156 Ecuaciones diferenciales

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1 156 Ecuaciones diferenciales 3.6 Mecánica El paracaidiso es uno de los deportes extreos que día a día cuenta con ayor núero de adeptos. Los que practican este deporte se tiran desde un avión en oviiento y caen al inicio en caída libre, luego extienden su cuerpo perpendicularente a la trayectoria de caída y finalente abren su paracaídas para aterrizar suaveente. Es notorio el cabio de la velocidad de caída del paracaidista de una etapa a la siguiente. Nuestra experiencia nos dice que el cabio observado se debe precisaente a la interacción del aire (del edio con la persona y luego con el paracaídas. Interacción que se traduce en una resistencia del aire al oviiento del paracaidista. Observaos dos tipos de oviiento: 1. Una caída libre, que es el tipo de oviiento donde la resistencia del aire o del edio es despreciable, por lo que se considera nula.. Una caída no libre o con fricción, que es el tipo de oviiento donde la resistencia del aire o del edio no es despreciable. En este caso el edio se opone al oviiento del paracaidista. Experientalente se sabe que todo fluido (por ejeplo: aire, agua y aceite se opone al oviiento de todo cuerpo u objeto que pasa a través de él. Dicha oposición al oviiento se anifiesta ediante una fuerza de resistencia que tiene dirección contraria al oviiento del cuerpo y con una agnitud que, para velocidades pequeñas, es directaente proporcional a la agnitud de la velocidad instantánea (rapidez del cuerpo. Para odelar el oviiento de un cuerpo a través de un fluido, es necesario tener presente la segunda ley de Neton, la cual establece una proporcionalidad directa entre la fuerza resultante F que actúa sobre el cuerpo y la aceleración instantánea a de éste. Esto es, F D a, donde la asa del cuerpo juega el papel de la constante de proporcionalidad. Tengaos presente tabién que: a.t/ D d dt ; D d dt x.t/; donde es la velocidad instantánea; donde x.t/ es la posición instantánea; D es el peso del cuerpo de asa. Si R.t/ es la fuerza de resistencia del fluido al oviiento de, entonces su agnitud j R.t/ j es directaente proporcional a la rapidez j j de. Esto es, j R.t/ j D j j, donde > 0 es la constante de proporcionalidad y adeás R.t/ D por ser R.t/, de sentidos opuestos. Toando en cuenta lo anterior se presentan dos tipos de oviientos: 1. Caída libre. Usaos la siguiente figura: R.t/ D 0 Se considera hacia abajo la dirección positiva. Y sabeos que la única fuerza que actúa sobre la asa es su peso D. F D a.t/ & F D a.t/ D a.t/ D a.t/ D g d D g D gt C C: dt

2 3.6 Mecánica 157 Suponiendo que la velocidad inicial es, Entonces, la velocidad instantánea es Por otra parte: Suponiendo que la posición inicial es x 0, v.0/ D g.0/ C C D C D : D gt C : D d dt x.t/ D gt C x.t/ D.gt C / dt ( t x.t/ D g C t C C: x.0/ D x 0 1 g.0/ C.0/ C C D x 0 C D x 0 : Luego, la posición instantánea es x.t/ D 1 gt C t C x 0 : Resuiendo: en una caída libre la aceleración es constante y el objeto obedece las ecuaciones para oviiento uniforeente acelerado, es decir: a.t/ D g: La velocidad instantánea es La posición instantánea es D C gt: x.t/ D x 0 C t C 1 gt :. Caída no libre (con resistencia. Usaos la siguiente figura: R.t/ Considerando hacia abajo la dirección positiva: F D a.t/ & F D C R.t/ a.t/ D C R.t/ a.t/ D d dt D.t/ C D.t/ C D g: Suponiendo que la velocidad inicial es, encontraos la velocidad instantánea por la solución del problea de valores iniciales (PVI:.t/ C D g; con v.0/ D :

