Problemas de Decisión

Transcripción

1 Problemas de Decisión La motivación de este capítulo puede estar dado por lo siguiente: Dado un conjunto Σ de fórmulas proposicionales en L(P ), existe un algoritmo general para determinar si Σ = ϕ Qué pasa si la pregunta la hacemos para el caso de fórmulas de primer orden? Qué esperamos de un algoritmo que resuelva los dos problemas anteriores? El tipo de algoritmos a los que nos referimos son conocidos como algoritmos de decisión, ya que son usados para decidir, dando una respuesta afirmativa o negativa. En nuestro ejemplo, queremos construir un algoritmo que, dada una fórmula arbitraria de L(P ), ϕ, y un conjunto de fórmulas en el mismo lenguaje, nos diga si Σ = ϕ El algoritmo se ve como la siguiente máquina: Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 223

2 Sí Σ, ϕ Algoritmo No Si a esta máquina le pasamos como entrada cualquier par Σ, ϕ, responderá SÍ si Σ = ϕ y NO si Σ = ϕ. Alternativamente, si consideramos que Σ, ϕ se puede representar como una palabra, entonces esta máquina sirve para decidir la pertenencia de una palabra arbitraria al lenguaje: L = { Σ, ϕ Σ L(P ), ϕ L(P ), Σ = ϕ} En general, un problema de decisión cualquiera se puede representar por un lenguaje. Cuál es el lenguaje asociado al siguiente problema de decisión? Dados dos números enteros arbitrarios x e y, son ellos soluciones para la ecuación 3x 2y = 0? Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 224

3 El lenguaje debe contener una codificación para todas las posibles instancias de la pregunta. Una instancia de la pregunta es: son x = 2 e y = 3 soluciones para la ecuación? Cuál es el lenguaje para el siguiente problema? Dada una fórmula arbitraria ϕ de lógica proposicional, es ϕ una tautología? Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 225

4 Problemas Decidibles Dado un problema de decisión cualquiera P, con un lenguaje asociado L, diremos que P y L son dedicidibles, si es que es posible encontrar un algoritmo tal que, dada cualquier entrada w pueda responder SÍ, si w L y NO si w L. Gráficamente el algoritmo se ve de la siguiente manera: Algoritmo w L Sí w w L No Para analizar cuándo un problema es decidible, necesitamos modelar, en forma matemática, qué es un algoritmo. Más precisamente, lo que haremos será dar un modelo matemático para un computador. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 226

5 Máquinas de Turing Las máquinas de Turing (en honor a Alan Turing, figura 2) son un modelo matemático de un computador. Figure 2: Alan Turing, inventor de un modelo matemático para los computadores Una Máquina de Turing (MT) es una máquina de estado que posee una cinta infinita en la cual se puede leer y escribir. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 227

6 La máquina tiene los siguientes elementos: Un conjunto finito de estados Q. Un alfabeto de entrada Σ (conjunto finito de símbolos que podría tener una entrada w). Un alfabeto de la cinta Γ (conjunto finito de símbolos en la cinta). Un estado inicial q 0 (q 0 Q). Una función de transición δ que especifica, dado un estado y un símbolo leído desde la cinta: el símbolo que se escribirá sobre la posición de la cinta en la cual la cabeza se encuentra, y si ésta se moverá a la derecha o a la izquierda. Un conjunto de estados finales Q F Q. Formalmente, es un mapeo desde Q Γ hasta Q Γ {+, } La función δ se puede describir como una tabla. La siguiente podría ser una definición para δ. Estado/Símbolo a b c b q 0 (q NO, a, +) (q 0, b, +) (q 1, c, +) (q NO, b, +) q (q SI, b, +) q NO q SI Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 228

7 Aquí, significa que la máquina se mueve a la izquierda y +, que se mueve a la derecha. La máquina puede ser alimentada con una palabra de entrada w, que se coloca al comienzo de la cinta. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 229

