo reducido de las variables nobásicas: cˆ = > ; cˆ = > h h 3 COSTOS REDUCIDOS MAYOR O IGUAL A CERO ESTAMOS EN EL OPTIMO!!!!!! La solución es: = 3, = 5 h = 3, h = h 3 = y z = 3 TERMINO TAN-TAN!! 65

66 Método Simple Primal, Utilización de Tableau Utilizar el método anterior requiere de muchos cálculos: determinar matriz inversa y resolver sistema de ecuaciones. Para representar el método simple se utiliza el denominado tableau En el tableau está implícita la inmersa la matriz básica, la que se va actualizando en cada iteración. Minimizar z = + h + h + h s. a. Ejemplo: h = + + h = 7 3,, h, h, h 3 + h = 3 Tableau inicial VB h h h 3 -z - - h - h - 7 h

67 Método Simple Primal, Utilización de Tableau Por lo tanto, el original PL con su correspondiente tablau es: VB X B X N -z C T B C T N B B N b Y el tablau para el problema con su base factible VB X B X N -z C NT -C BT B - N -C BT B - b B I B - N B - b Valor de la Función Objetivo Matriz Identidad Costos Reducidos Valor de las Viables Básicas 67

68 Método Simple Primal, Utilización de Tableau VB h h h 3 Para el ejemplo: -z - - h - h - 7 h 3 3 B ={h,h,h 3 } N ={, } De acuerdo a los costos reducidos, fila. Si se aumenta en ε unidad el valor de la función objetivo se ve mejorada en - ε unidades. De igual forma ocurre cuando aumenta en ε unidad el valor de la función objetivo se mejora en -ε. Por lo tanto, o deben entrar a la base. OBS: Siempre se seleccionará la variable que ingresará a la base cuyo costo reducido tenga el valor más negativo. 68

69 Método Simple Primal, Utilización de Tableau VB h h h 3 Para el ejemplo: -z - - h - h - 7 h 3 3 B ={h,h,h 3 } N ={, } Para determinar la variable básica saliente, se debe calcular el máimo valor que puede asumir la variable entrante de tal manera que una de las variables básicas asuma el valor cero. Para este caso, el máimo valor estará dado por ma{/, 7/, }=. Luego, la variable saliente de la base sería h. 69

70 Método Simple Primal, Utilización de Tableau VB h h h 3 Para el ejemplo: -z - - h - h - 7 h 3 3 B ={h,h,h 3 } N ={, } Se requiere transformar el tableau para epresarlo en términos de la nueva base, para esto se aplica operaciones elementales en las filas para transformar la columna en 7

71 Método Simple Primal, Utilización de Tableau Para el ejemplo: VB h h h 3 -z - - h - h - 7 h 3 3 Realizando las operaciones elementales se tiene: VB -z - /*() /*(-) h 3-3 h 3 h h h

72 Método Simple Primal, Utilización de Tableau Luego debe ingresar a la base, puesto que su costo reducido es negativo: VB -z - h 3-3 h 3 h h h /*(/3) La variable a salir de la base sería h, realizando las operaciones elementales se tiene: VB -z h 3 h h h 3-4/3 5/3 -/3 / /3 /3 /*(5) /*() /3 -/3 /*(-*) 7

73 Método Simple Primal, Utilización de Tableau Luego h debe ingresar a la base, puesto que su costo reducido es negativo: VB -z X X H 3 h h h 3-4/3 5/3 9 -/3 /3 4 -/3 /3 /3 -/3 /*(3/) La variable a salir de la base sería h 3, realizando las operaciones elementales se tiene: VB -z h h h h 3 4/3 3 / / 5 3 -/ 3/ 3 Costo Reducidos mayores que cero /*(4/3)/*(/3) /*(*/3) 73

74 Método Simple Primal, Utilización de Tableau Pasos iterativos formales del método simple primal Paso : Paso : Paso : Paso 3: Usando la forma estándar (con los segundos miembros no negativos), determina una solución inicial básica factible. Selecciona una variable entrante entre las variables actuales no básicas, usando la condición de optimalidad. (*) Óptimo Selecciona la variable saliente entre las variables actuales básicas, usando la condición de factibilidad. Determine los valores de las nuevas variables básicas, haciendo a la variable entrante básica y a la variable saliente no básica. Vuelva al paso. 74

