Sistemas de ecuaciones lineales
|
|
- Rafael Carrasco Martin
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Sistems de ecuciones lineles Números reles LITERATURA Y MATEMÁTICAS Amor se escribe sin hche [Est novel es un histori de mor contd con un humor disprtdo. En l siguiente escen, los protgonists, Slvi Zmbombo, llegn un isl después de nufrgr el brco donde vijbn. Un ve encendid un hoguer dmirble, Zmbombo determinó construir un cbñ.] Sí, sí! plmoteó Slvi. Un cbñ... tu mor... Ah! Qué dichos so! Zmb se dirigió l entrd del bosque trnsportó l pl unos cuntos árboles que cín en el suelo derribdos, tl ve, por lgun torment. Clculó l resistenci de los árboles midiendo su diámetro su longitud escribió en su cudernito: A B (A B) (A B)? (A B) (A B) Elevó l cudrdo el primer término, con grn sorpres su, que no creí sber tnts mtemátics, obtuvo: (A B) (A B) (A B)? (A B) (A B) Y sustituendo esto por ls cifrs veriguds, logró: 7 ( ) L resistenci de los troncos del árbol er de 7 kilogrmos. Puso los troncos podos entre sí, formndo dos vertientes, en número de quince. De mner que cundo Zmb Slvi se metieron debjo, los kilos de árbol que se les ceron encim, l desplomrse l cbñ, fueron: 7? o se:.9. Ambos se desmron consecuenci del trumtismo. Al volver en sí, er de noche.* * Puede clculrse que, por cd kilos que le cen en l cbe un ser humno, permnece desmdo un minuto. Como en.9 kilos h, proimdmente, 9 veces kilos, result que Zmbombo Slvi estuvieron desmdos durnte 9 minutos, o se, dos hors menos once minutos. No nos eplicmos, por lo tnto, por qué l volver en sí er de noche. EnriquE JrdiEl PoncEl
2 SolucioNrio Amor se escribe sin hche Enrique Jrdiel Poncel En est obr, como en csi tods ls de Jrdiel Poncel, el humor es el recurso literrio predominnte, trvés de un mnejo csi surrelist del mismo, logr que los lectores (cundo se trt de novels) los espectdores (cundo se trt de pies tetrles) revisen su percepción de los problems humnos más importntes. En est novel bord el tem del mor trvés de l histori disprtd que viven los protgonists, Slvi Zmbombo. El teto nterior form prte de un escen donde los protgonists hn llegdo un isl después de nufrgr el brco donde vijbn. Allí tienen que enfrentrse cutro problems: loclir geográficmente el sitio donde se encuentrn, hcer fuego, construir un cho encontrr víveres. Zmbombo bord el problem de l orientción con técnics disprtds, como l medid de l velocidd del viento medinte un regl de tres: Pr ello, por medio de dos rs, señló en el suelo su esttur, que er de un metro setent cinco. Colocó en un de ls rs un ppelito midió, reloj en mno, lo que el viento trdb en llevr el ppel l otr rit. Trdó cutro segundos. Y Zmb ronó por medio de l regl de tres:,7 metros los recorre en segundos. metros (o se un kilómetro) los recorrerá en De donde er igul. multiplicdo por prtido por,7. Hio ls operciones, contndo por los dedos, comprobó que el viento corrí que se ls pelb. Luego Zmbombo, como si fuer un robinsón, se dedic hcer fuego frotndo dos troos de mder. Cundo consigue un llmit trs seis hors de trbjo, su propio sudor se l pg. Slvi le dice: Qué? No puedes hcer fuego?. Y él le contest: Podré, porque trigo cerills, pero si no ls hubier trído, no sé cómo nos ls hbrímos rregldo.... Un ve encendid un hoguer dmirble, Zmbombo determinó construir un cbñ tl como se describe en el teto elegido. Finlmente, el curto problem, el de los víveres, lo resuelven comiendo los productos vegetles nuncidos en el crtel que vieron l llegr en l pl. Veinte dís después, Slvi hbí delgdo dieciocho librs Zmbombo, diecinueve. Pero se recuperron cundo prendieron pescr piscis rodolphus vlentinus. L ingenuidd romántic de Zmbombo desencden el desenlce de est ventur le sirve Jrdiel pr plnter l siguiente llegr, finlmente, l conclusión morl de l novel. Jrdiel Poncel utili quí el lenguje lgebrico como un recurso humorístico, un plicción novedos, porque en Mtemátics en ls otrs ciencis se emple pr epresr propieddes o resolver problems como este: «Slvi tiene ños; tiene el doble de l edd que tení Zmbombo cundo ell tení l edd que él tiene hor. Qué edd tiene Zmbombo?». Se l edd que tiene Zmbombo. Entonces: ( ( )) ( ) 6 8 ños 9
3 Sistems de ecuciones lineles ANTES DE COMENZAR RECUERDA resuelve estos sistems. ) b) ) b) Escribe tres ecuciones equivlentes ests. ) 7 b) c) 6 ) Respuest biert. Por ejemplo: 9 7 b) Respuest biert. Por ejemplo: 6 6 c) Respuest biert. Por ejemplo: Escribe dos sistems equivlentes estos. ) b) ) Respuest biert. Por ejemplo: b) Aunque el sistem es incomptible, podemos considerr sistems equivlentes. Los siguientes sistems se hn obtenido multiplicndo ls ecuciones por un constnte: 6 ACTIVIDADES Escribe un ecución con tres incógnits de coeficientes,, respectivmente, con término independiente. clcul tres soluciones de est ecución. L ecución es, tres soluciones son:, 6,,
4 SolucioNrio Determin un solución de este sistem: Respuest biert. Por ejemplo:,, clsific estos sistems según su número de soluciones. ) b) c) ) Tiene infinits soluciones. El sistem es comptible indetermindo. b) No tiene solución. El sistem es incomptible. c) Tiene solución únic. El sistem es comptible determindo. convierte este sistem en un sistem esclondo resuélvelo resuelve estos sistems de ecuciones lineles utilindo el método de Guss. ) b) 7 ) b) 7 λ λ R λ 7 6 7
5 Sistems de ecuciones lineles 6 resuelve plicndo el método de Guss. ) b) t t t t ) 8 b) t 9 t t 6 t t 7 Discute estos sistems de ecuciones lineles utilindo el método de Guss. ) b) 7 ) Sistem comptible indetermindo b) Sistem incomptible 7 7
6 SolucioNrio 8 Discute utilindo el método de Guss. t t t t 7 7 Sistem incomptible 9 Discute resuelve este sistem: λ λ λ λ λ λ λ λ λ Si λ Sistem incomptible λ Si λ λ Sistem comptible determindo λ λ λ λ ( λ ) λ λ λ λ con λ R { }
7 Sistems de ecuciones lineles Discute resuelve el siguiente sistem: λ λ λ λ Si λ λ Sistem comptible Si λ Sistem comptible indetermindo con R Escribe medinte ecuciones este sistem, resuélvelo plicndo el método de Guss. Determin l epresión mtricil de este sistem, resuélvelo como si fuer un ecución mtricil. A X B
8 SolucioNrio AX B X A B A 7 X 7 utili el teorem de rouchéfröbenius pr determinr si estos sistems son comptibles, resuélvelos plicndo el método de Guss. ) b) 7 ) A A* A Rngo ( ) Rngo ( A*) Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo λ λ λ b) A A* 7 A Rngo( ) con λ R
9 Sistems de ecuciones lineles 8 Rngo( A*) 7 Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Medinte el teorem de rouchéfröbenius, determin si el sistem es comptible. t t A A* Rngo( A) Rngo( A*) 8 Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Discute este sistem plicndo el teorem de rouchéfröbenius. t t t A A* 6
10 SolucioNrio Rngo( A) Rngo( A*) Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo 6 ñde un ecución l sistem de ecuciones pr que se conviert en: ) un sistem comptible determindo. b) un sistem comptible indetermindo. c) un sistem incomptible. ) Respuest biert. Por ejemplo: b) Respuest biert. Por ejemplo: c) Respuest biert. Por ejemplo: 7 Evlú si se puede plicr l regl de crmer estos sistems de ecuciones. ) b) t t t ) El número de ecuciones es igul l número de incógnits. Se puede plicr l regl decrmer. b) El número de ecuciones no es el mismo que el número de incógnits, por tnto, no se puede plicr l regl de Crmer. 7
11 Sistems de ecuciones lineles 8 Escribe dos sistems de ecuciones lineles los que se pued plicr l regl de crmer que cumpln cd un de ests condiciones. ) Teng ecuciones. b) Teng incógnits. ) Respuest biert. Por ejemplo: b) Respuest biert. Por ejemplo: t t t t t t 9 Evlú si se puede plicr l regl de crmer este sistem, si se puede, clcul A, A A resuelve el sistem. El número de ecuciones es igul l número de incógnits. 7 Se puede plicr l regl decrmer. A A 7 A A A A A A 7 A 8
12 SolucioNrio resuelve este sistem de ecuciones utilindo l regl de crmer, si es posible. t t 8 t El número de ecuciones es igul l número de incógnits Se puede plicr l regl de Crmer t t t resuelve estos sistems de ecuciones medinte l regl de crmer. ) 7 b) ) Rngo( ) A 7 9
13 Sistems de ecuciones lineles Rngo( A) Rngo ( A*) < n.ºdeincógnits Sistemcomptibleindetermindo Consideremos el sistem: A A A A L solución es: λ λ,, λ con λ R b) Rngo( ) A Rngo( A) Rngo ( A*) < n.º de incógnits Sistemcomptibleindetermindo Considermos el sistem: L solución es: A λ,, λ con λ R resuelve el sistem utilindo l regl de crmer. t t t Rngo(A) <
