MATEMATICAS Primer curso de Ciencias Ambientales / Curso Soluciónes HOJA 4

Transcripción

1 MATEMATICAS Primer curso de Ciencias Ambientales / Curso Soluciónes HOJA 4 Problema 3: Los siguientes datos corresponden a la evolución del peso celular (en mgr./ml.) cantidad de nitrato en un cultivo de algas durante 3 días (mediciones cada 4 horas). y la Tiempo (T) Peso (X) Cantidad de nitrato (Y) Inicio 0, 0, 5 dia 0, 9 0, 4 dias 0, 5, 8 3 dias, 0 4, 5 a) Ajustar una recta y una exponencial a los datos peso (X) y cantidad de nitrato (Y). b) Ajustar una curva a la evolución temporal del peso. c) Mediante lo obtenido en a) y b) estimar la cantidad de nitrato que había en el cultivo al cabo de 36 horas. Solución: El cálculo de estadísticos y las gráficas correspondientes se encontrar en el archivo Excel problema3. Parte a) Ajustar una recta es decir calcular la recta de regresión. Recordamos la formula RR y y = COV XY v x (x x) Por tanto nuestra tarea es calcular los estadísticos media: x = n i= x i Varianza: v x = n ( i= (x i x) = n ( i= x i ) x Covarianza COV (X, Y ) = n i= (x i x)(y i y) = n ( i= x iy i ) xy Por tanto tenemos que: COV (X, Y ) =.395 3, x = , v x = 0.5 5, y = 8.8 y la recta de regresión es R.R.3.588x Para evaluar la bondad del ajuste, calculamos el coeficiente de correlación, r = COV (X, Y ) vx v y El único estadístico que nos falta es la varianza de y que es v y = Obtenemos que es un buen coeficiente de correlación. regresión aproxima bien los datos. r = En efecto vemos en la hoja EXCEL que la recta de Es un error muy común utilizar la fórmula v x = (P n n i= x i x ) cuidado con el mismo error 3 en EXCEl =COVAR(B:B5;C:C5) 4 =PROMEDIO(B:B5) 5 =VAR(B:B5)*3/4. calcula la varianza dividiendo por n en vez de n. Por eso el comando que incluimos en la celda es = V AR(B : B5) 3/4 ya que n = 4 6 =COEF.DE.CORREL(B:B5;C:C5)

2 Ajustar una exponencial Queremos encontrar una curva de la forma () y = ae bx = aexp (bx) que aproxime nuestros datos. Tomamos logaritmos obtenemos que () es equivalente a log(y ) = log(a) + bx Por tanto si definimos Z = log(y ) encontar una curva exponencial que aproxime los datos X, Y es equivalente a encontrar una recta que aproxime los datos X, Z. Despues veremos como se relacionan las constantes. Paso : Averiguamos los datos de la nueva variable Z. Peso (X) log(y)=z 0.0 log(.5) 0.9 log(0.4) 0.5 log(.8).0 log(4.5) Peso (X) log(y)=z 0.0, , , , Paso : Recta de regresión de Z sobre X A partir de aqui calculamos la recta de regresión de Z sobre X. Necesitamos los nuevos estadísticos z =.06, v z = 0.49, COV (X, Z) = Con lo que podemos calcular la recta de regresión de Z sobre X obteniendo la expresión R.R = (z z) = COV (X, Z) v x (x x) R.R z =.556 0, x Para evaluar el ajuste calculamos el coeficiente de correlación de Z sobre X. r(z, X) = COV (X, Z) vx v z = Asi que el ajuste lineal de Z sobre X es excelente y EQUIVALENTEMENTE el ajuste exponecial de Y sobre X tambien lo es. Vemos en la gráfica que los puntos del diagrama de dispersión aparecen sobre la curva. Paso 3: Deshacemos el cambio Z = log(y ) Sustituimos en la recta de regresión z = log(y) y tomando exponenciales log(y) =.556 0, x y = e.556 e 0, x = 3.0e 0, x cuya representación gráfica viene en problema3. Parte b) usamos log por logaritmo Neperiano ya que a lo largo del curso solo consideramos logaritmos neperianos

