Contenido. 4. Electrón en un potencial periódico. 1 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría (Física) 1/29 29

Transcripción

1 Contenido 4. Electrón en un potencial periódico 1 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 1/29 29

2 Contenido: Tema Electrón en un potencial periódico 4.1 Modelo del electrón cuasi-libre y funciones de Bloch 4.2 Estructura electrónica en un potencial periódico: metales y aislantes 4.3 Modelo de Kronig-Penney 2 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 2/29 29

3 Contenido: Tema Electrón en un potencial periódico 4.1 Modelo del electrón cuasi-libre y funciones de Bloch 4.2 Estructura electrónica en un potencial periódico: metales y aislantes 4.3 Modelo de Kronig-Penney 3 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 3/29 29

4 Modelo del electrón cuasi-libre Motivación del modelo del electrón cuasi-libre DOS Metal DOS Semiconductor/Aislante Dɛ) ɛ 1/2, ɛk) k 2 esq. contínuo), σ nτ > 0. Dɛ F ) = 0, { = 0 V < ɛg, σ > 0 V > ɛ g. En el modelo del gas de electrones libres no existe el fenómeno de brecha o gap de energía. 4 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 4/29 29

5 Modelo del electrón cuasi-libre Modelo del electrón cuasi-libre Gas de electrones libres Gas de electrones cuasi-libres Na Los iones positivos) se consideran como una carga de background. los electrones sólo interaccionan vía el principio de exclusión de Pauli. Los iones positivos) representan un potencial periódico muy pequeño. tal potencial es de corto alcance. los e mantienen como única interacción entre ellos al término de Pauli. 5 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 5/29 29

6 Modelo del electrón cuasi-libre Propiedades generales de simetría Considerando la inclusión de un potencial periódico V r) 0, Por tanto, se debe resolver la sig. ec. de Schrödinger, V r) = V r + r n ), r n = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3, Hψr) = ɛψr), ) H = 2 /2m 2 + V r). a 2 a 1 r r + r n siendo a 1, a 2, a 3, los vectores de la red en el espacio real, con n 1, n 2, n 3 Z. r n Expandiendo en el espacio de Fourier el potencial, debido a la periodicidad de la red, V r) = V G e ig r, G G = hg 1 + kg 2 + lg 3, en donde g 1, g 2, g 3, representan vectores de la red recíproca, con h, k, l Z. 6 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 6/29 29

7 Modelo del electrón cuasi-libre Propiedades generales de simetría para un potencial periódico Expandiendo los orbitales en ondas planas, para poder resolver la ec. de Schrödinger, ψr) = C k e ik r, k siendo k un punto/vector del espacio recíproco compatible con las condiciones de periodicidad de la red: k x = 0, ±2π/L, ±4π/L,... ± 2πn x /L, k y = 0, ±2π/L, ±4π/L,... ± 2πn y /L, k z = 0, ±2π/L, ±4π/L,... ± 2πn z /L. Con tales expresiones para V r) y ψr) expresamos la ec. de Schrödinger en el espacio de Fourier, [ ) ] 2 /2m 2 + V r) ψr) = ɛψr), [ 2 2m 2 + G V G e ig r ] k C k e ik r = ɛ k C k e ik r. 7 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 7/29 29

8 Modelo del electrón cuasi-libre Ecuación de Schödinger en el espacio de Fourier De la ec. anteriormente obtenida, [ 2 2m 2 + ] V G e ig r G k 2 k 2 ) 2m ɛ k C k e ik r + k C k e ik r = ɛ C k e ik r, k C k V G e ik+g) r = 0, renombrando los índices 1 se tiene, 2 k 2 ) 2m ɛ C k e ik r + C k G V G e ik r = 0, k k G [ e ik r 2 k 2 ) 2m ɛ C k + ] C k G V G = 0, k G 2 k 2 ) 2m ɛ C k + C k G V G = 0. G 1 k k y luego k + G k. 8 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 8/29 29 G

