A1. ELEMENTOS DE VIGA DE EULER BERNOULLI LIBRES DE ROTACIÓN

Transcripción

1 Anass d acas y amna 34 ANEJO I A. ELEMENOS DE VIGA DE EULER ERNOULLI LIRES DE ROACIÓN La toría d vgas d Eur-rnou s robabmnt uno d os robmas modo más sms d a formuacón rstrngda d a astcdad na. La rstrccón n st caso s a hótss cnmátca stándar d Eur-rnou dond as sccons transvrsas normas a j d a vga ants d a dformacón rmancn anas y ortogonas a dcho j dsués d a dformacón. Esto ntroduc rqurmnto d contnudad C d as ntroacons or Emntos Fntos. Cáscamnt s scogn as funcons d forma Hrmítcas qu dscrtzan or dob artda os grados d brtad d os dsazamntos y os gros. La novdad s abandonar st concto y dsarroar otro to d aromacons dscrtas ara as vgas d Eur-rnou basándos n trabajo d a formuacón mta d Hu-Washzu. Usando os conctos d os Emntos Fntos brs d rotacón. Dos mntos d vga sn grados d brtad n os gros son dsarroados. Dchos mntos stan basados n os antamntos C Cntrd y C vrt transfrndo a ntgra domno n a ntgra d contorno. Estos mntos s aman mntos CC y mntos CV rsctvamnt. A. EORIA ÁSICA Las cuacons d gobrno d robma d vgas d Eur-rnou s rsntan n a Fgura A y s snttzan como sgu. Fgura A. Probma d a vga d Eur-rnou funt [8] dond L La cuacón cnmátca s L s a curvatura d a vga y s a fcha. a.

2 Anass d acas y amna 35 La cuacón consttutva s m D a. dond m s momnto fctor D[EI] E móduo d Young y I s momnto d nrca d a sccón transvrsa. La cuacón d qubro d a vga s m q 0 Lm q 0 a.3 dond q s a carga dstrbuda. Susttuyndo a cuacón d qubro a. n a cuacón d qubro a.3 da D q 0 a.4 Fnamnt susttuyndo a cuacón cnmátca a. n a.4 s obtn a conocda cuacón d qubro ara a vga d Eur-rnou como 4 D q 0 ara 4 [ 0 ] a.5 La cuacons d gobrno d forma ntgra udn sr obtndas d a funcón stándar d Hu-Washzu Π D d m L d qd a.6 dond q s a carga dstrbuda. La varacón d Π dsmboca a conjunto d as cuacons ntgras cnmátca consttutva y d qubro qu son rsctvamnt: δm L d 0 δ D m d 0 Lδ md δqd 0 a.7a a.7b a.7c E conjunto d cuacons a.7 son a bas d a dscrtzacón br d rotacón.

3 Anass d acas y amna 36 A. DISCREIZACIÓN EN ELEMENOS FINIOS S consdra ncamnt a dscrtzacón d a vga n mntos stándar d dos nodos. La curvatura y momnto fctor m s consdran constants n domno d contro qu srá dfndo ostrormnt. Por o tanto m δ m m δm a.8a δ δ a.8b dond. dnota vaors constants sobr domno d contro. Utzando stas consdracons as cuacons cnmátca consttutva y d qubro d a.7 s rsan como sgu [ Ld d ] 0 δm δ D m d 0 Lδ m d δqd 0 a.9a a.9b a.9c dond a suma s tnd sobr todos os domnos d contro. Intgrando or arts a cuacón a.9a ara rducr ordn d as drvadas n y tnndo n cunta qu os momntos vrtuas y curvaturas son arbtraros sto rmt obtnr a curvatura n a arca dsués d un oco d ágbra como d a.0 La cuacón antror rmt cacuar a curvatura sobr domno d contro como a dfrnca d os vaors n os trmos d a arca. En a cuacón a.0 y dnotan os trmos drcho y zqurdo d domno d ongtud rsctvamnt. Susttuyndo a cuacón a.0 n a a.9b rmt a aromacón dscrta d momnto fctor como m D D a.

