SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

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1 UNIDAD SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS Página 0 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos datos distintos? No es cierto que la segunda dice lo mismo que la primera? x + y 5 x + y 0 Represéntalas gráficamente y observa que se trata de la misma recta. Se trata de la misma recta. x + y 0 x + y 5 Pon otro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en el que la segunda ecuación sea, en esencia, igual que la primera. Interprétalo gráficamente. x + y x + y Gráficamente son la misma recta: x + y x + y Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

2 . Observa las ecuaciones siguientes: x + y 5 x y x + y Represéntalas y observa que las dos primeras rectas determinan un punto con esos dos datos se responde a las dos preguntas: x,y y que la tercera recta también pasa por ese punto. x + y, x y x + y 5 Da otra ecuación que también sea consecuencia de las dos primeras por ejemplo: -ª + -ª, represéntala y observa que también pasa por x, y. x + y x y -ª + -ª 7x y, x + y 5 7x y Página. Observa que lo que dice la segunda ecuación es contradictorio con lo que dice la primera: x + y 5 x + y 7 Represéntalas y observa que se trata de dos rectas paralelas, es decir, no tienen solución común, pues las rectas no se cortan en ningún punto. x + y 7 x + y 5 Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

3 Modifica el término independiente de la segunda ecuación del sistema que inventaste en el ejercicio y representa de nuevo las dos rectas. Observa que lo que dicen ambas ecuaciones es ahora contradictorio y que se representan mediante rectas paralelas. x + y x + y 0 Rectas paralelas: x + y x + y 0. Fíjate ahora en este sistema formado por tres ecuaciones: x + y 5 x y x + y 0 Representa las tres rectas y observa que la tercera no pasa por el punto en el que se cortan las otras dos. x y x + y 0, x + y 5 Modifica el término independiente de la recta que inventaste en el ejercicio. Observa que lo que dice después del cambio es contradictorio con las dos primeras ecuaciones y que, al representarla, no pasa por el punto de corte de ellas. x + y 5 x y 7x y 0 x y 7x y 0, x + y 5 Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

4 Página. Sin resolverlos, son equivalentes estos sistemas? x + y z 5 x + y 5 x + y z 5 x + y z a b c x + y 7 d x y 7 x + y 7 x + y z 7 x + y z x + y 5 x z x + y 7 z x + y 7 x + y z y a Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que teníamos. b Hemos sustituido la primera ecuación por el resultado de restarle a la segunda ecuación la primera. c En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. El resto es igual que en b. d Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segunda ecuación la primera. Página 5. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas: x + y x + y + z 6 x + y + z 6 a x + y b y z c x + y + z 0 d x + y x + y 7 x z 0 x + y + z 6 y z z a x + y x +y x + y y x y x x x x, y 5 Veamos si cumple la -ª ecuación: Solución: x, y 5. Son tres rectas que se cortan en el punto, 5. b x + y + z 6 y z x + y 7 La -ª ecuación se obtiene sumando las dos primeras; podemos prescindir de ella. x + y 6 z y + z x 6 z y 6 z z 5 z y + z Solución: x 5 λ, y + λ, z λ. Son tres planos que se cortan en una recta. c x + y + z 6 x + y + z 0 Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible. x z 0 Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta. Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

5 d x + y + z 6 y z z z y + z x 6 y z 6 Solución: x, y, z. Son tres planos que se cortan en el punto,,. x + y. a Resuelve el sistema: x y b Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible. c Añade una tercera ecuación de modo que sea incompatible. d Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso. a x + y x y x y x + y Solución: x, y b Por ejemplo: x + y 7 suma de las dos anteriores. c Por ejemplo: x + y 9 d En a Son dos rectas que se cortan en,. En b La nueva recta también pasa por,. y + y y y x + y En c La nueva recta no pasa por,. No existe ningún punto común a las tres rectas. Se cortan dos a dos. Página 6. Reconoce como escalonados los siguientes sistemas y resuélvelos: x 6 x 7 a b x + y + z 7 x y 5 5x z x t 6 x + z 0 c x + y + z 7 d x + y z 7 5x z + t x a x 7 x y 5 7 x x 5 y 7 Solución: x, y Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 5

6 b Solución: x, y 9, z c Soluciones: x + λ, y 9 9λ, z + 6λ, t λ d 6 Solución: x, y, z 9 x 6 x + y + z 7 5x z x 6 5x z x + y +z 7 x z 5x y 7 x z 7 9 x t 6 x + y + z 7 5x z + t x 6 + t 5x z t x + y + z 7 x + t z 5x + t + 6t y 7 x z 9 9t x + z 0 x +y z 7 x x x + z 0 x + y z 7 x x z 7 x + z 6 y 9. Son escalonados estos sistemas? Resuélvelos: z + t y + z t x + y + z 7 a b z x z x z + t 5 y + z x + y + z + t c d y x y x +y +z a z + t y + z t z x z + t 5 z z + t y + z t x z + t 5 z t z y z + t 5 x 5 + z t Solución: x, y 5, z, t b x + y + z 7 x z x + z x + y 7 z Soluciones: x + λ, y 5 λ, z λ z x + z y 7 z x 5 c x + y + z + t x y x + y x + z y t x + y z y t y y t Soluciones: x + λ, y λ, z λ µ, t µ Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 6

7 d y + z y x + y + z Solución: x 0, y, z 0 y y + z x + y + z y z y 0 x y z 0 Página 7. Transforma en escalonados y resuelve: x y + z a x + y + z b x + y z 6 x + y + z 6 x y z x + y + z 8 a x y + z x + y + z x + y z 6 -ª -ª -ª -ª -ª x y + z y z 6 y z 0 -ª -ª : -ª x y + z y z y z 0 -ª -ª -ª -ª x y + z y z z z y + z x + y z Solución: x, y, z b x + y + z 6 x y z x + y + z 8 -ª -ª -ª -ª -ª x + y + z 6 y z 0 y z 0 -ª -ª : x + y + z 6 y + z 5 Podemos prescindir de la -ª, pues es igual que la -ª x + y 6 z y 5 z x 6 z y 6 z 5 + z y 5 z Soluciones: x, y 5 λ, z λ. Transforma en escalonado y resuelve: x y +z 0 x y 5z + 7w x + y z + w 8 x y + z + w 6 x y + z 0 x y 5z + 7w x + y z + w 8 x y + z + w 6 -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª x y + z 0 y z + 7w y z + w 8 y z + w 6 Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 7

8 -ª -ª -ª -ª -ª + -ª x y + z 0 y z + 7w 8z 8w 0z +6w 90 -ª -ª -ª : 5 -ª + 9 -ª x y + z 0 y z + 7w 9z 9w 57 w 0 w w z 9 y + z 7w 0 x y z Solución: x, y 0, z, w 0 Página 0. Resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss: x + y + z x y + z x y a x y z b x y + z c x + y + z 5x y + z 5 x + y + z x + y 5z a x + y + z x y z x + y + z 0 5 -ª -ª -ª -ª + -ª 0 6 -ª -ª -ª 5 + -ª x + y + z 5y + z z z z y 5 x y z b Solución: x, y, z x y + z x y + z 5x y + z ª -ª -ª -ª -ª 5 5 Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible. c x y x + y + z x + y 5z ª -ª + -ª -ª -ª ª -ª -ª + 5 -ª x y y + z x + y z + y Soluciones: x + λ, y λ, z + λ Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 8

