Matemáticas Discretas Principios fundamentales de conteo

Transcripción

1 Coordiació de Ciecias Computacioales - INAOE Matemáticas Discretas Pricipios fudametales de coteo Cursos Propedéuticos 00 Ciecias Computacioales INAOE Coteido Itroducció Reglas de la suma el producto Permutacioes Combiacioes Geeració de permutacioes Dr. Luis Villaseñor Pieda villase@iaoep.m Itroducció E ocasioes, iteresa saber cuátas diferetes permutacioes/combiacioes de elemetos se puede geerar a partir de cierto cojuto, por ejemplo: Cuátos comités diferetes de persoas puede haber a partir de u grupo de 0 idividuos? De cuátas diferetes maeras puede repartirse 5 cartas a partir de 5 cartas (poer)? De ua ura co 0 bolas, 6 rojas 4 egras, cuátas formas diferetes eiste al etraer 4 bolas, asumiedo que cada vez que se saca ua, se regresa a la ura? Itroducció E esta sesió veremos la teoría matemática que os permite hacer estos cálculos, así como alguos ejemplos de aplicació 4

2 Eperimeto U proceso físico que tiee u úmero de posibles resultados Ejemplos: Tirar ua moeda observar que cara queda arriba Tirar moedas observar las caras que queda arriba e cada moeda Sacar m pelotas de ua caja co pelotas Seleccioar miembros para u comité de u grupo de persoas De persoas que fuma, observar cuátas tiee cácer La regla de la suma Si se puede realizar ua primera tarea de m maeras, mietas que ua seguda se puede efectuar de maeras, o se puede realizar las dos tareas simultáeamete, etoces realizar cualquiera de ellas se puede lograr de m + maeras. EJEMPLO. La biblioteca de u colegio tiee 40 libros de teto sobre sociología 50 sobre atropología. Por la regla de la suma, u estudiate de ese colegio puede elegir etre = 90 libros de teto para ampliar sus coocimietos sobre alguo de los dos temas. 5 Regla del producto Si u procedimieto se puede separar e las etapas primera seguda, si ha m posibles resultados para la primera etapa para la seguda, etoces el procedimieto total se puede realizar, e el orde desigado, de m maeras. EJEMPLO. El grupo de teatro de la Uiversidad Cetral está haciedo pruebas para la obra de primavera. E vistas de que se preseta seis hombres ocho mujeres para los papeles pricipales masculio femeio, por la regla del producto el director puede formar el reparto de su pareja pricipal de 6 8 = 48 maeras. Ejemplo Aquí se muestra varias etesioes de la regla del producto, al cosiderar la fabricació de placas para autos que costa de dos letras seguidas de 4 dígitos. a) Si o se puede repetir las letras i los dígitos, ha = placas distitas. b) Si se permite repeticioes de letras dígitos, ha = placas posibles.

3 Permutacioes Dados objetos, queremos obteer las diferetes formas de ordear r de estos objetos Por ejemplo, dada las letras a,b,c, de cuátas formas podemos arreglar de ellas: ab, ba, ac, ca, bc, cb Esto se cooce como las permutacioes de r de, P(, r) Permutacioes E ua clase de diez estudiates se seleccioa cico para setarlos e fila fotografiarlos. Cuátas disposicioes lieales de cico estudiates puede hacerse? Para respoder a la preguta, se cosiderará las posicioes los úmeros posibles de estudiates que se puede elegir para ocupar cada posició ª ª ª 4ª 5ª Posició Posició Posició Posició Posició 9 Ejemplo Cualquiera de los diez estudiates puede ocupar la primera posició de la fila, No se permite las repeticioes, sólo se puede seleccioar uo de los ueve estudiates restates para ocupar la seguda posició, prosiguiedo de esta maera, se halla que sólo se puede elegir etre seis estudiates para ocupar la quita última posició, Teemos u total de 040 disposicioes posibles de cico estudiates seleccioados de ua clase de diez. Permutacioes Dada ua colecció de objetos, cualquier disposició de ellos se deomia permutació de la colecció. El úmero de permutacioes se obtiee de la siguiete maera: P(, r) = / (-r) Dode es el factorial de, defiido como: = (-) (-). (Por defiició: 0 = )

4 Permutacioes E geeral si ha objetos, deomiados a, a,...,a, r es u etero, co r, etoces, por la regla del producto, el úmero de disposicioes o permutacioes de tamaño r para objetos es Permutacioes E caso de permitir repeticioes, etoces, por la regla del producto, ha r disposicioes posibles, co r0. ( ) ( )... ( r + ) = ª ª ª r ava Posició Posició Posició Posició ( r) EJEMPLO El úmero de permutacioes de las letras de la palabra COMPUTER es 8. Si se toma sólo cuatro de esas letras, el úmero de permutacioes (de tamaño cuatro) es P(8,4)=8/(8 4)=8/4=680. Si se permite repeticioes de letras, el úmero de disposicioes posibles es 8 8 = Permutacioes Geeralizació Ahora cosideramos que teemos t clases de objetos, de forma que los de ua clase so idistiguibles etre sí Cómo podemos ordear objetos, co del tipo, del tipo,, t del tipo t? Por ejemplo, letras, a s b: aab, aba, baa Otro ejemplo Cuál es el úmero de permutacioes de las letras de la palabra DEDO? 5 6 4