14 SolucioNrio Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Considermos el sistem: t t A t t t A A t A t t t A A t L solución es: t 8 8 λ µ λ µ λ µ λµ,,, con, R resuelve este sistem: Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo L solución es:,, Escribe un sistem de ecuciones lineles homogéneo de cutro ecuciones que teng: ) Solución únic. b) infinits soluciones. ) Respuest biert. Por ejemplo: t t t b) Respuest biert. Por ejemplo: t t t
15 Sistems de ecuciones lineles Discute este sistem en función de los vlores de m. m m m m Si m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si m Rngo( A) Rngo( A*) Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible 6 Discute el sistem según los vlores de. El sistem es homogéneo Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible 7 6 Si 9 Rngo (A) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si 9 9 Rngo (A) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo 7 resuelve este sistem en función de los vlores de m. m m
16 SolucioNrio Si m m Se puede plicr l regl de Crmer. m m 6m ( m)( m) m m m ( m m 7) m m m m ( )( ) m m A m m m m ( 7) 7 m m m m m m 8 resuelve el sistem según los vlores de. Si Como el sistem es homogéneo l solución es:,, Si 9 Considermos el sistem: λ L solución es:,, λ con λ R 9 resuelve por los métodos clásicos: reducción, igulción o sustitución, los sistems de ecuciones clsifíclos tendiendo su número de soluciones. ) b) c) 6 9 d) e) 8 f) b b b
17 Sistems de ecuciones lineles ) Sistem comptible determindo b) λ, λ λ con R Sistem comptible indetermindo c) Sistem incomptible d) Sistem comptible determindo e) 8 7 Sistem comptible determindo f ) 6 6 b b b b 8 b b b Sistem incomptible Ddo el sistem, escribir un tercer ecución de l form b c (distint que ls nteriores) de mner que el sistem de tres ecuciones dos incógnits resultnte sig siendo comptible. (Mdrid. Junio. Opción B. Ejercicio ) Respuest biert. Por ejemplo: 7 7 6
18 SOLUCIONARIO Resuelve plicndo el método de Guss. ) d) b) e) c) f) p q r p r 7 p 6q r g) h) b c 7 b c b 8c ) 7 7 b) c) d) e)
19 Sistems de ecuciones lineles f) Sistem incomptible g) h) λ 7λ λ con λ R 8 7 utili el método de Guss pr discutir los siguientes sistems de ecuciones lineles. ) b) c) 6 6 d) b c b c b c e) p q 8 6p q f) g) 7 h) b c b c b c ) 9 S 6 istemcomptibleindetermindo b) Sistemcomptibledetermindo 6
20 SolucioNrio c) d) e) Sistem comptible indetermindo 7 Sistem comptible determindo 8 8 Sistemincomptible 6 7 f) Sistemcomptibledetermindo g) h) Sistem incomptible 9 Sistem comptible indetermindo resolver el sistem de ecuciones lineles: (Etremdur. Septiembre. Repertorio A. Ejercicio ) λ λ con λ R En un sistem h, entre otrs, ests dos ecuciones: 6. Qué puede decirse de ls soluciones del sistem? (Ctluñ. Septiembre. Cuestión ) Como los coeficientes de ls incógnits son proporcionles los términos independientes no lo son, el sistem es incomptible. 7
21 Sistems de ecuciones lineles Dr un ejemplo de un sistem de ecuciones lineles con incógnits que se incomptible. (Etremdur. Junio. Repertorio B. Ejercicio ) Respuest biert. Por ejemplo: 6 Ddo el sistem, escribir un tercer ecución de l form α β γ (distint que ls nteriores) de mner que el sistem de ecuciones incógnits resultnte se comptible indetermindo. (Mdrid. Junio. Opción B. Ejercicio ) Respuest biert. Por ejemplo: 7 Ddo el sistem de ecuciones : ) ñde un ecución linel de mner que el sistem resultnte se incomptible. b) ñde un ecución linel de mner que el sistem resultnte se comptible indetermindo. resuelve el sistem. (Ctluñ. Junio. Cuestión ) ) Respuest biert. Por ejemplo: b) Respuest biert. Por ejemplo: λ λ λ con λ R 8 Discute por el método de Guss el sistem: 8
22 SolucioNrio 9 Si Sistem comptible determindo 9 Si Sistem incomptible 9 9 resolver el sistem de ecuciones:. Hllr dos constntes α β de mner que l ñdir l sistem nterior un tercer ecución: α β, el sistem resultnte se comptible indetermindo. (Mdrid. Junio. Opción B. Ejercicio ) 7 7 α b 9 α b α 6 b Pr que el sistem se comptible indetermindo debe ocurrir que: α 6 α 6 b b Dds ls mtrices A B b, donde b son números reles, hlle los vlores de b que hcen que ls dos mtrices conmuten, es decir, que hcen que se cumpl AB BA. (Ctluñ. Año. Serie. Cuestión ) b b AB b b BA b b AB BA Los productos son igules pr culquier vlor de de b. consider ls mtrices A B. Qué condiciones hn de cumplir, pr que ls mtrices A B conmuten, es decir, pr que AB BA? (Cntbri. Septiembre. Bloque. Opción B) 9
23 Sistems de ecuciones lineles AB BA AB BA λ λ λ λ con R Escribe medinte ecuciones estos sistems. ) b) 6 7 b ) b) b b b b 6 7 Escribe en form mtricil estos sistems de ecuciones. ) c) t v 6v 8 b) p q r s p q s q r s d) 7 9 ) b) p q r s
24 SolucioNrio c) 6 t v 8 d) 9 7 Escribe en form mtricil, luego resuelve emplendo l mtri invers. ) 8 8 b) 7 6 ) 8 8 AX B X A B A A X 8 8 b) 7 6 AX B X A B A A X
25 Sistems de ecuciones lineles Discute los siguientes sistems de ecuciones lineles utilindo el teorem de rouchéfröbenius. ) b) 8 6 c) b 6c d 7 b c d 6 6 b d) b 7 b c b c b c 8 ) A 6 A* A 9 Rngo( A) Rngo( A*) Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo b) A A* A Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo c) A A* Rngo( A) Rngo( A*) Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible
26 SolucioNrio d) A 7 A* Rngo( A) Rngo (A*) Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo 6 resuelve, plicndo l regl de crmer, estos sistems comptibles determindos. ) b) b c b c b c c) b 6 b d) 9 ) Se puede plicr l regl de Crmer. b) Se puede plicr l regldecrmer. b c b c b c 7 7
27 Sistems de ecuciones lineles c) 7 Se puede plicr l regl de Crmer. 6 6 b b b d) 6 Se puede plicr l regldecrmer resuelve, plicndo l regl de crmer, estos sistems comptibles indetermindos. ) 6 b) t t c) b b c b c d) p q r p 7r p q r 6p 6q r ) A 7 7 L solución es: λ λ,, λ con λ R 7 7
28 SolucioNrio b) t t t t t t t t t t t t t t L solución es: λ λ λ,,, t λ con λ R c) 9 b b c c b c c c 6 c b c b λ λ L solución es:, b, c λ con λ R d) p λ p q r p 7r q λ con λ R r λ
29 Sistems de ecuciones lineles 8 Discute resuelve los siguientes sistems de ecuciones lineles. ) b) 7 c) c b c b c d) e) c b c b c f) t t t ) A A* g) h) b c 7 b c Rngo( A) Rngo ( A*) n.º deincógnits Sistemcomptibledetermindo b) A A* 7 7 Rngo( A) Rngo( A*) Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Considermos el sistem: 6
30 SolucioNrio A A L solución es: λ λ,, λ con λ R c) A A* o Rngo( A) Rngo ( A*) n. deincógnits Sistem comptible determindo b c b c b c d) A A* Rngo( A) o Rngo( A*) n. deincógnits Sistemcomptibledetermindo 7
31 Sistems de ecuciones lineles e) A A* Rngo( A) Rngo( A*) Rngo ( A) Sistemincomptible f) A A* Rngo ( ) Rngo ( *) < n. o A A de incógn i ts Sistem comptible indetermindo t Considermos el sistem: t t 6t t λ 6µ t t 7t λ 7µ L solución es: λ 6µ λ 7µ,, λ, t µ con λ, µ R 8
32 SolucioNrio g) A A* Rngo( A*) 6 Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo 7 Considermos el sistem: λ 9 L solución es: 8 λ, λ, 9 con λ R h) A A 7 * 7 Rngo( ) Rngo ( *) n. o A A < de incóg nits Sistem comptible indetermindo b 7 c Considermos el sistem: b c 7 c c b 7 c c 7c 9 b 7c 9 b 7 7 7λ 9 L solución es:, b, c λ con λ R 7 7 9
33 Sistems de ecuciones lineles 9 Discute el sistem de ecuciones lineles según los distintos vlores del prámetro m. ( m ) ( m ) Al ser un sistem homogéneo sbemos que es comptible pr culquier vlor de m. m A m m m m m m m m m Si m R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si m o m Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Discute, en función de, el sistem. (Cstill León. Junio 7. Prueb B. Cuestión ) A A * Al ser l últim column de l mtri A* igul que l primer: Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si o Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo El siguiente sistem de ecuciones depende de un prámetro p. Discútelo según los vlores de p. p p p p 6
34 SolucioNrio A p p p A* p p p p p p p p Si p Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si p Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Discute el sistem según los vlores de. A A A* Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Discute este sistem pr los distintos vlores de k. k A A* k Rngo( A) 6
35 Sistems de ecuciones lineles k k 6 Si k Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si k Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Discute el siguiente sistem de ecuciones lineles según los distintos vlores del prámetro p. p ( p ) p p p p p p p p p p A p A* p p p p p p p p p p p( p ) p p p( p p) p ( p ) p p Si p R {,, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si p, como Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si p A A* Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Si p A A* Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Qué vlores debe tomr en el siguiente sistem de ecuciones lineles pr que se incomptible? Y pr que se comptible? ( ) 6