3 158 Ecuaciones diferenciales Resolveos este problea. La ED es lineal no hoogénea para y tiene por factor integrante a la exponencial e t. Luego, [ e t.t/ C ] D ge t [ ] e t D ge t d dt e t D g D e t dt D g ( e t C C D C Ce t : ( e t C C e t D C C 1e t Ahora bien, Por lo tanto, v.0/ D C Ce0 D C D D ( C e t D ( C : e g t ; que es la velocidad instantánea del cuerpo de asa en el tiepo t 0. Note lo siguiente: > 0; > 0; t > 0 t > 0 lí e t D C1 t!c1 ( lí t!c1 t D C1 lí e t D lí t!c1 t!c1 1 e t D 0: De lo anterior: [ ( lí D lí t!c1 t!c1 C ] e t D : Denoinaos velocidad líite a este resultado, que es una velocidad constante: v lí D D I esto describe el coportaiento de la velocidad a edida que el tiepo t crece. Observe que la velocidad líite se alcanza cuando el peso del paracaidista es igual a la fuerza de resistencia del aire, es decir, cuando las fuerzas que actúan sobre el paracaidista están en equilibrio. Esta velocidad líite constante es la que perite al paracaidista un aterrizaje suave. Veaos ahora la posición instantánea x.t/ del cuerpo de asa en el tiepo t 0. Ya que D d x.t/, entonces: dt [ ( x.t/ D dt D C D ( ( t C x.t/ D ( t e t C C: ] e t dt D ( t C e t C C e t dt D

4 3.6 Mecánica 159 Y si x 0 es la posición inicial del cuerpo, entonces: x.0/ D x 0 (.0/ ( C C D x 0 ( : C D x 0 C e 0 C C D x 0 Por lo tanto, la posición instantánea es x.t/ D t ( x.t/ D x 0 C t C e t C x 0 C ( ( [ ] 1 e t : Dos fórulas uy particulares se tienen cuando D 0 y cuando x 0 D 0. En este caso: D x.t/ D t C Ahora, veaos algunos ejeplos. e t D ( ( 1 e t I [ 1 e t ] D [ t ( ] 1 e t : Ejeplo Una asa de kg cae desde el reposo bajo la influencia de la gravedad y con resistencia despreciable del aire. H 1. Modelar el oviiento ediante una ecuación diferencial.. Deterinar la velocidad de la asa en cualquier instante t Calcular la velocidad después de 5 s. 4. Deterinar el tiepo que transcurre para que la velocidad sea de 100 /s. 5. Deterinar la distancia recorrida por la asa durante los prieros t segundos. 6. Calcular la distancia recorrida por la asa entre los segundos 4 y 5, así coo entre los segundos 5 y Usareos la siguiente figura: R.t/ D 0 Considerando hacia abajo la dirección positiva.

5 160 Ecuaciones diferenciales Si a.t/ es la aceleración instantánea: Al caer desde el reposo, ocurre que v.0/ D 0. a.t/ D d dt D.t/ D g: Hallaos la velocidad instantánea de la asa por la solución del problea de valor inicial (PVI:. Resolveos este PVI:.t/ D g; con v.0/ D 0:.t/ D g D gt C C: v.0/ D 0 0 D g.0/ C C C D 0: Entonces: D gt D 9:8t /s, que es la velocidad de la asa en cualquier instante t Después de 5 s la velocidad es v.5/ D 9:8.5/ /s D 49 /s. 4. La velocidad es de 100 /s cuando D 100 9:8t D 100 t D 100 s D 10: s. 9:8 5. Si x.t/ es la posición de la asa con respecto a su punto de partida, entonces: D 9:8t d ( t dt x.t/ D 9:8t x.t/ D 9:8 C C x.t/ D 4:9t C C: Considerando que la posición inicial con respecto a su punto de partida es x.0/ D 0, se tiene que: x.0/ D 0 0 D 4:9.0/ C C C D 0: Entonces, la posición de después de t segundos es x.t/ D 4:9t, que es precisaente la distancia recorrida por durante ese tiepo. 6. La posición de después de t D 4 s es La posición de en t D 5 s es La posición de en t D 6 s es La distancia recorrida entre los segundos 4 y 5 es La distancia recorrida entre los segundos 5 y 6 es x.4/ D 4:9.4/ D 78:4 : x.5/ D 4:9.5/ D 1:5 : x.6/ D 4:9.6/ D 176:4 : x.5/ x.4/ D.1:5 78:4/ D 44:1 : x.6/ x.5/ D.176:4 1:5/ D 53:9 : Ejeplo 3.6. Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad de 0 /s y el aire no se opone al oviiento. 1. Modelar el oviiento ediante una ecuación diferencial.. Deterinar la velocidad de la pelota.