9 . Resuelve mediante el método de Gauss: a z 9 x z Soluciones: x 7λ, y λ, z λ b x 0 z 0 y 0 w 0 Solución: x 0, y 0, z 0, w 0 c x y + w 9 x y + z 5x y + z + w 5x y z + w ª -ª -ª -ª -ª -ª x y + w 0 x y + w 9 x y + z x y + z 0 x y + z a x + y + z b c 5x y + z + w 0 5x y + z + w x + y + 5z 7 5x y z + w 0 5x y z + w 0 x y + z x + y + z x + y + 5z ª -ª + -ª -ª -ª 0 5 x y + z y + z 5 x y z y 5 z x z + y 5 z 5 z y 7z x y + w 0 x y + z 0 5x y + z + w 0 5x y z + w 0 -ª -ª -ª + ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª x y + w 0 x y + z 0 x 0 x z 0 -ª -ª -ª + ª -ª Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 9

10 x y + w 9 x y + z x x z 8 69 x + z x z x + 8 y w 9 x + y 5 69 Solución: x, y, z, w 5 Página. Discute, en función del parámetro k, estos sistemas de ecuaciones: x + y k x + y k a x + y z b x + y z kx + y + z kx + y + z 0 a x + y k x + y z kx + y + z 0 k -ª -ª -ª -ª 0 k 0 k k k 0 0 k -ª -ª -ª + -ª k + 0 Si k, queda: 0 k x + y z x z y x + y x y y x y y 5 + y 5 y z x + y + y + Sistema compatible indeterminado. 5 Soluciones: x λ, y λ, z + λ Si k, es compatible determinado. Lo resolvemos: x + y z x + y k k x k Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 0

11 k x k k x k + k y + k z x + y k Solución: x, y +, z + b x + y k x + y z kx + y + z 0 0 k -ª -ª -ª -ª 0 k 0 k k 0 k 0 0 k k k -ª -ª -ª + -ª k + 0 Si k, queda: El sistema es incompatible. Si k, es compatible determinado. Lo resolvemos: x + y z x + y k k x k k x k k x y k + k 8 k 6 k z x + y + k + k 8 k k k 5k + 8 k 6 k Solución: x, y k + k 8, z k k 6 k 5k + 8 k 6. Discute estos sistemas de ecuaciones en función del parámetro k: kx + y z 8 x + y + z a x + y + z 0 b y + kz x + z k x + y k a kx + y z 8 x + y + z 0 x + z k k 8 k k -ª -ª -ª -ª 0 k Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

12 k k 0 -ª + -ª -ª -ª 0 k Si k, queda: Sistema incompatible. Si k, es compatible determinado. Lo resolvemos: k + x 8 + k x + y + z 0 x + z k x 8 + k k + z k x y x z k k 6 k + k k + 8 k k Solución: x, y k k + 8, z k + k + k k 6 k + b x + y + z y + kz x + y k 0 k -ª -ª -ª -ª 0 k 0 k 0 k 0 0 k k -ª -ª -ª -ª 0 k Si k, queda: Sistema incompatible. Si k, es compatible determinado. Lo resolvemos: x + y + z y + kz kz k k z k k + k k + k k k + k + k k + k + k y + k y k + k + k Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

13 x y z k + k k + k + k k + k + k + k + k + k k + k Solución: x + k k, y k + k, z + k + k k + k Página 6 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Halla, si existe, la solución de los siguientes sistemas e interprétalos gráficamente: x + y x + y x y a b x y 5x y 5x + y 8 x + y Los resolvemos por el método de Gauss: a -ª -ª 0 -ª 5 -ª 5 -ª 0 -ª -ª 0 Podemos prescindir de las dos últimas filas, pues coinciden con la primera. Quedaría: y y x y x + y Solución:, El sistema representa cuatro rectas que se cortan en el punto,. b 5 8 -ª -ª -ª -ª 5 -ª De la -ª ecuación, obtenemos y ; de la -ª ecuación, obtenemos y. 5 Luego, el sistema es incompatible. El sistema representa tres rectas que se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto común a las tres. Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

14 Comprueba que este sistema es incompatible y razona cuál es la posición relativa de las tres rectas que representa: x + y 5 x y x + y 0 Si dividimos la -ª ecuación entre, obtenemos: x + y 0. La -ª ecuación es x + y 5. Son contradictorias, luego el sistema es incompatible. La -ª y la -ª ecuación representan dos rectas paralelas; la -ª las corta. Resuelve e interpreta geométricamente el sistema: / 0 x + y 0 5y x +y 0 x + y /x y 0 Solución:, 5 x y 5 y 5 5 -ª -ª + -ª / -ª Geométricamente, son tres rectas que se cortan en el punto, 5 5. Resuelve los siguientes sistemas reconociendo previamente que son escalonados: y + z x y 7 a b 9z y 69 x y + z x + y t c y + z d y + t z 0 -ª -ª -ª + -ª x y + z 0 x y 0 y a x y 7 y Solución:, 69 y 7 + y x Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

15 b y + z 9z x y + z 7 Solución:,, y z z y z x c x + y t y + z y + t z z λ y z t y + z z + z + z x y + t z + z 5 + z Soluciones: 5 + λ, λ, λ, + λ d x y + z 0 x y 0 y 7 Solución:,, 6 6 y y x z x + y Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales: S x + 5y 6 x + y + z a x + y z b 5x + y + z x + z x + y + z 0 a x + 5y 6 x +y z x + z ª -ª + -ª -ª 0 -ª -ª : -ª ª 5 -ª -ª -ª x 6 x + y x + z x y x z x 6 Solución:,, 6 b x + y + z 5x + y + z x + y + z ª -ª -ª -ª -ª 5 -ª -ª -ª ª -ª -ª + -ª Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 5

16 x + y + z 0 + z y z z y x y z z Solución:,, 6 Transforma en escalonados y resuelve los siguientes sistemas: y + z x y 7 a b x y z 5x + y 7 x y + z x y 7 5x + y a -ª -ª + -ª x y 7 x x y x 7 69 Solución:, 69 b y + z x y z x y + z 0 0 -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª ª -ª -ª + 5 -ª x y z 7 y + z z y z x + y + z 9 9 9z 7 Solución:,, Resuelve: S x + y z x + y z a x + y + z b 6x 6y + z 6 5x + y + z x y + z 6 a x + y z x + y + z 5x + y + z 0 5 -ª -ª -ª -ª 5 -ª 0 8 Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 6

17 -ª -ª -ª -ª x + y z y + z y z + x y + z z + + z z z λ Soluciones: λ, + λ, λ b x + y z 6x 6y + z 6 x y + z ª -ª : -ª -ª -ª -ª -ª -ª ª -ª : 5 -ª : x y + z 6 z y z y + z x 6 + y z Solución:,, 8 Razona si estos sistemas tienen solución e interprétalos geométricamente: x +y z x + y + 6z a b x + y z /x y z a x +y z Si dividimos la -ª ecuación entre, obtenemos : x + y z b x + y z, que contradice la -ª. El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos. x + y + 6z /x y z Si multiplicamos por x y z, que contradice la -ª ecuación. El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos. la -ª ecuación, obtenemos: 9 Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas: S x+ y + z 9 x + y + z a x y z 0 b x y + z x y + z 5 Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 7