36 SolucioNrio A A * Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits pr culquier vlor de Sistem comptible indetermindo pr culquier vlor de 6 clsific el siguiente sistem pr los distintos vlores del prámetro p. pb c pb c b c Al ser un sistem homogéneo sbemos que es comptible pr culquier vlor de p. p A p p p 8p Si p Rngo (A) Rngo (A*) n.o de incógnits Sistem comptible determindo Si p Rngo (A) Rngo (A*) < n.o de incógnits Sistem comptible indetermindo 7 Hll pr qué vlores del prámetro este sistem es incomptible. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Qué vlor debe tomr pr que se comptible indetermindo? A ( ) A* ( ) ( ) 6
37 Sistems de ecuciones lineles ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( )( ) Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Si A A* Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo Luego no h ningún vlor de pr el que el sistem se incomptible. Los vlores pr los que es comptible indetermindo son. 8 verigüe si el siguiente sistem puede ser comptible indetermindo pr lgún vlor de m. m Es incomptible pr lgún vlor de m? (Ctluñ. Junio 6. Cuestión ) Al ser un sistem homogéneo sbemos que es comptible pr culquier vlor de m. A m A m m Si m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si m Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo El sistem no es incomptible pr ningún vlor de m. 6
38 SolucioNrio 9 Discute el sistem de ecuciones lineles según los vlores de b. ( b) b b b ( b) (Etremdur. Junio 6. Repertorio B. Ejercicio ) A b b b b b b b b b b bb ( ) A* b b b b b b b b b ( b)( b ) b b Si b R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si b Si b Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo 6 Discutir l comptibilidd del siguiente sistem de ecuciones en función del prámetro. (Pís Vsco. Julio 6. Bloque A. Problem A) A A 6 A* 6 Si Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible 6
39 Sistems de ecuciones lineles 6 Estudie, según los vlores del prámetro, el sistem de ecuciones lineles siguiente: (Murci. Junio 6. Bloque. Cuestión A) A ( 6) A* ( ) Si R {6, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si 6 Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo 6 ) El siguiente sistem es comptible determindo. clcul su solución. b) consider hor el sistem: Es posible encontrr vlores pr tles que el sistem se incomptible? En cso firmtivo, indic cuáles. Justific tu respuest. Es posible encontrr vlores pr tles que el sistem se comptible indetermindo? En cso firmtivo, indic cuáles. Justific tu respuest. (Cntbri. Junio. Bloque. Opción B) ) 66
40 SolucioNrio Comprobmos con l últim ecución: Por tnto, l solución es:,, b) A A* 8 Rngo( A) pr culquier vlor de 6 Si R {, } Rngo (A*) Rngo (A) Sistem incomptible Si o Rngo (A*) Rngo (A) Sistem comptible determindo Por tnto no h vlores pr los que el sistem se comptible indetermindo. 6 clsificr el siguiente sistem según los distintos vlores de los prámetros b. b (Murci. Junio 8. Bloque. Cuestión B) A b A* b b Si pr culquier vlor de b: Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si b Si b Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo 67
41 Sistems de ecuciones lineles 6 Discute este sistem resuélvelo cundo m 6. m m A m m m 7 A* m m m m Si m 7 Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si m 7 Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si m Se consider el sistem, donde es un prámetro rel. ) Discutir el sistem en función del vlor de. b) resolver el sistem pr. (Cstill León. Septiembre 7. Prueb A. Problem ) ) A A* 6 6 Si R, Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible determindo 68
42 SolucioNrio Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo b) Considermos el sistem: L solución es: λ, λ, con λ R 66 Se consider el sistem de ecuciones: ( m ) ( m) m m ) Discútelo pr los distintos vlores de m. b) resuélvelo pr m. (CstillL Mnch. Junio. Bloque. Pregunt B) ) m m A m m m m m m m m m m A* m m m m m Si m R {, } Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible determindo Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible b) Si m A 69
43 Sistems de ecuciones lineles α 9 67 Ddo el sistem de ecuciones lineles 9, se pide: α 9 ) Prueb que siempre es comptible, obteniendo los vlores de α pr los que es indetermindo. b) resuelve el ejercicio nterior pr α 7. (C. Vlencin. Junio 7. Bloque. Problem ) α α 9 ) A A* 9 α α 9 Ls dos últims columns de l mtri mplid son proporcionles entonces Rngo (A) Rngo (A*) pr culquier α. α α α 8α 7 α 8α 7 7 α α Si α R {, 7} Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible determindo Si α Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo 7 Si α 7 6 Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo 7 9 b) Considermos el sistem: L solución es: λ, λ con λ R 8 68 Se S el sistem de ecuciones lineles: 6 S 9 8 A A 7 Estudir l comptibilidd del sistem en función de A. resolver pr A. (Pís Vsco. Julio 7. Bloque A. Problem A) 7
44 SolucioNrio 6 B 9 9 B* 8 A 8 A A 7 6 B 9 A ( 8 A 8 7 A ) A 7 Si A Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible determindo Si A Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr A : considere el sistem de ecuciones: p p 8. 9 ) Discútlo en función del prámetro p. b) resuelv el sistem pr p 6. (Ctluñ. Septiembre 6. Problem 6) ) p 7 8 A 7 p 8 p p 8 p A* 7 p 8. 9 p 8 7. p 6p 6 p p 7 p 6p 6 p 9 Si p R {7, 9} Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible determindo Si p 7 o p 9 Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible 7
45 Sistems de ecuciones lineles b) Pr p 6 A Discute, según los vlores del prámetro m, el sistem: m m m resuélvelo, si es posible, pr m m. (Glici. Junio 6. Bloque. Opción ) m A m m A* m m m m m m m Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo λ Resolvemos pr m : con λ R λ Pr m el sistem es incomptible. 7 Discute el siguiente sistem según el vlor del prámetro k resuélvelo cundo k. k ( k) k ( k) (Bleres. Junio 7. Opción A. Cuestión ) A k k k A* k k k 7
46 SolucioNrio k k k k k k k k k k Si k Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible determindo Si k Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Pr k 7 clsific en función del prámetro el sistem de ecuciones: resuélvelo, si es posible, pr. ( ) (CstillL Mnch. Septiembre 6. Bloque. Pregunt B) Al ser un sistem homogéneo sbemos que es comptible pr culquier vlor de. A 6 6 Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible determindo Si o Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr considermos el sistem: λ λ λ con λ R 7
47 Sistems de ecuciones lineles 7 Discute el siguiente sistem de ecuciones lineles resuélvelo en el cso de que se comptible indetermindo. A A* Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible determindo Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr considermos el sistem: L solución es: λ λ λ,, con λ R 7 Estudir resolver, cundo se posible, el sistem: b (Murci. Septiembre 7. BLoque. Cuestión A) b A b b A* b 7
48 SolucioNrio Si b Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si b Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Si b Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible b Pr b b ( b ) b b Pr b L solución es: λ, λ con λ R 7 Discute el siguiente sistem de ecuciones resuélvelo en los csos en que se posible. A A* ( ) Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si o Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr considermos el sistem: λ λ λ Pr considermos el sistem: L solución es: λ, λ, λ con λ R con λ R 76 Discute el sistem resuélvelo pr los vlores del prámetro que lo hgn comptible determindo. m m m m 7
49 Sistems de ecuciones lineles m A m m m m m m m A* m m m m m 6m m Si m ± Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr m ± m m m m m 6m m 6m m m m m m m 6m m 6m m m m m m m m m m m 6 m m m 6 m m Pr m considermos el sistem: 6 L solución es: λ, λ, con λ R 77 resuelve pr los vlores del prámetro que lo hcen comptible determindo. 76
50 SolucioNrio A Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo 78 Estudir el siguiente sistem de ecuciones según los vlores del prámetro α resolverlo en los csos que se posible. (Cnris. Junio 8. Bloque. Opción A) 6 A α α 6 α α 8α8 α α α 8α 8 α α α α 6 6 A* α α α Si α R {, 7} Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si α o α 7 Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr α R {, 7}: 6 α α 8α 8 α 77
