OBJETIVO. La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado.

Transcripción

1 DEPARTAMENTO DE IENIAS BÁSIAS ALULO VETORIAL Y MULTIVARIADO TALLER 3 INTEGRALES DE LINEA O INTEGRALES URVILINEAS, TRABAJO BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA ALULO, JAMES STEWART ALULO, THOMAS FINNEY OBJETIVO Logrr l comprensión conceptul y desrrollr l hbilidd pr plnter y plicr modelos mtemáticos con el uso de ls integrles de líne. RITERIOS DE EVALUAIÓN L guí debe ser resuelt de mner grupl o individul y tendrá un vlor según lo pctdo. TIEMPO: 4 HORAS Definición de Integrl curvilíne. Pr construir modelos mtemáticos de cierts nociones físics, como trbjo o potencil, hy que generlizr el concepto originl de integrl considerndo límites de sums cuyos sumndos dependen de un ciert form de un curv, llmd cmino de integrción. Esto nos llev l concepto de integrl curvilíne, que es relmente l integrción lo lrgo de un curv en el espcio. omenzmos definiendo l integrl curvilíne de un función f sobre un curv con respecto. Ls integrles correspondientes respecto de y o de z se definen de mner nálog. Un curv de ecuciones prmétrics R ( ( i j z( se llm ' ' ' lis en el intervlo t t t si ls tres derivds (, y ( y z ( son continus y no se nuln simultánemente en ningún punto t del intervlo. Más generlmente, es lis trozos si se puede descomponer en un numero finito de prtes liss. Se dice que es orientble si es posible definir un dirección sobre cundo t crece. Supongmos que es un porción de un curv lis trozos, orientble, que comienz en p p y termin en q pn. Supongmos que se hce un prtición de en n trozos medinte los puntos P, P, P,..., P, P,..., P n, P n y sen (, y, z ) ls coordends del punto P, finlmente pr =,, 3,...,n elijmos rbitrrimente un punto P (,, z ) en el rco que v de P n hst P, y sen, y y y, z z z. Al myor lo llmremos l - norm de l prtición y l designremos por. Se pueden definir de mner nálog, l y norm y l z norm. Pr un y Docente: JOSE GONZALO ESOBAR LUGO lculo Vectoril 6-I.

2 función esclr dd f formmos l sum S integrl curvilíne fd Lim n De mner nálog se define: n f ( P ) y se define l f ( P ) siempre y cundo eist este limite. f Lim n y f ( P ) y, fdz Lim f ( P n z ) z Propieddes de ls integrles curvilínes Se f un función esclr dd, definid con respecto en un curv lis trozos y orientd. Entonces se verificn ls siguientes propieddes: fd f) d fd Regl del múltiplo constnte: Regl de l sum: f f fd, donde es un constnte. ( d, donde f y f son funciones esclres definids respecto de en. Regl de l dirección opuest: fd fd, donde design l mism curv recorrid en sentido opuesto. Regl de subdivisión: fd fd fd, donde est subdividid en subrcos y con y. Est propiedd se generliz un numero finito de subdivisiones. Ls integrles de l form g,o, hdz gozn de ls misms propieddes. Demostrción: L demostrción se sigue directmente de l definición de integrl curvilíne y de ls propieddes de los limites. Docente: JOSE GONZALO ESOBAR LUGO lculo Vectoril 6-I.

3 lculo de integrles curvilínes en prmétrics: En l práctic csi nunc se clcul l integrl fd medinte l definición. En lugr de eso observmos que, si l función integrndo f (, es continu en y si se puede representr en prmétrics por l función vectoril R ( ( i j z( en l que eiste l derivd y es distint de cero pr todo t b, entonces b d fd f t y t z t ( ( ), ( ), ( )). De mner nálog, si g y h son continús en, b b dz g g t y t z t ( ( ), ( ), ( )), hdz h t y t z t ( ( ), ( ), ( )) Ests formuls nos permiten convertir ls integrles curvilínes en integrles de riemnn ordinris, que pueden ser clculds por los métodos conocidos. Se tiene el mismo resultdo independientemente de l prmetrizción de elegid. EJEMPLO Se el trozo de l prábol y ( Sol: Hcemos, que d Ahor t luego ( = t ) y desde (,) (,4). Hllemos ( y d y t, en el intervlo ( t d ) t 6 3 t, sí ( t t d t. omo t. 6 t se tiene EJERIIO. lcule e yz dz donde es l curv de ecuciones prmétrics t, y t, z t pr t. INTEGRALES URVILINEAS DE AMPOS VETORIALES Vmos estudir hor que se entiende por clculr un integrl curvilíne de un cmpo vectoril. Se F (, f (, i g(, j h(, un cmpo vectoril, y se l curv definid por ls prmétrics R ( ( i j z(, designmos l integrl de F sobre por F dr y l definimos, sí: F dr = d b fd g hdz f (,, z( g(,, z( h(,, z( dz Docente: JOSE GONZALO ESOBAR LUGO lculo Vectoril 6-I.

