Efectos de la ruptura de isospín sobre el condensado de quarks de un gas de piones a temperatura finita

Transcripción

1 Efectos de la ruptura de isospín sobre el condensado de quarks de un gas de piones a temperatura finita Ricardo Torres Andrés bajo la dirección de Ángel Gómez Nicola Departamento de Física Teórica II Universidad Complutense de Madrid Resumen En el presente trabajo se introducirán las herramientas y conceptos fundamentales necesarios a la hora de construir una teoría efectiva de baja energía para la interacción fuerte en física de mesones con sabores ligeros (u y d), haciendo uso de técnicas basadas en la simetría quiral. A partir de aquí se estudiarán los efectos de ruptura de isospín en el cálculo del condensado de quarks del gas a temperatura finita, < qq > T, implementados en la teoría de perturbaciones quiral (ChPT) mediante la combinación de dos mecanismos: la inclusión de efectos electromagnéticos de carga y la ruptura intrínseca m u m d.

2 Índice 1. Física de mesones ligeros Dos diferencias sobre SU(3) Grupo de isospín y extrañeza El modelo quark. The eightfold way Clasificación de hadrones y el nonete de mesones J P = QCD y el régimen de baja energía Grados de libertad y simetrías Ruptura de simetrías El patrón de ruptura SU(2) L SU(2) R SU(2) V en L QCD Simetrías de la parte fermiónica de L QCD Influencia de la ruptura espontánea y explícita de la simetría quiral en el espectro hadrónico Modelos efectivos en física de piones LσM Mecanismos de SSB y de ruptura explícita NLσM Efectos de temperatura finita: restauración de la simetría quiral Un modelo sencillo: The bag model El condensado de quarks como parámetro de orden Teoría de perturbaciones quiral (ChPT) con dos sabores Loops y contaje quiral Teorema de contaje de Weinberg y desarrollo a baja energía Renormalización orden a orden Correcciones térmicas y acoplo electromagnético a un loop sobre el condensado de quarks Sector electromagnético de ChPT Funcional generador y condensado de quarks Correcciones térmicas al condensado Amplificación de los efectos de ruptura de isospín sobre el condensado Evolución térmica del condensado e Efectos de ruptura de isospín intrínseca sobre el condensado ūu y dd Conclusiones y futuras líneas de trabajo 30 A. Esquema de regularización dimensional 33 B. Formalismo de tiempo imaginario (ITF) y propagador de Matsubara para el campo escalar libre 34 B.1. Suma sobre frecuencias

3 1 FÍSICA DE MESONES LIGEROS 1. Física de mesones ligeros 1.1. Dos diferencias sobre SU(3) SU(3) es el grupo de transformaciones isomorfas al conjunto de matrices unitarias 3 3 con determinante +1. Como grupo de Lie, puede ser sustituido por su plano tangente en un entorno de la identidad, esto es, g(θ) = id + 8 i=1 X iθ i, g SU(3), siendo θ i cada uno de los parámetros continuos de los que dependen los elementos abstractos del grupo, y X i cada uno de los 3 2 1= 8 generadores (en general, cualquier conjunto de 8 matrices linealmente independientes hermíticas y de traza nula que satisfagan las relaciones de conmutación del grupo, que se expondrán a continuación, son válidas; puede escogerse por ejemplo la representación fundamental consistente en las 8 matrices 3 3 de Gell-Mann {λ i } 8 i=1 ). El álgebra de Lie de los generadores de SU(3) viene completamente determinada por las relaciones de conmutación [X a,x b ] = 2i c f abcx c, donde f abc son sus constantes de estructura. Señalamos ahora algunos resultados que pueden ser de utilidad a la hora de abordar el estudio de la clasificación de la Física de Partículas: RESULTADO 1. El conjunto {X 1,X 2,X 3 } cierra bajo conmutación y forma un subgrupo SU(2) SU(3). RESULTADO 2. {X 1,X 2,X 3,X 8 } forma un subgrupo U(2) SU(2) U(1) en SU(3). RESULTADO 3. El rango de SU(3) es 2, que es también el número máximo de generadores diagonales del grupo, λ 3 y λ 8, y el número de operadores de Casimir que pueden formarse. La representación fundamental de SU(3) es esencialmente un triplete. Sus únicas matrices diagonales son λ 3 = diag(1, 1,0) λ 8 = 1 diag(1,1, 2) 3 y sus autovectores pueden elegirse como la base canónica de R Grupo de isospín y extrañeza El modelo SU(3) de isospín y extrañeza es un modelo fenomenológico que explota el hecho de que los hadrones pueden agruparse en los multipletes que generan las representaciones irreducibles del grupo SU(3). La idea fundamental se basa en los estudios que Heisenberg llevó a cabo para dotar a los estados del protón y del neutrón de una simetría interna aproximada bajo SU(2) definiendo así una única partícula, el nucleón. En este modelo, la única cantidad conservada (caracterizada por el autovalor del único operador de Casimir del grupo, S z ) se denominó spin isotópico o isospín. La razón basal de incluir protón y neutrón como dos estados con isospín distinto de una misma partícula se ajusta al el hecho experimental de que ambas partículas poseen una masa prácticamente igual sólo desequilibrada por el acoplo a interacción electromagnética. Desde el descubrimiento, en 1947, del pión, muchas otras partículas hadrónicas susceptibles de interactuar fuertemente fueron halladas. Sorprendentemente algunas poseían una 1