51 Sistems de ecuciones lineles 6 6 α α α 6 6 α α Pr α considermos el sistem: L solución es: λ, λ, λ con λ R Pr α 7 considermos el sistem: L solución es: λ, λ, λ con λ R 79 considerr el sistem linel de ecuciones en,. m m m ) Determinr los vlores del prámetro m pr los que el sistem tiene solución únic. clculr dich solución pr m. b) Determinr los vlores del prámetro m pr los que el sistem tiene infinits soluciones. clculr dichs soluciones. c) Estudir si eiste lgún vlor de m pr el cul el sistem no tiene solución. (Argón. Junio 7. Opción A. Cuestión ) A m m m m 6 m m A* m m m m m m 78
52 SolucioNrio ) Si m R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Pr m b) Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr m considermos: λ λ con λ R c) Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible 8 Discútse, en función del prámetro rel k, el siguiente sistem de ecuciones lineles: k k k resuélvse el sistem cundo se posible. (Cstill León. Septiembre 6. Prueb B. Problem ) k k A A* k k k k k 9 k 6 Rngo( A) pr culquier vlor de k k k k k kk ( 9) Si k R {,, } Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si k, k o k Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Pr k considermos elsistem: Pr k considermos el sistem: Pr k considermos el sistem: 79
53 Sistems de ecuciones lineles 8 Ddo el sistem de ecuciones lineles: ( k ) k k ( k) k ) Discutirlo según los distintos vlores del prámetro k. b) resolverlo cundo teng infinits soluciones. (Mdrid. Septiembre 7. Opción A. Ejercicio ) ) k A k k k k k k k k A* k k k k k k k k k α k k α Si k R, Rngo (A) Rngo (A*) n.o de incógnits Sistem comptible determindo Si k Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si k Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo b) Pr k considermos el sistem: 7 7 L solución es: λ, λ, 7 λ con λ R 8 Estudi el siguiente sistem de ecuciones lineles dependiente del prámetro rel resuélvelo en los csos en que es comptible. (Nvrr. Junio 8. Grupo. Opción A) ( ) ( ) ( ) 8
54 SolucioNrio A A * ( )( ) ( ) Si R {,, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si o Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr R {,, }: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) A A ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Pr considermos el sistem: λ λ con λ R Pr considermos el sistem: λ λ con λ R 8 Ddo el sistem resolverlo cundo se comptible. (Argón. Junio 8. Bloque. Opción B) A discutirlo según los vlores de, A* 8
55 Sistems de ecuciones lineles 7 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Si R {, } Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo Pr considermoselsistem: Pr considermoselsistem: L solución es: 8λ 8 λ,, λ con λ R Discutir, según los vlores que dopte el prámetro t (un número rel), l comptibilidd o incomptibilidd del sistem: t t t resuélvelo cundo se posible. (L Rioj. Junio 6. Propuest B. Ejercicio ) 8
56 SolucioNrio t t A A* t t t t t 9 t Rngo( A) pr culquier vlor de t t t t t ( t )( t t 7) Si t Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si t Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Pr t considermos el sistem: 8 consider el sistem de ecuciones lineles, donde m R. m m ( m ) m m ) Determin el crácter del sistem según los vlores de m. b) resuelve el sistem cundo se comptible determindo. c) Modific solmente un coeficiente de l últim ecución pr que el sistem resultnte se comptible pr culquier vlor de m. (Cntbri. Septiembre 7. Bloque. Opción A) m m ) A m m A* m m m m m m m m m m m m m m m Si m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible b) Si m m m m m m m m m m m m 8
57 Sistems de ecuciones lineles m m m m m m m mm m m ( ) m m m m m m m c) Respuest biert. Por ejemplo: m m m ( m ) m m m ( m ) m m Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo pr culquier vlor de m 86 Ddo el sistem de ecuciones lineles: Determinr pr qué vlor o vlores de el sistem tiene un solución en l que. (Mdrid. Junio 8. Opción A. Ejercicio ) Si ( ) 87 consider este sistem de ecuciones: m m m ) clsific el sistem según los vlores de m. b) clcul los vlores de m pr los que el sistem tiene un solución en l que. (Andlucí. Junio. Opción A. Ejercicio ) m ) A m m m A * m m m m m m m m Si m ± Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si m Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si m Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo 8
58 SolucioNrio m b) Si m m(m ) m m m m m m m 88 ) resolver el sistem de ecuciones: b) Hllr l solución del sistem nterior tl que l sum de los vlores correspondientes cd un de ls tres incógnits se igul. (Mdrid. Septiembre 6. Opción B. Ejercicio ) 8λ ) λ λ con λ R b) Si 8λ λ λ λ 89 Ddo el sistem de ecuciones lineles: 6 6 α ) Justificr que, pr culquier vlor del prámetro rel α, el sistem tiene solución únic. b) Hllr l solución del sistem en función del prámetro α. c) Determinr el vlor de α pr el que l solución (,, ) del sistem stisfce. (C. Vlencin. Septiembre 7. Bloque. Problem ) 6 6 ) A 6 A* 6 α 6 6 Rngo ( A) Rngo ( A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo pr culquier vlor de α 8
59 Sistems de ecuciones lineles α b) 6 α α α 6 α 6 α α α 6 α α α α α α α c) Si α 9 Demuestr que pr que el sistem siguiente se comptible tiene que suceder que: c b. A b c A* b c b c b c El rngo de l mtri A es. Pr que el sistem se comptible el rngo de l mtri A* tmbién tiene que ser igul. Pr ello: b c c b b 9 los sistems: b c 9 c b Hllr, b c. (Murci. Septiembre. Bloque. Cuestión ) son equivlentes. 86
60 SolucioNrio Si los sistems son equivlentes entonces tienen l mism solución. Así: b b b c 9 b c 9 cb 9 b c b c 7 b b 9b 8 c 8 9 Se consider el sistem de ecuciones: λ λ λ λ ) Discutirlo según los vlores del prámetro rel λ. b) resolverlo pr λ. c) resolverlo pr λ. (Mdrid. Junio. Opción B. Ejercicio ) ) λ A λ A* λ λ λ λ λ λ λ λ ( λ ) λ λ λ ( λ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ( λ) λ λ ( λ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ ( λ) λ ( λ)( λ) λ λ λ λ ( λ)( λ)( λ ) ( λ)( λ ) Si λ R {, } Rngo (A*) Rngo (A) Sistem incomptible 87
61 Sistems de ecuciones lineles Si λ Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si λ Rngo (A) Rngo (A*) Sistem comptible indetermindo b) Pr λ considermos el sistem: c) Pr λ el sistem se reduce : b con, b R b 9 Ddo el sistem de ecuciones: A S B C Demostrr que es comptible determindo pr culquier vlor de A, B C encontrr l solución en función de dichos vlores. (Pís Vsco. Septiembre. Bloque A. Problem A) A A* A B C Rngo ( A) Rngo ( A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo pr culquier vlor de A, B C A B C A B C A B C A B C A B A B A B C B B C C 88
62 SolucioNrio 9 En un supermercdo se venden huevos de ctegorís XL, L M. verigu el precio de un docen de cd tipo de huevos sbiendo que: crmen compró un docen de cd ctegorí pgó,9. Jesús pgó 9,6 por docens XL docens M. Esther se llevó docens L M pgó 9,. Sen,, los precios de cd docen de huevos de ctegorís XL, L M, respectivmente. Entonces: 9, 9, 9, 96,, 8,, 6, 9,, 6, Así, l docen de huevos XL cuest,8, l de ctegorí L vle,6 l de M,. 9 El bloque de pisos en el que vivo h estdo de obrs. El dministrdor de l comunidd está trtndo de descubrir cuánto cobrn l hor un electricist, un fontnero un lbñil. Sbe que: En el.º el electricist estuvo hor el lbñil hors tuvieron que pgr 78 de mno de obr. En el.º D pgron 8 por ls hors que estuvo el fontnero l hor que estuvo el lbñil. En mi cs estuvieron hor el fontnero, hor el electricist hors el lbñil nos cobrron. cuánto cobr por hor cd profesionl? Sen,, los precios por hor de trbjo del electricist, el fontnero el lbñil, respectivmente. Entonces: El electricist cobr 8, el fontnero el lbñil. 96 Tengo horrds moneds por un vlor totl de 9,. H cutro veces más moneds de que de. Tmbién h moneds de céntimos. cuánts moneds h en totl? 89
63 Sistems de ecuciones lineles Sen,, ls moneds de, céntimos que tengo horrds, respectivmente. Entonces:, 9, H moneds de, de de céntimos. 97 Pilr compr cciones de l empres A, de B de C pg. mientrs que Jun gst.7 por l compr de cciones de A, de B de C. con estos dtos, es posible sber el precio de cd cción? Y si cd cción tiene un precio entero comprendido entre, mbos incluidos? Sen,, los precios de ls cciones de ls empress A, B C, respectivmente. Entonces: Los rngos de l mtri de coeficientes de l mtri mplid son igules, como el sistem tiene incógnits, el sistem es comptible indetermindo. Es decir, el sistem tiene infinits soluciones de l form: λ λ λ con λ R Con los dtos no es posible determinr los precios de ls cciones. Si ls cciones tienen un precio entero, el vlor de l cción de l empres C solo puede ser de 9, sí ls cciones de l empres A vlen ls de B. 98 El encrgdo de un lmcén de electrodomésticos dese conocer lo que pesn un frigorífico un lvdor. como no tiene báscul requiere cierts informciones otros empledos: Sr. Moreno: un frigorífico un lvdor juntos pesn kg. Sr. rce: el otro dí llevé en el cmión frigoríficos lvdors. l cmionet vcí pes. kg con l crg pesb. kg. Sr. Puente: o llevé frigoríficos lvdors todo pesb 8 kg. 9
