SOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES

Transcripción

1 SOLUCIÓN DE UN SISEMA LINEAL DE ECUACIONES MÉODO DE LA MARIZ INVERSA EN EXCEL ANECEDENES Un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas se puede escribir en la forma general: n n n n n n n1 1 n2 2 n nn n n donde los números a 11, a 12,, ann son los coeficientes de las incógnitas x1, x2,, xn, y los números b 1, b 2,, bn son los términos independientes. Este sistema se puede escribir en forma matricial como a a a a x b n 1 1 a21 a22 a2 a2n x2 b2 a1 a2 a a n x = b a a a a x b n1 n2 n nn n n o Ax= b donde A se denomina matriz de coeficientes, y b es el vector de términos independientes. Si el determinante de A es distinto de cero, la matriz de coeficientes tiene una inversa y el sistema de ecuaciones tiene una solución única dada por Ejemplo: Considerar el sistema de ecuaciones lineales x1+ x2= 6 x1 x2+ 2x= 6 x + x + x = A = x x 2 = x 2 como det A = 8, la matriz es invertible, y su inversa es: A = por lo que la solución del sistema es simplemente el producto de A por b : = = x A b 1 x = 2 x= A b Página 1

2 IMPLEMENACIÓN DEL MÉODO DE LA INVERSA EN EXCEL Nota: Dependiendo de la versión de Excel y el lenguaje usado, los nombres de las funciones pueden ser ligeramente diferentes. Este método no suele ser aplicado en sistemas muy grandes debido a las dificultades en calcular la inversa de matrices grandes. Sin embargo, las funciones para matrices en Excel hacen que la aplicación del método de la inversa sea sencillo y directo. El primer paso es poner la matriz de coeficientes ( A ) y el vector de términos independientes (b ) en la hoja de cálculo. Marcar las celdas con algún color e indicar a qué incógnita corresponde cada columna es opcional, pero ayuda a identificar fácilmente las matrices y los coeficientes de cada incógnita. Usando el ejemplo mostrado anteriormente, la hoja de cálculo con A y b se muestra en la figura: La función para calcular el determinante se es MDEERM, y toma como valor un rango, A5:C7 en este caso, que corresponde a la matriz A. Como el determinante es diferente de cero, podemos proceder a calcular la inversa. Como la función que calcula la inversa producirá otra matriz como resultado, debe ser introducida simultáneamente (usando SHIF+CONROL+ENER) en todas las celdas que formarán el resultado. Para ello, debemos seleccionar primero las celdas destino con el mismo tamaño que A, en este caso, tres renglones y tres columnas. Cuando el sistema que queremos resolver es muy grande, es más fácil hacer la selección con el teclado (Shift y las flechas), y ver el tamaño que tenemos seleccionado en la esquina superior izquierda: A continuación es conveniente calcular el determinante de A. Este paso no es en realidad necesario, pero si el determinante es cero, el sistema no se puede resolver por este método (no tiene solución o existe un número infinito de soluciones). Página 2

3 No presionar ENER o usar las flechas para introducir la fórmula. Para que la fórmula quede correctamente como matriz, hay que presionar SHIF+CONROL+ ENER. Los valores de la matriz deberán aparecer simultáneamente en todas las celdas, y la fórmula queda encerrada en llaves { }. Una fórmula no se converte en matriz sólo por encerrarla en llaves, hay que haberla introducido usando SHIF+CONROL+ENER. Una vez hecha la selección, tecleamos la fórmula para la inversa, MINVERSE, usando como parámetro el rango A5:C7 correspondiente a la matriz A. Como la solución es también una matriz, hay que introducir su fórmula del mismo modo que introducimos la fórmula de la inversa. Primero seleccionamos una columna de tres celdas: Página

4 Nuevamente, usamos SHIF+CONROL+ENER para que la fórmula sea introducida como matriz, y eso nos da nuestra solución: Luego tecleamos la fórmula. En este caso, la solución será el producto de la matriz inversa por el vector independiente. La fórmula es MMUL y usa dos argumentos: el primero es el rango de la matriz inversa (A1:C15), y el segundo es el rango del vector independiente (E5:E7), en ese orden: Los valores en el vector de solución están en el mismo orden que los coeficientes de nuestras incógnitas en la matriz de coeficientes: x 1 = 1 x 2 = x = 2 Página 4

5 ANÁLISIS DE UNA ARMADURA POR EL MÉODO DE LOS NODOS B F 1 C F 2 A E D F F1 = 00N F2 = 500N F = 100N SUMA DE FUERZAS EN CADA NODO Nodo A AB AE A y F = cos 45 + = 0 A AB AE F = sen 45 + A = 0 y@ A AB y Nodo B AB F 1 BE BC F = cos cos 60 = 0 B AB BC BE F = sen 45 sen 60 F = 0 y@ B AB BE 1 Nodo C BC F 2 CE CD F = + cos 60 cos 45 F = 0 C BC CD CE 2 F = sen 60 sen 45 = 0 y@ C CD CE Nodo D DE CD D x F = cos 60 + D = 0 D CD DE x F = sen 60 + D = 0 y@ D CD y D y Nodo E AE BE CE DE F = cos 60 + cos 45 + = 0 E AE BE CE DE F = sen 60 + sen 45 F = 0 y@ E BE CE F

6 En forma de matriz Ax = b cos AB 0 sen AE 0 cos cos BC sen sen BE cos 60 cos CD = sen60 sen CE cos DE sen Ay cos 60 0 cos D x sen 60 0 sen D 100 La solución de este sistema de ecuaciones usando el método de la inversa en Excel se muestra en la página siguiente. Nuestra solución es: y AB BC AE BE CE = 584.6N = 41.4N = 478.9N CD DE y x = 10.9N = 15.5N =8.9N = 492.N A = 41.4N D = 500.0N D =.4N y