8 La siguiente figura muestra una MT que recibe como entrada a la palabra w = a 0 a 1 a n. a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a n b b b b... cinta infinita... cabeza lectora/escritora Máquina de Estado A partir del símbolo que la MT lee desde la entrada determina qué símbolo escribe sobre la cinta, y en qué dirección moverse. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 230

9 Si no está definida la movida de la máquina entonces diremos que la máquina se ha detenido. Si la máquina se detuvo en un estado final, diremos que la máquina acepta (o dice sí). En caso contrario, diremos que la máquina no acepta. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 231

10 Supongamos una MT definida por: Ejemplo de MT Q = {q 0, q 1, q SI, q NO }. Γ = {a, b, c, b} Q F = {q SI }. Estado/Símbolo a b c b q 0 (q NO, a, +) (q 0, b, +) (q 1, c, +) (q NO, b, +) q (q SI, b, +) q NO q SI Qué lenguaje acepta esta máquina? Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 232

11 MT como computadoras de funciones También es posible ver a las MTs como máquinas computadoras de funciones. En este caso, la palabra de entrada codifica al (o los) argumento. Al terminar la ejecución, la máquina ha escrito en su cinta el resultado de la función. Si la función está definida para cualquier entrada, entonces decimos que es una función recursiva. Si no está definida para todas las entradas decimos que es una función recursiva parcial. Tesis de Church-Turing o Hipótesis de Church: Las funciones computables corresponden precisamente a la clase de funciones recursivas parciales Esta hipótesis no se puede demostrar pues el término computable no es formal (no está definido en términos matemáticos) sino que es intuitivo. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 233

12 Un problema indecidible Al ingresar una entrada arbitraria a una MT, pueden ocurrir 3 cosas: Que la máquina se detenga, aceptando (dice SÍ). Que la máquina se detenga, no aceptando (dice NO). Esto ocurre cuando la máquina queda en un estado no final, en el cual no puede realizar más transiciones. No se detiene (no dice nada), es decir, queda ejecutando transiciones eternamente. Si un problema P es decidible, podremos construir una máquina en la cual sólo puedan ocurrir los dos primeros casos y nunca el tercero. Como una MT se puede representar por un número finito de elementos, podemos suponer que esta representación se puede codificar como un string. De esta manera #(M) representará la codificación de una máquina M. Supongamos el siguiente problema de decisión: Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 234

13 Dada una máquina arbitraria M, es cierto que M no acepta su propio código? El lenguaje asociado a este problema es el siguiente 9 : L d = {#(M) M(#(M)) no acepta} Supongamos L d es decidible y que M d acepta a L d. Qué sucede si alimentamos a M d con #(M d )?. Sólo hay dos posibilidades, que diga SÍ o que diga NO. Supongamos que dice SÍ. En este caso tenemos que #(M d ) L d, por lo que M d (#(M d )) no acepta, por definición. no puede decir SI, lo que contradice nuestra suposición inicial. Supongamos que dice que NO. 9 M(w) se usa para decir que M es alimentada con w Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 235

14 En este caso tenemos que #(M d ) L d, con lo que, por definición, M d (#(M d )) dice SI, que nuevamente contradice la suposición inicial. El hecho que no podamos ni decir SÍ ni decir NO significa que tampoco podemos decidir el siguiente lenguaje: por qué? L d = {#(M) M(#(M)) acepta} Podemos concluir de esto que un algoritmo de tales características no puede existir. El siguiente problema también es indecidible: Dada una máquina M y una palabra w, para M alimentada w? El lenguaje asociado a este problema es el siguiente: L u = { #(M), w M(w) para} Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 236

15 Suponiendo que tal algoritmo existe construiremos un algoritmo M para decidir L d. Supongamos M que, dada la codificación de una máquina M, entrega el código de una máquina M 0 que dice SI para las mismas entradas que M, pero que no para cuando M dice que NO y cuando M no para. Construir ese algoritmo es sencillo, lo que debemos hacer es copiar la función de transición y estados de M a M 0. Además, agregamos a M 0 un estado adicional, q l. Para cada estado no final que no tenga una transición a ningún otro estado en un símbolo cualquiera a, agregamos a δ una transición a q l. q l será un estado en el cual la máquina entra en un loop infinito. La máquina resultante M 0 funciona igual que M, con la diferencia que cada vez M dice NO, M 0 entra en un loop infinito. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 237