18 x + y z x y + z 0 c x y + z d x y 0 x + y + z x + y z 0 a x + y + z 9 x y z 0 x y + z ª -ª + -ª -ª -ª 0 5 -ª -ª -ª + -ª x + y + z 9 y + z 9 7y 7 9 y y z 8 x 9 y z Solución:,, 8 x + y + z x y + z b -ª -ª + -ª x + y z 5y 7 z 7 z y 5 5 z z x z y z c 7 Si hacemos z 5λ, las soluciones son: λ, λ, 5 5 5λ x +y z x y + z x + y + z ª -ª -ª -ª + -ª 0 0 -ª -ª + -ª -ª La segunda ecuación es imposible: 0x + 0y + 0z 5 El sistema es incompatible. -ª -ª -ª 0 0 d x y + z 0 x y 0 x + y z ª -ª -ª + -ª ª -ª -ª -ª x y + z 0 x y 0 Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 8

19 a y x z x + y x + 9x 7x x λ Soluciones: λ, λ, 7λ 0 Resuelve por el método de Gauss: S x + z x + y + z + t x + y x y + z t 0 a b y + z x + y z t x + y + z 0 x + y + z t x y z x + y + z 0 x +5y + z c x + y z 0 d x + y + z 6x + y + z 0 x + 7y + 5z 5 x +z x + y y + z x + y + z 0 -ª -ª -ª ª -ª ª ª -ª -ª -ª -ª ª -ª -ª -ª ª -ª x + z y z 8 z 7 y 8 + z x z Solución:, 6, 7 b x + y + z + t x y + z t 0 x + y z t x + y + z t 0 -ª -ª -ª -ª -ª -ª ª x + y + z + t y t z + t t t t z t + y x y z t Solución:,,, Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 9

20 c x + y +z 0 x +y z 0 6x + y + z ª -ª -ª -ª -ª z 0 x + y + z 0 y x Soluciones: λ, λ, 0 7z 0 x λ d x y z x + 5y + z x + y + z x + 7y + 5z 5 -ª -ª ª -ª ª -ª ª ª -ª -ª -ª -ª -ª : -ª + ª -ª ª x + y + z y + z z y x y z y + y y y λ Soluciones: λ, λ, λ Clasifica los siguientes sistemas en compatibles o incompatibles: x + y + z x + y + z a x + y z b x y + z z 0 x y + z a x + y + z x + y z z 0 x + y x + y z 0 Compatible indeterminado. b x + y + z x y + z x y + z 0 -ª -ª -ª -ª -ª 0 0 Compatible determinado. PARA RESOLVER Estudia los siguientes sistemas y resuélvelos por el método de Gauss: S x y z x y + z 0 a x y 5z b x + y z 0 x + y + z x + y z 0 Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 0

21 a x y z x y 5z x + y + z ª -ª : -ª + -ª 0 0 -ª -ª -ª + -ª -ª -ª -ª -ª : Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos: x y z y + z 0 x y + z x + z + y + z z + z y z Solución: + λ, λ, λ b x y + z 0 x + y z 0 x + y z ª -ª -ª -ª ª -ª + -ª -ª + -ª Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos: x y + z 0 x y 0 Soluciones: λ, λ, 7λ y x z x + y x + 9x 7x x λ Página 7 Estudia y resuelve estos sistemas por el método de Gauss: S x + y + z y + z a x + y z 5 b x y x + y 7z x + y + z 5x + y + z x y + z t 0 c x + y + z d x y+ z+ t 0 x y + z x y + 5z+ 6t 0 a x + y + z x + y z 5 x + y 7z 0 6 -ª -ª -ª -ª ª -ª + -ª -ª + -ª 0 6 Sistema compatible determinado. Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

22 b x + y + z Lo resolvemos: 6y + z y x y + z + z 0 Solución:,, ª -ª -ª -ª y + z x y x + y + z 0 -ª -ª -ª -ª Sistema compatible determinado. Lo resolvemos: -ª -ª -ª x y y + z x + y z y y λ Soluciones: + λ, λ, λ c 5x + y + z x + y + z x y + z ª -ª -ª -ª 5 -ª ª -ª -ª -ª -ª : -ª -ª Sistema compatible determinado. Lo resolvemos: x y + z y z z z y x + y z Solución:,, d x y + z t 0 x y + z + t 0 x y + 5z + 6t ª -ª -ª + -ª ª -ª -ª -ª -ª Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

23 Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos: x y + z t 0 z +9t 0 8t 0 t 0 z 0 x y y λ Soluciones: λ, λ, 0, 0 Discute los siguientes sistemas de ecuaciones: S x y z k x + y z 0 a x y + z b x +y + z 0 x + y + kz 0 x + ay +z 0 x y + z x + y + az c mx + y z d 5x + y +z x + y z x + y z a x y z k x y + z x + y + kz 0 k k 0 0 k k 0 Sistema compatible determinado para todo k. -ª -ª -ª -ª -ª 0 k + k b x + y z 0 x +y + z 0 x + ay + z ª -ª : -ª a 0 0 a 7 0 -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª 7 -ª 0 a a Si a 0 Si a 0 Sistema compatible indeterminado Sistema compatible determinado c x y + z mx + y z x + y z ª -ª + -ª -ª + -ª Compatible determinado para todo m. m m + 0 -ª -ª -ª m Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

24 d x + y + az 5x + y + z x + y z a ª -ª 5 -ª -ª -ª 0 a + a 0 a Si a Sistema incompatible Si a Sistema compatible determinado ª -ª -ª -ª -ª -ª + -ª a 0 0 a 5 Discute los siguientes sistemas y resuélvelos cuando sea posible: S x y x + y z a x + y/ b x y + z x + ky 5x 5y + z m a x y x + y/ x + ky / k ª -ª + -ª -ª -ª 0 k + 0 Si k Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos: x y y x x λ Soluciones: λ, λ Si k Sistema compatible determinado. x y k + y 0 Solución:, 0 y 0 x b x + y z x y + z 5x 5y + z m ª -ª -ª -ª 5 -ª 5 5 m 0 5 m 5 ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª 5 5 m m 0 Si m 0 Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos: Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

25 x y + z 5y z 5 Haciendo z 5λ. Soluciones: + λ, + λ, 5λ Si m 0 Incompatible 6 Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema e interprétalo geométricamente: S x y z x +5y + z x + y + z x + 7y + 5z z z y z z x + y z + z x y z x + 5y + z x + y + z x + 7y + 5z ª -ª -ª -ª ª -ª ª -ª ª -ª ª ª -ª : -ª + ª -ª ª x + y + z y + z z y x y z y y λ Soluciones: λ, λ, λ. Son cuatro planos con una recta en común. 7 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas para los valores de m que lo hacen S compatible: x y z x +y x + y + z a x y b x + z x + y m x + y +5z m a x + y x y x + y m ª -ª : 5 -ª -ª m 0 0 m 7 -ª -ª -ª -ª -ª 0 5 m Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 5

