SISTEMAS DE ECUACIONES 3x3

Transcripción

1 SISTEMAS DE ECUACIONES x DEFINICIÓN: Una ecuación con tres incógnitas es de la forma ax by cz d,con a,b,c, d. a x b y c z d Tres de este tipo: a a x b y c z d x b y c z d constituyen un SISTEMA, cuando buscamos la terna de valores de (x,y, z) que satisfagan las tres al mismo tiempo, a dicha terna le llamaremos SOLUCIÓN del sistema y la notaremos S x, y,z Para expresar que estamos frente a un sistema, utilizamos una llave antes de las : a x b y c z d a a x b y c z d x b y c z d Repasando los conceptos de Sistemas de dos con dos incógnitas, como por x y 7 ejemplo el sistema:, al resolverlo, podíamos encontrar un valor para x y un valor x y para la y, que conformarían el par ordenado solución de dicho sistema y el cuál representa gráficamente el punto de intersección de las dos rectas, (gráfica, de las funciones lineales que forman el sistema). PROCEDIMIENTO.-Despejamos la incógnita y en ambas..-si consideramos que la incógnita y está en función de x, cada ecuación sería la expresión de una FUNCIÓN LINEAL, por lo cuál podemos representarlas en un Sistema Cartesiano realizando el E. A.y R. G. de las mismas..- En ec. y x 7 En ec. y x.- Ec. y x 7 Raíz x 7 0 x 7 Ordenada Ec. y y 7 x - Raíz x 0 x REALIZACIÓN y - Ordenada Las rectas se cortan en el punto de coordenadas 5, 6.- Expresamos el conjunto solución obtenido 6.- S 5,

2 SISTEMAS DE ECUACIONES X JAIRO HURTADO En el caso de los sistemas de tres con tres incógnitas, cada una de ellas, determinan una recta en el espacio, por lo cuál, no usaremos para su resolución el Método Gráfico ya que sería más complicada y aún menos exacta su resolución. La figura adjunta, es la representación gráfica y de una recta en el espacio, tendríamos que realizar la representación de las otras dos para encontrar recién el punto de intersección y intuir sus coordenadas. x z Por dicho motivo, los métodos de resolución que estudiaremos serán: Método De Igualación Método De Sustitución Método De Reducción Recordemos que los matemáticos inventaron estos tres métodos para que pudiéramos aplicar el que más nos convenga según el tipo de sistema que tengamos. Iremos comparando el procedimiento que conocemos para la resolución de sistemas de dos con dos incógnitas con el que realizaremos para los sistemas de tres con tres incógnitas, ya que éstos son sumamente similares. MÉTODO DE REDUCCIÓN: Utilizaremos el siguiente ejercicio de ejemplo : Sistema de x: x y z 5 x y 4 Sistema de x: x y x y z 5 5x y z 6 SISTEMAS DE X.- Multiplicaremo s ambas por un número que convenga a cada una de ellas por separado para que los coeficientes de una de las incógnitas PROCEDIMIENTO SISTEMAS DE X.- Tomamos dos pares de (los que quiera) y multiplicamos ambas por un número que convenga a cada una de ellas por separado para que los.- SISTEMAS DE X ec. ec. x y 4 x y x y 4 x 6y 4 REALIZACIÓN.- SISTEMAS DE X ec. x y z 5 ec. x y z 5 ec. ec. x y z 5 5x y z 6 ec. 4x y 6z 0 ec. x y z 5

3 SISTEMAS DE ECUACIONES X JAIRO HURTADO sean números opuestos.- Sumamos los términos de las miembro a miembro coeficientes de una de las incógnitas ( la misma en los dos pares ) sean números opuestos.- Sumamos los términos de los dos pares de miembro a miembro.- x y 4 x 6y 4 0x 5y 0 ec. 6x y 9z 5 ec. 5x y z 6.- ec. 4x y 6z 0 ec. x y z 5 7x 0y 4z 5 ec. 6x y 9z 5 ec. 5x y z 6 x 0y -0z.-Resolvemos la ecuación de primer grado con una sola incógnita que nos quedó.-ordenamos las dos que obtuvimos (ec.4 y ec.5), formando un nuevo sistema de dos con dos incógnitas.- 5y 0 y y x 4z 5 ec.4 x -0z ec.5 7x 4z 5 x 0z 4.-Sustituimos el valor de la incógnita encontrada en cualquiera de las dos (en la que nos resulte más fácil hacerlo). Luego resolvemos la nueva ecuación que nos queda. 4.-Realizamos el procedimiento para sistemas de dos con dos incógnitas, por cualquiera de los métodos aprendidos, pues no tenemos por que aplicar el mismo método con el que estamos trabajando. 4.- Ec. x y x - 0 x - 0 x 4.- Para resolverlo, voy aplicar nuevamente reducción: 7x 4z 5 5 x 0z 5x 0z 75 x 0z 6 -x 0z - - -x - x - x En ec.4 7 4z 5 7-4z 5-4z z 8 z 8-4 z - 5.-Sustituimos las incógnitas halladas en 5.-