4 1 FÍSICA DE MESONES LIGEROS vida media mucho mayor de acuerdo a la escala de tiempos de desintegración típica en la interacción fuerte, a pesar de ser suficientemente masivas como para desintegrarse en objetos más ligeros sin violar las leyes de conservación de la carga y el número bariónico. Gell-Mann y Nishijima tomaron estos hechos como una manifestación clara de la existencia de un nuevo número cuántico al que denominaron extrañeza, S. Asignaron a cada hadrón un número entero que la representaba S = 0 π,n,... S = 1 K +... S = 1 Γ,Σ... y que, junto con la asociación de S para cada antipartícula correspondiente, permitía suponer una nueva ley de conservación para las interacciones fuertes y electromagnéticas, a saber: S debe conservarse. De acuerdo a la existencia de un segundo número cuántico conservado, además de la tercera componente de isospín I 3, se propuso aumentar la dimensionalidad del grupo de simetría interna (hasta entonces SU(2) de isospín) de modo que diera lugar a un grupo de rango 2. La propuesta más sencilla fue la del grupo SU(3), que habría de contener a cada una de las partículas del espectro hadrónico con características similares en forma de multipletes, del mismo modo que SU(2) agrupaba protón y neutrón como un doblete de isospín. La estructura de multipletes de SU(3) se consideró equivalente a la clasificación de la tabla periódica de Mendeleiev y, como ésta, parecía indicar una cierta subestructura subyacente a todo el formalismo El modelo quark. The eightfold way El modelo de quarks surge del grupo de isospín y extrañeza, como consecuencia de la asignación de entidad física a los estados de la representación fundamental del grupo SU(3). De esta manera, aparecen tres estados internos que corresponden a tres quarks: u, d y s 1. De acuerdo a este modelo, todos los hadrones están constituidos de una pequeña variedad de quarks ligados de diferentes formas. Este grupo SU F (3), llamado de sabor, puede descomponerse en subgrupos de varias maneras dando lugar a distintos modelos físicos, no todos igual de benévolos respecto al experimento. En concreto, uno de ellos nos será de gran utilidad puesto que implementa de forma aproximada la simetría SU(2) de isospín a partir de considerar que los quarks u y d tienen la misma masa. El modelo SU F (3) fue propuesto por Gell-Mann en los años 60 y se conoce como the eightfold way. Los números de isospín e hipercarga, así como del operador Q = I 3 + Y 2 para los quarks u, d y s, vienen dados en la tabla (1) Clasificación de hadrones y el nonete de mesones J P = 0 La clasificación de los hadrones se hace a partir de las diferentes representaciones del grupo SU F (3) (de sabor) a las que pertenece cada partícula. Por ejemplo, los mesones se 1 Los quarks pesados c, b y t se descubrieron posteriormente. 2

5 1 FÍSICA DE MESONES LIGEROS Quark spin B I 3 S Y Q u 1/2 1/3 1/2 0 1/3 2/3 d 1/2 1/3 1/2 0 1/3 1/3 s 1/2 1/ /3-1/3 Tabla 1: Números cuánticos de los quarks ligeros forman a partir de un quark, en la representación 3; y de un antiquark, en la representación 3. Los estados ligados de estas partículas se realizarán en alguna de las representaciones en que se puede descomponer su producto directo, en este caso 3 3 = 8 1 es decir, darán lugar a un octete de mesones y a un singlete formado por una sola partícula (en conjunto: el nonete de mesones). La estructura de multipletes resultante se muestra en la figura (1) y puede obtenerse rápidamente superponiendo el centro de gravedad del multiplete antiquark-quark en cada elemento del multiplete de quarks. Figura 1: Nonete de mesones J P = 0 Hay que tener en cuenta que si este grupo de simetría fuera exacto todos los miembros del multiplete tendrían la misma masa, cosa que no ocurre ni siquiera de forma aproximada. Por ejemplo, en el centro del diagrama de pesos residen las partículas η y η, cuyo desdoblamiento en masa es mucho mayor del que puede admitir el modelo quark (problema conocido como η η mass splitting o η η puzzle). De hecho, el singlete de SU F (3) viene representado por la partícula η y difiere mucho de las masas típicas del octete. La razón de esta discrepancia se debe a que η está relacionada con la anomalía axial de la simetría bajo U A (1), estudiada en QCD QCD y el régimen de baja energía La cromodinámica cuántica es, hoy por hoy, la teoría comúnmente aceptada 2 y usada para la descripción del sector de interacción fuerte en el Modelo Estándar. Se trata de una teoría gauge no abeliana renormalizable con 8 bosones gauge vectoriales correspondientes a cada uno de los ocho generadores del grupo gauge SU C (3) o grupo 2 Al menos, en palabras de M. Le Bellac, no existe un serio competidor que se oponga a su supremacía. 3

6 1 FÍSICA DE MESONES LIGEROS SU(3) de color. En ella los quarks son fermiones de spin 1/2 que se transforman como los multipletes a los que da lugar la representación fundamental de dicho grupo. Existen seis familias de quarks o seis sabores diferentes: up (u), down (d), strange (s), charm (c), beauty (b) y top (t), aunque los últimos tres son considerados pesados y no juegan un papel relevante en el rango de energías que nos ocupará a lo largo de este trabajo 3. Está respaldada ampliamente por evidencias experimentales desde su creación e implementa dos características fundamentales de la interacción fuerte, a saber: confinamiento y libertad asintótica. La libertad asintótica aparece en fenómenos de muy alta energía, donde los quarks interactúan muy débilmente. Fue descubierta en los años 70 por D. Politzer, F. Wilczek y D. Gross, trabajo por el cual recibirían el premio Nobel de Física en El confinamiento es el responsable de que a bajas energías los quarks se encuentren ligados formando hadrones. Todavía no ha sido demostrado analíticamente pero su existencia es ampliamente aceptada debido a dos razones: hasta el momento, no se han encontrado estados de quarks libres; y aparece de forma natural en modelos de QCD basados en simulación en retículos (lattice QCD). En efecto QCD presenta, como todas las teorías gauge renormalizables, una dependencia en la constante de acoplo, g, respecto a la escala de energías (Q) (running coupling constant). El carácter no abeliano de la teoría hace que la constante de acoplo tienda a cero como la inversa del logaritmo de la escala de energía cuando la escala tiende a infinito, implementando así la libertad asintótica y permitiendo una expansión en serie de potencias respecto a la constante de acoplo g(q 2 ) para fenómenos de alta energía (alta transferencia de momento o hard processes: energías típicas superiores a 1 GeV o, si se quiere ver de otro modo, distancias cortas de aproximadamente r < 0,1 fm). Cuando la escala de energías decrece la constante de acoplo aumenta impidiendo un tratamiento perturbativo en potencias de g(q 2 ). Los llamados soft processes (energías menores de 1 GeV, distancias grandes r > 1 fm) : fenómenos con baja transferencia de momento, o que involucran propiedades hadrónicas de baja energía (masa, anchuras de resonancia, longitudes de scattering, etc.) han de ser estudiados mediante técnicas no perturbativas, principalmente a través de modelos efectivos que incorporan las simetrías relevantes del lagrangiano de QCD, o mediante simulaciones en el retículo. En el presente trabajo estaremos interesandos en modelos efectivos, y en especial en el más productivo de los planteados: la llamada teoría de perturbaciones quiral (ChPT), cuyo formalismo se basa en incorporar todas las simetrías del lagrangiano de QCD así como los mecanismos que provocan su ruptura, en especial los patrones de ruptura de la llamada Simetría Quiral. Las teorías de campos efectivas juegan un papel fundamental en la Física, no sólo en el contexto de la interacción fuerte, sino también en otras áreas: interacción débil, modelos de spin, magnetismo, etc. En realidad, una de sus características más importantes es su universalidad: el tratamiento para el comportamiento superconductor de láminas compuestas de ciertas sustancias antiferromagnéticas es muy similar al que se efectúa en los modelos efectivos de QCD. La razón es que las teorías efectivas explotan las propiedades de simetría que subyacen en la teoría y son independientes del modelo que describe la dinámica de los campos involucrados. Realmente el desarrollo de la teoría de perturbaciones quiral comienza 3 De hecho sólo usaremos dos sabores, prescindiendo del quark s. 4