6 3.6 Mecánica Deterinar el tiepo de subida de la pelota y la áxia altura que alcanza. 4. Calcular la velocidad de la pelota después de y 3 s. 5. Calcular el tiepo que tarda la pelota en regresar a su posición inicial. H 1. Usareos la figura siguiente: R.t/ D 0 Considerando hacia arriba la dirección positiva: Si a.t/ es la aceleración instantánea, entonces a.t/ D d dt D.t/ D g: Luego, la velocidad instantánea está dada por la solución del PVI:.t/ D g; con v.0/ D 0:. Se tiene que.t/ D g D gt C C D 9:8t C C: Aplicaos la condición inicial: v.0/ D 0 9:8.0/ C C D 0 C D 0: Luego, la velocidad de la pelota en cualquier tiepo es D 9:8t C 0 /s: 3. La pelota sube ientras su velocidad es positiva y se detiene en el instante t 1 en que Luego, durante :0408 s la pelota sube. v.t 1 / D 0 9:8t 1 C 0 D 0 t 1 D 0 D :0408 s: 9:8 Para calcular la altura áxia alcanzada por la pelota, deterinaos priero la posición x.t/. D 9:8t C 0 x 0.t/ D 9:8t C 0 x.t/ D. 9:8t C 0/ dt D 9:8 t C 0t C C Considerando la condición inicial, se tiene que La altura áxia que alcanza la pelota es x.t/ D 4:9t C 0t C C: x.0/ D 0 C D 0 x.t/ D 4:9t C 0t: x ax D x.t 1 / D 4:9t 1 C 0t 1 D 4:9.:0408/ C 0.:0408/ x ax D 0:408.

7 16 Ecuaciones diferenciales 4. La velocidad de la pelota después de s es v./ D 9:8./ C 0 D 0:4 v./ D 0:4 /s; donde el signo positivo significa que la pelota se dirige hacia arriba. La velocidad de la pelota después de 3 s es v.3/ D 9:8.3/ C 0 D 9:4 v.3/ D 9:4 /s; donde el signo negativo significa que la pelota se dirige hacia abajo. 5. Para calcular el tiepo que tarda la pelota en regresar a su posición inicial, useos x.t/ D 0: x.t/ D 0 4:9t C 0t D 0 t.4:9t 0/ D 0 t D 0 o bien 4:9t 0 D 0 t 0 D 0 o bien t D 4:0816: Por lo tanto, el tiepo que tarda en regresar es t D 4:0816 s. En el ejeplo anterior, el tiepo t es el doble del tiepo t 1 que tarda la pelota en alcanzar la altura áxia. Y tabién la velocidad en el instante t en el que la pelota regresa a su posición inicial es v.t / D v.4:0816/ D 9:8.4:0816/ C 0 D 0 /s: Esto es, el odelo sin resistencia del aire predice que un objeto lanzado desde el nivel del suelo hacia arriba dura el iso tiepo en subir hasta la altura áxia que en volver de esa altura al suelo. Más aún, la rapidez con la que ipacta el suelo es la isa con que fue lanzado hacia arriba. Esto puede no ser totalente cierto en realidad, pues la resistencia del aire desepeña un papel que puede ser iportante. Veaos a continuación algunos ejeplos con resistencia del aire. Ejeplo Un paracaidista y su paracaídas pesan 00 lb. En el instante en que el paracaídas se abre, él está viajando verticalente hacia abajo a 40 pie/s. Si la resistencia del aire varía de anera directaente proporcional a la velocidad instantánea y su agnitud es de 180 lb cuando la velocidad es de 45 pie/s: 1. Deterinar la velocidad y la posición del paracaidista en cualquier instante t 0.. Calcular la velocidad líite. H Usareos la siguiente figura: R.t/ D Consideraos que la dirección positiva es hacia abajo y que t 0, a partir de que el paracaídas se abre. La resistencia del aire es R y se cuple que j R j D j j, con > 0, y R D. Teneos: v.0/ D D 40 pie/s & x.0/ D x 0 D 0 & D : Coo D D 00 lb, entonces D 00 g D 00 3 D 5 4 D 5 4 slug. Ya que j R j D j j y que j R j D 180 cuando j j D 45, entonces D 4.