26 Si m 7 x + y y Sistema compatible determinado x y Solución:, Si m 7 Sistema incompatible b x y z x + y + z x + z 0 x +y + 5z m 5 m -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª m -ª -ª -ª -ª -ª -ª Si m m + Sistema compatible indeterminado. x y z y + 7z 7z 7z y 7z z x + y + z + z Haciendo z λ: Soluciones: λ, 7λ, λ Si m Sistema incompatible 8 Discute y resuelve en función del parámetro: S x + my + z x + y + z 0 a x y + z 0 b x + y + az 5 x z x + y + z a x + my + z x y + z 0 x z m ª -ª -ª -ª + -ª Si m x + z y + z 0 0 m Soluciones: λ, λ, λ Sistema compatible indeterminado x z y z z λ -ª -ª -ª -ª -ª -ª + -ª m 0 m 0 0 Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 6

27 b Si m x + z y + z m y 0 x + y + z 0 x + y + az 5 x + y + z Sistema compatible determinado Solución:, 0, 0 0 a ª -ª -ª -ª -ª y 0 z x z 0 a 5 ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª a a Si a Sistema incompatible Si a x + y + z 0 y + z a z Sistema compatible determinado. Lo resolvemos: z a a y z a a + a a 6 x y z a a a a 6 a Solución:,, 9 Discute los siguientes sistemas según los valores de α e interprétalos geométricamente: S x y αx y a b x + y 5z 6 x αy α x + αy z 0 a αx y α -ª α -ª α -ª x αy α Si α, queda: α 0 Sistema compatible indeterminado. Son dos rectas coincidentes a Si α, queda: a a α α Sistema incompatible. Son dos rectas paralelas α α α Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 7

28 Sistema compatible determinado. Son dos rectas se- Si α y α cantes. b x y x + y 5z 6 x + αy z ª -ª 5 -ª -ª α 0 0 5α 0 -ª -ª -ª -ª -ª 0 α + Si α 0 Si α 0 Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan en un punto. Sistema incompatible. Los planos se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto común a los tres. 0 Se considera el sistema de ecuaciones lineales: S x + y + z x + ay + z x + + ay + 6z a Encuentra un valor de a para el cual el sistema sea incompatible. b Discute si existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determinado. c Resuelve el sistema para a 0. x + y + z x + ay + z x + + ay + 6z 0 a 0 -ª -ª -ª -ª a a a 0 a 0 b No existe ningún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado. c Si a 0, queda: a 6 -ª -ª -ª -ª -ª 0 a 0 x + y + z y y / x + z z λ x z Soluciones: λ,, λ Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 8

29 Considera el sistema de ecuaciones: S x y z x + y z x z a Existe una solución en la que y sea igual a 0? b Resuelve el sistema. c Interprétalo geométricamente. x y z x + y z x z ª -ª -ª + -ª -ª -ª -ª x z y z -ª -ª -ª -ª -ª a y 0 x z z z x + z b Solución:, 0, x + z + y + + y z y + y λ Soluciones: + λ, λ, λ + c Son tres planos que se cortan en una recta. En cierta heladería, por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos S te cobran un día. Otro día, por copas de la casa y horchatas te cobran y, un tercer día, te piden 6 por una horchata y cuatro batidos. Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días te han presentado una cuenta incorrecta? Llamamos x al precio de una copa de la casa, y al precio de una horchata, y z al precio de un batido. Así, tenemos que: x + y + z x + y y + z x + y + z x + y y + z 6 -ª -ª -ª -ª ª -ª -ª -ª El sistema es incompatible. Por tanto, alguno de los tres días han presentado una cuenta incorrecta. Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 9

30 Dos amigos invierten cada uno. El primero coloca una cantidad A al S % de interés, una cantidad B al 5% y el resto al 6%. El otro invierte la misma cantidad A al 5%, la B al 6% y el resto al %. Determina las cantidades A, B y C sabiendo que el primero obtiene unos intereses de 050 y el segundo de 950. A + B + C ,0A + 0,05B + 0,06C 050 0,05A + 0,06B + 0,0C ª -ª -ª -ª 5 -ª A + B + C A + 5B + 6C A + 6B + C A + B + C B + C C C B A ª -ª -ª + -ª Solución: A ; B ; C Página 8 Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de S 6 8. El precio original era de, pero también ha vendido copias defectuosas con descuentos del 0% y del 0%. Sabiendo que el número de copias defectuosas vendidas fue la mitad del de copias en buen estado, calcula a cuántas copias se le aplicó el 0% de descuento. Llamamos x al n-º de copias vendidas al precio original, ; y al n-º de copias vendidas con un 0% de descuento, 0,7 8, ; y z al n-º de copias vendidas con un 0% de descuento, 0,6 7,. Así: x + y + z 600 x + 8,y + 7,z 6 8 x y + z x + y + z 600 x + 8,y + 7,z 6 8 x y z , 7, 6 8 0,6, ,6, ª -ª + -ª -ª + -ª -ª -ª -ª,6 -ª , 96 -ª -ª -ª : Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 0

31 x + y + z 600 y + z 00,z 96 z 80 y 0 x 00 Solución: El 0% de descuento se le aplicó a 0 copias. 5 Un cajero automático contiene 95 billetes de 0, 0 y 50 y un total de S 000. Si el número de billetes de 0 es el doble que el número de billetes de 0, averigua cuántos billetes hay de cada tipo. Llamamos x al n-º de billetes de 0 ; y al n-º de billetes de 0 ; y z al n-º de billetes de 50. Tenemos que: x + y + z 95 0x + 0y + 50z 000 x y x + y + z 95 x + y + 5z 00 x y x + z 95 y + 5z 00 x y z 95 y y y 00 y y y y 5 z 0 x 50 Solución: Hay 50 billetes de 0, 5 billetes de 0 y 0 billetes de Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de euro. Se sabe que en total hay 6 euros. El número de monedas de A excede en a la suma de las monedas de las otras dos cajas. Si se traslada moneda de la caja B a la caja A, esta tendrá el doble de monedas que B. Averigua cuántas monedas había en cada caja. Llamamos x al n-º de monedas que hay en la caja A, y al n-º de monedas que hay en la caja B, y z al n-º de monedas que hay en la caja C. Tenemos que: x + y + z 6 x y + z + x + y x + y + z 6 x y z x + y x + y + z 6 x y z x y Sumando las dos primeras ecuaciones: x 8 x 9 x + De la -ª ecuación y z 6 y x 6 Solución: Había 9 monedas en la caja A, en la B y 6 en la C. 7 Un especulador adquiere objetos de arte por un precio total de millones de euros. Vendiéndolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 0%, del 50% y del 5%, respectivamente, con lo que su beneficio total sería de Pero consigue más, pues con la venta obtiene ganancias del 80%, del 90% y del 85%, respectivamente, lo que le da un beneficio total de,7 millones de euros. Cuánto le costó cada objeto? Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

