a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'.

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1 .- Dada la función: f(x) = x 9 x a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'..a.- Lo primero que hacemos es buscar el dominio, que al ser el producto de un polinomio (que tiene por dominio todo R) y una raíz, se nos reduce a mirar cuando lo de dentro de la raíz es positivo. Por lo tanto: 9 x 0 Para resolverlo, hacemos la igualdad y tenemos que: 9 x = 0 x = 9 x = + Si nos dibujamos la parábola 9 x, sabemos que cortará al eje en - y + y que estará abierta POR ABAJO (ya que el coeficiente del término de mayor grado es negativo), por lo tanto será así: Así que ya vemos que la desigualdad se cumple para: x [, ] Por lo tanto, ese es el dominio de la función. Para buscar intervalos de crecimiento y decrecimiento, hacemos la primera derivada: f (x) = 9 x + x 9 x ( x) = 9 x x 9 x Si reducimos a común denominador, nos queda:

2 Al igualar a cero tenemos: f (x) = 9 x x = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x = 0 9 x = 0 x = 9 = x = = Si calculamos esos valores tenemos que nuestros candidatos a extremos son: x =, +, Si miramos los signos de la derivada en los tres intervalos que nos generan esos puntos candidatos a extremo tenemos que: Así pues tenemos que la función f(x): decrece en (, Por lo tanto, tiene: f (,5) = 9 (,5) 9 (,5) =, f (0) = 9 (0) 9 (0) = f (,5) = 9 (,5) 9 (,5) =, ) crece en (, ) decrece en (, ) un mínimo en un máximo en Ahora ya sólo nos queda ver el valor de la función es estos dos puntos y en los extremos del intervalo:

3 f( ) = ( ) 9 ( ) = 0 f = 9 = 4,5 f = x 9 x = 4,5 f() = 9 = 0 Por lo tanto, tenemos un mínimo absoluto y relativo en absoluto y relativo en. y un máximo Si nos pidieran que la representáramos sería bastante sencillo ya que se trata de una función impar, es decir, que cumple que: f( x) = ( x) 9 ( x) = x 9 x = f(x) Por lo tanto, será una función simétrica respecto el origen de coordenadas (algo parecido a la función sen x). Al dibujar la función tenemos que:.b.- Para hacer la integral de - a, ya vemos que nos va a dar cero, ya que es una función impar: F(x) = x 9 x dx Hacemos el cambio: 9 x = t x dx = t dt x dx = t dt

4 F(x) = x 9 x dx = t t dt = t = (t ) Al hacer la integral definida tenemos que: = (9 x ) x 9 x dx = F() F( ) = (9 ) (9 ( ) ) = 0 Para calcular el valor total del área encerrada por la curva y el eje x, deberíamos hacer la integral separándola en dos tramos, de - a 0 y de 0 a, pero eso nos dará lo mismo (al ser una función impar) que calcular la integral de 0 a y multiplicar por. Área = x 9 x = = 8 dx = [F() F(0)] = (9 ) (9 0 ).- Dado el siguiente prisma que tiene de base un triángulo rectángulo isósceles: x z x a) Dar la fórmula del área y del volumen. b) Sabiendo que el área es 4, encontrar x y z para que el volumen sea máximo..a.- Las fórmulas del área y del volumen serán: Área de la base = x x = x Área lateral = Perímetro z = x + x + x z = x + z Área Total = S = x + x + z = x + + x z

5 Volumen = V = Área de la base h = x z.b.- Si el área es 4, ya podemos encontrar la relación entre x y z: 4 = x + + x z z = 4 x + x Por lo que el volumen nos queda: V(x) = x z = x (4 x ) 4x x = + x 4 + Si derivamos e igualamos a cero tenemos que: 0 = V (x) = 4 + (4 x ) 4 x = 0 x = + Tomamos el valor positivo y tenemos que el lado del prisma triangular de la base vale =,884. Ahora sólo nos queda calcular z: z = 4 + = = 4 + =,6568 Y ya podemos calcular el volumen máximo: V =,6568 = 6,67.- dada la integral: dx ( + x) x a) Decir por qué es una integral impropia. b) Calculo de la integral. Como ayuda te decían que x=t². c) Decir si converge y a qué valor..a.- La integral es impropia porque lo de abajo de la integral se anula para x = 0, por lo que la función a integrar se hace infinito..b.- Para calcular la primitiva de la integral hacemos el cambio:

6 x = t dx = t dt y además x = t Por lo que nos queda que: F(x) = ( + x) x t dt dx = ( + t ) t = dt = arctan t = arc tan x + t.c.- Ahora ya podemos plantear la integral impropia haciendo el paso al límite: dx = lim ( + x) x ( + x) x dx = lim [F(4) F(a)] = lim arc tan 4 arc tan a =, =, Calcular el Polinomio de Taylor de grado en a=0 de las funciones: f(x) = e + cos(x) x g(x) = ln( + x) x + x a) Calcular el polinomio de Taylor de grado en el entorno de a=0. b) Resolver según los resultados anteriores el limite: f(x) lim g(x) 4.a.- Lo primero es calcular la función y las tres derivadas de cada función y valorarlas en x=0. Empezamos con f(x). f(x) = e + cos x x f(0) = + 0 = 0 f (x) = e sen x f (0) = 0 = 0 f (x) = e cos x f (0) = = 0 f (x) = e + sen x f (0) = Por lo tanto, el polinomio de Taylor de f(x) de grado en a=0 es: Veamos qué pasa con g(x). P, (x) = 0 + 0! x + 0! x +! x = x 6

7 g(x) = ln( + x) x + x g(0) = ln = 0 g (x) = g (x) = + x + x g (0) = + 0 = 0 ( + x) + g (0) = + = 0 g (x) = 0 ( + x) ( ) ( + x) ( + x) = ( + x) g (0) = Por lo tanto, el polinomio de Taylor de g(x) de grado en a=0 es: Q, (x) = 0 + 0! x + 0! x +! x = x 4.b.- Para calcular el límite que nos piden, que si lo hacemos directamente nos da 0/0, podemos resolver la indeterminación usando las aproximaciones encontradas, por lo que tenemos que: f(x) lim g(x) = lim x 6 x = lim 6 =

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