a) sen(2t) cos(2t). b) 4sent cost. c) Si una función z = f(x, y) tiene plano tangente en un punto ( )

Transcripción

1 Diferenciabilidad de fnciones de dos variables - Sea = f(,) na fnción real de variable real, se verifica qe: a) Si f admite derivada direccional en n pnto P en calqier dirección, entonces f es diferenciable en P b) Si f es diferenciable en P, entonces f es contina en P c) Si f es contina en P, entonces f admite derivada direccional en P en calqier dirección = sent - Sea la sperficie de ecación = Si es la ecación de na crva plana = cost d contenida en Dom, entonces la derivada (de la fnción a lo largo de la crva) es: a) sen(t) cos(t) b) 4sent cost c) 3- Si na fnción = f(, ) tiene plano tangente en n pnto asegrarse qe: a) f es diferenciable en (a, b) b) f es na fnción acotada en R a, b R, pede c) Las derivadas parciales de f son continas en (a, b) 4- Sea na fnción = f(,) La derivada parcial de f respecto de en n pnto calqiera (, ), cando eiste, es: a) lím f (, ) + f +, f(, ) b) lím f (, + ) f(, ) c) lím 5- Sea F(,, ) = na epresión algebraica qe define de forma implícita la fnción = f(, ) Entonces, el vector gradiente f viene dado por: F F F a),, F F b), F F F F c), F F 6- Sea = f(, ) na fnción diferenciable en n pnto (, ) de s dominio se verifica, entonces, qe: D R, Unidad docente de Matemáticas

2 f ( a), ) f (, ) f (, )(, ) lim (, ) (, ) ( ) + ( ) b) f (, ) = f (, ) + f (, )(, ) c) Ningna de las anteriores 7- Sea la fnción = el cambio de variables = sent, = cost, entonces: d a) = cost sent = cos(t) d b) = sent cost = d c) = cos(t) 8- La epresión = define a como fnción implícita de e La derivada parcial de respecto de en el pnto (, -) vale: a) b) 3 c) 3 9- Cál de las sigientes afirmaciones es la verdadera? a) Una fnción = f(, ) pede ser diferenciable en n pnto no ser contina en él b) Una fnción = f(, ) pede tener derivadas direccionales en n pnto no ser contina en él c) Una fnción = f(, ) pede ser diferenciable en n pnto no tener derivadas parciales en él - Sea N el número de almnos matriclados en na Universidad, p el coste de mantenimiento t el coste de la matrícla Spongamos qe N es na fnción de p t tal N N qe < < Qé se pede conclir del eco de ser ambas derivadas p t parciales negativas? a) N dismine al amentar p t b) N dismine al disminir p t c) N amenta al amentar p t 3 - La ecación = define a como fnción implícita de e La crva de nivel para = es: a) Una parábola b) Una ipérbola c) Dos rectas secantes - La fnción f (, ) = e verifica: a) Es creciente en para cada > fijo b) Es decreciente en para cada > fijo c) Ss crvas de nivel son elipses = Unidad docente de Matemáticas

3 3- Sea =f(,) na fnción diferenciable Con el cambio a coordenadas polares = rsenα, se verifica qe: = rcos α a) = rsenα + r cos α α α α b) = cos α + s enα r c) Ningna de las anteriores 4- Sea =f(,) na fnción real de dos variables reales, se verifica: a) Si f es diferenciable en n pnto P, entonces f es derivable en calqier dirección es contina en P b) Si f es contina en n pnto P eisten las derivadas parciales de f en dico pnto, entonces f es diferenciable en P c) La eistencia de derivadas parciales de f en P f es contina en P f es diferenciable en P 5- Si -= es na crva de nivel de la sperficie =f(,), se verifica: a) Los pntos de la parábola de vértice (-,) el eje OX tienen igal cota, Domf b) f(,)= para calqier pnto c) Ningna de las anteriores 6- Sea = f(,) na fnción real de variable real, se verifica qe: f f a) f es contina en (a,b) Eisten ( a,b) ( a,b) f es diferenciable en (a,b) f f b) f es diferenciable en (a,b) f es contina en (a,b) eisten ( a,b) ( a,b) c) Ningna de las anteriores 7- Sea =f(,) na fnción real de dos variables reales Se verifica: a) Si f es contina en n pnto P, entonces admite derivada direccional en P en calqier dirección b) Si f admite derivadas direccionales en P en calqier dirección, entonces f es contina en P c) Si f es diferenciable en P, entonces, en dico pnto f es contina admite derivadas direccionales en calqier dirección 8- Sea =f(,) na sperficie calqiera diferenciable en P (,, ), sea P (,, ) otro pnto de dica sperficie próimo a P Entonces: a) Δ = f(p) f(p ) f ( P) PP Δ = f(p ) f(p ) f P P P b) c) Δ = f(p ) f(p ) = df ( P ) PP 9- La ecación del plano tangente a na sperficie =f(,) en n pnto P =(3,4,-5) de la f P = (,), es: misma, sabiendo qe a) ++-6= b) ++-6= c) +--6= - La derivada direccional de na fnción =f(,) en n pnto P(, ) en la dirección de n vector se obtiene mediante la epresión: Unidad docente de Matemáticas 3