32 Llamamos x a lo que le costó el er objeto en millones de euros, y a lo que le costó el -º objeto y z a lo que le costó el er objeto. Tenemos que: 5,5 6 -ª -ª -ª -ª 8 -ª 0 0, ,5 -ª -ª -ª -ª y y 0,5 z x y z 0,5 0,5 x + y + z 0,x + 0,5y + 0,5z 0,6 0,8x + 0,9y + 0,85z,7 x + y + z x + 5y +,5z 6 8x + 9y + 8,5z , ,5 x + y + z y y + 0,5z Solución: El er objeto le costó 0,5 millones de euros , el -º le costó 0,5 millones de euros y el -º le costó millón de euros Una empresa dispone de 7 00 para actividades de formación de sus cien empleados. Después de estudiar las necesidades de los empleados, se ha decidido organizar tres cursos: A, B y C. La subvención por persona para el curso A es de 00, para el curso B es de 60, y de 00 para el C. Si la cantidad que se dedica al curso A es cinco veces mayor que la correspondiente al B, cuántos empleados siguen cada curso? Llamamos x al n-º de empleados que siguen el curso A; y al n-º de empleados que siguen el curso B, y z al n-º de empleados que siguen el curso C. Tenemos que: x + y + z 00 00x + 60y + 00z x 5 60y x + y + z 00 0x + y + 5z x 800y x + y + z 00 0x + y + 5z 680 x y y + z 00 y + 5z 680 z 00 y y y 680 y y 680 9y 80 y 0 z 0; x 0 Solución: 0 empleados siguen el curso A, 0 empleados siguen el curso B y 0 siguen el curso C. 9 Antonio tiene un año más que Juan y Luis uno más que Ángel. Determine la edad S de los cuatro sabiendo que la edad de Luis es la suma de la tercera parte más la séptima parte de la edad de Antonio y que la edad de Ángel es la suma de la cuarta parte más la quinta parte de la edad de Juan. Llamamos x a la edad de Juan e y a la de Ángel. Así, la edad de cada uno es: Antonio x + 0 y + + x + y + x + Juan x 7 Luis y + 9 y + x y x Ángel y 5 0 Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

33 x + x + x x 0; y x Así, la edad de cada uno será: Antonio: años; Juan: 0 años; Luis: 0 años; Ángel: 9 años. 0 Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando uno S pierda, entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno posea en ese momento. Cada uno perdió una partida, y al final cada uno tenía. Cuánto tenía cada jugador al comenzar? Hacemos una tabla que resuma la situación: COMIENZO -ª PARTIDA -ª PARTIDA -ª PARTIDA -º QUE PIERDE x x y z x y z x y z -º QUE PIERDE y y x + y z x + 6y z -º QUE PIERDE z z z x y + 7z x y z x + 6y z x y + 7z x y z 6 x + y z x y + 7z -ª -ª : -ª : ª -ª -ª + -ª -ª -ª + -ª -ª + -ª 0 0 x y z 6 y z 9 z z y 9 + z x 6 + y + z 9 Solución: El jugador que perdió primero tenía 9 euros, el que perdió en -º lugar tenía y el que perdió en er lugar tenía. Un joyero tiene tres clases de monedas A, B y C. Las monedas de tipo A tienen gramos de oro, gramos de plata y gramos de cobre; las de tipo B S tienen 6 gramos de oro, gramos de plata y 0 gramos de cobre, y las de tipo C tienen 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y 6 gramos de cobre. Cuántas monedas de cada tipo debe fundir para obtener gramos de oro, gramos de plata y gramos de cobre? Llamamos x al n-º de monedas que deben fundirse de tipo A, y a las de tipo B, y z a las de tipo C. La información que tenemos acerca de la composición de las monedas es: TIPO ORO g PLATA g COBRE g A B 6 0 C Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

34 Por tanto: x + 6y + 8z x + y + 6z x + 0y + 6z x +y + z x + y + z 7x + 5y + z ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª 7 -ª x +y + z y + 5z 5z 0 z 5z y x y z 5 Solución: Debe fundir 5 monedas de tipo A, de tipo B y de tipo C. Un fabricante produce electrodomésticos. La fábrica abastece a tiendas, que S demandan toda la producción. En una cierta semana, la primera tienda solicitó tantas unidades como la segunda y tercera juntas, mientras que la segunda pidió un 0% más que la suma de la mitad de lo pedido por la primera más la tercera parte de lo pedido por la tercera. Qué cantidad solicitó cada una? Llamamos x a la cantidad que solicitó la -ª tienda, y a la que solicitó la -ª tienda y z a la que solicitó la -ª tienda. Tenemos que: x + y + z x + y + z x y z 0 x y z 0 x y + z x y z 0 x + y + z x + y + z x z y, + 6y,6x +,z 60y 6x + z 5y x + z x y z 0 x + y + z x 5y + z 0 -ª -ª : -ª + -ª x y z 0 y + z 7z -ª -ª -ª -ª -ª z 6 y z 5 x y + z Solución: La -ª tienda solicitó electrodomésticos; la -ª, 5; y la -ª, Se mezclan 60 l de vino blanco con 0 l de vino tinto y se obtiene un vino de S 0 grados 0% de alcohol. Si por el contrario se mezclan 0 l de blanco con 60 l de tinto, se obtiene un vino de grados. Qué graduación tendrá una mezcla de 0 l de vino blanco y 0 l de vino tinto? Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

35 Llamamos x al porcentaje de alcohol en litro de vino blanco, e y al porcentaje de alcohol en litro de vino tinto. Tenemos que: 60x 0y x 60y x + y 0 x + y y 0 x x + 0 x x + 0 9x 76 8x x 9,5%, y,5% Si mezclamos 0 l de vino blanco y 0 l de vino tinto, tendremos: 0, ,5 0 8, l de alcohol en los 80 l de mezcla. 8, 00 0,5% de alcohol en los 80 l de mezcla. 80 Solución: La mezcla tendrá una graduación de 0,5 grados. CUESTIONES TEÓRICAS Si tenemos un sistema compatible indeterminado de ecuaciones lineales con incógnitas, se puede conseguir un sistema incompatible añadiendo una tercera ecuación? Sí. Por ejemplo: Incompatible x + y x + y 6 x + y Compatible indeterminado 5 Si a un sistema de ecuaciones con incógnitas incompatible le agregamos otra ecuación, podríamos lograr que fuera compatible indeterminado? Y determinado? Justifica las respuestas. No. Si el sistema es incompatible, las dos ecuaciones iniciales son contradictorias. Añadiendo otra ecuación, no podemos cambiar este hecho; el sistema seguirá siendo incompatible. x y + z 5 6 Dadas las ecuaciones: S x y + z a Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible. b Añade una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Justifica en cada caso el procedimiento seguido. a Para que sea incompatible, la ecuación que añadamos ha de ser de la forma: ax y + z + bx y + z k con k 5a b. Si tomamos, por ejemplo, a, b 0, k, queda: x y + z Añadiendo esta ecuación, el sistema sería incompatible. Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 5

36 b Por ejemplo, añadiendo y 0, queda: x y + z 5 x y + z y 0 x + z 5 x + z y 0 x 9 y 0 z Compatible determinado Página 9 7 Define cuándo dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes. Justifica S si son equivalentes o no los siguientes sistemas: x + y + z x + y z x y z Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando todas las soluciones del er sistema lo son también del -º, y al revés. Los dos sistemas dados no son equivalentes, puesto que el -º es compatible indeterminado tiene infinitas soluciones y el -º es determinado solo tiene una solución. 8 Encuentra razonadamente dos valores del parámetro a para los cuales el siguiente sistema sea S incompatible: x + y + z 0 ax + y + z x + z x + az -ª -ª -ª -ª -ª x + y + z 0 ax + y + z x + z x + az 0 a 0 0 a 0 a 0 0 -ª -ª -ª -ª -ª 0 a a Si a o a 6, el sistema es incompatible a 6 9 Sean S y S' dos sistemas equivalentes con solución única que tienen iguales los términos independientes. Podemos asegurar que tienen iguales los S coeficientes de las incógnitas? No. Por ejemplo, los sistemas: x + y x y S: S': x y x y son equivalentes, con solución única,, tienen iguales los términos independientes, pero no los coeficientes de las incógnitas. Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 6