64 SolucioNrio reli los cálculos pr determinr los pesos. Qué sucede? Busc lgun eplicción de esos resultdos. Se el peso de un frigorífico se el de un lvdor. Entonces: Rngo ( A) 6 Rngo ( A*) Rngo ( A) Sistem incomptible El sistem no tiene solución, por tnto los dtos recogidos no pueden ser correctos. 99 cundo en el ño 8 Beethoven escribe su primer sinfoní, su edd es die veces mor que l del jovencito Frn Schubert. Ps el tiempo es Schubert el que compone su célebre Sinfoní Incomplet. Entonces l sum de ls eddes de mbos músicos es igul 77 ños. cinco ños después muere Beethoven en ese momento Schubert tiene los mismos ños que tení Beethoven cundo compuso su primer sinfoní. Determinr el ño de ncimiento de cd uno de estos dos compositores. (Argón. Junio. Opción A. Cuestión ) Sen e los ños de ncimiento de Beethoven Schubert, respectivmente, se el ño en que se compuso l Sinfoní complet. Entonces:. 8 (. 8 ) 6. ( ) ( ) Así, Beethoven nció en el ño 77 Schubert en el
65 Sistems de ecuciones lineles l lig de fútbol de un cierto pís l juegn equipos doble vuelt. Este ño, los prtidos gndos vlín puntos, los emptdos punto los perdidos puntos. En ests condiciones, el equipo cmpeón de lig obtuvo 7 puntos. Hst el ño psdo los prtidos gndos vlín puntos el resto, igul. con el sistem ntiguo, el ctul cmpeón hubier obtenido puntos. cuántos prtidos gnó, emptó perdió el equipo cmpeón? (Argón. Septiembre 6. Opción A. Cuestión ) Sen,, los prtidos gndos, emptdos perdidos por el equipo, respectivmente. Entonces: 7 7 El equipo gnó prtidos, emptó perdió otros. ls eddes, en ños, de un niño, su pdre su buelo verificn ls siguientes condiciones: l edd del pdre es α veces l de su hijo. El doble de l edd del buelo más l edd del niño más l del pdre es de 8 ños. El doble de l edd del niño más l del buelo es. ) Estblece ls eddes de los tres suponiendo que α. b) Pr α, qué ocurre con el problem plntedo? c) Siguiendo con α, qué ocurre si en l segund condición l sum es de en ve de 8? (Asturis. Junio. Bloque ) Sen,, ls eddes del niño, del pdre del buelo, respectivmente. Entonces: α 8 ) Si α α 8 8 α El hijo tiene 8 ños, el pdre 6 el buelo 6. 9
66 SolucioNrio b) Si α 8 6 Rngo ( A*) Rngo ( A) Sistem incomptible c) o Rngo( A*) Rngo ( A ) < n. de incógnits Sistem comptible indetermindo En un cj h moneds de tres tipos: de, de de céntimos. Se sbe que, en totl, h moneds el vlor conjunto de tods ells es de. Se puede determinr el número de cd tipo de moneds? Si l respuest es firmtiv, encuentr el número de cd uno de los tipos de moned. Si l respuest es negtiv, encuentr, l menos, dos conjuntos diferentes de moneds de los tipos descritos de mner que el vlor totl se de. (Pís Vsco. Junio. Bloque E. Cuestión E) Sen,, el número de moneds de, céntimos que h en l cj, respectivmente. Entonces:, Los rngos de l mtri de coeficientes de l mtri mplid son igules, como el sistem tiene incógnits, el sistem es comptible indetermindo. Es decir, el sistem tiene infinits soluciones de l form: 7, λ 6, λ,, 7 λ con λ R Respuest biert: dos soluciones posibles son 8 moneds de, de de céntimos, o bien, 9 moneds de, de de céntimos. 9
67 Sistems de ecuciones lineles De tres números,,,, sbemos lo siguiente: que el primero más el segundo sumn ; que el primero más el tercero sumn ; que l sum de los tres es, pr terminr, que el primero multiplicdo por un número k más el doble de l sum del segundo el tercero d. ) Qué puede decirse del vlor de k? b) cuánto vlen esos tres números? (Ctluñ. Año. Serie. Problem ) k ( ) k Considerndo ls tres primers ecuciones: Si sustituimos en l últim ecución: k k Por tnto, si k el sistem es comptible determindo los números son:, Si k el sistem es incomptible, es decir, no tiene solución. En el mercdo podemos encontrr tres limentos preprdos pr gtos que se fbricn poniendo, por kilo, ls siguientes cntiddes de crne, pescdo verdur: limento Migto: 6 g de crne, g de pescdo g de verdur. limento ctomel: g de crne, g de pescdo g de verdur. limento comect: g de crne, 6 g de pescdo g de verdur. Si queremos ofrecer nuestro gto 7 g de crne, 7 g de pescdo 6 g de verdur por kilo de limento, qué porcentje de cd uno de los compuestos nteriores hemos de meclr pr obtener l proporción desed? (C. Vlencin. Septiembre. Ejercicio B. Problem ) Sen,, los porcentjes de crne, pescdo verdur que se encuentrn en los limentos, respectivmente. Entonces: ,6 8 9
68 SolucioNrio , , 8 Los porcentjes son: 6 %, % 6 %. luis, Jun Óscr son tres migos. luis le dice Jun: Si te do l tercer prte del dinero que tengo, los tres tendremos l mism cntidd. clculr lo que tiene cd uno ellos sbiendo que entre los tres reúnen 6. (Argón. Junio. Opción A. Cuestión ) 6 6 un coleccionist decide reglr un montón de sellos. cd person con l que se encuentr le d l mitd de los sellos que llevb más uno, se encuentr ectmente con 6 persons. Si l finl regl todos los sellos, cuántos sellos tení el coleccionist? (Pís Vsco. Julio 7. Bloque E. Cuestión E) Se el número de sellos que tení el coleccionist. A l primer person le d: A l segund: : : A l tercer: : : 8 8 A l curt: 8 : 7 7 :
69 Sistems de ecuciones lineles A l quint: : : A l set: : : Entonces: Juli Pedro están hblndo por teléfono pr comprobr que los sistems que hn resuelto les dn los resultdos. Solo h uno donde los resultdos son diferentes. λ Pr Juli ls soluciones de ese sistem son 8 λ 8,, λ, 7 7 µ mientrs que pr Pedro son 7µ 8, µ,. Después de cerciorrse de que mbos hn escrito el enuncido del problem de l mism mner, empien pensr que quiás sen dos mners diferentes de resolver el mismo sistem de ecuciones. Decídelo tú. λ λ λ µ µ 7µ Si formmos un sistem con ls tres ecuciones: comprobmos que mbs soluciones son corrects. 96
70 97 SolucioNrio prepara TU SElECTIVIDAD Dd l mtri A encontrr tods ls mtrices P b c d tles que AP PA. (Mdrid. Junio 6. Opción A. Ejercicio ) AP b c d c b d c d PA b c d b c c d AP PA c b d b c c d c d c d c c c Ls mtrices son de l form con P b, b R. resuelve: (Andlucí. Junio 6. Opción B. Ejercicio ) A
71 Sistems de ecuciones lineles Se considern ls mtrices A, B ( ) C ( ). ) Hlle los vlores, pr los que A no tiene invers. b) Determine los vlores de pr los que el sistem BA C tiene solución. c) resuelv el sistem nterior cundo se posible. (Asturis. Junio 8. Bloque ) ) A no tiene invers si. ( ) ( ) L invers no eiste si o. b) BA C ( ) ( ) A A* 6 6 Si Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible c) Si :
72 SolucioNrio Se consider el sistem donde es un prámetro rel. ) Discutir el sistem en función del vlor de. b) resolver el sistem pr. c) resolver el sistem pr. (Cstill León. Junio 8. Prueb B. Problem ) ) A A* Rngo (A) ( ) Si Rngo (A*) Rngo (A) Sistem incomptible Si Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo b) Pr El sistem es incomptible, no tiene solución. c) Pr considermos el sistem: λ λ λ con λ R α Ddo el sistem dependiente del prámetro α: α α Se pide: ) Determinr, rondmente, los vlores de α pr los que el sistem es comptible determindo, comptible indetermindo e incomptible. b) resolver el sistem cundo es comptible determindo. c) obtener, rondmente, l solución del sistem cundo α. (C. Vlencin. Junio 8. Bloque. Problem ) α ) A α α α A* α α 99
73 Sistems de ecuciones lineles α A α α α α α α α ( α ) α α ( α ) α ( α )( α ) α α α α α ( α ) Si α R {, } Rngo (A) Rngo (A*) n. o de incógnits Sistem comptible determindo Si α Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible Si α Rngo (A) Rngo (A*) < n. o de incógnits Sistem comptible indetermindo b) Si α R {, } ( α )( α ) α ( α ) α α α ( α ) α α α α ( α ) α c) Si α 6 cierto pís import. vehículos de tres mrcs A, B C l precio de.,.. respectivmente. El totl de l importción sciende millones de euros. Se h observdo que tmbién h. vehículos contndo solmente los de l mrc B α veces los de l A. ) Plnte un sistem de ecuciones con ls condiciones del problem en función del número de vehículos de cd mrc. b) Estblece el número de vehículos de cd mrc suponiendo α. c) Estudi si eiste lgún vlor α pr el cul l situción no pued drse en el cmpo de los números reles. (Asturis. Junio 7. Bloque ) ) Sen,, los vehículos de cd mrc. Entonces: α. α.