16 El siguiente esquema muestra un algoritmo para aceptar L d. Algoritmo que decide L d #(M) Máquina M #(M 0 ), #(M) Algoritmo que decide Lu Si Si No No Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 238

17 Reducción Es interesante que analicemos un poco más el método que utilizamos en la solución del problema anterior. Para demostrar que el lenguaje L u es indecidible, supusimos que existía una algoritmo para decidir L u y luego demostramos que podíamos construir otro algoritmo para decidir L d. En otras palabras, hemos transformado un problema en el otro. En términos abstractos, para decidir la pertenencia de una palabra w a L d, nuestra máquina transforma dicha palabra a través de una función, digamos f( ), y luego se pregunta por la pertenencia de f(w) en L u. La función f( ) es computable y se puede computar para cualquier entrada. Cada vez que podamos determinar tal función y que se cumpla que w L 1 ssi f(w) L 2 Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 239

18 Diremos que L 1 es reducible a L 2, o bien, L 1 L 2 En nuestro caso sabemos que L d L u. Nótese que la salida de M u y M d están intercambiadas. La forma más sencilla de entender L 1 L 2 es recordando que: Si podemos decidir L 2 entonces podemos decidir L 1. o equivalentemente, Si no podemos decidir L 1 entonces no podemos decidir L 2. Ejercicio: Demuestre, por reducción, que el problema de determinar si una máquina de Turing acepta el lenguaje vacío es indecidible. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 240

19 Lenguajes Recursivos y Recursivamente Enumerables Hemos visto que si L es un lenguaje decidible, existe una máquina M que siempre se detiene y que responde si una palabra cualquiera w pertenece a L. Los lenguajes decidibles también son conocidos como lenguajes recursivos Sin embargo, existe una calificación menos restrictiva. Un lenguaje L es recursivamente enumerable si existe una MT M, cuando es alimentada con alguna palabra w L, se detiene diciendo SÍ. El comportamiento no está definido cuando w L. Una máquina que decide un lenguaje recursivamente enumerable se ve de la siguente manera: Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 241

20 MT w L Sí w El problema de la parada de una máquina de Turing es recursivamente enumerable. En efecto, podemos construir una máquina M que recibe un par #(M), w y simula la ejecución de M con w. Si M se detiene con w responde SI. De la definición de lenguaje recurisivamente enumerable, se obtiene claramente que todo lenguaje recursivo (decidible) es recursivamente enumerable, ya que un lenguaje recursivo es un caso particular de los lenguajes recursivamente enumerables. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 242

21 Por qué enumerable? El concepto de enumerabilidad recursiva nace del hecho de que, si se tiene un lenguaje recursivamente enumerable, es posible construir una MT que corre sin entrada y que genera como salida a todas las palabras del lenguaje. Evidentemente, esta máquina no para si el lenguaje es infinito. De todas formas tenemos como garantía que toda palabra w del lenguaje es generada como salida en tiempo finito. La máquina que genera esta salida es una máquina enumeradora. Supongamos que tenemos una máquina M que acepta un lenguaje recursivamente enumerable, L. Cómo construimos una máquina enumeradora para L? La idea es numerar todas las posibles entradas, de tal forma que w 0, w 1,... son todas las posibles entradas. Primer intento: Simulamos a M alimentada con w 0. Si M acepta a w 0 se anota en la cinta como salida. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 243