5 Otro ejemplo Cuál es el úmero de permutacioes de las letras de la palabra DEDO? D D E O D D E O D D E O D D O E D D O E D D O E D E D O D E D O D E D O D E O D D E O D D E O D D O D E D O D E D O D E D O E D D O E D D O E D E D D O E D D O E D D O E D O D E D O D E D O D E O D D E O D D E O D D O D D E O D D E O D D E Otro ejemplo (cot) Si se diferecia las dos D represetádolas por D D, etoces se puede utilizar las ideas ateriores sobre permutacioes de objetos diferetes; Co los cuatro símbolos diferetes, D, E, D, O, se tiee 4=4 permutacioes. Al eamiar la tabla se observa que a cada permutació e la que o se diferecia las D correspode u par de permutacioes co distitas D. O D E D O D E D O D E D O E D D O E D D O E D D 7 8 Otro ejemplo (cot) E cosecuecia, (úmero de permutacioes de los símbolos D,E,D,O)= =(úmero de permutacioes de los símbolos D, E, D,O) la respuesta al problema origial de hallar todas las permutacioes de las letras de DEDO es 4/=. Permutacioes Geeralizació si ha objetos co de u primer tipo, de u segudo tipo,..., r de u r-ésimo tipo, dode r =, etoces ha r permutacioes de los objetos dados

6 Permutacioes Geeralizació Otros ejemplos: Para el código morse (putos raas), cuátos mesajes se puede hacer co dos putos tres raas? Ha 0 oficias, las va a eplorar el robot, 5 el robot, el robot, de cuátas formas diferetes se puede orgaizar los robots para eplorar las oficias? Combiacioes Ua baraja de póquer costa de 5 aipes, repartidos e cuatro palos: tréboles, diamates, corazoes picas. Cada palo tiee aipes: As,,,...,9, 0, J, Q, K. 6 Combiacioes Si se tiee que sacar tres aipes de la baraja, seguidos si sustituirlas, etoces, por la regla del producto, ha P5, 49 posibilidades ua de las cuales es AC(As de corazoes), 9T(ueve de tréboles), KD(re de diamates); Combiacioes Pero dado que el orde de selecció o es importate etoces las seis permutacioes, AC-9T-KD, AC-KD-9T, 9T-AC-KD, 9T-KD-AC, KD-9T- AC, KD-AC-9T, correspode a ua sola selecció (desordeada). Por tato, cada selecció o combiació de tres aipes, si referecia al orde, correspode a permutacioes

7 Combiacioes E geeral, si se comieza co objetos distitos, cada selecció o combiació de r de estos objetos, si referecia al orde, correspode a r permutacioes de tamaño r de los objetos. Así el úmero de combiacioes de tamaño r de u cojuto de tamaño, deotado C(, r), 0 r, cumple (r) C(, r) = P(, r) P, r C, r, 0 r r r( r) 9 Combiacioes Además del símbolo C(, r), se suele utilizar el símbolo r 0 Ejemplo - combiacioes U tesista ofrece ua cea para alguos de los miembros de la facultad. Debido al tamaño de su casa, sólo puede ivitar a de los 0 miembros de la facultad. Como el orde o importa, puede ivitar a de etre combiacioes posibles. Otro ejemplo E u eame, u estudiate debe respoder a siete pregutas de u cuestioario de diez. Como o importa el orde, el estudiate puede respoder al eame de formas

8 Otro ejemplo Si el estudiate tiee que respoder a tres pregutas de las cico primeras a cuatro de las cico últimas, 5 se tiee que para la primera parte 0 formas 5 para la seguda parte 5 formas. 4 Así por la regla del producto, el estudiate puede 55 hacer el eame de formas. 4 Otro más El úmero de permutacioes de las letras de TALLAHASSEE es Cuátas o tiee las A adacetes? 4 Otro más Si teer e cueta las A, ha 5040 formas de ordear las letras restates. Si sólo es posible colocar las As e 9 posicioes posibles para o ser adacetes 9 Tres de estas posicioes se puede seleccioar de 84 formas como esto tambié es posible para las 509 ordeacioes restates, por la regla del producto, ha = 460 permutacioes de las letras de TALLAHASSEE si A adacetes. 5 Teorema Biomial Obsérvese e primer lugar que para los eteros, r co r 0,. r r Es decir al tratar co ua selecció de tamaño r de ua colecció de objetos distitos, el proceso de selecció deja fuera - r objetos. 6 8