4 EJEMPLO lculemos F dr, donde F ( y z ) i (y j y es l curv de ecuciones prmétrics F dr EJEMPLO Se, F y i 3 6t 8t t 4, luego t, y t, z t F dr (6t pr t. 3 8t t yj, clculemos l integrl dr 4 ) 9 3 F entre los puntos,,,4 sobre los cminos: () el segmento que une esos puntos y (b) el rco de l prábol y que une esos puntos. (). L rect que ps por los dos puntos tiene como ecución y, luego un prmetrizción es t, y t pr t, sí R( ti tj y dr i j, luego F 4t i t j y F dr 4t 4t y F dr 3 8t 3 (b). L prábol y se prmetriz por t, y t pr t, sí R( ti t j, luego F y i yj t i t j y F dr t t 3t y F dr 5 3t 3 En este ejemplo hemos visto que el vlor de l integrl es el mismo pr los dos cminos. Además se puede demostrr que, pr F y i yj l integrl curvilíne dr F es l mism pr culquier cmino que un,,,,4 con. OJO, que esto no es cierto pr culquier F, pero cundo es cierto decimos que l integrl curvilíne es independiente del cmino. Docente: JOSE GONZALO ESOBAR LUGO lculo Vectoril 6-I.

5 EJEMPLO lculemos ( yd d donde es el cmino cerrdo de l siguiente figur El cmino cerrdo se describe mejor usndo tres ecuciones distints,,, 3. Se F yi j de tl mner que F dr yd, luego F dr = F dr + F dr + F dr. 3 Sobre, l prmetrizción es ost, y Sent pr t, luego R ( ( os i ( Sent ) j y dr ( Sentd ) i ( ost ) j, luego F yi j ( Sent ) i ( os j y sí F dr = ( Sen t os t ) Sobre, l prmetrizción es, y t pr t, luego R ( ( j y dr j y sí F dr = Sobre 3, l prmetrizción es, t, y pr t y F dr = de donde F dr = F dr + F dr + 3 F dr.= 3 Docente: JOSE GONZALO ESOBAR LUGO lculo Vectoril 6-I.

6 EJERIIO. lcule F dr donde F yi j y es l semicircunferenci superior y recorrid en el sentido contrrio ls gujs del reloj desde,, hst, 3. Se, F ( 5 i j, clculemos l integrl F dr entre los puntos,,, segmento rectilíneo desde,, desde, hst,. sobre los cminos: () el segmento que une esos puntos y (b) el hst seguido del segmento rectilíneo lculo del trbjo medinte integrles curvilínes Un de ls plicciones físics más importntes de ls integrles curvilínes es el cálculo del trbjo. Recordemos que si un objeto se mueve sobre un líne rect un desplzmiento R en presenci de un cmpo de fuerzs constnte F, el trbjo efectudo es, F R. El cso en que l fuerz F no es constnte y el objeto se mueve sobre un curv lis requiere tención dicionl. Supongmos que est prmetrizd R ( y orientd en el sentido del movimiento. Se hce un prtición de por puntos P, P,..., P n, como se muestr en l siguiente figur: Pr,,..., n se Q un punto elegido rbitrrimente en el esimo subrco (on etremos P y p ) y se F el vlor del cmpo de fuerzs F en Q. Si l longitud del subrco es muy pequeñ, F será, proimdmente constnte, con vlor F sobre y el desplzmiento del objeto lo lrgo de estrá proimdo por el vector secnte R que v desde P hst p entonces el trbjo relizdo por l fuerz cundo el R objeto recorre se puede proimr por W = ( F ) t sumndo los t trbjos lo lrgo de todos los subrcos tenemos un estimción del trbjo totl relizdo por F cundo el objeto se mueve sobre. undo t, el vlor limite de est sum es l integrl de F dr /, es decir: Docente: JOSE GONZALO ESOBAR LUGO lculo Vectoril 6-I.