7 2 GRADOS DE LIBERTAD Y SIMETRÍAS mucho antes 4 de que se supiera que la interacción fuerte pudiera describirse a través de campos locales. 2. Grados de libertad y simetrías En 1960 Nambu encontró que la pequeña masa del pión podía ser explicada en base a consideraciones de simetría. Su argumento yacía sobre el concepto de que una simetría continua podía ser espontáneamente rota. Si ésto sucedía el espectro de la teoría había de contener indefectiblemente partículas sin masa, llamadas bosones de Nambu-Goldstone 5. Si la simetría era sólo aproximada, los bosones que aparecían en el espectro estaban dotados de una cierta masa (en general pequeña comparada con el resto del espectro). De acuerdo a este supuesto, los piones son ligeros debido a que son los bosones de Nambu-Goldstone de una simetría aproximada. A baja energía estos bosones interactúan débilmente unos con otros y con otras partículas más masivas que puedan incluirse en la teoría por lo que en adelante, para nosotros y en este régimen, QCD se implementará mediante una teoría efectiva en la que los piones serán los grados de libertad activos Ruptura de simetrías Dependiendo del comportamiento bajo la dinámica de la teoría, una simetría dada del lagrangiano puede manifestarse o realizarse físicamente de varias maneras, todas ellas presentes en la naturaleza. 1. La simetría permanece exacta en el lagrangiano y en el vacío. Se realiza entonces mediante el llamado modo Weyl-Wigner. Aparece, por ejemplo el grupo SU(3) de color, o la simetría de QED bajo U(1) que da lugar a la conservación de la carga. 2. La simetría es exacta en el marco clásico pero desaparece a nivel cuántico (< µ j µ > 0). En ese caso se produce una anomalía 6 y la simetría no es tal. Por ejemplo dentro del Modelo Estándar, la simetría global axial bajo U A (1). 3. La simetría se rompe explícitamente por términos del lagrangiano que no son invariantes bajo el grupo que la implementa. En este trabajo tendremos ocasión de ver cómo la simetría de isospín de la parte fermiónica del lagrangiano de QCD se rompe explícitamente debido a acoplo electromagnético o a la diferencia de masas de los quarks u y d. Cabe mencionar que quizá estos términos sean pequeños en relación con las escalas típicas a las que se trabaje y la simetría pueda considerarse aproximada, siendo su utilidad determinada empíricamente. 4. La simetría puede romperse espontáneamente (SSB 7 ) dando lugar a una realización según el modo de Nambu-Goldstone. Este fenómeno se produce cuando el lagrangiano 4 Alrededor de Goldstone estableció las implicaciones de la ruptura espontánea de simetría en una forma matemática precisa. 6 Las anomalías relacionadas con grupos gauge no están permitidas en el Modelo Estándar. 7 Spontaneous Symmetry Breaking. 5

8 2 GRADOS DE LIBERTAD Y SIMETRÍAS es invariante bajo un cierto grupo pero no así el vacío, por tanto la simetría no se observa en el espectro de estados físicos (generados a partir de 0 ). En realidad una simetría espontáneamente rota no está rota, sigue presente pero su realización implica que está escondida de algún modo y no es posible apreciarla en el espectro 8. La existencia de una simetría espontáneamente rota puede caracterizarse por el hecho de que el valor esperado en el vacío para determinados campos es no nulo 0 φ 1...φ n 0 0, de hecho puede usarse, y será uno de los observables clave a lo largo de este trabajo, un objeto de este estilo para caracterizar la evolución de la simetría respecto, por ejemplo, a la temperatura. Una aproximación matemática a la ruptura espontánea puede hacerse del siguiente modo: sea exp(iαq), α R, un elemento de un cierto grupo de simetría para el lagrangiano de una cierta teoría, si el vacío es invariante bajo el grupo se tiene exp (iαq) 0 = 0, α R, luego, trabajando en el álgebra de Lie del grupo, se tiene la siguiente relación para el generador Q Q 0 = 0. Supongamos ahora que el vacío no comparta el carácter invariante bajo cualquier elemento del grupo; esto es exp (iαq) 0 := α Q 0 0, ahora bien, Q es una carga Noether y es conservada luego Q = 0 = [Q,H]; así que α y el vacío tienen la misma energía. En efecto, sea E 0 la energía del estado de vacío, entonces H α = H exp (iαq) 0 = exp (iαq)h 0 = E 0 α. Debido a que el grupo de simetría es un grupo de Lie, debe haber una familia continua de estados degenerados con el vacío relacionados mediante transformaciones bajo el grupo generado por Q. Desde el punto de vista de la teoría cuántica de campos, cualquier excitación del vacío es considerada como una partícula. La energía mínima de excitación se corresponde con la masa de la partícula luego, entonces, la presencia de un mecanismo de ruptura espontánea de simetría en una teoría indica la existencia de excitaciones de energía cero (partículas sin masa) con los mismos números cuánticos que los generadores del grupo de simetría, o de las cargas Noether conservadas si se prefiere, que no dejan invariante al estado de vacío. Por cada generador roto aparecerá un tipo distinto de partícula, lo que puede considerarse un anticipo del teorema obtenido por Goldstone, descrito con mayor detalle en la sección siguiente El patrón de ruptura SU(2) L SU(2) R SU(2) V en L QCD Simetrías de la parte fermiónica de L QCD Con el fin de extraer toda la información posible relativa a simetrías y construir una teoría efectiva que incorpore todas estas características a baja energía, analizaremos la parte 8 Ver [2]. 6