4 Anass d acas y amna 37 D a cuacón a.9c utzando os msmos rocdmntos da d m m m a. dond a suma s tnd n todo domno d contro. Susttuyndo as cuacons a. y a. n a.9c s ncuntra a rsón ara cuacón d qubro D δqd a.3 E camo d dsazamntos s ntroa ahora usando as funcons d forma stándar mntas ara un mnto d dos nodos N como N N a.4 dond son os vaors d a fcha N [ ] y [ ] N N. Susttuyndo a cuacón a.4 n a.3 da sstma d cuacons dscrtas K f a.5 dond K s a matrz d rgdz vctor qu contn as fchas n os nodos y f vctor d furzas nodas. La matrz d rgdz goba s obtn con as contrbucons mntas d a manra stándar. Atrnatvamnt tambén s ud obtnr con nsambaj d as contrbucons d os dstntos domnos d contro. La matrz d rgdz K ara domno d contro s rsa K [ ] D a.6 dond obtncón d s a matrz d curvatura d domno d contro y D[EI]. Los dtas d su s rsntan n aartado sgunt.

5 Anass d acas y amna 38 A.3 OENCIÓN DE LA MARIZ DE CURVAURA Para a obtncón d a matrz d curvatura s utzan dos squmas dstntos. E C Cntrd schm qu scog domno d contro d como un mnto arca d dos nodos Fgura A y C Vrt schm qu forma domno d contro con dos mntos qu comartn un nodo Fgura A3. Fgura A. Emnto d contro ara antamnto C Cntrd schm funt [8]. Fgura A3 Emnto d contro ara antamnto C Vrt schm funt [8]. La curvatura y momnto fctor s consdran constants sobr domno d contro y s mustran ara antamnto C Cntrd schm y C Vrt schm n a Fgura A4 y Fgura A5 rsctvamnt. Fgura A4. Funcons ntroadoras ara camo d dsazamntos curvatura y momntos n domnos C Cntrd funt [8].

6 Anass d acas y amna 39 Fgura A5. Funcons ntroadoras ara camo d dsazamntos curvatura y momntos n domnos C Cntrd funt [8]. A.3. Caso gnra ara squma C Cntrd mnto CC Los mntos adyacnts a mnto scogdo stán conctados formando una arca como s rsnta n a Fgura A. Las condcons d contorno no stan acadas. Los domnos d contro varan sgún as condcons d contorno qu s tngan. E caso gnra ara un mnto ntrmdo s qu s rsnta. La curvatura sobr domno d contro s obtn d a cuacón a0 como s tn qu dstacar qu n st caso qu. Utzando a toría d a dstrbucons os vaors d y d a través d os contornos s cacuan como vaor romdo a.7 a.8 a.9

7 Anass d acas y amna 40 Susttuyndo n a cuacón a.7 as rsons antrors s obtn a matrz d curvatura d domno como E vctor contn as fchas d todos os nodos qu contrbuyn n domno d mnto d contro. Susttuyndo a cuacón a. n a a.6 s obtn a matrz d rgdz d domno Como mnto d contro concd con mnto d vga n st caso K K. A.3. Caso gnra ara antamnto C Vrt mnto CV En st caso domno d contro gnra s rsnta n a Fgura A3. La curvatura asocada a domno s obtn d a cuacón a.4 como La curvatura constant asgnada a domno undo a nodo s scrb como [ ] [ ] a.0 a. [ ] a. [ ] D K L R a.3 a.4 a.5

8 Anass d acas y amna 4 qu s ud rscrbr d a forma sgunt dond a matrz d curvatura d domno s S tn qu hacr notar qu n st squma vctor contn as contrbucons d os nodos asocados a domno d contro. La curvatura asocada a nodo s y d a cuacón a.8 dond a matrz d curvatura d domno s [ ] 0 [ ] 0 [ ] 0 [ ] 0 a.6 a.7 a.8 a.9 a.30

9 Anass d acas y amna 4 E trabajo vruta ntrno sobr un mnto ud sr obtndo con a suma d as contrbucons d os dos domnos d contro nvoucrados δ u δ EI d δ EI d a.3 Susttuyndo as cuacons a.6 y a.9 n a cuacón a.3 da a matrz d rgdz d mnto como K K K a.3 Es mortant dstacar qu n C Cntrd schm domno d contro concd con os mntos K K n cambo n C Vrt schm no s así. Por st motvo n su acacón a anda Fnta s ha scogdo rmr caso con mnto CC. No obstant d gua forma s ud utzar y acar n banda fnta mnto CV n qu s rdc un funconamnto smar con rsutados muy arcdos. La acacón d as condcons d contorno roduc a aarcón d domnos d contro dstntos y artcuars d cada stuacón n os dos antamntos d mntos brs d rotacón. S rcomnda a ctura a Monografía d J.Jovcvc y E.Oñat [8] ara consutar os mntos rqurdos n as rstrccons y s s qur ntrar n más dta n su formuacón.