9 Modelo del electrón cuasi-libre Ecuación secular en el espacio recíproco La ecuación secular obtenida anteriormente, 2 k 2 ) 2m ɛ C k + C k G V G = 0, G acopla los coeficientes de expansión C k que difieran entre ellos por sólo un vector recíproco: C k está acoplado a C k G, C k G, C k G,..., por tanto, del sistema de ecs. cada una dará una solución que se puede expresar como una superposición de ondas planas cuyo k difiere sólo por un vector G, ψ k r) = k C k e ik r ψ k r) = G C k G e ik G) r. 9 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 9/29 29

10 Modelo del electrón cuasi-libre Teorema de Bloch De la expresión deducida para los orbitales, ψ k r) = [ ] C k G e ik G) r = C k G e ig r e ik r, G G ψ k r) = u k r)e ik r u k r) = G C k G e ig r, es decir, el orbital representa una onda plana modulada por u k r). Analizando la función u k r), u k r) = G C k G e ig r, u k r + r n ) = G C k G e ig r+rn) = G C k G e ig r e ig rn, pero G r n = 2πα α Z, u k r) = u k r + r n ) ondas de Bloch. El resultado anterior se le conoce como el teorema de Bloch. 10 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 10/29 29

11 Modelo del electrón cuasi-libre Teorema de Bloch: propiedades de periodicidad Analizando la periodicidad de los orbitales, ψ k = u k e ik r, = G C k G e ig r e ik r ψ k+g = u k e ik r, ψ k+g = ψ k. Finalmente, analizando la periodicidad de las energías, haciendo G G y analizando el Hψ orbital cuando k k + G, k r) = ɛk)ψ k r), ψ k+g = Hψ k+g r) = ɛk + G)ψ k+g r), C k+g G e G G) r e ik r, G pero ψ k+g = ψ k, y renombrando G = G G, [ ] ψ k+g = e ik r, G C k G e ig r Hψ k r) = ɛk + G)ψ k ɛk) = ɛk + G). 11 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 11/29 29

12 Modelo del electrón cuasi-libre Teorema de Bloch: periodicidad de los orbitales Gas de electrones libres ψ k r) = e ik r, Gas de electrones cuasi-libres ψ k r) = u k r)e ik r, u k r) = G C k G e ig r. 12 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 12/29 29

13 Contenido: Tema Electrón en un potencial periódico 4.1 Modelo del electrón cuasi-libre y funciones de Bloch 4.2 Estructura electrónica en un potencial periódico: metales y aislantes 4.3 Modelo de Kronig-Penney 13 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 13/29 29

14 Estructura electrónica en un potencial periódico Ecuación secular: consideraciones generales Consideremos un sistema 1D, 2 /a 2 G 0 G 1 G 2 2m k G 2 ɛ ) k de la ecuación secular, 2 k 2 ) 2m ɛ C k + C k G V G = 0, G obtenemos también la ex. para k k G, haciendo G G ), C k G + G C k G G V G = 0, renombrando variables mudas: G + G G, entonces obtenemos, ) 2 2m k G 2 ɛ C k G + C k G V G G = 0. G 14 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 14/29 29

15 Estructura electrónica en un potencial periódico Cálculo del espectro de energía De la ecuación anterior se puede obtener una expresión para los coeficientes C k G, C k G = G C k G V G G ɛ 2 2m k G 2 para pequeñas perturbaciones, a 1ra aprox. al cálculo de C k G aplicamos las siguientes consideraciones: ɛ 2 k 2 /2m, sólo los C k G más grandes tendrán validez en la expansión, k 2 k G 2. De la relación secular para k, analicemos expandiendo hasta G, es decir, sin considerar términos de orden G, G,... 2 k 2 ) 2m ɛ C k + C k G V G = 0 G 2 k 2 ) 2m ɛ C k + C k V 0 + C k G V G = 0 2 k 2 ) 2m ɛ C k + C k G V G = 0 en donde V 0 = 0 para G = / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 15/29 29