9 2 GRADOS DE LIBERTAD Y SIMETRÍAS fermiónica del lagrangiano de QCD 9. Ésta tiene la forma L f QCD = q ( i /D M ) q (1) donde /D incluye el acoplo de los ocho campos gauge de gluones, que no serán considerados explícitamente en lo relativo a análisis del patrón de ruptura de la simetría quiral por resultar identidades en el espacio de sabor; q, en el caso que nos ocupa, es el doblete de cuadriespinores (u,d), q su conjugado de Dirac y M = diag(m u,m d ) M 2 2 es la matriz de masas. Para simplificar el análisis separaremos las partes de quiralidad left y right mediante el uso de los proyectores quirales P L y P R. DEFINICIÓN 1 (Proyectores quirales). P R := 1 2 (1 + γ 5), P L := 1 2 (1 γ 5) Con ellos podemos separar los dobletes de campos espinoriales con quiralidad definida q L = P L q, q R = P R q (2) y escribir de nuevo el lagrangiano en función de ellos. Ahora evaluemos el comportamiento bajo el grupo quiral SU L (2) SU R (2), donde SU L (2) tiene como elementos e iαl a τ a y SU R (2), e iαr a τa, con α L, α R R 3 y {τ a } las matrices de Pauli. RESULTADO 4. SU L (2) SU R (2) SU L+R (2) SU L R (2) := SU V (2) SU A (2) donde SU V (2) es el grupo vectorial o de isospín y SU A (2) es el conjunto de transformaciones axiales. 10 RESULTADO 5. Si M 0 entonces L f QCD es invariante bajo el grupo SU V (2) SU A (2) U V (1) U A (1). Demostración. Las partes que incluyen derivadas covariantes en L R,L entre dobletes de distinta quiralidad y los términos de masa que involucran dobletes de igual quiralidad se anulan. En efecto, por ejemplo q L Mq L = (γ 0 q L ) Mq L = (P L q) γ 0 Mq L = q P L γ 0 MP L q = q γ 0 MP L P R q = 0 ya que P L γ 0 = γ 0 P R. Por otro lado q R (i /D)q L = (γ 0 P R q) i /DP L q = iq γ 0 /DP R P L q = 0, puesto que P R γ µ = γ µ P L. Los términos que no se anulan dan lugar a L QCD = i( q R /Dq R + q L /Dq L ) ( q L Mq R + q R Mq L ). Hagamos ahora actuar al grupo quiral sobre los dobletes de biespinores en el lagrangiano con M = 0, mediante SU L,R (2) = e iαl,r a τ a, es decir q L,R ˆq L,R = e iαl,r a τ a q L,R. 9 El resto del lagrangiano presenta invariancia bajo el grupo quiral por lo que nos centraremos sólo en las simetrías susceptibles de sufrir ruptura a causa de la variación en los parámetros de la teoría. 10 α L = α V + α A, α R = α V α A. 7

10 2 GRADOS DE LIBERTAD Y SIMETRÍAS Resulta entonces que, por ejemplo (γ 0ˆq R ) /Dˆq R = q R e i α R τ γ 0 /De i α R τ q R, sin embargo γ 0 /D actúa sobre objetos con índices Lorentz y es una identidad en el espacio de sabor así que i(γ 0ˆq R ) /Dˆq R = i q R /Dq R. Lo mismo sucede para i q L /Dq L luego queda demostrada la invariancia bajo el grupo quiral. La invariancia de L M=0 QCD bajo cambios de fase global, es decir, bajo U V (1) es inmediata y la simetría bajo elementos del conjunto de transformaciones unitarias axiales e iaγ 5 U A (1) se demuestra, por ejemplo, al evaluar el cambio en el lagrangiano tras una transformación infinitesimal usando las propiedades de la γ 5. RESULTADO 6. Si M 1, es decir si m u = m d 0, entonces L f QCD bajo el grupo de isospín SU V (2). solamente es invariante Demostración. En este caso es más útil trabajar con el álgebra de Lie de los subgrupos quirales L y R. Haciendo actuar una transformación infinitesimal sobre el término de masas se tiene ( 1 i αl τ + O(α 2 ) ) γ 0 M ( 1 + i α R τ + O(α 2 ) ) = γ 0 M + iγ 0 M α R τ i α L τγ 0 M + O(α 2 ) y para que se cumpliera la condición de invariancia debiera ser iγ 0 M α R τ = i α L τγ 0 M, que sólo se cumple si α R = α L. Nótese que si α R = α L (correspondiente al conjunto de transformaciones axiales) este término no es invariante. RESULTADO 7. La presencia del término qmq en L f QCD simetría bajo el conjunto SU A (2). induce una ruptura explícita de la RESULTADO 8. Si m u m d 0 entonces L f QCD quiral. no es invariante bajo ningún subgrupo Demostración. La demostración es inmediata sin más que escribir el lagrangiano completo transformado bajo el grupo quiral: L QCD = i( q L /Dq L + q R /Dq R ) (q L e i α L τ γ 0 Me i α R τ q R + q R e i α R τ γ 0 Me i α L τ q L ) Influencia de la ruptura espontánea y explícita de la simetría quiral en el espectro hadrónico El lagrangiano con M = 0 tiene una motivación física evidente en el contexto de partículas ligeras, y es particularmente sencillo para investigar las propiedades de simetría de la teoría. Se tiene entonces una simetría completa bajo el grupo quiral que hace que la interacción fuerte sea invariante bajo rotaciones quirales. 8

11 2 GRADOS DE LIBERTAD Y SIMETRÍAS La simetría bajo SU V (2) SU A (2) origina tres corrientes vectoriales y tres corrientes axiales conservadas 11 Vµ a 1 = qγ µ 2 τa q, A a 1 µ = qγ µ γ 5 2 τa q (3) cuyas cargas Noether, a nivel clásico, pueden escribirse como Q a = d 3 x qγ τa q, Q a 5 = d 3 x qγ 0 γ τa q. (4) Estas cantidades conservadas son los generadores del grupo quiral. Vafa y Witten mostraron [3] que ha de cumplirse Q a 0 = 0, sin embargo para las cargas Noether vinculadas a la corriente axial la simetría podría realizarse de dos maneras distintas: 1. Q a 5 0 = 0. El vacío es invariante bajo rotaciones quirales y la simetría bajo el grupo quiral se realiza según el modo Wigner-Weyl. El espectro hadrónico consiste en multipletes degenerados que se transforman bajo las representaciones irreducibles del grupo quiral. Dado que SU A (2) deja invariante el vacío, los multipletes de isospín tienen compañeros quirales degenerados en masa y de paridad opuesta (por cada hadrón, es posible generar a partir de una transformación axial vía SU A (2) otro estado con los mismos números cúanticos a excepción de la paridad, que resultaría opuesta respecto del estado original). 2. Q a En este caso el vacío no es simétrico bajo rotaciones quirales y se produce una ruptura espontánea de la simetría quiral (realización de Nambu-Goldstone). El espectro consiste en multipletes del subgrupo que deja invariante el vacío (multipletes de SU V (2) o de isospín). En la naturaleza los multipletes de isospín no aparecen en forma de pares de paridad opuesta así que debemos rechazar la realización de Weyl-Wigner y suponer que la simetría quiral está espontáneamente rota a bajas energías. En efecto, por ejemplo, el triplete de piones J P = 0 tiene paridad negativa y no se encuentra degenerado en masa con el triplete de isospín 0 +, uno de sus posibles compañeros quirales formado por las partículas a 0, ya que existe una importante diferencia de unos 840 MeV. Las consecuencias de esta realización vienen caracterizadas por el teorema de Nambu- Goldstone: TEOREMA 1 (de Nambu-Goldstone). Por cada generador de una simetría continua roto por el vacío de la teoría, debe aparecer una partícula (bosón de Goldstone) de masa nula con los mismos números cuánticos que el generador. COROLARIO 1. En el límite M = 0, la ruptura espontánea de la simetría bajo SU A (2) provoca la aparición de tres partículas de masa nula que se transforman de acuerdo a π a = ψγ µ γ τa ψ y por tanto tienen momento angular J = 0, paridad negativa P = 1 e isospín I = La invariancia bajo U V (1) y U A (1) no deja más que una corriente conservada en el lagrangiano massless completo de QCD: V µ 0 relacionada con U V (1), ya que la simetría bajo U A (1) presenta una anomalía, es decir, µ A µ 0 0 a nivel cúantico. 9