8 3.6 Mecánica En cualquier segundo t 0 ocurre que a.t/ D C R d D dt 5 4.t/ D 00 4.t/ D 3.t/ C 16 D 3: 5 Hallaos la velocidad instantánea por la solución del PVI: 16 5.t/ C 16 D 3; con v.0/ D 40: 5 Esta ecuación diferencial es lineal con factor integrante e 16 5 t. Luego entonces: [ e 5 16 t.t/ C 16 ] 5 D 3e 5 16 t d [ ] e 5 16 t D 3e 5 16 t dt e 16 5 t D 3 D 50 C Ce 16 5 t : Ahora bien, v.0/ D C Ce 0 D 40 C D 10. e 16 5 t dt D 3 ( 5 e 16 5 t C C D 50e 16 5 t C C 16 Por lo tanto, la velocidad instantánea (en pie/s del paracaidista en cualquier t 0, es D 50 10e 16 5 t : Si x.t/ es la posición instantánea, edida a partir del punto donde se abre el paracaídas: D x 0.t/ & D 50 10e 16 5 t x 0.t/ D 50 10e 16 5 t x.t/ D Coo x 0 D x.0/ D 0: ( 5 x.t/ D 50t 10 e 16 5 t C C 16 x.t/ D 50t C 15 8 e 5 16 t C C: x.0/ D 0 0 D 50.0/ C 15 8 e0 C C C D 15 8 : Por lo que la posición del paracaidista en el instante (segundo t 0 es (en pies x.t/ D 50t C 15 8 e 16 5 t 15 8 x.t/ D 50t C 15 8 ( e 5 16 t 1 :.50 10e 16 5 t / dt. La velocidad líite del paracaidista es [ v lí D lí D lí 50 10e 16 t] [ 5 D lí 50 t!1 t!1 t!1 10 e 16 5 t ] D 50 v lí D 50 pie/s: Observe que esta velocidad ocurre cuando el peso es igual a la fuerza de resistencia del aire.

9 164 Ecuaciones diferenciales Ejercicios Mecánica. Soluciones en la página Una piedra de cae desde el reposo debido a la gravedad y con resistencia despreciable del aire. a. Mediante una ecuación diferencial, odelar el oviiento de la piedra. b. Deterinar la velocidad (en /s de la piedra en cualquier instante t 0. c. Calcular la posición ( en etros de la piedra en cualquier instante t 0. d. Calcular la velocidad de la piedra y la distancia recorrida al cabo de 5 s. e. Deterinar el tiepo en que la piedra alcanza una velocidad de 100 /s. f. Calcular la distancia recorrida entre los segundos 6 y 8 así coo entre los segundos 8 y 10.. Una áquina de entrenaiento en beisbol se utiliza para lanzar directaente hacia arriba una pelota desde el suelo con velocidad inicial de 40 /s. Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable: a. Calcular la altura áxia alcanzada por la pelota y el tiepo que tarda en alcanzarla. b. Deterinar cuándo y con qué velocidad golpeará la pelota el suelo. 3. Un cuerpo que pesa 8 lb cae desde el reposo hacia la Tierra. Suponiendo que la resistencia del aire es nuéricaente igual a, donde es la velocidad instantánea en pie/s, calcular: a. La velocidad después de t segundos. b. La distancia recorrida al cabo de t segundos. c. La velocidad líite del cuerpo. 4. Una pequeña gota de aceite de 0: g de asa cae en el aire desde el reposo. La resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea y es de 160 dinas (din cuando la gota cae a 40 c/s. Deterinar: a. La velocidad al cabo de t segundos. b. La posición después de t segundos. c. La velocidad líite de la gota. 5. Un paracaidista y su paracaídas pesan 56 lb. En el instante en que el paracaídas se abre, él está cayendo verticalente a 10 pie/s. Suponiendo que la resistencia del aire es directaente proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea y que ésa es de 400 lb cuando ésta es de 0 pie/s, deterinar: a. La velocidad del paracaidista al cabo de t segundos. b. La posición del paracaidista al cabo de t segundos. c. La velocidad líite del paracaidista. 6. Un hobre y su paracaídas pesan 160 lb y caen desde el reposo hacia la Tierra. Antes de que el paracaídas se abra, la resistencia del aire (en libras es nuéricaente igual a 1 v (donde v es la velocidad instantánea en pie/s y, a partir de que se abre, la resistencia es 5 8 v. Si el paracaídas se abre a los 5 s, calcular la velocidad del paracaidista en cualquier segundo t: a. Antes de abrirse el paracaídas. b. Después de abrirse el paracaídas. 3.7 Probleas geoétricos En esta sección, tratareos probleas geoétricos que se pueden plantear y resolver ediante ecuaciones diferenciales que se obtienen considerando la interpretación geoétrica de la derivada que, coo sabeos, es la pendiente de la recta tangente a la curva (gráfica de la función en un punto.