4 a) f( P) b) f( P) c) f P f P - Sea =f(,) na fnción real de dos variables reales Se verifica: a) f contina f diferenciable f derivable en calqier dirección b) f diferenciable f derivable en calqier dirección f contina c) f contina f derivable en calqier dirección f diferenciable - Sea =f(,) na fnción contina en (, ) qe admite derivadas parciales en dico pnto Se verifica: a) f es diferenciable en (, ) b) Eiste el plano tangente en (,, ) s ecación es f f = ( ) + ( ) c),,,, lim f, = f (, ) + e 3- Sea =f(,)=, sea = (,) La derivada direccional de f en el pnto (,) + e según la dirección de vale: a) / b) /4 c) ¾ 4- Sea =f(,) na fnción real de dos variables reales Señalar cál de las afirmaciones sigientes es FALSA: f f a) f es contina en (a,b) Eisten ( a,b) ( a,b) f es diferenciable en (a,b) f f b) f es diferenciable en (a,b) f es contina en (a,b) eisten ( a,b) ( a,b) f f c) continas en (a,b) f es diferenciable en (a,b) 5- Cál de las sigientes interpretaciones geométrica es FALSA para na fnción =f(,)? a) Si f es diferenciable en (a,b), entonces, eiste el plano tangente en dico pnto está próimo a f(,) en n entorno de (a,b) f b) La derivada direccional ( a,b) mestra cómo varía la fnción f a lo largo de la recta qe pasa por (a,b) tiene la dirección del vector c) El gradiente de f en (a,b) es n vector paralelo a la crva de nivel qe pasa por dico pnto 6- Sea =f(,) na fnción qe cmple las ipótesis del teorema de Swart NO podemos afirmar qe: a) f es diferenciable '' '' b f f = Unidad docente de Matemáticas 4

5 c) f f + = 7- Sea = f(, ) na fnción diferenciable en n pnto P (, ) f(,) f(,) f( P)(, ) a) (, ) (, ) ( ) + ( ) lim = Domf, entonces: b) Eisten las derivadas parciales de la fnción son continas c) el plano tangente a la fnción en P es perpendiclar al eje 8- Si la ecación F(,,)= define a como fnción implícita de e, entonces: F/ F/ a) = = F/ F/ F/ b) = F/ F/ = F/ F/ F/ c) = = F/ F/ 9- Sea = f(, ) na fnción qe admite derivada direccional en calqier dirección en n pnto P Entonces, la dirección de máimo crecimiento de f en P viene dada por: a) = ( P, P ) b) = ( P, P ) c) = ( P, P ) 3- Cando eiste la derivada direccional en n pnto P de na sperficie = f(, ), se verifica qe es máima en la dirección del gradiente f (P) a) s valor es f (P) es nla en la dirección opesta - f (P) b) s valor es f (P) es mínima en la dirección opesta - f (P) con valor - f (P) c) s valor coincide con él 3- Cál de las sigientes afirmaciones es la verdadera? a) Una fnción = f(, ) pede ser diferenciable en n pnto no ser contina en él b) Una fnción = f(, ) pede tener derivadas direccionales en n pnto no ser contina en él c) Una fnción = f(, ) pede ser diferenciable en n pnto no tener derivadas parciales en él 3- Sea = f(, ) na fnción con derivadas parciales continas en P sea n vector nitario de R, entonces: a) El valor de la derivada direccional f (P, ) es f ( P) b) Si f ( P), el valor de la derivada direccional f (P, ) es mínimo Unidad docente de Matemáticas 5

6 , el valor de la derivada direccional f (P, ) es, o bien máimo, o bien mínimo 33- Sea = f(, ) na fnción diferenciable en P Entonces: c) Si f ( P) a) Eiste f ( P) b) f posee derivadas parciales continas en P c) f ( P) f ( P) = 34- Sea = f(,) na fnción diferenciable con gradiente no nlo en n pnto P(a,b) Domf La derivada direccional de f en P en la dirección de n vector es nla si verifica: a) Los vectores f ( P) son paralelos b) f ( P) c) Los vectores f ( P) son nitarios 35- Sea = f(,) na fnción con derivadas parciales continas asta el orden 3 en n pnto P Se verifica qe: a) f es diferenciable en P b) f ( P ) f ( P ) = c) f pede ser discontina en P 36- Si es tangente a la crva de nivel en n pnto P de na sperficie diferenciable = f(, ), entonces a) f( P) = b) f( P) = c) f ( P) son paralelos 37- Sea = f (, ) na fnción diferenciable en el pnto P(a, b) Se verifica qe: a) Si f ( a,b) =, entonces la derivada direccional de f en P en calqier dirección vale b) La dirección de la crva de nivel en P es la del vector ( a,b) f c) Ningna de las anteriores 38- Sea = f(,) na fnción con derivadas parciales continas en P(, ), entonces, la dirección de la crva de nivel de f qe pasa por P viene dada, en dico pnto P, por: a) La dirección del vector f(p ) b) La dirección del vector - f(p ) c) La dirección de calqier vector ortogonal a f(p ) 39- Sea = f(, ) na fnción qe admite derivadas parciales en n pnto P Se verifica: a) f admite derivada direccional en P en calqier dirección b) f es contina en P c) Ningna de las anteriores = g(, v) 4- Un cambio de variables en la fnción diferenciable = f (, ), verifica: = (, v) Unidad docente de Matemáticas 6

7 Unidad docente de Matemáticas 7 a) g + = b) v g + = c) Ningna de las anteriores