75 Determinación Base Factible Inicial, Método Simple En el problema anterior fue fácil generar una solución básica factible inicial. Al haber restricciones del tipo, implicó sólo agregar variables de holguras para representar el problema en formato estándar. Al tener esta forma el problema tiene la propiedad que la considerar todas variables original como no básicas, se genera una solución básica factible inicial. Donde las variables de holgura tiene un valor mayor a cero (factibilidad). Eiste otros problemas donde no es tan obvio determinar una solución básica factible inicial. 75

76 Determinación Base Factible Inicial, Método Simple Cuando no es tan obvio determinar una solución básica factible inicial, eiste dos métodos para determinarla: Método de dos fases. Resuelve un problema auiliar de PL para encontrar un solución inicial. Método de la Gran M: Se agregan términos a la función objetivo que se penalizan por infactibilidad. Consideremos el siguiente ejemplo para eplicar ambos métodos: Minimizar z = + 3 s. a. 3 + = 4 ( R5) 4 ( R6) ( R7), 76

77 Determinación Base Factible Inicial, Método Simple Utilizando el formato estándar: Minimizar z = + 3 s. a. 3 + = 4 ( R5) 4 e = ( R6) h = 9 ( R7),, e, h De acuerdo a la restricción R no eiste un candidato obvio para ser una variable básica La restricción R6 tiene una variable de eceso, aunque y fuesen variables no-básicas sería infactible e = - < Para la inicialización ambos métodos se agregan variables artificiales (a) a las restricciones que no contienen variables de holgura. 77

78 Determinación Base Factible Inicial, Método Simple Utilizando el formato estándar: Minimizar z = + 3 s. a a = 4 ( R) 4 e + a = ( R) h = 9 ( R3),, e, h, a, a Ahora sería posible inicializar el método simple con B (a, a, h ) T, con: a =4, a = y h =9. Donde la matriz B sería igual a la I. Sin embargo, las variables artificiales no corresponden al problema original, por lo que esta opción no corresponde a una solución básica factible inicial del problema original. 78

79 Determinación Base Factible Inicial, Método Simple Lo que se busca con ambo métodos es tratar de determinar una solución básica factible que no incluya variables artificiales, implicando que sólo se tiene variables del problema original distintas de cero. Es claro, que si no se pude conducir a que la variables artificiales sean igual a cero, implica que el problema es infactible. 79

80 Base Factible Inicial: Método Dos Fases Las variables artificiales son utilizadas para crear un problema de programación lineal auiliar, denominado Fase I. El objetivo es determinar una solución básica factible sólo para el conjunto de restricciones. La función objetivo de el problema de programación lineal auiliar es = Minimizar z a, donde a son las variables artificiales Para el ejemplo la F.O sería: i Utilizando el tableau para resolver i M inim izar z = a + a i 8

81 Base Factible Inicial: Método Dos Fases Fase I: La representación en el tableau sería: VB e h a a -z a a h Cuál es el valor de los costos reducidos de las variables básicas? VB e h a a -z -5-6 a a h /*(-) /*(-) 8

82 Base Factible Inicial: Método Dos Fases Costo reducido de es -5, por lo tanto ingresa a la base: VB e h a a -z a a -6 4 /*(/) h Mínimo{4/3,/,9/4} =, implica que a sale de la base VB e h a a -z -8-3/ 5/ a 8 3/ -3/ - -/ / h - - /*(5) /*(-3) /*(-4) 5 8

83 Base Factible Inicial: Método Dos Fases Costo reducido de es -8, por lo tanto ingresa a la base: VB e h a a -z -8-3/ 5/ - a 8 3/ -3/ - -/ / h - 5 /*(/) Mínimo{/8,,5/} = 5/, implica que h sale de la base VB e h a a -z -/ 8/ 3/ a / -8/ -/ -3/ / 7/ / / -/ -/ / 4/ 5/ /*(8);(-8) ;() 83

84 Método de Dos fases Costo reducido de e es -/, por lo tanto ingresa a la base: / / -/ 5/ Mínimo{/ /,,5/ /} =, implica que a sale de la base VB e h a a -z VB e h a a -z -/ 8/ 3/ a / -8/ -/ -3/ / 7/ e / 3-6/ / -/ / /* 4/ /*(/) ;(3/) 4 ;(-/) FIN FASE I: TODAS LAS VARIABLES ARTIFICIALES NO ESTAN EN LA BASE 84