12 2 GRADOS DE LIBERTAD Y SIMETRÍAS Si los piones tuvieran masa nula podríamos identificarlos con los bosones de Goldstone resultantes de la ruptura espontánea, sin embargo presentan una masa de aproximadamente 140 MeV que, si bien es considerablemente menor que la masa de las restantes partículas del espectro hadrónico, no puede considerarse tajantemente nula. Qué sucede? La respuesta es sencilla si se advierte que estamos trabajando en el régimen en el que los quarks u y d tienen masa nula. Sabemos que ésto no es cierto ya que en nuestro mundo de baja energía m u m d 0, así que la simetría quiral es sólo aproximada: se encuentra rota explícitamente por el término de masas y las corrientes A a µ y Vµ a ya no se conservan. El hecho de que los bosones de Goldstone de la teoría tengan masa (constituyendo en sentido estricto pseudobosones de Goldstone) se debe al carácter masivo de los quarks u y d. Sin embargo la masa de éstos es pequeña comparado con la escala Λ χ, por debajo de la cual tiene sentido tomar un límite de baja energía en QCD 12, y puede considerarse nula en primera instancia (límite quiral) suponiendo válida la simetría de isospín y una ruptura espontánea de la simetría axial. Es posible relacionar (ver [2]) las masas de los bosones de Goldstone con los valores esperados en el vacío de los escalares bilineales ūu y dd 13 a tree level, mediante las llamadas relaciones GOR 14 Mπ 2 = m u + m d Fπ 2 0 qq 0 (5) donde qq representa ūu o dd, iguales a primer orden a F 2 πb, F π es la constante de desintegración del pión y B es un cierto factor. Resulta entonces M 2 π = (m u + m d )B + Términos de orden superior (6) Han aparecido ya dos constantes de baja energía que serán importantes a lo largo del trabajo: F π y B. Un tratamiento pormenorizado de estas cuestiones puede verse en [4] Modelos efectivos en física de piones El procedimiento general de trabajo será encontrar un lagrangiano efectivo que implemente la física de una teoría más general en un régimen de baja energía. Será posible, entonces, integrar los campos pesados escribiendo la teoría en función únicamente de los campos ligeros. Los efectos de campos pesados no tienen por qué ceder toda influencia sobre los modelos efectivos de baja energía ya que pueden manifestarse, por ejemplo, a la hora de renormalizar los resultados LσM Un modelo tradicionalmente usado para exportar y explotar los conceptos asociados a la simetría quiral en física de piones es el denominado modelo sigma lineal. 12 Ver sección 3. Puede considerarse Λ χ 1 GeV. 13 Estos valores esperados serán lo que, en breve, llamaremos condensados de quarks. 14 Gell-Mann, Oakes y Renner. 10

13 2 GRADOS DE LIBERTAD Y SIMETRÍAS En un principio 15 el LσM fue pensado para estudiar la simetría quiral en el sistema pión-nucleón aunque, posteriormente, se incorporaron mecanismos que implementaban la ruptura espontánea. Aunque, como se verá, tiene algunos problemas técnicos en su implementación fenomenológica, representa un punto de inicio interesantísimo a la hora de estudiar la física de piones puesto que trabaja con prácticamente la totalidad de los grados de libertad relevantes en el régimen de baja energía y presenta de forma clara todos los mecanismos físicos interesantes que tienen lugar cuando se rompen las simetrías. En este documento no tendremos en cuenta campos fermiónicos, aunque pueden incluirse sin problemas nucleones y quarks. La parte mesónica del lagrangiano del modelo sigma lineal consiste en cuatro campos escalares: un campo escalar adicional denominado campo σ y un triplete de campos π que usualmente se interpreta como el triplete de piones, como tendremos ocasión de ver a continuación. Estos campos forman un cuadrivector (σ, π) y el lagrangiano de la parte mesónica, invariante bajo el grupo O(4) SU(2) SU(2) 16, es L LσM = 1 2 ( σ) ( π)2 1 2 m2 σ m2 π 2 λ 4 ( σ 2 + π 2) 2 ǫσ (7) donde, como veremos, la parte ǫσ se introduce para dotar a la teoría de una ruptura explícita de simetría quiral y, por tanto, en ausencia de este último término los piones carecen de masa. Por último, el parámetro m 2 se elige negativo para obtener ruptura espontánea de simetría quiral en la teoría, como veremos en El lagrangiano (7) con en el límite quiral (piones como verdaderos bosones de Goldstone y, por tanto, ǫ = 0) puede ser escrito en términos de la matriz Σ := 1 v (σ id 2 2 +i π τ), con v 2 := m2 λ. En efecto, de este modo se convierte en L LσM = v2 ( 4 tr µ Σ µ Σ ) m2 4 v2 tr (ΣΣ ) λ v4 ( 16 tr2 ΣΣ ). (8) RESULTADO 9. Los campos σ y π se transforman, a primer orden, bajo una rotación quiral en la forma σ = σ ( α L α R ) π (9) π = π 1 2 ( α L α R )σ 1 2 π ( α L + α R ) (10) RESULTADO 10. Los objetos i qq y qγ 5 τq se transforman bajo rotaciones quirales del mismo modo que los campos σ y π. 15 Allá por Por lo que comúnmente se denomina a toda esta estructura modelo sigma O(4). 11