9 9 Teorema Biomial E cosecuecia, afirma la eistecia de ua correspodecia etre las seleccioes de tamaño r (los objetos elegidos) las seleccioes de tamaño r (los objetos desechados). 7 Seleccioes de tamaño r = Seleccioes de tamaño r =., 6., 4., 4, 5 6.,, 5., 7., 5., 4, 5 7.,, 4., 4 8., 4.,, 5 8.,, 5 4., 5 9., 5 4.,, 4 9.,, 4 5., 0. 4, 5 5., 4, 5 0.,, r r Teorema Biomial Teorema. (Teorema Biomial) Si e so variables es u etero positivo, etoces Seleccioar s de (+) De este resultado se observa que 0 Debido a este teorema suele deomiarse coeficiete biomial. Del coeficiete biomial resulta que el coeficiete de 5 de ( + ) 7 es El coeficiete de a 5 b de (a b) 7 es. Esto resulta del teorema al hacer = a e = b Corolario. Para cualquier etero 0, a) b) Dem. =,= e T. Dem. =-,= e T. Coeficiete Biomial t t t Teorema. Para los eteros positivos, t, el coeficiete de e es dode cada i es u etero co 0 i, para toda i t t =. t tambié se escribe se deomia coeficiete multiomial. t t,,,, Coeficiete Multiomial

10 Combiacioes co repetició Siete estudiates se detiee e u restaurate, dode cada uo puede escoger etre: ua hamburguesa, u hot dog, u bocadillo o u emparedado de pescado. Cuátos pedidos diferetes se puede hacer?. h, h, p, p, b, b, e.. h, h, h, h, p, b, e.. h, h, h, h, h, h, e. 4. p, b, b, e, e, e, e b, b, b, b, b, e, e 5. Combiacioes co repetició Hemos establecido ua correspodecia etre dos coleccioes de objetos, sobre ua de ellas sabemos cómo cotar el úmero de la colecció. Podemos cotar todas las permutacioes de diez símbolos formados por siete tres barras ( ) b, b, b, b, b, b, b e, e, e, e, e, e, e 7. a) b) 4 4 Combiacioes co repetició E geeral, dados objetos distitos de los cuales se quiere seleccioar, co repetició, r objetos, se toma e cueta todas las permutacioes de las r. r r r r E el ejemplo aterior = 4, r = 7, de modo que r puede ser superior a cuado se permite repeticioes 4 Combiacioes co repetició EJEMPLO De cuátas formas se puede distribuir siete mazaas seis arajas etre cuatro iños, de modo que cada iño reciba al meos ua mazaa? Al dar a cada iño ua mazaa, se tiee C(4 +, ) = 0 formas de distribuir las tres mazaas restates C(4 + 6, 6) = 84 formas de distribuir las seis arajas. Por la regla del producto, ha 0 84 =680 formas de distribuir la fruta e las codicioes establecidas. 44 0

11 Combiacioes co repetició EJEMPLO Determíese todas las solucioes eteras de la ecuació = 7, dode i 0 para toda i 4. Ua posible iterpretació de esto se distribue siete cetavos (objetos idéticos) etre cuatro iños (destiatarios distitos); Si =, =, = 0, 4 = se puede ver como si se diero tres cetavos a cada uo de los dos primeros iños, ada al tercero el último cetavo al cuarto. Combiacioes co repetició Bajo esta iterpretació, se observa que cada solució etera o egativa de la ecuació correspode a ua selecció co repetició, de tamaño 7 (los cetavos idéticos) de ua colecció de tamaño 4 (los iños distitos), de modo que ha C(4 + 7, 7) = 0 solucioes Combiacioes co repetició Combiacioes co repetició E este mometo es fudametal recoocer la equivalecia de lo siguiete: a) El úmero de solucioes eteras de = r, i 0, i. b) El úmero de seleccioes, co repetició, de tamaño r de ua colecció de tamaño. c) El úmero de maeras de distribuir r objetos idéticos etre destiatarios distitos. Otro ejemplo: For i:= to 0 do For j:= to i do For := to j do writel(i*j+); Cuátas veces es ejecutada la fució writel? 47 48

12 Combiacioes co repetició Otro ejemplo: For i:= to 0 do For j:= to i do For := to j do writel(i*j+); Cualquier i,j, satisface Cuátas veces es ejecutada la fució writel? j i 0 Esto es, seleccioar úmeros, co repetició, de 0 etre úmeros C(0+-,)=C(,)=540 Resume El orde es relevate Se permite las repeticioes Tipo de resultado SI NO Permutació SI SI Permutació co repetició NO NO Combiació NO SI Combiació co repetició Fórmula P(, r) /( r), 0 r r,, r 0 C(, r) /[ r ( r) ] 0 r r r 49