85 Base Factible Inicial: Método Dos Fases FASE II: Se vuelve a la Función Objetivo original. Se representa el tablau con la solución básica factible inicial determinada en la fase I, pero no considerando las variables artificiales. Para el ejemplo sería: VB e h -z e NUEVAMENTE CUAL ES EL VALOR DE LOS COSTOS REDUCIDOS DE LAS VARIABLE BÁSICAS? 85

86 Base Factible Inicial: Método Dos Fases FASE II: VB e h -z e /*(-) /*(-3) 86

87 FASE II: Base Factible Inicial: Método Dos Fases h ingresa a la base Min{,,/3} VB e h -z e /*(/3) VB e h -z 5/3-8/3 e 6/3 /3 /3 4/3 h /3 /3 OPTIMO /*(5) ;(6) ;() 87

88 Considere el siguiente ejemplo: Base Factible Inicial: Método Dos Fases Minimizar z = s. a. + 6 ( R7) ( R8), Minimizar z = a s. a. + e + a = 6 ( R7) h = 4 ( R8),, e, h, a FASE I VB e h a -z a - h

89 Considere el siguiente ejemplo: Base Factible Inicial: Método Dos Fases VB e h a -z a - h 6 /*(-) 4 VB e h a -z a - - h

90 Base Factible Inicial: Método Dos Fases Luego: VB e h a -z a - - h /*(/) VB e h a -z a - / -/ / -4 4? Gráficamente /*() /*(-) 9

91 Considere el siguiente ejemplo: Base Factible Inicial: Método Dos Fases Minimizar z = + s. a = 4 ( R9) + + = ( R),, Minimizar z = a + a s. a a = 4 ( R9) a = ( R) 3,, 3 Minimizar z = a s. a a = 4 ( R9) + + = ( R) 3,,, a 3 9

92 Base Factible Inicial: Método Dos Fases El Tableau FASE I: VB 3 a -z a VB 3 a -z a /*(-) /*(-) VB 3 a -z a a asume el valor cero, implicando que puede ingresar una variable a la base y la solución seguirá siendo la misma, consideremos 3 9

93 Base Factible Inicial: Método Dos Fases El Tableau FASE I: VB 3 a -z a /*(-/3) VB 3 a -z 3 3 /3 -/3 /*(-3) /*(-) VB 3 a -z 3 /3 -/3 /3 -/3 93

94 Base Factible Inicial: Método Dos Fases El Tableau FASE II: VB 3 -z 3 /3 /3 /*(-) VB 3 -z 3 /3 /3 /3 - OPTIMO, Costos reducidos mayor que cero 94

95 Base Factible Inicial: Método Gran M Las variables artificiales son agregadas a la función objetivo acompañadas de una gran M, que representa la penalización. La función objetivo de el problema de programación lineal auiliar es T Minimizar z c Ma, donde a son las variables artificiales = + Para el ejemplo la F.O sería: i Minimizar z = Ma + Ma i i 95

96 Base Factible Inicial: Método Gran M La representación en el tableau sería: VB e h a a -z a 3 3 M M -4 - a h Cuál es el valor de los costos reducidos de las variables básicas? VB e h a a -z -5M+ 3+M M 4-6M /*(-M) /*(-M) a a h

97 Base Factible Inicial: Método Gran M VB e h a a -z -5M 3+M M -6M a a /*(/) h VB e h a a -z 3-8M+7 - M+ 5 M- -M- a h 8 3/ -3/ - -/ / /*(-3) /*(5M-) /*(-4) 97

98 Base Factible Inicial: Método Gran M VB e h a a -z 3-8M+7 - M+ 5 M- -M- a 8 3/ -3/ 4 - -/ / h - 5 /*(/) VB e h a a -z M + 6-8M 7 3M 5 M + 7 a / -8/ -7/ -3/ / 3/ / / -/ / 4/ 5/ /*(-8) /*() /*(8M-7) 98

99 Base Factible Inicial: Método Gran M VB e h a a -z a M + 6-8M 7 3M 5 / -8/ -7/ -3/ / 3/ M + 7 / 4/ /*() / / -/ 5/ VB e h a a -z 3M 5 8M 7 OPTIMO e / 4 7 8M / * /*(3/) 3-4 3/ 5/ /*(-/) 99

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