16 Estructura electrónica en un potencial periódico Cálculo del espectro de energía Ahora, para el caso de k G, se tiene: ) 2 2m k G 2 ɛ C k G + C k G V G G = 0, G ) 2 2m k G 2 ɛ C k G + C k V G + C k G V 0 = 0, ) 2 2m k G 2 ɛ C k G + C k V G = 0, por tanto tenemos que resolver el siguiente sistema, 2 k 2 ) k : 2m ɛ C k + C k G V G = 0, ) 2 k G : 2m k G 2 ɛ C k G + C k V G = / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 16/29 29

17 Estructura electrónica en un potencial periódico Cálculo del espectro de energía El sistema anterior lo podemos definir como un sistema matricial, [ 2 k 2 2m ɛ V ] [ ] G Ck V 2 G 2m k = 0, G 2 ɛ C k G para que tenga solución el determinante se debe eliminar, ɛ 0 k ɛ V G ɛ 0 k G ɛ = 0, donde: ɛ0 k = 2 k 2 2m, ɛ0 k G = 2 2m k G 2, V G y considerando que el potencial es simétrico: V G = V G. Resolviendo el determinante llegamos a lo siguiente, ) ) 0 = ɛ 0 k ɛ ɛ 0 k G ɛ V G 2, ) 0 = ɛ 2 ɛ ɛ 0 k + ɛ 0 k G V G 2, ɛ 0 ɛ = k G + ɛ 0 ) [ k ɛ 0 ± k G ɛ 0 ) ] 1/2 k + V G 2, / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 17/29 29

18 Estructura electrónica en un potencial periódico Cálculo del espectro de energía Recordando que, a primera aproximación se tenía que, k 2 k G 2, G G 2k) = 0, G/2 = k, es decir, la máxima perturbación en el espectro de energía ocurrirá cuando G sea máximo, es decir, en la frontera de la IBZ. Por tanto, consierando k 2 k G 2, obtendremos ɛ 0 k ɛ 0 k G, ɛ 0 k = 2 k 2 /2m, & ɛ 0 k G = 2 k G 2 /2m. Analizando en esta condición la diferencia en energía del espectro obtenido: ɛ 0 ɛ = k G + ɛ 0 ) k [ ɛ 0... ± k G ɛ 0 ) ] 1/2 k + V G 2 2 ɛ = ɛ + ɛ = 2 V G, es decir, la diferencia entre valores de energía en la frontea de la IBZ será dos veces la G-ésima componente de Fourier del potencial. 18 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 18/29 29

19 Estructura electrónica en un potencial periódico Estructura de bandas 1ra zona de Brioullin Zona extendida 19 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 19/29 29

20 Estructura electrónica en un potencial periódico Estructura de bandas: metales y aislantes Aislante Metal/Semimetal Metal Aislante: existen bandas completamente vacías, bandas de conducción, que están separadas por las de valencia bandas llenas) por un gap de energía amplio. Metal: existe un traslape en bandas de energía parcialmente llenas. Semimetal: cuando el traslape en estados es pequeño. 20 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 20/29 29

21 Contenido: Tema Electrón en un potencial periódico 4.1 Modelo del electrón cuasi-libre y funciones de Bloch 4.2 Estructura electrónica en un potencial periódico: metales y aislantes 4.3 Modelo de Kronig-Penney 21 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 21/29 29

22 Modelo de Kronig-Penney Potencial periódico: serie de potenciales cuadrados II I Un potencial periódico para el cual la ecuación de Schrödinger puede ser resuelta de manera sencilla, es el arreglo de potenciales cuadrados, propuesto por Kronig y Penney. Ux) = { 0 0 < x < a, I) U 0 b < x < 0, II) 22 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 22/29 29

23 Modelo de Kronig-Penney Potencial periódico: ecuación de onda II I Recordando que la ecuación de onda viene dada por, Proponiendo para la región I 0 < x < a) la siguiente solución, 2 d 2 ψ + Ux)ψ = ɛψ, 2m dx2 en donde, { 0 0 < x < a, I) Ux) = U 0 b < x < 0, II) ψ = Ae iκx + Be iκx, ɛ = 2 κ 2 /2m. Para la región II b < x < 0), dentro de la barrera, se propone: ψ = Ce qx + De qx, U 0 ɛ = 2 q 2 /2m. 23 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 23/29 29