14 2 GRADOS DE LIBERTAD Y SIMETRÍAS De este modo resulta posible, a priori, relacionar el campo σ con la resonancia f 0 (600) dado que ambos tienen los mismos números cuánticos (J = 0, P = +1, I = 0) 17, y al triplete π con el triplete de mesones pseudoescalares {π +,π 0,π }. RESULTADO 11. L LσM tiene el mismo comportamiento que la parte fermiónica del lagrangiano de QCD bajo el grupo quiral a través de las transformaciones L SU L (2) y R SU R (2). Demostración. La prueba se efectúa advirtiendo que el campo Σ se transforma bajo el grupo quiral como Σ Σ = LΣR (11) Para la parte massless podríamos haber usado el hecho de que el lagrangiano es invariante bajo O(4) y éste es isomorfo a SU L (2) SU R (2) Mecanismos de SSB y de ruptura explícita En lo siguiente analizaremos brevemente los mecanismos de ruptura explícita en el modelo sigma lineal. Un tratamiento pormenorizado puede encontrarse en [2] ó [7]. En primer lugar analicemos el modelo LσM en el límite quiral: el potencial toma la forma V (σ, π) = 1 2 m2 (σ 2 + π 2 ) λ(σ2 + π 2 ) 2, m 2 < 0. (12) El vacío de la teoría de campos está definido por el mínimo valor esperado del Hamiltoniano. En aproximación de tree level el valor esperado en el vacío de los campos es igual al valor de los campos en el mínimo de potencial, luego buscando el mínimo de (12) encontraremos candidatos a representar el vacío en el modelo LσM. Es fácil comprobar que el conjunto de campos que satisfaga σ 2 + π 2 = m2 λ =: v2 (13) conduce a un mínimo en el potencial dando lugar a una estructura de vacío, a priori, degenerada. Elijamos el vacío de la teoría como el cuadrivector (σ 0, π 0 ) = (v, 0), con lo que vemos que la invariancia O(4) del lagrangiano no se comparte con el vacío de la teoría, que sólo lo es bajo O(3) (SU V (2), α L = α R ). Aplicando el teorema de Goldstone podríamos colegir que han de aparecer tantos bosones como generadores rotos por el vacío. En este caso pasamos de N(N 1) 2 N=4 = 6 a 3, luego se han roto tres generadores y deben aparecer tres partículas bosónicas sin masa. El patrón de ruptura es SU L (2) SU R (2) O(4) O(3). Mediante un reescalado del valor de los campos en el mínimo de potencial es posible reparametrizar el cuadrivector de campos en términos de v. Efectivamente, pueden formarse los nuevos campos π, η = σ v. 17 En realidad ésto no es del todo correcto diversas razones, algunas de las cuales serán comentadas más adelante. Sobre este tema pueden consultarse, por ejemplo, [5] y [6]. 12

15 2 GRADOS DE LIBERTAD Y SIMETRÍAS Al escribir el lagrangiano en función de los campos reescalados se obtiene L LσM = 1 2 µ π µ π µη µ η 1 2 m2 ηη 2 + λ 4 η4 + λ 4 ( π 2 ) 2 + λvη 3 + λ 2 η2 π 2 + λvη π 2 (14) donde m 2 η := 2m2. Es decir, además de no presentar los indicios de simetría bajo O(4) que presentaba anteriormente (la simetría se ha roto espontáneamente), han aparecido tres nuevos campos y se ha dotado de masa a η. Añadiendo la ruptura explícita se incorpora un término igual a ǫσ = ǫ 4 tr(σ + Σ ), que hace que el potencial sea asimétrico. A primer orden en ǫ se cambia el mínimo del potencial a v = m2 λ + ǫ 2m 2 que dota a los bosones de Goldstone de una masa m 2 π = ǫ v. Veamos ésto con mayor detalle usando la representación exponencial (ver [2]). En ella, el término de ruptura explícita se escribe L r.exp = ǫ 4 (v + S) tr ( U + U ) = ǫ 4 (v + S) tr (2 ( ) τ π ) = v ǫ(v + S) ǫ 2v π π + = ǫ(v + S) m2 π π π +..., (15) 2 con S := ( ) (η + v) 2 π 2 v, y U := exp i τ π v. La simetría bajo el grupo quiral completo se ha roto pero sigue existiendo una simetría exacta bajo el grupo de isospín SU(2) O(3) NLσM El modelo NLσM puede obtenerse desacoplando el campo σ al modelo LσM, es decir, suponiendo que el rango de energías al que se trabaja es lo suficientemente pequeño como para considerar que el triplete de piones constituye el acervo completo de grados de libertad de la teoría. El comportamiento del modelo sigma lineal cuando se intenta desacoplar el campo σ se analiza mejor en la representación exponencial (ver de nuevo [2]), ya que el parámetro S puede expandirse en serie de potencias inversas de v resultando que el lagrangiano puede escribirse en función de la matriz de campos Σ := σ + i π τ = (v + S)U, con U := exp ( i τ π v y S := (η + v) 2 π 2 v = η +... El NLσM se obtiene de la representación exponencial del modelo sigma lineal con S = 0, por ello L NLσM = v2 ( 4 tr µ U µ U ). (16) Para añadir un término de ruptura explícita consistente con las simetrías del lagrangiano de QCD hay que considerar, como hemos visto en 2.3.2, un término de la forma b 0 tr ( M(U + U ) ), donde b 0 es una constante que no puede predecir el modelo y M es la matriz de masas diag(m u,m d ). 13 ) ;