37 PARA PROFUNDIZAR 0 En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede repostar gasolina en estaciones de servicio A, B y C. El individuo recuerda que S este mes el precio de la gasolina en A ha sido de, /litro y el precio en B de,8 /litro, pero ha olvidado el precio en C supongamos que son m /litro con m desconocido. También recuerda que: La suma del gasto en litros de gasolina en las estaciones A y B superó en 6,80 al gasto en C. El número de litros consumidos en B fue el mismo que en C. El gasto en litros en A superó al de B en,60. a Plantea un sistema de ecuaciones en función de m para determinar los litros consumidos en cada gasolinera. b Estudia la compatibilidad del sistema en función de m. Puedes dar algún precio al que sea imposible haber vendido la gasolina en C? a Llamamos x al n-º de litros repostados en A, y al n-º de litros repostados en B y z al n-º de litros repostados en C. Tenemos que:,x +,8y mz + 6,8 y z,x,8y +,6,x +,8y mz 6,8 y z 0,x,8y,6 -ª -ª -ª,,8 0,6 0 0,,8 m 6,8 b,,8 0, ª -ª -ª,6 -ª -ª -ª -ª -ª 0 0,6 m, Si m,6 el sistema es compatible determinado. Si m,6 el sistema es incompatible. Por tanto, es imposible que el precio en C fuera de,6 /l.,,8 0, ,6 m, Discute los siguientes sistemas en función del parámetro a y resuélvelos en S el caso en que sean compatibles indeterminados: x + y + z a ax + y z 0 a x + y + az a b x + ay x + ay + z x + z Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 7

38 a x + y + z a x + y + az a x + ay + z a 0 a a + a a a Si a, queda: 0 0 Sistema incompatible Si a, queda: Sistema compatible indeterminado Lo resolvemos en este caso: Soluciones: λ, 0, λ 0 a 0 a a -ª -ª -ª -ª -ª ª -ª + -ª -ª x + y + z y 0 x + z x z y 0 z λ Si a y a Sistema compatible determinado b ax + y z 0 x + ay x + z a 0 0 a 0 a a 0 a 0 a 0 0 -ª -ª a -ª + -ª a 0 -ª -ª -ª a 0 a + a a -ª -ª -ª + -ª a ± a + 0 a ± a a Si a, queda: Sistema incompatible Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 8

39 Si a, queda: ª -ª : -ª Sistema compatible indeterminado Soluciones: λ, λ, + λ x + z x + y z + x y x x λ Si a y a Sistema compatible determinado Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro a. Interprétalo S geométricamente: ax + y + z 0 x + y + z + 0 x ay + z 0 ax + y + z 0 x + y + z + 0 x ay + z 0 a a a a ax + y + z x + y + z x ay + z -ª -ª -ª -ª -ª a 0 a 0 -ª -ª -ª Si a, queda: Sistema incompatible Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta. Si a, queda: Sistema incompatible Los dos últimos planos son paralelos y el primero los corta. Si a y a Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan en un punto. Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 9

40 PARA PENSAR UN POCO MÁS Resuelve el siguiente sistema: x + y + z + t 7 x + y + z + w 6 x + y + t + w 5 x + z + t + w y + z + t + w Si sumas las cinco igualdades, obtendrás otra con la que se te pueden simplificar mucho los cálculos. x + y + z + t 7 x + y + z + w 6 x + y + t + w 5 x + z + t + w y + z + t + w Sumando las cinco igualdades, obtenemos: x + y + z + t + w 76, es decir: x + y + z + t + w 76, o bien: x + y + z + t + w 9 Por tanto: x + y + z + t + w 7 + w 9 w x + y + z + w + t 6 + t 9 t x + y + t + w + z 5 + z 9 z x + z + t + w + y + y 9 y 5 y + z + t + w + x + x 9 x 5 Nos dicen que x, y, z, t, w son números enteros y que k vale 6 ó 8. Decide razonadamente cuál de los dos es su valor y resuelve el sistema: x + y + z + t 5 x + y + z + w 6 x + y + t + w 8 x + z + t + w 9 y + z + t + w k x + y + z + t 5 x + y + z + w 6 x + y + t + w 8 x + z + t + w 9 y + z + t + w k Sumando las cinco igualdades, obtenemos: x + y + z + t + w 8 + k, es decir: Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss 0

41 x + y + z + t + w 8 + k, o bien: k x + y + z + t + w 7 + Si x, y, z, t, w son números enteros, su suma también lo será; luego, k debe ser múltiplo de. Como nos dicen que vale 6 ó 8, tenemos que ha de ser k 6 pues 8 no es múltiplo de. Resolvemos el sistema, ahora que sabemos que k 6: La suma de las cinco igualdades dará lugar a: 6 x + y +z + t + w Por tanto: x + y + z + t + w 5 + w 6 w x + y + z + w + t 6 + t 6 t 0 x + y + t + w + z 8 + z 6 z 8 x + z + t + w + y 9 + y 6 y 7 y + z + t + w + x 6 + x 6 x 0 5 Una cuadrilla de 5 obreros se compromete a podar los árboles de una plantación. Trabajan de lunes a sábado. Cada día, cuatro de ellos podan y el quinto los atiende repone herramientas, les da agua, recoge los troncos que caen. Cada obrero poda el mismo número de árboles cada día, es decir, si Alberto poda 8 árboles un día, podará 8 árboles cada día que intervenga. Los resultados son: Lunes: 5 árboles podados. Martes: 6 árboles podados. Miércoles: 6 árboles podados. Jueves: 8 árboles podados. Viernes: 8 árboles podados. Sábado: 9 árboles podados. Calcula cuántos árboles diarios poda cada uno de los cinco obreros sabiendo que ninguno de ellos poda los seis días. Llamamos: w n-º de árboles diarios que poda el obrero que descansa el lunes. t n-º de árboles diarios que poda el obrero que descansa el martes. Es otro el que descansa, pues la suma es diferente. z n-º de árboles diarios que poda el que descansa el jueves. Es otro distinto, pues la suma es diferente. y n-º de árboles diarios que poda el que descansa el sábado. Es otro, pues la suma es distinta a las anteriores. Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

42 x n-º de árboles diarios que poda el obrero que falta. Descansará el miércoles o el viernes; coincidirá con t o con z. Así, el n-º de árboles que se podan cada día será: x + y + z + t 5 x + y + z + w 6 x + y + t + w 8 x + z + t + w 9 y + z + t + w k k puede ser 6 ó 8 x, y, z, t, w son enteros Se trata de resolver este sistema. Por el ejercicio anterior, sabemos que k 6; y que: x 0, y 7, z 8, t 0, w Por tanto, el que poda árboles descansa el lunes, uno de los que podan 0 árboles descansa el martes, el que poda 8 árboles descansa el jueves y el viernes, el que poda 7 árboles descansa el sábado y el otro que poda 0 árboles, descansa el miércoles. Unidad. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