4 SISTEMAS DE ECUACIONES X JAIRO HURTADO 4 cualquiera de las tres para calcular la que nos falta En ec. x y - z 5 y 5 y 6 5 y y 6.- Verificamos en las dos, ya que para resolver el sistema el par de valores tenía que ser solución de ambas simultáneame nte. 6.- Verificamos en las tres, ya que para resolver el sistema la terna de valores tenía que ser solución de las tres simultáneamen te. 6.- Verificación: En ec. 0 4 s.c. En ec. 0 s.c. 6.- Verificación: En ec s.c. En ec s.c. En ec s.c. 7.- Expresamos el conjunto solución obtenido 7.- Expresamos el conjunto solución obtenido 7.- S,0 7.- S,-,- EJERCICIOS:.- Resuelve y verifica los siguientes sistemas de tres con tres incógnitas: x y z 8 i ) x y z 9 x y z x y 4z iv) x y z x y z x y 4z 8 ii) y x z x y z 5 z y x v ) x z 0 x y z x iii) x y z x 4y 5z.- Hallar tres números sabiendo que el primero es igual al segundo más la mitad del tercero, que la suma del segundo y el tercero es igual al primero más, y que si se resta el segundo de la suma del primero con el tercero el resultado es 5..- Sea f : f(x) ax bx c determinar f, sabiendo que: f () =, f () = 0, f (0) = 4.- Sea f : f(x) ax bx c determinar f, sabiendo que : f() ; f() ; f( )

5 SISTEMAS DE ECUACIONES X JAIRO HURTADO 5 El conjunto solución de un sistema puede ser:. Vacío, (no tiene elementos)- en este caso diremos que el sistema es INCOMPATIBLE.. Unitario, (tiene una única terna ordenado de valores solución del sistema) en este caso diremos que el sistema es DETERMINADO.. Infinito, ( existen infinitas ternas ordenadas solución del sistema) en este caso diremos que el Sistema es INDETERMINADO. Para comprender mejor esta clasificación, ejemplificaremos los casos. y. que no hemos visto hasta ahora: Caso.- x y z 5 ec. x y z 5 ec. x y z 4 x y z ec. x y z ec. 4x y 4z 4x y 4z x y z 5 x 4y 6z 4 4x 8y z 8 4x y 4z 0x 7y 8z 0x 7y 8z 7 ec.4 7y 8z ec.5 7y 8z 7 7y 8z 7y 8z 7 ec.4 ec.5 7y 8z 7y 8z 7 0y 0z 8 tendríamos que encontrar dos números y, z que multiplicados por 0 nos de -8, lo cuál es imposible, por lo tanto el Sistema NO TIENE SOLUCIÓN, es INCOMPATIBLE. Caso.- x y z 5 ec. x y z 5 ec. x y z 4 x y z ec. x y z ec. 4x y 4z 9 4x y 4z 9 x y z 5 4x 8y z 8 x 4y 6z 4 4x y 4z 9 0x 7y 8z 0x 7y 8z ec.4 7y 8z ec.5 7y 8z ec.4 ec.5 7y 8z 7y 8z 7y 8z 7y 8z 0y 0z 0 tendríamos que encontrar dos únicos números y, z que multiplicados por 0 nos de 0, lo cuál es imposible, pues existen infinitas parejas de números que cumplen con esta condición, por lo tanto el Sistema TIENE INFINITAS SOLUCIONES, es INDETERMINADO.

6 SISTEMAS DE ECUACIONES X JAIRO HURTADO 6.-Resuelve y verifica : x y z x y 4z i ) x y z x y z iv) x 5y z 0 x y z iii) x y z x y a b c 5 x y z a b c ii) a b v ) 4a b c c b c a.- Resuelve : x y i ) y z 5 x z 4 a b 5 c ii) a b c b a c iii) a b c b a.- Discute los siguientes sistemas: x y z i ) x y z x y z x 5y z 4 iv) x y 8z 4 x y z x y 7z ii) x y z x y z 0 x 4y 5z v ) x 8y 8z 0 x y z x y 4z 0 iii) x y z x y 4z 8