Polinomios. Polinomios.

Transcripción

1 Definición: Llamamos polinomio a una expresión del tipo: P(x)=a n x n +...+a 2 x 2 + a x+a 0 Donde a ii es un número real para todo valor natural de i. Llamaremos: a los a i coeficientes del polinomio x es la variable a 0 es el término independiente a n es el coeficiente principal Ejemplos de polinomios: P(x)=2x 3 +5/2x 2-3e R(x)=2x+ T(x)=7 O(x)=0 Definiciones: Polinomio nulo: es aquel que posee todos sus coeficientes iguales a 0. Grado de un polinomio: Es el mayor exponente al cual se encuentra elevada la variable, cuyo coeficiente es distinto de cero. Aplicaciones: Indica el grado de los polinomios P, R, T y O. Discute el grado del siguiente polinomio: M(x)=(3-a)x 2-5(x+5)+(b-x) 2 Valor numérico: Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable por un número real y realizar luego las operaciones correspondientes. Ejemplo: Siendo P(x)=3x 2 -x+, el valor numérico que toma P para x=2 es el resultado de la siguiente operación: P(2)=3(2) 2 -(2)+ P(2)= Raíz de un polinomio: Decimos que un número α es raíz de un polinomio P(x) si al sustituir x por α el valor numérico del polinomio es cero. En símbolos: α es raíz de P(x) P(α )=0. Operaciones con polinomios: Suma: Sean A(x)=2x 4-3x 3 +5x 2 +3x- y B(x)=4x 2 +3 hallar A(x)+B(x).

2 Sea A(x)= 2x 4-3x 3 +5x 2 +3x- hallar 2(A(x)), -A(x) Sean: A(x)= 2x 4-3x 3 +5x 2 +3x- y B(x)= 4x 2 +3 cómo haremos la siguiente operación B(x)-A(x)? Restar dos polinomios es lo mismo que sumar el opuesto, es decir que se puede multiplicar primero el polinomio A por y luego sumárselo al polinomio B. Dicha operación se puede plantear: B(x)-A(x)=B(x)+(-A(x)) (4x 2 +3)-(2x 4-3x 3 +5x 2 +3x-)= (4x 2 +3)+(-2x 4 +3x 3-5x 2-3x+)=-2x 4 +3x 3 -x 2-3x+4 Sean M(x)= 2x 3 -x 2 +3x- N(x)= -2x 3 +4x 2-2x+2 S(x)= x 2 +5 T(x)=-4x 3 +2x 2-6x+2 a) Hallar: M(x)+S(x) M(x)+N(x) T(x)+2M(x) b) Indicar grado de M, N, S, T, M+S, M+N, T+2M c) Qué podrías decir del grado de la suma respecto del grado de los sumandos? En general: Multiplicación: Hallar: (3x-) (2x+3) Sean F(x)= -x 3 +7x 2 +2x- a) Hallar: F(x).G(x) Recordemos: x n.x m =x n+m ax n.bx m =(a.b)x n+m ax n +bx n =(a+b)x n G(x)= 2x 2 +x-3 -x 3 +7x 2 +2x- 2x 2 +x x 3-2x 2-6x+3 -x 4 +7x 3 +2x 2 -x -2x 5 +4x 4 +4x 3-2x x 5 +3x 4 +4x 3-2x 2-7x+3 b) Realizar [G(x)] 2 c) Determinar grado de F, G, F.G, G 2 d) Determinar, sin efectuar la operación, el grado de F 2 2

3 Observación: g o F o Si = n g ( F G) =... o g G = m Qué sucede en el siguiente producto? (2x 4-3x 3 +5x 2 +3x-).( ) División entera de Polinomios: Recordemos: Observamos que 7=3.2+ y que <3, por lo tanto realizar la división entera entre dos números naturales a y b, con b 0, es encontrar dos números naturales q y r, tales que se cumpla que a=b.q+r y que r<b. En el caso particular en que el resto es 0 a estas divisiones se las llama exactas. Asimismo la división entre 0 no está definida, es decir NO SE PUEDE DIVIDIR ENTRE 0. Trataremos de definir una operación similar para los polinomios: Definición: Realizar la división entera entre un polinomio A(x) y B(x), con B(x) distinto del polinomio nulo, es hallar otros dos polinomios Q(x) y R(x) tales que se cumpla que A(x)=B(x).Q(x)+R(x) y que el grado de R(x) es menor que el grado de B(x) o que el resto es el polinomio nulo. A(x) B(x) R(x) Q(x) A los polinomios hallados les llamaremos polinomio cociente y polinomio resto de la división, siendo A el polinomio dividendo y B el polinomio divisor. Cuáles de los siguientes esquemas representan divisiones enteras entre polinomios? a) 4x 2-3x+ 5x+ 4x 4x 2-3x+ 3x 4x 2-3x+ 4x+5 b) x+2 x 4-3x+ x 4 - x 4-3

4 c) Podremos encontrar dos polinomios en las condiciones del cociente y el resto de la división entera para los siguientes polinomios dividendo y divisor? x 4-3x d) Si conocemos el grado del dividendo y el divisor cuál debe ser el grado del cociente? y el grado del resto? División exacta entre polinomios: es aquella en la cual el polinomio resto es el nulo. Cuando sucede esto se dice que el dividendo es divisible entre el divisor. Hallar cociente y resto de dividir A(x) entre B(x), siendo dichos polinomios los correspondientes a cada caso: a)a(x)= 2x 2 +x+4 B(x)=x b)a(x)= - 3x 3 +9x 2-6x B(x)=3x c)a(x)= - 3x 3 +9x 2-6x B(x)= - 3x 2 d)a(x)= 4x 3-2x 2 +6x- B(x)=2x 2 +3 Algoritmo de división entera. Esquema de Ruffini. Teorema del resto: H) A(x) x-α T) A(α )=R R(x) Q(x) Dem: 4

5 Repartido de ejercicios: ) Sean f(x)=x 4-2x 2 +x-5 g(x)=2x 3 +5x+6 h(x)= x 2-8x a) Hallar: f(-), f(/2), g(4), g(0), h(-3/4), h(0) b) Hallar: f+g+h; f-g; h-g; 3h+2g; f g; h 2 c) Realizar la división entera de f entre h, g entre h, y h entre f. 2) Hallar f(x) y g(x) sabiendo que: 3 2 f ( x) + g( x) = x x 8x f ( x) g( x) = x 5x + 9 3) Hallar a y b sabiendo que f(x)= 2x 3 +ax 2 +bx-6 sabiendo que 2 es raíz de f y f(-) =4 4) Sabiendo que f(x)= 6x 3-7x 2 +ax+b dividido entre g(x)= 2x 2-5x+3, da resto r(x)=6x-7, hallar a y b. 5) Aplicando Ruffini calcular cociente y resto de dividir f(x)= 3x 5 -x 3 +2x+ entre i)x-3 ii)x+2 iii)2x-4 iv)-2x-0 6) Hallar a y b en p(x)= x 3 +ax 2 +bx-35 sabiendo que p()=0 y p(3)=b+2a-5. 7) Se sabe que el cociente de dividir p(x) entre (x+2)(x-3) es () y que p(- )=-6 y p(3)=4. determinar p(x). 5