CÁLCULO 2014 UNIDAD III: APLICACIONES DE LA DERIVADA

Transcripción

1 CÁLCULO 0 UNIDAD III: APLICACIONES DE LA DERIVADA Estudio de la variación de una unción Es posible, por medio de la derivada obtener inormación sobre el comportamiento de una unción, lo que permite contar con ciertos criterios que ayudan a representarla gráicamente. Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada Sea una unción continua con ecuación y =, deinida en un intervalo [a, b]. La siguiente es la representación gráica de en el intervalo [a; b]. En la representación gráica anterior puede observarse la unción es:. Creciente en los intervalos ]a; [, ] 5 ; 6 [. Decreciente en los intervalos ] ; 5 [, ] 6 ; b[ También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la unción crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la unción decrece. Note además que en los puntos,, 5, 5 y 6, 6 la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la unción se anula en cada uno de esos puntos. En los siguientes teoremas se ormalizan las apreciaciones anteriores. Sea una unción continua en un intervalo cerrado [a; b] y derivable en el intervalo abierto ]a; b[. Teorema Toda unción continua en un intervalo cerrado posee un máimo o mínimo absoluto Teorema Anulación de la derivada en un etremo relativo. Sea deinida en un intervalo abierto I y supongamos que tiene un máimo relativo o mínimo relativo en un punto c interior de I. Si la derivada c eiste, es c 0 o c no eiste c se llama punto crítico. Página de 8

2 CÁLCULO 0 Nota : Los posibles puntos máimos o mínimos de una unción se encuentran donde la derivada es cero o no eiste. Teorema.Sea una unción deinida y derivable en un intervalo a, b. Tenemos entonces Si 0 a, b es estrictamente creciente en a, b Si 0 a, b es estrictamente decreciente en a, b Si = 0 a, b es constante en a, b Ejemplos Determine la monotonía de las siguientes unciones 5 Página de 8

3 CÁLCULO 0 Máimos y mínimos de una unción Notas sobre el teorema Si cambia en un punto o, o de positiva a negativa se dice que o, o es un máimo relativo Si cambia en un punto o, o de negativa a positiva se dice que o, o es un mínimo relativo Si posee segunda derivada y 0 es un punto crítico Entonces si 0 0 o, o es un mínimo relativo 0 0 o, o es un máimo relativo 0 0 o, o no es un máimo ni mínimo relativo Ejemplo Calcule los máimos y mínimos de a b 0 Página de 8

4 CÁLCULO 0 Concavidad y puntos de inleión Criterio de la segunda derivada Deinición de punto de inleión Un punto o es un punto de inleión, si = 0 o no eiste. debe ser continua. o 0 Observe que se da un cambio de concavidad. Teorema.Sea una unción deinida y posee segunda derivada en un intervalo a, b. Tenemos entonces Si 0 a, b es cóncava hacia arriba Si 0 a, b ee cóncava hacia abajo Ejemplos Estudie la concavidad de a 0 b Página de 8

5 CÁLCULO 0 Página 5 de 8 c PRACTICA I Determine el sentido de variación de las siguientes unciones, indique el dominio, además indique si es máimo o mínimo 7 y 8 9 h h g g 8 h II Estudie la concavidad en las siguientes unciones h 8 8 0

6 CÁLCULO 0 g 5 Cuadros de variación y trazo de curvas Pasos a seguir. Determinar el dominio de la unción. Determinar la primera derivada de la unción: a. Puntos críticos. Son aquellos puntos donde 0 o deinida no está Sentido de variación: si 0 y si 0 b. Un punto crítico c corresponde a un máimo relativo si ocurre c y c es un mínimo relativo si ocurre c.. Determinar la segunda derivada de la unción 0 o no está a. Puntos de inleión. Son aquellos puntos donde deinida b. concavidad: si y si 0 0. Etremos e imágenes. Se calculan los limites de los etremos de los intervalos dados en el dominio de la unción, además se calculan las imágenes de los puntos máimos, mínimos y de los puntos de inleión. 5. Cuadro de variación Etremos de la unción, mínimos y puntos de inleión. Valores obtenidos en el punto. Resultados obtenidos en el punto, sentido de variación. Resultados obtenidos en el punto, concavidad. Ejemplos Página 6 de 8

7 0 con y 5 6 con y CÁLCULO 0 Problemas de máimos y mínimos Problemas de optimización En la resolución de problemas en que se debe determinar el máimo o el mínimo de una cierta epresión, deben seguirse los siguientes pasos: Determinar la magnitud que debe hacerse máima o mínima, y asignarle una letra. Hacer un dibujo cuando sea necesario. Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máimo o mínimo. Establecer las condiciones auiliares del problema y ormar una ecuación ecuación auiliar Epresar la cantidad que debe maimizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auiliar. Determinar el dominio de esta unción. Obtener la primera derivada de esta unción para determinar los valores críticos. Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máimos o mínimos. Veriicar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema. En algunos problemas hay que utilizar diversas iguras geométricas por lo que a continuación se especiican algunas de ellas junto con las respectivas órmulas sobre áreas y volúmenes: Página 7 de 8

8 CÁLCULO 0 Aplicación de máimos y mínimos. Un granjero dispone de 00 pies de material de cerca destinado a limitar un terreno rectangular contiguo a un río de curso rectilíneo. No se requiere cercar en l orilla del río. Cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que este tenga área máima? Un rectángulo tiene 0 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máima? Encuentre dos números cuya suma sea 00 y su producto máimo. Página 8 de 8