7 n W Lim t R F t t dr t = F Aquí F es un cmpo continuo de fuerz en un dominio D. = F dr EJEMPLO Un objeto se mueve en el cmpo de fuerzs F y i ( ) yj, en sentido contrrio ls gujs del reloj, desde el punto (,), sobre el cmino elíptico 4y 4 hst (,) y luego vuelve l punto (,) moviéndose sobre el eje. Vmos clculr el trbjo relizdo por el cmpo de fuerzs sobre el objeto: Se el cmino totl descrito por el objeto. El Trbjo totl W que reliz F sobre el objeto l desplzrse este sobre est ddo por l integrl F dr. Dividimos en dos prtes (elipse) y (segmento del eje ). Se prmetriz l curv sí: ost, y Sent t. Así R ( (ost ) i ( Sent ) j y dr ( ( Sent ) i ( ost ) j. Sustituyendo tenemos, F ( Sen i (4ostSent Sent ) j, 3 Así W F dr = ( Sen t 4os tsent Sentost ) L curv tiene como ecución y luego, sobre ell, F, y por tnto, W F dr, por consiguiente, W W W EJERIIO 4. Se d un cmpo de fuerzs plno por l epresión F ( y ) i yj. Hlle el trbjo totl relizdo por est fuerz l mover un punto mteril en sentido contrrio ls mnecills del reloj por el perímetro del cudrdo de vértices (,),(,),(,),(,) Docente: JOSE GONZALO ESOBAR LUGO lculo Vectoril 6-I.

8 lculo de integrles curvilínes respecto de l longitud de rco Ls integrles curvilínes de l form F dr se pueden epresr menudo de dr otrs forms. Por ejemplo recordemos que T es un vector tngente ds unitrio l curv en el punto P (, donde S es el prámetro longitud de dr rco. Tenemos que F dr = F ds F Tds. ds En prticulr, el trbjo relizdo por un cmpo de fuerzs F sobre un objeto que se mueve sobre un curv se puede epresr en l form W F dr F Tds. Est integrl se llm integrl curvilíne de l componente tngencil de F y se puede escribir tmbién en l form f (, ds. Eistirá l integrl si f es continu en y si es lis trozos, con longitud finit. Se puede obtener un formul pr clculr est integrl curvilíne observndo que, si R ( ( i j z(, entonces dr d dz d dz ds i j ( ) ( ) ( ) de tl form que ds f (, ds f (,. Así si f es continu sobre l curv lis y est definid por R ( ( i j z( donde t b, entonces ' ' f (, ds f ( (,, z( ) ( ( ) ( y ( ) b ' ( z ( ) EJEMPLO Hllemos ( y ds donde es l curv en prmétrics dd por t, y t, z t, pr t. d dz omo,,, tenemos que ( y ds ( ( ) ( )) () () () 6 t t t. 3 EJERIIO 5. lculr ( ds donde viene ddo por R ( ( os i ( Sen j con t 4 6. lculr (y ) ds t donde viene ddo por R ( ( os i ( Sen j con Docente: JOSE GONZALO ESOBAR LUGO lculo Vectoril 6-I.