74 SolucioNrio.. b) Si α c) A A*. α α. α α.. 7. α 7. α. Si α Rngo (A) Rngo (A*) Sistem incomptible
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistems de ecuciones lineles Números reles L I T E R AT U R A Y M AT E M ÁT I C A S Amor se escribe sin hche [Est novel es un histori de mor contd con un humor disprtdo. En l siguiente escen, los protgonists,
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistems de ecuciones lineles Números reles L I T E R AT U R A Y M AT E M ÁT I C A S Amor se escribe sin hche [Est novel es un histori de mor contd con un humor disprtdo. En l siguiente escen, los protgonists,
Más detalles1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de
Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Álgebr UNIDAD SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.- Resolver, con el método de Guss, los sistems siguientes: ) b) 9 c) 9 8.- Resuelve utilindo l regl de Crmer: ) 7 b).- Anlir l comptibilidd del sistem siguiente:.-
Más detallesÁlgebra Lineal. 1) (Junio-96) Considérese el sistema de ecuaciones lineales (a, b y c son datos; las incógnitas son x, y, z):
Mtemátics II Álgebr Linel (Junio-96 Considérese el sistem de ecuciones lineles ( b c son dtos; ls incógnits son : b c c b b c Si b c son no nulos el sistem tiene solución únic. Hllr dich solución. (Sol:
Más detallesDadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre )
Dds ls mtrices: ) Hllr A. b) Hllr l mtri invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PAU Septiembre 4-5) ) A = = A = = = O A 4 = A A= O A = O ; lo mismo A 5, A 6 por tnto A = b) B = = ; Es un mtri
Más detallesApuntes de A. Cabañó Matemáticas II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
puntes de. Cbñó Mtemátics II SISTEMS DE ECUCIONES LINELES 8. Epresión mtricil de un sistem.clsificción de un sistem en términos del número de soluciones. 8. Teorem de RouchéFrobenius. 8. El método de eliminción
Más detallesTEMA 2. DETERMINANTES
TEMA. DETERMINANTES A cd mtriz cudrd de orden n se le puede signr un número rel que se obtiene operndo de ciert mner con los elementos de l mtriz. A dicho número se le llm determinnte de l mtriz A, y se
Más detallesÁLGEBRA. e I es la matriz unidad 2 2, conmutan con la A, es decir A B = B A
Mtemátics II Pruebs de Acceso l Universidd ÁLGEBRA Junio 94. Comprueb que el determinnte es nulo sin desrrollrlo. Explic el proceso que sigues. [,5 puntos] Junio 94.. Considerr l mtriz A. Probr que ls
Más detallesTema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tem 3: Sistems de ecuciones lineles 1. Introducción Los sistems de ecuciones resuelven problems relciondos con situciones de l vid cotidin, que tiene que ver con ls Ciencis Sociles. Nos centrremos, por
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistems de ecuciones lineles º) L sum de ls tres cifrs de un número es 8, siendo l cifr de ls decens igul l medi de ls otrs dos. Si se cmbi l cifr de ls uniddes por l de ls centens, el número ument en
Más detallessistema compatible determinado. Si a=3 sistema compatible Indeterminado. b) Para a=3 soluciones R
Págin de EJERCICIOS DE SELECTIVIDD / COMUNIDD DE MDRID MTERI: MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II UNIDD: SISTEMS DE ECUCIONES LINELES.( SEPTIEMBRE / OPCIÓN / EJERCICIO ) Puntución máim puntos Se considern
Más detallesDefinición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:
Definición Un sistem de m ecuciones con n incógnits es un conjunto de ecuciones como: m ecuciones b b n n n n b m m m mn n m n incógnits términos independientes incógnits Coeficientes del sistem Epresión
Más detallesRELACION DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/ e I =
IES "Jándul" RELACION DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Prolems propuestos pr l prue de cceso del curso 996/97 º Consider ls mtrices A e I Clcul un mtri X tl que A AX I, clcul, si eiste, l invers de X º Estudi el
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES
Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión
Más detallessegún los valores del parámetro a.
Selectividd hst el ño 9- incluido EJERCICIOS DE SELECTIVIDD, ÁLGER. Ejercicio. Clificción ái: puntos. (Junio 99 ) Se considern ls trices donde es culquier núero rel. ) ( punto) Encontrr los vlores de pr
Más detallesUnidad 10. Sistemas de ecuaciones lineales
Tem. istems de Ecuciones Unidd. istems de ecuciones lineles. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epresión de sistems
Más detalles3 Sistemas de ecuaciones lineales
Solucionrio Sistems de ecuciones lineles CTIVIDDES INICILES.I. Resuelve los siguientes sistems de ecuciones. ) c) 6 ), λ, λλ R, c) Sistem incomptible,.ii. En cd cso, escribe un sistem de ecuciones cu solución
Más detallesSistemas de ecuaciones Matemáticas II CCSS
1._ (Modelo 2018) Se consider el sistem de ecuciones dependiente del prámetro rel x + y + z = 3 2x + y + z = 2 5x + 3y + z = + 4 b) Resuélvse pr = 1 2._ (Septiembre 2017) Se consider el sistem de ecuciones
Más detallesCASTILLA Y LEÓN / JUNIO 01. LOGSE / MATEMÁTICAS II / EXAMEN COMPLETO
CSTILL Y LEÓN / JUNIO. LOGSE / MTEMÁTICS II / EXMEN COMPLETO Se proponen dos pruebs, B. Cd un de ells const de dos problems, PR- PR-, de cutro cuestiones, C-, C-, C- C-4. Cd problem tendrá un puntución
Más detalles3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:
PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:
Más detallesMATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn
TE trices TRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,...m; j,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic continución:... n... n............ m m m...