43 UNIDAD MATRICES Página 50. A tres amigos, M, N, P, se les pide que contesten a lo siguiente: Crees que alguno de vosotros aprobará la selectividad? Di quiénes. Estas son las respuestas: M opina que él mismo, M, y P. N opina que solo M. P opina que solo él mismo, P. M N P M 0 N 0 0 P 0 0 Reflexiona sobre la relación que hay entre las respuestas y la caja numérica formada por ceros y unos que hay debajo de ellas. significa sí y 0 significa no. La -ª fila indica que M piensa que aprobarán él mismo y P. La -ª fila indica que N opina que sólo aprobará M. La -ª fila indica que P piensa que sólo aprobará él mismo. La caja numérica que aparece a continuación es la síntesis de las respuestas que han dado los siete alumnos A, B, C, D, E, F y G de un grupo de teatro a esta pregunta: Quién o quiénes de vosotros creéis que sería capaz de diseñar, organizar y dirigir un viaje de estudios de una semana? A la vista de las respuestas, di: Unidad. Matrices

44 a Quién de ellos te parece un tanto iluso? b Dos de ellos parece que están algo aislados del resto del grupo. Quiénes son? c Si tuvieras que designar a uno de ellos para que se hiciera cargo de la organización del viaje, a quién elegirías? a D, pues piensa que hay tres personas capaces de organizarlo, y, además, es el único que opina que B está capacitado. b F y G. F opina que solo es capaz G; y G opina que solo es capaz F. c E es el más seleccionado: hay que lo eligen. Página 5. Aquí tienes representados, mediante flechas, los vuelos que hay el martes desde el país B hasta el país C. Representa, mediante una tabla, la información recogida en el diagrama. B B B B B C C C C C B B 0 B 0 B 0 Una persona quiere salir el lunes de A, pasar la noche en B y llegar el martes a C. A B A A A B B B B En total tenemos 5 posibles formas de ir de A a C. Continúa tú, rellenando razonadamente el resto de la tabla y explicando, en cada caso, cómo llegas a la respuesta. C C A 5 A A 0 Unidad. Matrices

45 Página 5. Escribe las matrices traspuestas de: A B C D E F 5 6 A t B t C t D t E t F t. Escribe una matriz X tal que X t X. 0 0 Por ejemplo, X Escribe una matriz que describa lo siguiente: Unidad. Matrices

46 Página 5. Sean las matrices: A B C D Calcula E A B + C D E Página 57. Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes matrices: A B C D A C ; A D ; B A C B 9 ; D C ; D D Intenta conseguir una matriz I de dimensión que, multiplicada por cualquier otra matriz A, la deje igual. Es decir: A I I A A La matriz I se llama matriz unidad de orden. Cuando la tengas, sabrás obtener una matriz unidad de cualquier orden. 0 0 I Página 58. Comprueba las propiedades, y anteriores, referentes al producto de números por matrices, tomando: a, b A B Unidad. Matrices

47 A A + 6A A A + 6A 0 0 A + B A + B A + B A + B 5 0 A A Página 59. Comprueba las propiedades distributivas para las siguientes matrices: A B C D A B + C A A B + A C A B + C A B + A C 6 7 B + C D D 60 0 B D + C D + 8 B + C D B D + C D 60 Página 6. Calcula, utilizando el método de Gauss, la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no la tiene: a b c 0 Unidad. Matrices 5

48 0 a -ª -ª 0 La inversa es -ª b -ª 0 La inversa es -ª : 0 c -ª 0 -ª + -ª 0 -ª -ª -ª 0 / / ª + -ª -ª / / No tiene inversa. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no la tiene: a 5 6 b 0 c a ª -ª -ª -ª No tiene inversa b ª -ª -ª -ª -ª La inversa es c -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª 5 -ª -ª : ª -ª -ª -ª 7 -ª -ª -ª -ª -ª -ª : -ª -ª / 0 0 / 0 0 / / /5 /5 / / ª -ª -ª -ª ª -ª -ª -ª / 0 0 / 005 / Unidad. Matrices 6

49 / 0 0 / /5 /5 /5 La inversa es /5 /5 /5 -ª -ª : 0 -ª /5 /5 /0 /5 /5 /0 Página 6. Calcula x, y, z, t para que se cumpla: x y 5 0 z t 0 x y x z y t 5 0 z x z 5 x y t y z 0 z 0 t t x y Solución: 5/ / z t t 5 z 0 t a A B + C A B + A C b A + B C A C + B C c A B C A B C. Para las matrices: A, B, C, comprueba: 5 a A B + C A A B + A C b A + B C C A C + B C c A B C A A B C C A B + C A B + A C A + B C A C + B C A B C A B C Unidad. Matrices 7

50 Encuentra X que cumpla: X A 5 B 5. Sean A y B. 0 0 X 5B + A X 5 7/ 6. Encuentra dos matrices, A y B, de dimensión que cumplan: A + B 0 A B A + B A B B A Solución: A, B Sumando: A A Encuentra dos matrices X e Y que verifiquen: 5 X Y y X Y X Y X Y 0 0 X Y X + Y Sumando: Y Y X + Y Solución: X, Y Averigua cómo ha de ser una matriz X que cumpla: X 0 0 X x y X z t Unidad. Matrices 8

51 X x y x x + y 0 z t 0 z z + t X x y x + z y + t x y Solución: X 0 x, donde x e y son números reales cualesquiera. 9. Efectúa las siguientes operaciones con las matrices dadas: a A B + A C b A B C c A B C 7 A B C 7 a A B + A C b A B C c A B C Dada la matriz A comprueba que A I 0. A I Halla la inversa de las matrices: 7 a b 7 x y a 0 7x + z 7y + t 0 z t x + z y + t 0 7x + z x + z 0 x z 0 0 z t z t han de ser iguales x x + z x + y y + t z z z + t t x t z 0 7y + t 0 y + t y t 7 Por tanto, la inversa es 7. Unidad. Matrices 9

52 x y b 0 x z y t z t 0 8x + 5z 8y + 5t 0 x z 8x + 5z 0 x 5 z 8 y t 0 8y + 5t y t 5 8 Por tanto, la inversa es. Página 66. Calcula el rango de las siguientes matrices: A B 5 C D A ran A B ran B C 0 0 D 0 5 ran C ª -ª + -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª ª -ª + -ª -ª -ª -ª -ª -ª + -ª -ª ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª + -ª ª -ª -ª 5 -ª ª -ª -ª + -ª -ª -ª ª -ª -ª -ª + -ª ran D Unidad. Matrices 0

53 Página 67. Expresa en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones: x y z t 9 x + z 0 x y 7 y + z + t a x +y 7 b c x y y + z + t 6 x + y + z x y + t 5 a 0 x 0 0 y 7 A X C b x y 7 x 7 c x + z 0 x +y 7 x + y + z x y x y z t 9 y + z + t y +z + t 6 x y + t 5 A X C y { z { { { x y z t { { A X C. Comprueba que las inversas de las matrices asociadas a los sistemas del ejercicio anterior son las que damos a continuación: / / a b c / / Resuelve con ellas, matricialmente, los sistemas del ejercicio. a Comprobamos que es la inversa: 0 / / 0 / / Resolvemos el sistema: A A I / / 0 X A C 7 5 Solución: x, y 5, z 9 b Comprobamos que es la inversa: / / / / / / / / / / 0 0 B B I Unidad. Matrices

