TEMA1: CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES.
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- José Antonio Arroyo Aguirre
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1 TEMA: CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES.. Límite en un punto ( a) La condición necesaria y suficiente para que eista el límite de una función en un punto es que eistan los dos límites laterales de la función en dicho punto y que ambos coincidan: f ( ), f ( ) y f ( ) = f ( ) = f ( ) a a a a a Las funciones polinómicas son continuas, luego P( ) = P( a). Así pues, no es necesario calcular límites a laterales, basta con sustituir por a. 9 Ejemplo: 6 = Las funciones racionales P( ) f ( ) = : Q( ). Son continuas en los valores o tales que Q( ), por tanto, Q(a). Ejemplo: = 6 8 P( ) P( a) = a Q( ) Q( a) siempre que. Si se anula el denominador de la función, Q(a)=, y el numerador es distinto de, P(a), el límite puede ser, ó. Es decir, las imágenes de la función no se acercan a ningún valor real a medida que se aproima a a, sino que se hacen infinitamente grandes () o infinitamente pequeñas (). En este caso sí es necesario analizar los límites laterales para concluir uno de las tres situaciones siguientes. f ( ) = f ( ) = f ( ) =, por convenio a a a Gráficamente nos encontramos ante una asíntota vertical en =a. = =, como f ( ) = y f ( ) = = /8 IBR-IES LA NÍA
2 = =, como f ( ) = y f ( ) = = = =, como f ( ) = y f ( ) = =. Si se anulan el numerador y el denominador tenemos la indeterminación que se resuelve factorizando el numerador y el denominador y simplificando la fracción entre el factor (-a). 8 Ejercicio: º). Funciones definidas por intervalos. Debemos calcular límites laterales siempre que el nº a sea un etremo de algún intervalo de definición, ya que tendremos (en general) epresiones diferentes de f() a la izquierda y a la derecha de a. Ejercicios: º) Sea la función [,] [,] si f ( ) =. Calcula: a) f ( ) 9 si b) f ( ) c) f ( ) º) Sea la función si < f ( ) =. Calcula: a) f ( ) si b) f ( ) c) f ( ). Límites en el infinito ( ) Estudiamos el comportamiento de la función cuando toma valores muy grandes ( ) o muy pequeños ( ). Para esos valores de, sólo nos fijaremos en los monomios de mayor grado. Las funciones polinómicas siempre tendrán límite, sólo cabe analizar si es o, según sea el signo del coeficiente a n y la paridad del grado n. ( ) =, ( ) = ( 7 ) =, ( 7 ) = Ejercicio: º) Calcula el valor de los siguientes límites: a) ( ) c) (( )( )) d) 6 b) ( ) /8 IBR-IES LA NÍA
3 Las funciones racionales. Presentan la indeterminación. Recordemos que según el grado de los polinomios tendremos: ± a b n m n m a b n m n m... a a... b b an b m = si si si n = m n > m n < m = 8, = 8 9 = 6, 9 = 6 =, = = = = Ejercicios: º) Calcula el valor de los siguientes límites: 8 6 a) b) c) d) 8 7 e) 8 [] 6º) Calcula a partir de la siguiente gráfica: a) f ( ), f (), f () b) f ( ), f ( ) c) f ( ), f ( ) d) f ( ), f ( ) [-; ; ; -; -; ;; ; -] < 7º) Dada la función f > f ( ) [-7; -6; ; ] 8º) Calcula los siguientes límites: ( ) = < a) [ ], se pide: f ( ), f ( ), f ( ), /8 IBR-IES LA NÍA
4 b) ( ) [] c) = d) 7 6,,,, e) [-/] h) f) ( ) i) g) 6 9 [-] j) ± 9 [/]. Resolución de INDETERMINACIONES Los casos de indeterminaciones que pueden aparecer en el cálculo de límites son: ; De ellas ya conocemos las tres primeras. ; ; ; ; ;.. Se resuelve por dos procedimientos, según sea la función racional o irracional. Si es racional se factorizan los polinomios y se simplifica entre (-a) Si es irracional se multiplica y se divide por el conjugado de la epresión irracional y después se factorizan los polinomios y se simplifica entre (-a). Ejemplo:.. Aparecen al calcular el límite cuando tiende a ±, de algunas funciones racionales y también en cocientes de raíces de polinomios. En general se divide numerador y denominador por la indeterminada de mayor eponente, aunque, en la práctica, podemos aprender la regla citada anteriormente sobre los grados de numerador y denominador.. 8,.. Aparecen al calcular restas de funciones racionales o irracionales. Si es una diferencia de dos funciones racionales la indeterminación se resuelve haciendo la operación indicada. Si es una diferencia de dos funciones, alguna de ellas irracional, se multiplica y se divide por el conjugado. /8 IBR-IES LA NÍA
5 = ( ) = [ ] [-6], = [ ] 6. Se hacen las multiplicaciones o divisiones necesarias y se transforma en o en., 7 6, :. g( ) aparece en límites del tipo [ ] ± f ( ) (Recordemos que en estas funciones la base debe ser positiva). Estos límites se resuelven utilizando el número e. El nº e se define como epresar como h( ) = e, y coincide con cualquier límite que se pueda = e (*), siempre que h() cumpla h( ) =. h( ) Para resolver la indeterminación transformaremos nuestra epresión en una del tipo(*). Ejemplo: = =, indeterminación. Primero transformamos la base, en una epresión del tipo h( ), sumando y 6 restando : = = =, donde la función 6 h( ) = cumple que h( ) =. Ahora necesitamos que esta función h() esté en el 6 eponente: = = = = La epresión que está entre corchetes tiene como límite el nº e, por tanto: = e = e = e /8 IBR-IES LA NÍA
6 Ejercicios: 9º) Calcula los siguientes límites: a. [] b. ( ) = [ ] c. ( ) = [ ] d. e. f. g. ( ) = e 6 [e] [] [] = 8 6 h. [ ] i. = j. 7 [] k. ( 6 ) = [ ] 8 l. = [ ] 7 m. 9 [/] n. ( 8) [e 9 ] o. p. 6 ( ) 6 = q. r. [ ] ( )( )( 7) = 7 [] º) Halla el valor de a para que se cumpla a = e [a=] º) Calcula los valores de a y b para que ( a b ) = [a=b=] 9 m º) Considera la función f ( ) =. Averigua el valor de m para que la función = tenga límite finito en el punto = y calcula el valor de dicho límite.[m=; =6]. 6/8 IBR-IES LA NÍA
7 º) Completa la tabla y destaca los casos en los que se presenta indeterminación. f() g() k.f()* f()g() f()g() f().g() a b a a a f ( ) g( ) [ f ( )] g( ) (a>) (a>) (a>) (a>) LÍMITES / INDETERMINACIONES b b b IMPOSIBLE 6 * k R { } 7/8 IBR-IES LA NÍA
8 LÍMITES DE FUNCIONES (repaso º BACH) ) ( ) ) ) 7 7) 9 ) ) 6) 9) 8 ) 9 ( ) 6) 8) ( ) ) ) 9) ( ) ) 8 8 7) ( ) ) ) ) ) : 8) = ) 7 6 Soluciones: = 8 ) ) 8) ) 6) 7) 9) 8 ) = ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) ) ) 6 ) ) 9 ) 6) 7) - 8) 9) ) - ) - ) -/ ) ) ) 6) 7) 8) 9) ) 6 ) ) 9 ) 8 ) ) ( ) ) 6 8/8 IBR-IES LA NÍA
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