Más detallesUn sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es un conjunto de ecuaciones:
S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S. M É T O D O D E G A U S S. S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S C O N T R E S I N C Ó G N I T A S Un sistem de tres ecuciones
Más detallesTEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1
TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz
Más detallesDeterminantes y la Regla de Cramer
Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos
Más detalles- sen(x) cos(x) cos(x) sen(x)
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO (ÁLGEBRA) Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: Dí: CURSO 5-6 Opción A.- ) [ punto] Si A y B son dos mtrices cudrds y del mismo orden, es ciert en generl l relción (A+B)
Más detallesBLOQUE 1: ÁLGEBRA. Tema 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
MTEMÁTICS º Bch BLOQUE : ÁLGEBR José Rmón Pdrón Tem : Sistems de Ecuciones Lineles MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles TEOREM DE ROUCHÉ José Rmón Pdrón Supongmos el sistem siguiente: z z
Más detallesSistemes d equacions (Gauss)
Sistemes d equcions (Guss) Ejercicio nº.- Dos kilos de nrnjs, más un kilo de plátnos, más dos kilos de mngos, vlen, euros. Dos kilos de nrnjs, más dos kilos de plátnos, más de mngos, vlen euros. Tres kilos
Más detallesMATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 Mtrices 11 Definición Se K un cuerpo y n, m N Un mtriz n m sobre K es un plicción: A : {1,,n} {1,,m} K Si (i, j) {1,,n} {1,,m} denotremos ij
Más detallesColegio San Agustín (Santander) Página 1
Mtemátics ºBchillerto Aplicds ls Ciencis Sociles er evlución. Determinntes ) Clcul el vlor de los siguientes determinntes: ) b) c) ) = (-)+ +(-) [ + (-) (-)+ ]= -++-[6++] = --6-= - b) = (-) + + -[ (-)+
Más detallesDESIGUALDADES < d < En el campo de los números reales tenemos una. Un momento de reflexión muestra que una
DESIGUALDADES 7 60 < d < 7 70 En el cmpo de los números reles tenemos un propiedd de orden que se costumbr designr con el símbolo (
Más detallesCuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?
Consejerí de Educción, Cultur Deportes CENTRO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS. Simien C/ Frncisco Grcí Pvón, 6 Tomelloso 7 (C. Rel) Teléfono F: 96 9 9. Por un rotuldor, un cuderno un crpet se pgn,6 euros.
Más detallesRelación 3. Sistemas de ecuaciones
Relción. Sistes de ecuciones Ejercicio. Consider el siste de ecuciones ) Eiste un solución del iso en l que? ) Resuelve el siste hoogéneo socido l siste ddo. c) H un interpretción geoétric tnto del siste
Más detallesDETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.
DETERINNTES DETERINNTE DE UN TRIZ CUDRD socido cd mtri cudrd h un número llmdo determinnte de, denotdo como det. Los determinntes nos proporcionn un método pr el cálculo de l mtri invers (en cso de eistir)
Más detallesc Ejemplo: 25 9x 2 = 0 x
1.- ECUACIONES POLINÓMICAS Ecuciones de º grdo Son ecuciones donde l incógnit está elevd. Ecuciones de º grdo complets Son del tipo x + bx + c = 0, con b, c 0. Pr resolverls usmos l fórmul b b 4c x L expresión
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES
C/ Grn Ví, 8 Mdrid, Espñ T: () 9 98. Dds ls mtrices, clculr: ) A B b) A t B t. Dds ls mtrices,, C = D =, relir todos los productos que sen posibles.. Clculr X - X I si X =. Se l mtri M =. Clculr M.. Clculr
Más detallesTEMA 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Para empezar:
Pl Mdre Mols, nº 86- MADRID Correo: nsconsolcion@plnlf.es / Telf. 9 59 95 / 69 56 698 / F 9 55 59 / www.nsconsolcion.co TEMA : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Pr eper:. Discutir resolver los siguientes
Más detallesResumen de Álgebra. Matemáticas II. ÁLGEBRA
Resumen de Álger. Mtemátics II. ÁLGEBRA.- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE GAUSS El método Guss consiste en convertir l mtriz socid un sistem de ecuciones en otr mtriz equivlente tringulr superior, hciendo
Más detallesMATRICES , B= , B= , I= ,I= 6.- Hallar todas las matrices A que satisfacen a la ecuación. , se pide : Calcular 3A A t -2I. ,hallarx 2 y X 3.
Ejeriios de ÁLGEBRA º Bhillerto págin MATRICES.- Dds ls mtries A=, B=, lulr A+B, A-B,AB,BA, AA,BB..- Dds ls mtries A=, B=, lulr A+B, A-B,AB,BA, AA,BB..- Clulr A -A I, siendo: A=, I=.- Resolver el sistem
Más detallesNos aproximamos al método de Gauss
http://mtemtics-tic.wikispces.com Lmberto Cortár Vinues 7 http://lumnosdelmberto.wikispces.com SISTEMAS. MÉTODO DE GAUSS. TEMAS WIKI Nos proimmos l método de Guss Hst hor hemos resuelto sistems de dos
Más detallesUNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso / MATERIA MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El lumno
Más detallesUNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3
UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch
Más detallesCurso ON LINE Tema 5. x + y + z = 5 1200x + 600y = 2000 + m z 1200x = 3 m z
Curso ON LINE Tem 5 Un gente inmobilirio puede relir tipos de operciones: vent de un piso nuevo, vent de un piso usdo lquiler. Por l vent de cd piso nuevo recibe un prim de. Si l operción es l vent de
Más detallesMATEMÁTICAS (II) JUNIO 2002
MTEMÁTICS (II) JUNIO El emen present dos opciones, B. El lumno deberá elegir UN Y SÓLO UN de ells resolver los cutro ejercicios de que const. No se permite el usó de clculdors con cpcidd de representción
Más detallesTEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3
. DEFINICIÓN. http://mtemticsconsole.wikispces.com/ TE trices TRICES Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i=,,...m; j=,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic
Más detallesTEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...
Deprtmento de Mtemátics TEM : MTRICES Un mtriz de orden mxn es un conjunto de m n números reles dispuestos en m fils y n columns... n... n... m m m... mn los números reles ij se les llm elementos de l
Más detallesMATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn
Mtrices MATRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz A de m fils y n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,m; j,,...n, dispuestos en fils y columns, tl como se indic continución:... n... n A........... m
Más detallesColegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS 3º ESO VERANO 2015
Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS º ESO VERANO º. Amplific ls siguientes frcciones pr que tods tengn denomindor b c d º. Cuál de ls siguientes frcciones es un frcción mplificd
Más detallesMatrices. números reales. Los jardines cifrados. Carlo Frabetti
Solucionrio Mtrices números reles LITERATURA Y MATEMÁTICAS Los jrdines cifrdos De l pred del fondo prtí un lrgo psillo débilmente ilumindo; lo recorrí y, l finl, me encontré nte un puert con pertur de
Más detallesI Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
ESCUELA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS I Resolución de sistems de ecuciones lineles Objetivo: El lumno deberá tener
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00
Más detallesa 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n... a m1 a m2 a m3... a mn
TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES. NOMENCLATURA Y DEINICIONES.. - DEINICIÓN Ls mtrices son tbls numérics rectngulres ª column ª fil n n n.......... m m m mn (
Más detallesTema9. Sucesiones. Tema 9. Sucesiones.
Tem 9. Sucesiones.. Definición. Forms de definir un sucesión.. Progresión ritmétic... Definición.. Sum progresión ritmétic. Progresión geométric... Definición.. Sum finit de progresión geométric... Sum
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES
MATRICES Y DETERMINANTES ) Resolver el siguiente sistem de ecuciones lineles t t z emplendo el método de Guss utilizndo trnsformciones elementles de fils En qué csos es comptible? b) Relcionr ls mtrices
Más detallesα el sistema es compatible indeterminado y la solución es α el sistema es incompatible; Si 1 α y 1
ÁLGEBRA Preguns de Selecividd de l Comunidd Vlencin Resuelos en vídeo hp://www.prendermemics.org/bmeccnnlgebr_pu.hml Pág.. (PAU junio A Clculr los vlores que sisfcen ls siguienes ecuciones: C AY AX B AX
Más detallesDos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común:
S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S. M É T O D O D E G A U S S. S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S C O N D O S I N C Ó G N I T A S Dos ecuciones lineles de ls que se busc un solución
Más detallesa b y se lee a es a b ; a se denomina antecedente y b consecuente.
1 Centro Educcionl Sn Crlos de Argón. Dpto. de Mtemátic. Prof.: Ximen Gllegos H. Guí Nº 5 PSU NM 4: Proporcionlidd Nombre: Curso: Fech: Aprendizje Esperdo: Plnte y resuelve problems que requieren plicr
Más detallesMatemáticas Aplicadas Ciencias Sociales II. Álgebra Lineal
Álgebr Linel (Junio-9 Sen ls mtrices, B Clculr l mtriz invers de B b Hllr el producto de l invers de B por l invers de. Qué relción eiste entre l mtriz del prtdo nterior y est mtriz? Justificr l respuest.