3 De el diagrama de dispersión observamos que los puntos parecen ajustables mediante una curva exponencial. Para verificar esta intuición calculamos el ajuste exponencial y el correspondiente coeficiente de correlación. Paso: Z = log(x) Tiempo (T) logpeso (X) Inicio log(0, 0) dia log(0, 9) dias log(0, 5) 3 dias log(, 0) Tiempo (T) logpeso (X) Inicio, dia, dias 0, dias 0, Paso : Recta de regresión de Z sobre T Calculamos los estadísticos de nuestra nuevas variables Z 8 y T t =.5, v t =.5, z =, , v z =, 0606, COV (T, Z) =, Para evaluar la bondad del ajuste calculamos el correspondiente coeficiente de correlación r(t, L(X)) = 0, que es excelente, asi que concluimos que el ajuste exponencial es el correcto. La correspondiente recta de regresión de Z sobre X es R.R z =, , t Paso 3: Deshacemos el cambio Z = log(x) Obtenemos la curva exponencial que predice la evolución de X en función de T igual a. () X = 0.04e 0.99t Parte c) Queremos predecir la cantidad de nitrato a las 36 horas =.5 dias. Recordamos que sabemos predecir aproximadamente como evoluciona el peso en función del tiempo, y el nitrato en función del peso Y = 3.0e 0, x, X = 0.04e 0.99t Asi que sustituimos primero X(.5) = 0.04e 0.99 (.5) = 0.93 y luego Y (0.94) = 3.0e 0, = 9, Problema : En un estudio de laboratorio se han medido, en una cierta especie canina, las variables peso (X) y concentración en sangre (Y ) de una cierta sustancia. Los datos resumidos son los siguientes: n = xi = 3 5 yi = y i = 9 83 x i = 3 8 = 034 x i a) Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y. b) Ajustar una curva de ecuación Y = a + b X Solución: Parte a) Recordamos la definición de los estadísticos a los datos. 8 Aunque la llamamos igual no tiene nada que ver con la Z de la parte a x i = 6 5 xi y i = 3 yi x i =

4 media: x = n i= x i Varianza: v x = n ( i= (x i x) = n ( i= x i ) x Covarianza COV (X, Y ) = n i= (x i x)(y i y) = n ( i= x iy i ) xy 9 r(x; Y ) = COV (X,Y ) vxv y Obtenemos por tanto como n = Parte b) Paso x = n i= x i = 3.5 =.986, y =. =.64, COV (X, Y ) = /( x i y i ) = = 0.04 i= v x = x i (.986) = 6.5 (.986) = 0.09, 0.04 v y = , r(x, Y ) = = Hacemos el cambio Z = X ya que si y = a + b X obtenemos que Y = a + bz es decir Z e Y tienen una regresion lineal que es lo que sabemos hacer. Por tanto necesitamos calcular los estadisticos de la nueva variable Z e Y. Paso z = n i= = 3.8 = 0.536, y =. =.64, x i COV (Z, Y ) = /( i= y i ) = = 0.08 x i v z = x (0.536) =.034 (0.536) = 0.00e4, i 0.08 v y = , r(z, Y ) = = Calculamos la recta de regresion de Y sobre Z. Deshacemos el cambio R.R = (y y) = COV (Y, Z) v z (z z) R.R = (y.64) = 0.08 (z 0.536) y =.30z Donde pone z volvemos a poner /x obteniendo la curva y =.30 x Ejercicio 8: En cierta especie de pez se mide la longitud total y la de la aleta caudal, obteniendo los siguientes datos: 9 cuidado con el mismo error Longitud total (Y) Longitud de la aleta (X), 5, 3 4

5 Se cree que existe una relación alométrica entre las dos longitudes. En consecuencia, se pide: a) Expresar la longitud total en función de la longitud de la aleta mediante un modelo de regresión potencial Y = ax b. b) Evaluar el ajuste obtenido. c) Estimar la longitud total de un pez, si su aleta caudal mide,3. Solución Los datos correspondientes se encuentran en el archivo ejercicio8 Paso : Identificar el cambio de variable apropiado Como en los casos de la regresión logarítmica o exponencial buscamos la manera de transfomar las variables para obtener nuevas variables que se relacionen linealmente. Si Y = abx tenemos que log(y ) = log(a)+b log(x). Asi que las variables W = log(y ) y Z = log(x) están relacionads linealmente. Paso :Calculo de la recta de regresión de W sobre Z Los nuevos datos son, W=L(Y) log(6) log(39) log(53) log(8) Z=L(X) log() log(, 5) log(, ) log(3) = W, 588 3, , , Z 0, , , 99353, Calculamos ahora los estadísticos de W, Z Z = 0, , v z = 0, 056, w = 3, 00859, v w = 0.354, COV (W, Z) = 0, Asi que la recta de regresión de W sobre Z es R.R W = 3.998Z Paso 3: Deshacemos el cambio W = log(y ), Z = log(x) Obtenemos que en términos de W y Z la recta de regresión se escribe como Log(Y ) = log(X) o tomando exponenciales (e identificando =4) Y = X 4 e que es la curva tipo potencial que describe la relación alométrica entre la longitud de la aleta de los peces y su tamaño total. Parte b: Para calcular la validez del ajuste como siempre consideramos el coeficiente de correlacion de las variables donde hemos hecho la regresión lineal. En este caso W y Z obtenemos que r(w ; Z) = COV (W, Z) vw v z = 0, asi que el ajuste es practicamente perfecto. (El ajuste exponencial no era malo 0.96 pero este es mucho mejor) 5