22 Escribimos un # (que se usa solamente como separador) y seguimos con w 1. Qué pasa si M no para con w i? No podremos seguir generando las palabras que vienen a continuación. Segundo intento: Recorrer la siguiente matriz: w 0 w 1 w (1, w 0 ) (1, w 1 ) (1, w 2 ) 2 (2, w 0 ) (2, w 1 ) (2, w 2 ) 3 (3, w 0 ) (3, w 1 ) (3, w 2 ).... De tal forma que para cada par (i, w j ) nuestra máquina simula i movidas de M con entrada w j. Si M acepta en a lo más j movidas, escribe la salida en la cinta. El recorrido se realiza de tal manera que i + j = constante. Es decir, se recorren primero los pares (i, w j ) tales que i + j = 1, luego los pares con i + j = 2 y así sucesivamente. Con esto garantizamos que en tiempo finito recorreremos todas las palabras posibles, tardando un tiempo finito con cada una de ellas. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 244

23 Eventualmente, todas las palabras de L aparecerán en la cinta de salida. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 245

24 Indecidibilidad de Lógica de Predicados Hasta ahora hemos visto que todas las propiedades que se cumpĺıan en lógica proposicional, también se cumplen en lógica de primer orden. Consideremos el siguiente problema de decisión: Dada una fórmula proposicional arbitraria ϕ, es ϕ una tautología? Claramente este problema es decidible, porque podemos construir un algoritmo que haga un tabla de verdad y verifique que la fórmula es verdadera para todas las valuaciones posibles. Qué hacemos para el caso de primer orden? No podemos usar tablas de verdad! Supongamos el siguiente lenguaje: V U = {ϕ L(S) = ϕ} Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 246

25 En 1936 Turing y Church demostraron que este lenguaje es indecidible. Esto se da dado que es muy sencillo escribir una oración de primer orden ϕ M,w que describe el comportamiento de una Máquina de Turing al recibir una palabra w como entrada. La fórmula es universalmente verdadera si y sólo si la máquina acepta a w. La idea de la demostración es representar las palabras como funciones del lenguaje. Así, la palabra abbc se anota como a(b(b(c(ɛ)))) 10. Para describir el comportamiento de la máquina se define un predicado F q por cada estado q de la máquina tal que F q (x, y) es verdadero cuando la máquina se encuentra en el estado q con su cabezal sobre el primer símbolo de y y con la palabra x r y sobre la cinta 11. Sea M una máquina cualquiera, con q 0 su estado inicial y q f un estado final. Si δ(q, a) = (p, b, +) entonces la siguiente fórmula debe ser verdadera: 10 ɛ representa a la palabra vacía. 11 x r es el reverso de la palabra x x y (F q (x, a(y)) F p (b(x), y)) Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 247

26 Si δ(q, a) = (p, b, ) entonces las siguientes fórmulas deben ser verdaderas: para todo c Σ. x y (F q (c(x), a(y)) F p (x, c(b(y))), Finalmente, se agregan fórmulas similares para cuando la máquina se encuentra al final de la entrada o al principio de la cinta (las omitimos). Sea ψ la oración que corresponde a la conjunción de las fórmulas ya mencionadas más algunos axiomas de nombres únicos, entonces, M acepta a w si la siguiente fórmula es universalmente verdadera: F q0 (ɛ, w) ψ x y F qf (x, y), con w escrita en la notación requerida, forman una oración que es universalmente verdadera sí y sólo sí M para con la entrada w. Sin duda, este lenguaje es recursivamente enumerable, por, al menos, dos razones conocidas. Cuáles son ellas? Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 248

27 Por reducción podemos demostrar que el problema de determinar si una fórmula arbitraria es satisfactible también es indecidible. Cómo podemos demostrarlo? Si tenemos un algoritmo para verificar si una fórmula arbitraria es satisfactible, podemos construir un algoritmo para verificar si una fórmula ϕ es universalmente válida de la siguiente manera. Alimentamos el algoritmo con ϕ. Si el algoritmo dice SÍ, respondemos NO, y si dice NO, respondemos SÍ. Esto se puede hacer porque una fórmula ϕ es universalmente verdadera sí y sólo sí ϕ es insatisfactible. Podríamos establecer todas estas equivalencias: ϕ es universalmente válida ϕ es insatisfactible. ϕ es universalmente válida ϕ es insatisfactible. ϕ no es universalmente válida ϕ es satisfactible. Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 249