Más detallesPortal Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORCA (2000)
Portl Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTIA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORA (000) Problem. Sen los polinomios: P(x) = x 4 + x + bx + cx + ; Q(x) = x 4 + cx + bx + x +. Hll ls condiciones que deben cumplir
Más detalles4. PRUEBA DE SELECTIVIDAD-MODELO
Pruebs de Selectividd de Ciencis PRUEB DE SELECTIVIDD-MODELO-- OPCIÓN : ) Hll l longitud de los ldos del triángulo isósceles de áre máim cuo perímetro se m Perímetro b h h re h ( ) Derivmos : bse crece
Más detalles3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p
IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Mtrices deterinntes. Ejercicios de Selectividd. º.- Junio 99. i) Define rngo de un triz. ii) Un triz de tres fils tres coluns tiene rngo
Más detallesI.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
Más detallesGUIA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Fcultd de Ciencis Deprtmento de Mtemátics y Ciencis de l Computción GUIA DE SISEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Resuelv los siguientes sistems de ecuciones usndo el metodo de elimincion gussin, verifique l
Más detallesMatrices. Números reales. Los jardines cifrados
SOLUCIONARIO Mtrices Números reles L I T E R AT U R A Y M AT E M ÁT I C A S Los jrdines cifrdos De l pred del fondo prtí un lrgo psillo débilmente ilumindo; lo recorrí y, l finl, me encontré nte un puert
Más detallesDETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:
ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un
Más detallesMódulo 12 La División
Módulo L División OBJETIVO: Epresrá lguns propieddes de l división usndo propieddes de l división los inversos; epresr un numero rcionl de l form deciml frcción común vicevers. L división es un operción
Más detallesMATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.
DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?
Más detallesEcuaciones de 1 er y 2º grado
Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones
Más detallesACTIVIDADES INICIALES
Determinntes ACTIVIDADES INICIALES I. Enumer ls inversiones que precen en ls siguientes permutciones y clcul su pridd, comprándols con l permutción principl 34. ) 34 b) 34 c) 43 d) 34 e)43 f) 34 ) 3,4,
Más detallesDETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K
DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd
Más detallesMatrices ... Columna 2
Mtrices Mtrices de números reles Definiciones Def Consideremos el cuerpo cuerpo es un conjunto de números donde se puede sumr, restr, multiplicr dividir) de los números reles R Un mtri de números reles
Más detallesTEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes
Más detallesλ = A 2 en función de λ. X obtener las relaciones que deben
Modelo. Ejercicio. Clificción áxi: puntos. Dds ls trices, ) (,5 puntos) Hllr los vlores de pr los que existe l triz invers. ) ( punto) Hllr l triz pr 6. c) (,5 puntos) Resolver l ecución tricil X pr 6.
Más detallesel blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES
el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,
Más detallesX obtener las relaciones que deben
odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint
Más detallesMATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A
MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes
Más detallesTema 3 Determinantes
Tem Determinntes. Cálculo de rngo de un mtriz. Hll el rngo de l siguiente mtriz: A 5 5 Pr resolver el problem tommos un menor de orden no nulo: por tnto porque y hy fils linelmente independientes. rn(
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:
SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits,,,, n es un conjunto de m igulddes de l form: n n n n m m mn n m ij son los coeficientes i los
Más detalles5 2 B) C) o 16 1 C) 2 D) 16 E)-2. Sesión Si una progresión geométrica tiene primer término 243 y el quinto término es
Sesión.- Si un progresión geométric tiene primer término y el quinto término es entonces l rzón r es igul : Unidd I Progresiones y series. D. Progresión geométric..- L poblción de un ciudd h umentdo de
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIONES
C u r s o : Mtemátic Mteril N GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 8 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES FUNCIONES DEFINICIÓN Sen A B conjuntos no vcíos. Un función de A en B es un relción que sign cd elemento del conjunto
Más detallesUNIDAD 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Tem. Sistems de Ecuciones UNIDD. SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epresión de
Más detallesRaíces de una ecuación cuadrática
8 Ríces de un ecución cudrátic Introducción Se bord en est sección l deducción de l fórmul pr hllr ls ríces de un ecución cudrátic. Se nlizn ls crcterístics de ls soluciones, según l form del discriminnte
Más detallesTEMA 1: ACTIVIDADES Y AUTOEVALUACIONES RESUELTAS
MÓDULO - Ámbito Científico-Tecnológico TEMA : ACTIVIDADES Y AUTOEVALUACIONES RESUELTAS Actividd p.: Clcul el vlor numérico de ls siguientes epresiones lgebrics pr los vlores de ls letrs que se indicn:
Más detallesTema 3. DETERMINANTES
Tem. DETERMINNTES Definición de determinnte El determinnte de un mtriz cudrd es un número. Pr l mtriz, su determinnte se denot por det() o por. Pr un mtriz de orden,, se define: Ejemplo: Pr un mtriz de
Más detallesSolución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ.
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Algebr Linel MA 0, 0/08/3, Profs. J. González, R. Gouet. Solución Exmen. Considere el siguiente sistem de ecuciones lineles,
Más detallesEjercicios y Problemas. 2º Bachillerato de Ciencias. Matemáticas II
Ejercicios Problems. º chillerto de Ciencis. Mtemátics II ÍNDICE:. Mtrices. Determinntes. Sistems lineles de ecuciones. Geometrí en el espcio - Vectores. Rects plnos en el espcio. Geometrí métric en el
Más detallesFórmulas de Vieta. Entrenamiento extra Qué es el tiempo? Por: Argel. 5x 3 11x 2 + 7x + 3
Fórmuls de Viet Entrenmiento extr Qué es el tiempo? Por: Argel Resumen En el presente mteril se trtrá con un cuestión relciond con ls ríces de un polinomio, en l que se estblece un serie de relciones entre
Más detalles56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado
56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si
Más detalles1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre
Más detallesDesarrollos para planteamientos de ecuaciones de primer grado
1) Hllr un número tl que su triple menos 5 se igul su doble más 2. 5= 2 + 2 2= 2+ 5 = 7 2) El triple de un número es igul l quíntuplo del mismo menos 20. Cuál es este número? = 5 20 20 = 5 20 = 2 = 10
Más detallesACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio
Más detallesPara demostrar la primera igualdad, se supondrá que la región D puede ser definida de la siguiente manera
.7. Teorem de Green en el Plno. Se un curv cerrd, simple, suve trozos positivmente orientd en el plno, se l región limitd por l curv, e incluendo. Si F ( ) F ( ),, son continus tiene primers derivds prciles
Más detallesMATEMATICAS 3º ESO EJERCICIOS DE RECUPERACION DE LA 1ª EVALUACION
MATEMATICAS º ESO EJERCICIOS DE RECUPERACION DE LA 1ª EVALUACION FRACCIONES Ejercicio 1: resuelve l siguiente operción psndo cd número deciml frcción previmente: ' '1'6 '1 0'15 Ejercicio : simplific ls
Más detallesSOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
SOUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES Representción mtricil de un sistem de ecuciones lineles os determinntes son herrmients mu podeross pr resolver con reltiv fcilidd sistems de ecuciones lineles. Eemplo:
Más detallesÁrea Académica: Algebra Lineal. Profesor(a): Mtro. Joel Alejandro Domínguez Narváez. Periodo: Enero 2012 Junio 2012
Áre Acdémic: Algebr Linel Profesor(): Mtro. Joel Alejndro Domínguez Nrváez Periodo: Enero 212 Junio 212 . Abstrct The liner lgebr is generliztion of the stright line. Is brnch of mthemtics tht studies
Más detallesALGEBRA. 3.- Obtener las matrices A y B tales que cumplen las siguientes condiciones: (Sep ptos) A 1 = a
ALGEBRA Mtrices determinntes.- Se A un mtri cudrd se A l mtri que se obtiene de intercmbir en A ls fils primer segund. Es sbido que entonces se verific que det(a ) = - det(a). Justifíquese este resultdo.
Más detalleses una matriz de orden 2 x 3.
TEMA 7: MATRICES. 7.. Introducción l concepto de mtriz. 7.. Tipos de mtrices. 7.. El espcio vectoril de ls mtrices de orden m x n. 7.. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE MATRIZ. Se define mtriz de orden m x n
Más detalles1 Agrupa aquellos monomios de los que siguen que sean semejantes, y halla su suma: , cuando:
Agrup quellos monomios de los que siguen que sen semejntes, y hll su sum: m, bn y, m, bm, b my, m, n by, mb Son semejntes el º, el º y el º, su sum es: Tmbién lo son el º y el º: bn y 0 Lo mismo ocurre
Más detallesDe preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN O MÁS PREGUNTA Clculr los determinntes siguientes ) ) c) RESOLUCIÓN Pr resolver el determinnte de un mtriz cudrd de orden o más es recomendle plicr el método de Reducción
Más detalles6 7 8 DESEA PEDIR REPUESTAS DE ESTA GUÍA? LLAME l 099 y 009 o escribe l mil cesrlf007@hotmil.com Bs 000 Operciones Combinds en Q ) 8 8 ) ) 0 7 ) 6 ) 0 9 6) 8 9 7) ( ) 0 8 8 8) 9) 8 0) 7 Ecuciones ) - =
Más detalles