FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables (x 0 ). x ik. x ik 1

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1 1. RESUMEN Ingenieía Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Vaias Vaiables 08-1 Ingenieía Matemática Univesidad de Chile Guía Semana 5 Teoema del valo medio. Consideemos puntos x, y en un conjunto abieto Ω Ê N tales que x, y] := {x + t(y x) / t 0, 1]} (el segmento ente x e y) está contenido en Ω. Sea f : Ω Ê una función difeenciable. Entonces existe ξ ]0, 1 tal que f(y) f(x) = f(x + ξ(y x)) (x y). Regla de la cadena. Sean Ω Ê N, Λ Ê m, abietos, f : Ω Ê m, g : Λ Ê k. Supongamos que f es difeenciable en x 0, que f(x) Λ paa cada x Ω, y que g es difeenciable en f(x 0 ). Entonces la composición g f : Ω Ê N Ê k es difeenciable en x 0 y (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). Si escibimos f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)) y si h(x) = g(f 1 (x),..., f m (x)), se tiene que h m g (x 0 ) = (f(x 0 )) i (x 0 ). j i j j=1 Deivadas de oden supeio. De segundo oden: 2 f (x 0 ) := ( ) (x 0 ). i j i j De oden k: k f i1 i2 ik (x 0 ) := i1 ( i2 ( ik 1 2. EJERCICIOS PROPUESTOS Regla de la Cadena ( ik ) )) (x 0 ). P1.- Sean las funciones de clase C 1, f : Ê 4 Ê, g : Ê 2 Ê, h : Ê Ê, l : Ê Ê 2 y sea: Calcula m m(x, y) = f(g(x, y 2 ), h(xy) + g(y, x), l(h(yx 2 )) y m, explicitando su desaollo tanto como pueda. P2.- Mosta que la función f : Ê 2 Ê definida po: f(x, y) = { sen(x+y) x+y x + y (0, 0) 1 x + y = (0, 0) es difeenciable en Ê 2 y calcula su matiz jacobiana en Ê 2. 1

2 P3.- Ingenieía Matemática Univesidad de Chile a) Suponga que u(τ, x) satisface u τ + u u = 0, sobe una cuva donde la vaiable x se escibe como función difeenciable de τ, paa la cual: dx = u(τ, x) dτ Puebe entonces que u(τ, x(τ)) es constante. b) Sea f : Ê 2 Ê una función difeenciable y g : Ê 3 Ê 2 donde g(x, y, z) = (g 1 (x, y, z), g 2 (x, y, z) con g 1 (x, y, z) = (x, y, z) 2 y g 2 (x, y, z) = x + y + z. Sea h = f g. Puebe que: h 2 = 4 ( ) 2 g ( ) 2 u u g P4.- Sea g = (g 1, g 2 ) : Ê 3 Ê 2 y f : Ê 2 Ê 2 donde g(1, 1, 1) = (2, 3) y Df(2, 3) = ] ] xy y f g(x, y, z) = 2 z 2 x 2 y 2 z Calcule: g 2 (1, 1, 1) P5.- Definimos g(x) = { (x 2 y) 2 y 2 x si 0 < x, 0 < y < x 2 0 si no Sea γ(t) = (t, 1 2 t2 ). Es g γ(t) difeenciable en t = 0?. A pati de la egla de la cadena Qué puede conclui de la difeenciabilidad de g en (0, 0)?. P6.- Si u, v y w son las funciones de (x, y, z) definidas po: u = e x cos(y) v = e x sen(y) w = x + y + z Halla el Jacobiano de (u, v, w) especto al cambio de vaiables en coodenadas esféicas, θ, ϕ; a sabe: x = cos(ϕ)sen(θ), y = sen(ϕ)sen(θ), z = cos(θ) 2

3 P7.- a) Sea f : Ê 3 Ê definida po: f(x, y, z) = que: x + y + z z = 0 (x, y, z) (0, 0, 0) Ingenieía Matemática Univesidad de Chile ( x y+z n. x+y z) Puebe b) Sean f : Ê 2 Ê y g : Ê 2 Ê 2 funciones difeenciables. Se define: z(u, v) = e g(u,v) f2 (u,v). (i) Detemine las deivadas paciales de z. Es z difeenciable? (ii) Si f(u, v) = uv y g(u, v) = 1 v. Compuebe la fomula obtenida en la pate anteio (en donde f y g son difeenciables). P8.- Sean f, g : Ê Ê tales que f y g existen. Sea F(x, y) = f(x+g(y)). Calcula 2 F y 2 F 2 Dónde están evaluadas? P9.- a) Una función f : Ê n Ê se dice homogénea de gado m si satisface que f(tx) = t m f(x) x Ê n, t > 0. Demueste que si f es difeenciable en Ê n y homogénea de gado m, entonces se tiene la identidad: mf(x) = f(x), x, x Ê n. Hint: Deive de dos fomas la función φ(t) = f(tx). b) Un abieto Ω Ê n se dice conexo po caminos si paa todo pa de puntos x, y Ω, existe una función γ : 0, 1] Ê n difeenciable en 0, 1] tal que: γ(0) = x, γ(1) = y y γ(t) Ω t 0, 1], esto es, un camino difeenciable que une los puntos x e y dento de Ω. Demueste que si Ω es conexo po caminos y f : Ω Ê es difeenciable en Ω y tal que f(x) = 0, Ω, entonces f es constante. De un contaejemplo a esta afimación si Ω no es conexo po caminos. Hint: Fije un punto x 0 Ω y considee paa y Ω un camino difeenciable γ(t) con γ(0) = x 0, γ(1) = y. Defina φ(t) = f(γ(t)). Deivadas de oden supeio 3

