Lección 6: EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS

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1 Lección 6: EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS 1.- ÁLGEBRA. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y LENGUAJE ALGEBRAICO ÁLGEBRA es la parte de las matemáticas que estudia las expresiones algebraicas. EXPRESIÓN ALGEBRAICA es la expresión matemática que combina operaciones con números y letras. Las letras representan valores desconocidos (incógnitas) o indeterminados (variables). LENGUAJE ALGEBRAICO es el lenguaje que permite expresar situaciones problemáticas de la vida corriente con una expresión algebraica. El lenguaje algebraico contempla las siguientes normas: - La x es la letra más empleada como variable o incógnita. - En Álgebra queda prohibido la cruz en aspa (x) como signo de multiplicar. Se empleará cuando sea preciso el punto ( ). En los monomios (productos de un número por una o varias letras) no se expresa el signo de multiplicar. - En cada monomio se expresará primero el factor numérico y después los factores literales ordenados alfabéticamente. - El producto de varios factores literales iguales se expresarán en forma de potencia. - Las divisiones en Álgebra se suelen expresar en forma de fracción. Algunos ejemplos de enunciados verbales expresados con lenguaje algebraico utilizados con cierta frecuencia son los siguientes: Un número cualquiera: x ó n Un número par cualquiera: x ó n También es: El doble de un número Un número impar cualquiera: x + 1 ó n + 1 También: x 1 ó n 1 El triple de un número: x La mitad de un número: El cuadrado de un número: x El cubo de un número: x La mitad de, un número más uno: La mitad de un número, más uno: El triple de un número, menos uno: x 1

2 El lenguaje algebraico sirve para expresar: - Propiedades generales de las operaciones. La propiedad distributiva dice: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. Esta propiedad se puede traducirla al lenguaje algebraico con la siguiente expresión: a (b + c) = a b + a c Siendo a, b y c tres números cualquiera. - El término general de una serie numérica (término enésimo). a1 a a a4 a5 an (n 1) n (1-1) 1 ( -1) ( -1) (4-1) 4 (5-1) 5 - Una fórmula matemática: La fórmula que expresa el interés bancario: El interés (I) es igual al producto del capital (c) por el rédito (r) y por el tiempo (t), partido por 100. Se expresa con la siguiente expresión algebraica conocida como la fórmula del interés simple: PERÍMETROS Y ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS (Escribe con una expresión algebraica las fórmulas del área y del perímetro de cada figura descrita) POLÍGONOS ALTURA h Figuras planas formadas por varios ángulos a c TRIÁNGULOS: Polígonos de tres lados y tres ángulos. - Su perímetro, P, es igual a la suma de sus tres lados, a, b y c. BASE b - Su área, S, es igual a la mitad del producto de su base, b, por su altura, h. CUADRILÁTEROS: Polígonos de cuatro lados y cuatro ángulos. Pueden ser: PARALELO GRAMOS Tienen los lados enfrentados paralelos. Su perímetro, P, es igual a la suma de sus lados.

3 Su área, S, igual al producto de su base por su altura. CUADRADO: Tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. Su perímetro, P, es igual al cuádruple de su lado, l. Su área, S, es igual al cuadrado de su lado. LADO l LADO l RECTÁNGULO: Tiene los lados paralelos iguales y los cuatro ángulos rectos. Su perímetro es igual al doble de la suma de su base, b, y de su altura, a. Su área es igual al producto de su base por su altura. ALTURA a BASE b ROMBO: Tiene los cuatro lados iguales y los ángulos enfrentados iguales y ninguno recto. Su perímetro es igual al cuádruple de su lado, l. ALTURA h Su área es igual al producto de su base por su altura. l BASE b Su área también es igual a la mitad del producto de sus diagonales, D y d. Una diagonal es el segmento que une dos vértices no consecutivos. Los cuadriláteros tienen dos diagonales. DIAGONAL D DIAGONAL d

4 ROMBOIDE: Tiene los lados paralelos iguales y sus ángulos enfrentados iguales y ninguno es recto. Su perímetro es igual al doble de la suma de dos de sus lados contiguos, a y b. Su área es igual al producto de su base, b, por su altura, h. h a ALTURA. BASE b SEMIPARALELOGRAMOS Solo tienen dos lados enfrentado paralelos. Los otros dos no. TRAPECIOS: Pueden ser: ISÓSCELES RECTANGULAR ESCALENOS Su perímetro, P, es igual a la suma de sus lados, a, b, c y B. Su área, S, es igual a la mitad del producto de la suma de sus bases por su altura. BASE MENOR b BASE MENOR b LADO a ALTURA h c h ALTURA BASE MAYOR B BASE MAYOR B POLÍGONOS REGULARES DE MÁS DE CUATRO LADOS Un polígono regular es el que tiene todos sus lados iguales. Su perímetro P es igual al producto del número de lados del polígono por lo que mide cada uno de ellos. La apotema, ap, es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cualquiera de sus lados.