9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES URVILINEAS Recuérdese que, en virtud del teorem fundmentl del cálculo si l derivd es continu en b ' b, entonces d [ f ( )] f ( ) d f ( b) f ( ) El siguiente teorem es un generlizción pr ls integrles curvilínes: b f ' Se F un cmpo vectoril conservtivo en l región D y se f un función potencil esclr de F, es decir, tl que f F. Entonces, si es un curv lis trozos contenid completmente en D, con punto inicil P y finl Q, se tiene F dr f ( Q) f ( P) Por tnto, l integrl F dr es independiente del cmino. Demostrción Probremos este teorem en el cso en que l curv se lis en D, dejndo el cso más generl, en que es lis trozos, como ejercicio. Supongmos que está definid por l función vectoril R ( ( i j pr t b, P R(), Q R(b). omo F(, f (, f (, i f (, y j tenemos que: y ) b dr b d F dr F f y f y y [ (, ) (, ) ] b d = [ f ( (, ] regl de l cden l revés = f ( ( b), b)) f ( ( ), )) teorem fundmentl del cálculo. f ( R( b)) f ( R( )) f ( Q) f ( P) EJEMPLO Hllemos F dr donde F ( e Seny i ( e osy ) j y es el cmino ddo por 3 t t R ( ( t Sen ) i ( os( )) j. pr t. El cálculo de est integrl por métodos prmetricos es difícil y tedioso. Primero vemos que el cmpo vectoril F(, ( e sen y i ( e cos y ) j es conservtivo y hllemos un función potencil: M N Se M ( e sen y y N ( e cos y ), entonces luego F es y conservtivo. Ahor hllemos un función potencil f tl que f F, observemos que debe ser M (, f (, y N(, f (, hcemos un integrción prcil, es decir, integrmos con respecto y tommos y como constnte: f (, M(, d ( e sen y d e sen y y c(, como y Docente: JOSE GONZALO ESOBAR LUGO lculo Vectoril 6-I.

10 tmbién debe ser f y N(, clculmos l derivd prcil con respecto dc sí obtenemos: f y (, ( e sen y y c( ) e cos y igulndo y dc N(, e cos y y despejndo dc dc tenemos e cos y e cos y sí integrndo hllmos que c( y c, luego f (, e sen y y y c. ulquier función de est fmili es un potencil esclr de F, luego podemos tomr f (, e sen y y y. En virtud del teorem fundmentl de ls integrles curvilínes, el vlor de est integrl solo depende de los vlores de f en los etremos del cmino. Nturlmente hy que comprobr que se stisfcen ls hipótesis del teorem pr F y. En el etremo pr t se tiene que R( ) i [( ) os( )] j i j f (,) e Sen En el etremo correspondiente t se tiene que R() [ Sen ] i [( ) os ] j i j f (, ) 3 e Sen e Aplicmos hor el teorem fundmentl de ls integrles curvilínes: F dr f ( Q) f ( P) EJERIIO 3 f (, ) - f (,) = e -= e 3 7. Demuéstrese que no se reliz trbjo cundo, en un cmpo conservtivo de fuerzs, se hce recorrer un objeto un circuito cerrdo, prtiendo de un punto y finlizndo en el mismo., TEOREMA DE LA URVA ERRADA PARA UN AMPO ONSERVATIVO Docente: JOSE GONZALO ESOBAR LUGO lculo Vectoril 6-I.

11 El cmpo vectoril continuo F es conservtivo en un región D biert y cone si y solo si F dr pr tod curv cerrd, lis trozos, contenid en D. Demostrción Si un integrl curvilíne F dr es independiente del cmino en l región D biert y cone, entonces F dr pr tod curv cerrd, lis trozos, contenid en D. En efecto, si P y Q son dos puntos del cmino y T es el cmino de P Q por l prte de rrib y B es el cmino de Q P por l prte de bjo, se debe tener F dr F dr y F dr F dr + F dr = F dr B T - F dr = Recíprocmente, si F dr pr tod curv cerrd en D, T (termine l demostrción). Resumiendo: Supongmos que F(, tiene derivds prciles primers continus en un región biert y cone D y se un curv lis trozos en D. Ls condiciones siguientes son equivlentes: I. F dr es independiente del cmino en D II. F es conservtivo, es decir, F f, pr un ciert función f definid en D III. F dr pr todo cmino cerrdo que encierr solo puntos de D. T B T EJEMPLO Demuestre que pr l curv: F ( y ) i ( j es conservtivo y clcule y d y y, y ; P (, ), Q (, ) Docente: JOSE GONZALO ESOBAR LUGO lculo Vectoril 6-I.

12 Hllemos ls derivds cruzds es conservtivo y ( y y y d y =. ) y, ( y ) y por lo tnto F EJERIIO 8. Demuestre que F ( y ) i ( j es conservtivo y clcule y d y pr l curv: (). y, (, ) P, Q (, ) (b). P (, ), Q (, ) El ejemplo y el ejercicio nteriores sirve pr mostrr que l integrl curvilíne es cero si el cmpo F es conservtivo y el cmino es cerrdo. Además, si l curv no es cerrd, entonces el vlor de l integrl es independiente de los cminos indicdos. Docente: JOSE GONZALO ESOBAR LUGO lculo Vectoril 6-I.