16 2 GRADOS DE LIBERTAD Y SIMETRÍAS Deducimos entonces que L NLσM tiene el mismo comportamiento que la parte fermiónica del lagrangiano de QCD bajo rotaciones quirales. La prueba de esto es inmediata ya que es similar a la efectuada en LσM ya que la matriz de campos U se transforma bajo L SU L (2) y R SU R (2) de la misma manera que Σ, es decir, como (11). Habría sido posible incorporar un término que rompiera explícitamente la simetría quiral y reprodujera las simetrías correctas a través de la matriz U a orden m 2 en la masa de los quarks, sin embargo se elige el término con dependencia lineal en la masa por analogía con el término de masas del lagrangiano de QCD, y por ser el orden lineal en un desarrollo perturbativo en potencias de M. Esta cuestión será estudiada con detalle en la sección Efectos de temperatura finita: restauración de la simetría quiral Cuando se incluyen consideraciones termodinámicas en una teoría cuántica de piones basada en simetría quiral sucede algo interesante: parece observarse que la simetría se restaura dinámicamente a temperaturas suficientemente altas, y el sistema atraviesa una transición de fase. Simulaciones de QCD en retículos sugieren que esto sucede a una temperatura de unos MeV, dependiendo del número de sabores que se use, y de las masas de los quarks. Se espera que colisiones de iones pesados en el RHIC y LHC puedan alcanzar temperaturas suficientes como para permitir estudios experimentales del deconfinamiento y la fase quiralmente simétrica de QCD Un modelo sencillo: The bag model Examinemos un modelo analítico sencillo y soluble que implemente la posibilidad del deconfinamiento y la libertad asintótica: el modelo de la bolsa (the bag model). Este modelo se usa para estudiar la transición entre la fase hadrónica y el llamado quark-gluon plasma (QGP). Sin embargo se cree que la temperatura crítica de restauración de la simetría quiral coincide con ésta así que usaremos este modelo para estimarla (de forma muy naïve, como veremos). Este modelo presenta a los hadrones como burbujas esféricas en un medio confinante. Dentro de cada bolsa los quarks se mueven libres (esta aproximación puede mejorarse incluyendo otras interacciones a nivel gluónico, pero no las consideraremos porque únicamente necesitamos un modelo sencillo). Fuera de la burbuja, quarks y gluones no pueden aparecer como partículas libres ya que están confinados dentro de la bolsa mediante una densidad de energía constante E. La energía de cada hadrón está compuesta entonces por la energía asociada a la densidad E y al volumen finito de la misma, y a la energía cinética de los quarks dentro de la burbuja. Asumiendo esfericidad para la bolsa y que la energía cinética es de la forma C/R debido al principio de incertidumbre, encontramos para la energía del hadrón E H E H = 4π 3 R3 E + C (17) R donde R es el radio de la burbuja. Es posible calcular la masa y la presión de la burbuja 14

17 2 GRADOS DE LIBERTAD Y SIMETRÍAS para el radio en el que la energía es mínima resultando M = 16π 3 R3 E, P eq = 0. Para obtener una temperatura crítica de transición a la fase QGP en un gas de bosones de Goldstone en el régimen de potencial químico nulo (µ = 0), se calcula la presión de un gas ideal de bosones sin masa y se compara con la presión obtenida para la fase de plasma (considerando quarks y antiquarks de masa nula, µ = 0 y considerando además la presencia de gluones). Comparando estas dos presiones y tomando el valor experimental de E como ( 200 MeV) 4 (calculado a partir del radio típico hadrónico de 0.8 fm), obtenemos una temperatura crítica de restauración de T c = 45E MeV (18) 17π 2 resultado que coincide razonablemente bien con las predicciones de alrededor de MeV, aportadas por lattice-qcd El condensado de quarks como parámetro de orden Como hemos visto, a bajas energías QCD está gobernada por el confinamiento de color. No es ésta la única propiedad característica ya que, además, existe una estructura de vacío no trivial: el estado fundamental de QCD alberga condensados de pares quark-antiquark debido a la ruptura espontánea y explícita de la simetría quiral, exacta en el régimen massless. La ruptura espontánea SU V (2) SU A (2) SU V (2) puede ser caracterizada por varios parámetros de orden. En teoría cuántica de campos pueden elegirse en forma de valores esperados en el vacío para ciertos operadores invariantes bajo el grupo SU V (2) pero que se transforman de forma no trivial bajo el grupo quiral completo. Si este valor esperado es no nulo, el vacío no puede ser invariante bajo el grupo quiral señalando así la existencia una ruptura de simetría 18. El operador qq es invariante bajo el grupo de isospín SU V (2), pero no lo es bajo el grupo quiral completo ya que es sensible a rotaciones quirales. En efecto qq = q L q R + q R q L. (19) Nótese que a temperaturas suficientemente altas y, como hemos visto en la sección 2.4.1, está prevista la existencia de una restauración de la simetría, por lo que se espera que el condensado tenga un carácter dinámico marcando así la existencia de dos realizaciones de simetría: de Weyl-Wigner para temperaturas por encima de la temperatura crítica de restauración (< qq>= 0), y de Nambu-Goldstone para temperaturas inferiores a ésta (< qq> 0). 18 Nótese que en el caso m u = m d 0 también hay contribución de la ruptura explícita al valor esperado en el vacío. 15

18 3 TEORÍA DE PERTURBACIONES QUIRAL (CHPT) CON DOS SABORES 3. Teoría de perturbaciones quiral (ChPT) con dos sabores Para nuestro cálculo no usaremos el modelo σ lineal puesto que, para explicar correctamente los datos experimentales, exige una constante de acoplamiento cercana a 20, que no permite un desarrollo en potencias. Existe además un inconveniente adicional: no hay necesidad de incluir una partícula σ masiva. La teoría de perturbaciones quiral es la teoría más general compatible con las simetrías y es independiente de la elección de cualquier modelo; sin embargo, veremos que los resultados que se presentarán usando ChPT al orden más bajo son los mismos que en el NLσM, donde se ha desacoplado este grado de libertad y sólo trabajamos con el triplete de piones. Como hemos dicho, ChPT es una teoría efectiva que implementa todas las simetrías del lagrangiano de QCD a bajas energías y está basada en una doble expansión en momentos y masas de los quarks, respecto a una escala típica de energías, Λ χ 4πF 1 GeV, que distingue de forma aproximada el régimen de baja energía. Esta expansión falla al llegar a momentos del orden de las primeras resonancias pesadas (alrededor de M ρ = 770 MeV). Como ya se comentó en 2.3, en este régimen de energía estas resonancias pueden tener efectos no locales en la teoría a través de las constantes de renormalización. De cualquier modo se espera que en el caso que nos ocupa (límite de muy baja energía), estos efectos estén solapados por las contribuciones de momentos de orden de p 2 /Λ 2 χ en los procesos considerados. En adelante se considerará, excepto mención expresa, simetría de isospín intrínseca, es decir m u = m d =: m. Para construir la teoría se introduce la matriz unitaria U SU(2) tal que contiene a los grados de libertad (bosones de Goldstone) ( U = exp i π τ ) (20) v y que se transforma bajo los subgrupos quirales en la forma U LUR. Asimismo se introduce el lagrangiano efectivo massless como un desarrollo en derivadas de la matriz de campos L eff = L eff (U, U, 2 U,... ) (21) y se analizan los posibles términos compatibles con las simetrías generales Lorentz; C,P,T y con la simetría quiral. Es fácil darse cuenta de que las únicas posibles contribuciones al lagrangiano efectivo tienen un número par de derivadas 19, luego es posible escribir L eff = L (2) + L (4) +... (22) donde el subíndice hace referencia al número de derivadas. Puede parecer que este análisis es una cuestión imposible puesto que infinitos términos que contribuyen al lagrangiano. Sin embargo el ingrediente fundamental que ya comentamos al principio es que se trata de una expansión en momentos, es decir, en energía. La moraleja 19 El término con ninguna derivada es trivial puesto que no altera la dinámica de la teoría. Efectivamente, con ninguna derivada solamente es posible construir algo proporcional a tr(uu ), es decir, igual a una constante. 16