4 P10.- Sea E = x 2 2 z + 2xy 2 z 2 po: ( y ( y z(x, y) = xϕ + ψ x) x) + y2 2 z Ingenieía Matemática Univesidad de Chile 2 donde z : Ê 2 Ê está definida donde ϕ, ψ : Ê Ê dos veces difeenciables. Detemine el valo de E. Paa los siguientes poblemas considee la definición del laplaciano: Sea f : Ê N R una función 2 veces difeenciable. Se define el laplaciano de f como: N f = i Y la ecuación de Laplace: i=1 f = 0 P11.- Detemine cuales de las siguientes funciones satisface la ecuación de Laplace: a) u(x, y) = x 3 3xy 2. b) u(x, y) = sen(x) cosh(y) (ecuede que cosh(x) = ex +e x 2 ). c) u(x, y) = e x sen(y). P12.- Suponga que u : R 2 R, función dos veces difeenciable, satisface la ecuación de Laplace. Puebe que v(s, t) = u(st, 1 2 (s2 t 2 )) también satisface la Ecuación de Laplace. P13.- a) Calcule el Laplaciano usando el cambio de vaiables en coodenadas cilíndicas: x(, θ, z) = cos(θ), y(, θ, z) = sen(θ), z(, θ, z) = z b) Repita lo anteio peo usando coodenadas esféicas. P14.- Sea u : Ê 2 Ê de clase C 2 (Ê 2 ). Demueste que la ecuación x 2 2 u 2 + y2 2 u 2 + x u + y u = 0 toma la foma 2 u u s 2 = 0 bajo el cambio de vaiables x = e, y = e s. 4

5 3. PROBLEMAS RESUELTOS Ingenieía Matemática Univesidad de Chile P15.- Sean f(x, y) y g(x, y) 2 funciones difeenciables a valoes en Ê. Sean ahoa u y v definidas po: u(, ϕ) = cos(ϕ)f( cos(ϕ), sen(ϕ)) + sen(ϕ)g( cos(θ), sen(θ)) v(, ϕ) = sen(ϕ)f( cos(ϕ), sen(ϕ)) + cos(ϕ)g( cos(θ), sen(θ)) Puebe que: + v + 1 u Solución: ϕ = g g( cos(θ), sen(θ)) ( cos(θ), sen(θ)) Calculemos los téminos involucados en el lado izquiedo: = sen(ϕ) = v = sen(ϕ) f + cos(ϕ) g 1 u ϕ = 1 = sen(ϕ) g g cos(ϕ) + ] cos(ϕ) + sen(ϕ) + cos(ϕ) sen(ϕ) cos(ϕ) sen2 (ϕ) + g cos2 (ϕ) + g ] sen(ϕ) cos(ϕ) sen(ϕ) { ] sen(ϕ)f + cos(ϕ) ( sen(ϕ)) + ( cos(ϕ)) ]} cos(ϕ)g + sen(ϕ) g g ( sen(ϕ)) + ( cos(ϕ)) f cos(ϕ) g + sen(ϕ) cos(ϕ) cos2 (ϕ) + g sen2 (ϕ) g sen(ϕ) cos(ϕ) Finalmente, basta suma todas las expesiones anteioes paa obtene: + v + 1 u ϕ = g Es necesaio tene en cuenta que en ésta expesión tanto g como están en función de las vaiables y ϕ (como se pedía en el enunciado). P16.- (P3 C2 OT 2007, M. del Pino) La tempeatua T(x, y) en equilibio, en una egión Ω de Ê 2 satisface en condiciones ideales la ecuación de Laplace. Suponga que Ω es la egión anula: Ω = {(x, y) 1 < x 2 + y 2 < 4} y que se sabe que la tempeatua es una función que sólo depende de la distancia al oigen, esto es T(x, y) = u( x 2 + y 2 ) paa una 5

6 Ingenieía Matemática Univesidad de Chile función u() dos veces deivable en 1, 2]. Si adicionalmente se conoce la tempeatua en la fontea de esta egión: u(1) = T 1, u(2) = T 2 se le pide enconta la tempeatua en todo punto de Ω. Hint: Mueste que u() satisface la ecuación difeencial odinaia: u () + u () = 0, 1, 2] Solución: Calculamos las deivadas paciales de T usando la egla de la cadena, que es posible utiliza pues la noma es difeenciable paa (x, y) 0. Nota además que como la función es simética basta calcula las deivadas paciales con especto a una componente: 2 T 2 = u ( x 2 + y 2 ) T = u ( x 2 + y 2 x ) x2 + y 2 ( ) 2 x + u ( x2 + y 2 x 2 + y 2 ) x 2 +y 2 x 2 + y 2 = u ( x 2 + y 2 ) x 2 x 2 +y 2 + u ( x 2 + y 2 ) Entonces el Laplaciano de T satisface: u ( x 2 + y 2 ) + u ( x 2 + y 2 ) y 2 x 2 +y 23 1 x2 + y 2 = T = 0 x2 x 2 +y 2 Como x 2 + y 2 ecoe todos los valoes en (1, 2), la ecuación difeencial odinaia: u () + u () = 0, 1, 2] es válida, con lo que se pueba el hint. Ahoa utilizaemos factoes integantes paa esolve esta E.D.O., multiplicando la ecuación po : 0 = u () + u () = (u ()) Po lo tanto u () = cte. = A. Dividiendo po e integando nuevamente: u() = A ln() + B con A y B constantes a detemina po las condiciones en los bodes. Recodamos que: T 1 = u(1) = A ln(1) + B = B, T 2 = u(2) = A ln(2) + B Finalmente: B = T 1 y A = T2 B ln(2) y: u() = T 2 B ln(2) ln() + T 1 = T(x, y) = T 2 B ln(2) ln( x 2 + y 2 ) + T 1 6