SISTEMAS DISCRETOS. 1. Qué son?

Transcripción

1 SISTEMAS DISCRETOS. Qué sn? Sn sisemas que rabajan cn das muesreads Ess sisemas sn cnrlads pr cmpuadr Ls cnrladres se desarrllan en cmpuadres. Ejempl de das muesreads Prces Reenr Muesreadr D/A Cmpuadr A/D

2 3. Cnrl pr cmpuadr Cmpuadr Relj y[] u[] u() A-D Cnrladr D-A Prces y() 4. Tip de ecuación discrea Al rabajar cn cmpuadres aparecen ecuacines recursivas del ip: y() a y(-h) b u(-h) Dnde a, b, h sn cnsanes, u() es el esímul, y() es la respuesa, h es el períd de muesre y puede mar ls valres h, h, 3h,.. Ineresa cncer las variables sól en ls insanes h, h,., y la cndición inicial es y(-h).

3 TRANSFORMADA ZETA.. Cualidades. Análisis de sisemas esables e inesables. Aplicable a señales n acadas. Cnsidera las cndicines iniciales. La Ecuación Recursiva del Sisema (ERS) se ransfrma en una ecuación algebraica.. Definición de Transfrmada Zea Sea f[] una función de iemp discre. Cn Ζ Direca Ζ { f [] } F[z] f [] z Inversa Z { F[z] } f[] F[z]z dz j Γ π Para que exisa la ransfrmada es suficiene: f[] k ρ 0 ; k <

4 3. Prpiedades de la Transfrmada Zea Linealidad Z α y [] β y [] α Y [z] β Y [z] Z - α Y [z] β Y [z] α y [] β y [] α ; β C Escalamien en z Z y [] Y [ ] α 0 α z α > Cnjugación Z y * Y * [ z * [] ] α > 0 Desplazamien en Reard en Z (Y[z] { y[ ]} z l y[-l]z l ) Adelan en Z { y[ ]} z (Y[z] - 0 l 0 y[l]z -l )

5 Suma acumulada Z y[l] l z z- Y[z] Derivada en z { y[] } Z dy[z] -z dz Cnvlución en el iemp Z y []*y [] Y [z] Y [z] en que y []*y [] l 0 y [l] y [ -l] Terema del valr Inicial lim 0 y[] y[0] lim z Y[z] Terema del valr Final lim y[] z lim (z-)y[z] cn y[ ] definida

6 4. Aplicación a sisemas lineales Linealización Veams el prcedimien mediane el siguiene ejempl. Sea un sisema de iemp discre cn enrada u[] y salida y[], dnde el mdel de enrada-salida es la ecuación recursiva y[] 0,5y[-]y[-] 0,u[](y[-]) (u[-]) 3 La idea es bener un mdel lineal en rn al pun de peración (u Q, y Q ) y las variacines de las variables en rn al pun de peración sean: u[] u[] - u Q y[] y[] - y Q Usand las variables inermedias, para generalizar: x [] y[] x [] y[-] x 3 [] y[-] x 4 [] u[] x 5 [] u[-] Tenems: x [] 0,5x []x 3 [] 0,x 4 [](x 3 []) (x 5 []) 3 Expandir en serie de Taylr y usar las aprximacines de primer rden.

7 (x [] x Q ) 0,5x Q (x 3 [] x 3Q ) 0,5x 3Q (x [] x Q ) *0,x 4Q x 3Q (x 3 [] x 3Q ) 0,(x 3Q ) (x 4 [] x 4Q ) 3(x 5Q ) (x 5 [] x 5Q ) Usand las definicines en el pun de equilibri: y[ i] y[ i] x Q u[ j] u[ j] x 4Q Tenems: x [] x Q y[] ( x [] y[] ) x [] x Q y[-] x Q x Q ( x [] y[-] ) x 3 [] x 3Q y[-] x Q x 3Q ( x 3 [] y[-] ) x 4 [] x 4Q u[] ( x 4 [] u[] ) x 5 [] x 5Q u[-] x 4Q x 5Q ( x 5 [] u[-] ) En el pun de equilibri se cumple: x Q x Q x 3Q y Q x 4Q x 5Q u Q y[] y[-] y[-] y Q u[] u[-] u Q

8 Pr l an, en ese ejempl: y[] 0,5y[-]y[-] 0,u[](y[-]) (u[-]) 3 Se debe cumplir: y Q 0,5(y Q ) 0,u Q (y Q ) (u Q ) 3 El mdel lineal resulane iene la frma: y[] c y[-] c y[-] d 0 u[] d u[-] Observacines: Cada señal reardada se debe asciar a una variable x i. El pun de equilibri debe saisfacer la ecuación NO lineal riginal. El pun de equilibr se elige en que las señales, u[] u Q e y[] y Q, sn cnsanes para d insane. Cuand el mdel NO lineal esá descri pr ds más ecuacines, las crdenadas del pun de equilibri deben saisfacer el cnjun de ecuacines simulaneas. El pun de equilibri se calcula a parir del mdel algebraic, al reemplazar las señales invlucradas, pr una cnsane a calcular cn independencia del reard que ella exhiba.

9 Represenación general: y[] a y[-]...a y[-n ] n- b m u[] dnde m < n u[] es la enrada y[]es la salida b u[ -] m- a 0 y[]... b 0 u[ -m] Aplicand la ransfrmada Zea a ambs lads de la ERS Y[z] Y[z] lueg H[z] a z - Y[z] n- b m U[z] b m B[z] A[z] b m- a z n - - b z - U[z] m- z -...a z -n... b z -m... a z -n Y[z] a... b U[z] z - n Y[z] z - m U[z] B[z] A[z] U[z] es la Función de Transferencia en Zea Definición de parámers Se supne que B[z] y A[z] n ienen facres cmunes. a) Las m raíces de la ecuación B[z]0 sn ls cers del sisema. b) Las n raíces de la ecuación A[z]0 sn ls pls del sisema.

10 c) Si A[z]0 iene n k raíces en z λ k, decims que el pl λ k iene muliplicidad n k. d) La diferencia (n-m) se denmina grad relaiv del sisema. e) Si m < n decims que el sisema es esricamene prpi. El grad relaiv es psiiv. f) Si m > n decims que el sisema es imprpi. El grad relaiv es negaiv. g) Si m n decims que el sisema es biprpi. El grad relaiv es cer. h) Si m n decims que el sisema es prpi. 6. Relación enre s y z. Z δ( - ) k δ(kt )z k 0 cn T iemp de muesre z - ( ) T δ( - -s e ) z - ( -s e ) T z e s T usand s σ jw z eσ T e jw jw T Plan s Im z Plan z σ Re z

11 7. Pls y cers. Función de ransferencia esable, si iene sus cers y pls al inerir del disc uniari en el plan cmplej z. Función de ransferencia inesable, si iene al mens un pl fuera sbre el disc uniari. Función de ransferencia de fase mínima, si iene sus cers al inerir del disc uniari. Función de ransferencia de fase n mínima, si iene al mens un cer fuera del disc uniari. Pls rápids esán más cercas del rigen del plan z. Tienen respuesa ransiria más rápida. Pls lens dminanes esán más cerca de la circunferencia uniaria (límie de esabilidad). Ls cers afecan la prprción en que ls pls afecan la salida. Cers rápids esán más alejads del límie de esabilidad que ls pls dminanes. Cers lens esán más cerca del límie de esabilidad que ls pls dminanes.