5 No se debe confundir con el radio, r, que une el centro con cualquiera de los vértices del polígono. En el hexágono regular, radio es igual al lado. APOTEMA ap APOTEMA ap r Su área, S, es igual a la mitad del producto de su perímetro, P, por su apotema, ap CIRCUNPERENCIA Y CÍRCULO El perímetro de un círculo es la longitud de su circunferencia. La longitud de una circunferencia es igual al doble del producto del número radio. ( 14 ) por el RADIO r El área de un círculo es igual producto del número por el cuadrado de su radio. ARCO DE CIRCUNFERENCIA La longitud de un arco de circunferencia de n grados de amplitud es igual al producto de la trescientas sesentava parte de la longitud de la circunferencia por la amplitud del arco. RADIO r nº r SECTOR CIRCULAR Es la porción de círculo comprendida entre un arco de circunferencia y los radios que lo limitan.

6 nº r r El perímetro de un sector circular es igual a la suma de la longitud del arco y el doble del radio. El área de un sector circular es igual al producto de la trescientas sesentava parte de la superficie del círculo por la amplitud del arco que lo forma. SEGMENTO CIRCULAR Es la porción de círculo comprendida entre una cuerda y el arco que la abarca. c r nº r El perímetro es igual a la suma de la longitud del arco y la longitud de la cuerda, c. El área es igual a la diferencia entre el área del sector que lo contiene y el área del triángulo que forman la cuerda y los radios que la limitan. ======================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 76 del libro la cuestión 1, Expresiones algebraicas, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 1.- Página 76, actividad 1..- Página 76, actividad..- Página76, actividad.

7 4.- Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados verbales: a) El triple de un número x, menos su mitad. b) La suma de dos números pares consecutivos. c) La suma de un número par y su siguiente impar. d) La tercera parte de un número, menos cinco. e) El cuadrado de, la suma de dos números naturales cualquiera. 5.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes propiedades numéricas. a) La propiedad conmutativa de la suma que dice: El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma. b) La propiedad asociativa de la multiplicación que dice: La forma de agrupar los factores en una multiplicación de más de dos números no altera el producto. c) La propiedad distributiva del producto con respecto a la resta que dice: El producto de un número por una resta es igual a la resta de los productos de dicho número por el minuendo y por el substraendo. d) La propiedad fundamental de la división que dice: El dividendo (D) de una división entera es igual a la suma del producto del cociente (c) por el divisor (d) más el resto (r). 6.- Escribe el término general de las siguientes series: a1 a a a4 a5 an

8 7.- Sabiendo que el término enésimo de una serie numérica es: (n ) - Halla y escribe los cinco primeros términos de la serie. - Halla el décimo término. - Halla el término a15 de la serie. 8.- Escribe con una expresión algebraica las siguientes fórmulas matemáticas: a) El área A de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base b por su altura a. b) El Teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la hipotenusa h es igual a la suma del cuadrado de los catetos C y c. c) El área S de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales D y d. d) La longitud L de una circunferencia es igual doble del producto de su radio r por el número. e) En un triángulo rectángulo el cateto mayor C es igual a la raíz cuadrada del cuadrado de la hipotenusa h menos el cuadrado del cateto menor c. f) El área A de un trapecio es igual a la mitad de la suma de sus bases B y b, por su altura a. ======================================================================.- MONOMIOS Un monomio es la expresión algebraica más sencilla. Es un producto de un factor numérico (llamado coeficiente) por uno o varios factores literales (letras) que forman la llamada parte literal. Las letras de la parte literal de un monomio se llaman variables. El producto de varias variables iguales se expresa en forma de potencia. Cuando el coeficiente es 1, no se expresa. En caso de ser -1 solo se expresa el signo delante de la parte literal. 1x = x 1x = x 1xy = xy 1xy = xy 1x = x 1x = x 1x y 4 = x y 4 No se puede confundir un monomio con una fracción algebraica. Una fracción algebraica es una fracción que tiene como denominador una expresión algebraica

9 GRADO DE UN MONOMIO Es el número de variables que forman la parte literal y se obtiene sumando los exponentes de las variables que lo forman. Así, hay monomios de: - Grado 0: x 0 5a 0 x 0 y 0 Como las potencias de exponente 0 son todas iguales a 1 y este es un factor neutro, se puede omitir en este caso la parte literal expresando solo el coeficiente. Por ello los monomios que solo tienen el coeficiente son monomios de grado 0. En estos monomios de grado 0 cuando el coeficiente es 1 o 1 hay que expresarlo. 6x 0 = 6 1 = 6 x 0 y 0 = 1 1 = X 0 = 1 a 0 b 0 = 1 - Grado 1 o primer grado: 4x 7y a 8xy 0 Se debe tener en cuenta que el exponente 1 no es necesario expresarlo. - Grado o segundo grado: x y 5xy 9a xy - Grado o tercer grado: x x y 1ab xyz 8abc - Grado 4 o cuarto grado: 5x 4 x y 19a bc 5xy z VALOR NUMÉRICO DE UN MONOMIO Se obtiene substituyendo cada variable por un valor numérico determinado. Para: x = 5x 5 = 10 Para: x = 0 x 0 = 0 = 0 Para: x = 1 ; y = 4x y 4 1 = 4 1 = 8 Para: x = 1 x ( 1) = 1 = Para: x = 1 8x 5 8 ( 1) 5 = 8 ( 1) = 8 Para: a = 1 9a 4 9 ( 1) 4 = 9 1= 9 Para: b = 1