19 3 TEORÍA DE PERTURBACIONES QUIRAL (CHPT) CON DOS SABORES de todo ésto es que no todos los términos contribuyen por igual y, en una teoría efectiva de baja energía, bastará con considerar sólo los términos con un número reducido de derivadas. Dado que la acción ha de permanecer adimensional puede verse fácilmente, (por ejemplo en [2]), que el coeficiente de un término con n derivadas tiene dimensión Λ 4 n χ, donde Λ χ 1 GeV es la escala de energías típica, luego el efecto de un vértice correspondiente a un término de n derivadas es de orden p n /Λχ n 4. Por esto, términos con un número mayor de derivadas tendrán un efecto muy pequeño sobre los cálculos a baja energía. En efecto cuando se consideran elementos de matriz, las derivadas µ se convierten en momentos de los piones y el desarrollo en derivadas es, entonces, un desarrollo cuadrático en momentos por lo que a bajas energías, términos superiores contribuirán cada vez menos. Estas cuestiones serán tratadas en el apartado 3.1. El término a dos derivadas tiene la forma α tr( µ U µ U ), donde α es un cierto coeficiente. Desarrollando la matriz U en términos de los campos de Goldstone resulta el término cinético: L eff µ π µ π +..., lo que permite identificar α con v 2 /4. Llamaremos en adelante contribuciones O(E n ) a aquellos términos que involucren n derivadas. Las correcciones más importantes a estos serán de orden O(E n+2 ) 20. Para ver la expansión en masas es necesario considerar términos que involucren una ruptura explícita de la simetría quiral. El término más bajo posible (lineal en masas de los quarks) con el mismo comportamiento bajo simetrías que el término de masas en el lagrangiano de QCD es de la forma β tr ( M(U + U ) ), con M la matriz de masas y β un cierto coeficiente. Debido a la expresión (6) este término lineal en m va como el cuadrado de la masa del pión luego la expansión en masas de los quarks es equivalente a una expansión en pares de derivadas y los términos M n Mπ 2n son de orden O(p 2n ). He aquí la explicación completa del carácter dual en masa y momento de la expansión en ChPT. El lagrangiano a orden más bajo (O(E 2 )) compatible con las simetrías puede escribirse entonces como L eff = v2 ( ) 4 tr( µu µ U ) + β tr M(U + U ) +... (23) Ahora bien, el lagrangiano de esta teoría al orden más bajo coincide con el lagrangiano del NLσM, es decir, escribiendo el término de ruptura en la representación exponencial de LσM, (15); en el caso S = 0, podemos obtener el coeficiente β. Efectivamente, se tiene L r.exp = vǫ 4 tr(u + U ) (24) y, recordando que la ruptura explícita dota a los piones de una masa Mπ 2 = ǫ/v, podemos escribir β = M2 π v2 8m, dando lugar a que el lagrangiano O(E2 ) sea L 2 = L NLσM = v2 4 tr( µu µ U ) + M2 πv 2 ( tr U + U ). (25) 4 En órdenes superiores el lagrangiano incorpora muchas más constantes de acoplamiento para cada término compatible con las simetrías, y cuyos valores numéricos ChPT no puede caracterizar por sí sola. Será necesario efectuar experimentos complementarios para determinarlos y poder hacer predicciones con la teoría efectiva. Estas son las llamadas constantes 20 Ha de considerarse siempre, pese a la notación usada, que la expansión se realiza en momentos o energías respecto a la escala típica de perturbaciones quirales Λ χ. 17

20 3 TEORÍA DE PERTURBACIONES QUIRAL (CHPT) CON DOS SABORES de baja energía (LEC s). Tendremos ocasión de ver que, normalmente, toman un valor 21 relativamente pequeño de aproximadamente 1/16π (ver, por ejemplo, [4] o [8]), lo que propicia el buen comportamiento de ChPT Loops y contaje quiral Como ya se ha apuntado anteriormente, la clave en el manejo de los diferentes términos de la teoría efectiva de baja energía compatible con todas las simetrías de la teoría original es el contaje de las potencias de momentos transferidos y masas de piones con las que contribuye cada término. Si los momentos transferidos o las masas en el proceso son mucho menores que la escala Λ χ, se espera que contribuciones de orden superior sean cada vez más pequeñas haciendo que el principal aporte al proceso provenga de los órdenes bajos. Por otro lado, será necesario establecer un esquema de regularización y renormalización para la teoría ya que los loops quirales están representados por objetos divergentes. Veremos que, pese a que ChPT tiene carácter no renormalizable en sentido estricto, puede renormalizarse para un cierto proceso hasta un orden dado (renormalización orden a orden) Teorema de contaje de Weinberg y desarrollo a baja energía Un detallado estudio del contaje quiral puede verse, por ejemplo, en [2] y [9]. Analicemos un diagrama genérico que contiene N d vértices que contribuyen cada uno como O(p d ), con d el número de derivadas del término considerado en el lagrangiano efectivo. Además, este diagrama puede contener L loops, un número I de líneas internas y un número E de líneas externas. Por análisis dimensional, el orden en momentos total para el diagrama es D = 4L 2I + d=2 dn d, ya que cada loop introduce un p 4 a través de la integración d 4 k, cada vértice introduce introduce un factor p d y cada propagador interno va con un 1/p 2. Además, el número de líneas internas está relacionado con el número de loops y el número de vértices de todo diagrama conectado: L = 1 + I d N d, es decir, I = L 1 + d N d. Entonces el grado de divergencia superficial es D = 2L (d 2)N d, lo que constituye el teorema de contaje de potencias quiral de Weinberg. Ha de notarse que todos los diagramas pueden clasificarse en un cierto orden, O(p D ), de acuerdo a este teorema. Los diagramas de orden más bajo son aquellos con L = 0 y todos los vértices d = 2, es decir, procedentes de L (2), es decir, procedentes del lagrangiano leading order de ChPT a tree level. Las contribuciones del next-to-leading order, O(p 4 ), vendrán dadas por dos clases de diagramas: i. L = 0 con un vértice procedente de L (4), y uno o varios procedentes de L (2). ii. L = 1 y un vértice procedente de L (2). 21 Se dice que cuando las LECs son de este orden toman valores naturales. d=2 18