24 Modelo de Kronig-Penney Potencial periódico: condiciones de frontera II I La solución completa debe de cumplir con la forma de los orbitales en pot. periódicos: Por tanto, la sol. en la región a < x < a + b debe relacionarse con la sol. en la región b < x < 0 como: ψ k r) = u k r)e ik r u k r) = u k r + r n ), donde la última expresión representa el teorema de Bloch. ψa < x < a+b) = ψ b < x < 0)e ika+b), lo cual define la solución completa, junto con las condiciones de frontera: ψx = 0, a) I = ψx = 0, a) II, ψ x = 0, a) I = ψ x = 0, a) II. Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 24/29 24 / 29

25 Modelo de Kronig-Penney Potencial periódico: condiciones de frontera De las soluciones propuestas de los orbitales para ambas regiones, ψ I = Ae iκx + Be iκx & ψ II = Ce qx + De qx, ψ I = iκ Ae iκx Be iκx) & ψ II = q Ce qx De qx), aplicamos las condiciones de continuidad y diferenciabilidad en x = 0: ψx = 0) I = ψx = 0) II A + B = C + D, ψ x = 0) I = ψ x = 0) II iκa B) = qc D). Para el caso de la frontera x = a, ψx = a) I = ψx = a) II = ψx = b) II e ika+b), Ae iκa + Be iκa = Ce qb + De qb) e ika+b), ψ x = a) I = ψ x = a) II = ψ x = b) II e ika+b), iκ Ae iκa Be iκa) = q Ce qb De qb) e ika+b). 25 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 25/29 29

26 Modelo de Kronig-Penney Potencial periódico: solución De las cuatro ecuaciones se construye un sistema de ecuaciones, A + B C D = 0, iκa iκb qc + qd = 0, Ae iκa + Be iκa Ce qb e ika+b) De qb e ika+b) = 0, iκae iκa iκbe iκa qce qb e ika+b) + qde qb e ika+b) = 0, A iκ iκ q q B e iκa e iκa e qb e ika+b) e qb e ika+b) C = 0, iκe iκa iκe iκa qe qb e ika+b) qe qb e ika+b) D el cual tendrá solución si el determinante de los coeficientes A, B, C, y D se anula, dando como resultado, [ q 2 κ 2) ] /2qκ Senh qbsen κa + Cosh qbcos κa = Cos k a + b). 26 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 26/29 29

27 Modelo de Kronig-Penney Potencial periódico: aproximación del potencial a serie de funciones delta Considerando a las barreras de potencial como funciones delta periódicas, x) aplicando el límite a las condiciones del problema, se tiene: b 0 U 0 bu 0 = cte. q 2 ba/2 = P = cantidad finita, en tal límite se tiene que q κ y qb 1, por tanto, la ecuación previamente obtenida se aproxima de la siguiente manera, [ q 2 κ 2) ] /2qκ Senh qbsen κa + Cosh qbcos κa = Cos k a + b), P/κa) Sen κa + Cos κa = Cos ka. 27 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 27/29 29

28 Modelo de Kronig-Penney Potencial periódico: valores prohibídos Graficando la solución en el límite de funciones delta periódicas: Los valores permitidos para la energía serán aquellos en donde la sol. obtenida se encuentre entre 1 y +1, es decir: ɛ = 2 κ 2 ) 2mɛ 1/2 2m κa = 2 a solución { 1, +1}. para cualquier otro valor de κa se tendrán valores prohibídos de la energía. 28 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 28/29 29

29 Modelo de Kronig-Penney Potencial periódico: gaps de energía La estructura de bandas viene dada en términos del vector de onda de Bloch, ɛ = 2 k 2 /2m, siendo los rangos determinados por la condición, P/κa)Sen κa + Cos κa < 1, donde, ) 2mɛ 1/2 κa = a. 2 Por tanto, tendremos gaps de energía en ka = π, 2π, 3π, / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Física del Estado Sólido Maestría Física) 29/29 29