10 6b 6 ( 1) = 6 ( 1) = 6 Para: a = ; b = a b 4 ( ) ( ) 4 = ( 8) 81 = ( 648) = 648 MONOMIOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen la parte literal idéntica. Es decir, las mismas variables y el mismo exponente en cada una de ellas. Son semejantes: x y 5x ; x y x ; 4x y y 5x y ; a b y 9a b No son semejantes: x y 5y ; x y y ; 4x y y 5xy ; 9a b y 9x y ====================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 77 del libro la cuestión, Monomios, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 9.- Página 77, actividad Página 77, actividad Página 77, actividad Página 77, actividad Copia y completa la tabla. MONOMIOS 8a x a b x y 4 COEFICIENTE PARTE LITERAL Ab GRADO

11 14.- Indica cuál es el coeficiente, cuál es la parte literal, cuál es el grado y calcula el valor numérico de los siguientes monomios. a) 4x 5 para x = b) ab para a = 1 ; b = 0 c) pq para p = 1 ; q = d) 1xy para x = 1 ; y = e) 7a para a = f) 6mn para m = 5 ; n = g) x para x = 10 h) y para y = 0 i) 5 para x = 0. j) a b para a = 1 ; b = 4. k) xyz 5 para x = 8 ; y = 6 ; z = 1 l) x y para x = 6 ; y = 15.- Di cuáles de los siguientes monomios son semejantes. a) a b b) bc c) 5ab d) a b e) 5ab f) bc g) ab h) 7ab ====================================================================.- OPERACIONES CON MONOMIOS.1.- SUMA Y RESTA ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 78 del libro las cuestiones.1, Suma y., Resta, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades Página 80, actividad Resuelve las siguientes sumas de monomios: a) x + x = x b) a + a = c) x + x + x = d) m + m + m = e) x + x = f) 4a + a = g) x + 5x = h) 5m + m = i) 4n + 4n = j) x + 6x = k) 5a + a + a = l) m + m + 4m =

12 m) x 4 + 6x 4 + x 4 = 18.- Resuelve las siguientes restas de monomios. a) 5x x = 4x b) 8x x = c) 4a 7a = d) 7m m = e) 8n 7n = f) 11x - 6x = g) 5a 9a = h) 7m 4m = i) 4n - n = 19.- Reduce todo lo posible. a) 5x + + x 7 = 5x + x + 7 = 6x 4 b) a + a 5a + a = a + a + a 5a = a a c) a + a + 1= d) 5 x + 4x 4 = e) 5x + x + x = f) x x + 1 = g) x 6x + x + x = h) 5x + x 4x x +1 = i) x + 4x x + = j) x + 4 x + x 5 = k) 10 x + x 7 4x = 0.- Quita paréntesis y luego reduce. a) x (x 1) = x x + 1 = x + 1 b) 6x (4x + ) = c) 7x (5x 4) = d) x (x + 5) = e) (x 5) (x + ) = f) (x - 5x + ) + (x x + 1) = g) (5x x ) (4x + x 1) = h) (x ) + (x + x +1 = i) (6x x) (x 5x + 6) = ====================================================================..- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN ACTIVIDADES Lee detenidamente en las páginas 89 y 90 del libro las cuestiones., Multiplicación y.4, División, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades.

13 1.- Página 80, actividad 9..- Página 80, actividad Página 80, actividad Página 80, actividad Página 80, actividad Resuelve las siguientes multiplicaciones: a) (x) (5x) 5 x x 15x b) ( a) (4a) c)(4a) ( 5a ) d) x x x 6x e) f) 5a 1 a 5 g) x 5xy h) ab 4b i) 4x y xy j) ab ab 7.- Divide: a) b) e) 0x : (4x 0 : 5 x : x 4x 10x : x c) 5a : 15a d) 14a ; ( 7a) 6x : 9x f) 10x : 5x g) 5a : 5a h) 4x i) a 5x j) 10x 1a k) 4a 5 15x 8a l) m) x a 8.- Página 80, actividad 14. ======================================================================

14 4.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 89 del libro la cuestión Resolución de problemas, reflexiona y estudia lo destacado. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 9.- Página 89, actividad Página 89, actividad Página 89, actividad 9. ================================================================ ACTIVIDADES FINALES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN Da un repaso general a la lección. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor..- Página 90, actividad Página 90, actividad Página 90, actividad Página 90, actividad Página 90, actividad Página 90, actividad Página 90, actividad Página 90, actividad Página 90, actividad Página 90, actividad Página 90, actividad Página 91, actividad Página 91, actividad Página 91, actividad Página 91, actividad Página 91, actividad Página 91, actividad Página 91, actividad Página 91, actividad 58. ======================================================================