54 Resolvemos el sistema: X B / / 7 C Solución: x, y 5 c Comprobamos que es la inversa: 6 C C Resolvemos el sistema: X C D / / Solución: x 0, y, z 5, t I Página 7 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Operaciones con matrices 7 0 Dadas las matrices A y B, calcula: a A + B b A B c B A d A A B B 7/ a b c d Efectúa el producto / b Halla, si es posible, las matrices AB; BA; A + B; A t B. a Son iguales las matrices A y B? a No, A tiene dimensión y B tiene dimensión. Para que dos matrices sean iguales, deben tener la misma dimensión y coincidir término a término. Unidad. Matrices

55 6 b A B ; B A ; A + B no se puede hacer, pues no tienen la misma dimensión. 6 9 A t B 0 0 Dadas las matrices: A y B comprueba que: a A + B t A t + B t b A t A t a A + B t t A t + B t b A t t A t Calcula AA t I, siendo A 5. A A t I Dadas las matrices A y B, comprueba que A B t B t A t. 5 A B A B t 5 B t A t A t A t A + B t A t + B t 0 A B t B t A t 7 Calcula, en cada caso, la matriz B que verifica la igualdad: a + B b B Unidad. Matrices

56 0 6 a B b B B / B Matriz inversa 8 Comprueba que la matriz inversa de A es A : 6 A 0 0 A A A I 9 Cuál es la matriz inversa de la matriz unidad? La matriz unidad, I. 0 Halla la matriz inversa de A y la de B. A A 0 / / B B 0 / / 0 0 Con las matrices A y B del ejercicio anterior y sus inversas, A y B, comprueba que: a A + B A + B b A B B A a A + B 0 / 0 A + B / b A B /8 /8 B A / / / / A + B A + B /8 /8 A B B A Unidad. Matrices

57 Halla la matriz inversa de las siguientes matrices: A 0 0 B / Por tanto: A 0 / / 0 0 Por tanto: B ª -ª : -ª : -ª -ª -ª / Rango de una matriz Di cuál es el rango de las matrices A y B: 0 0 A 0 0 B ran A ya está en forma escalonada B ª -ª + -ª -ª ran B ª -ª -ª -ª Estudia el rango de estas matrices y di, en cada caso, el número de columnas que son L.I.: A 5 B C D Unidad. Matrices 5

58 5 6 9 A ª -ª -ª -ª -ª ran A ª -ª -ª + -ª Hay columnas linealmente independientes en A. B Hay columnas linealmente independientes en B. C ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª ª + -ª ª -ª ª -ª -ª -ª ª -ª -ª -ª -ª ª -ª 0 ran C ran B Hay dos columnas linealmente independientes en C. D -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª ran D Las cuatro columnas de D son linealmente independientes. Ecuaciones con matrices 5 Halla las matrices X e Y que verifican el sistema X + Y, X Y 0 0. X + Y 0 X Y 0 / X X 0 Sumando las dos ecuaciones, queda: 0 Unidad. Matrices 6

59 Despejamos Y en la -ª ecuación: / / Y X 0 / 0 0 / Por tanto, X y Y Calcula X tal que X B A B, siendo: S A B X A B + B 0 0 A B 0 0 B 7 Determina los valores de m para los cuales m 0 X verifique X 5 X + I m 0 0 X X + I + m 0 5 m 0 0 m + 5/m X 0 0 m m Tiene que cumplirse que: m 5 m + 0 m 5m ± 5 6 m 5 ± m m Hay dos soluciones: m ; m x x 8 Resuelve: x x y y y y x y + x x + y y x y + x x + y y x + y x y Unidad. Matrices 7

60 5 5 7 Sumando: x 5 x y x Solución: x ; y Página 7 PARA RESOLVER 9 Dada la matriz A, calcula A, A,, A 8. A A A ; A A A I; A A A I A A A 8 A + A A I A I A A 5 0 Comprueba que A A I, siendo: A de orden. Utiliza esa igualdad para calcular A. 9 8 A A A A I Calculamos A : A A A I A I A I A A A + I A I A + I 8A I A + I A I e I la matriz unidad A A I Determina a y b de forma que la matriz A verifique A A. a b A A A a b a b a b a + ab a + b Unidad. Matrices 8

61 a b a + ab a + b A A Por tanto, a y b. a b a a b b a + ab a a + b b + Calcula A n y B n 0 siendo: A 0 0 B S /7 /7 /7 /7 /7 /7 A A A /7 /7 /7 /7 /7 /7 A A A n/7 n/7 Así, A n 0 0. Lo probamos por inducción: 0 0 Acabamos de comprobar que para n primer caso relevante, funciona. Suponemos que es cierto para n : n /7 n /7 /7 /7 n/7 n/7 A n A n A B B B B Por tanto, B n 0 0 n. Lo probamos por inducción: Igual que en el caso anterior, para n se cumple. Suponemos que es cierto para n : B n B n 0 B n n Dada la matriz A, halla una matriz B tal que A B 0. 0 A B A AB A 0 0 B A /7 / Unidad. Matrices 9

62 Calculamos A : A ; A Por tanto: 0 0 B Dada la matriz A, prueba que A es la matriz nula. Demuestra después que la matriz I + A + A es la matriz inversa de I A. Multiplica I + A + A por I A A ; A A A Veamos que I + A + A es la inversa de I A: I + A + A I A I A + A A + A A I A I 0 I. Como I + A + A I A I, entonces I + A + A es la inversa de I A. 5 Dada la matriz A comprueba que A + I 0 y expresa A co mo combinación lineal de A e I A + I A + I Expresamos A como combinación lineal de A e I: A + I 0 A + I A + I A + A + A + I A + A + I 0 A A I 6 a Comprueba que la inversa de A es A : 5 0 /5 /5 0 A 0 0 A /5 6/ b Calcula la matriz X que verifica XA B, siendo A la matriz anterior y B. Unidad. Matrices 0

63 a A A I b XA B X A A B A X B A Por tanto: /5 /5 0 X /5 6/ Determina las matrices A y B que son solución del siguiente sistema matricial: S A B A + B A B A + B Multiplicando por la -ª ecuación y sumando, obtenemos: A 7 A Despejamos B de la -ª ecuación: 7 0 B Solución: A ; B 0 8 Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro k : 0 M N P 6 k Q 0 k k M ran M para cualquier valor de k. -ª -ª + -ª -ª -ª N k 0 si k k ª -ª -ª -ª -ª 5 0 k k k k Unidad. Matrices

64 Si k, ran N. Si k, ran N. P 6 k ª -ª : -ª 6 k Si k ran P Si k ran P -ª -ª -ª -ª -ª k k Q k -ª -ª + -ª -ª + -ª k + -ª -ª -ª -ª Si k ran Q Si k ran Q 9 Halla el valor de k para que el rango de la matriz A sea A A k 7 -ª -ª + -ª -ª 0 k 7 0 k 7 -ª -ª -ª + -ª Para que ran A, ha de ser k 0; es decir, k. 0 k 0 0 Halla X e Y sabiendo que 5X + Y y X + Y. S X + Y 5X 9Y X + Y 5X + 0Y 5 9 X Y X Solución: X ; Y Sumando: Y 0 Unidad. Matrices

65 Dada la matriz A halla dos números reales m y n tales que A + ma + ni 0. S A + ma + ni 0 + m + n m + n + m m + m + n Solución: m ; n m + n 0 n 0 + m 0 m + m 0 m + m + n 0 n 0 Determina, si es posible, un valor de k para que la matriz A ki sea la matriz nula, siendo: 0 A 0 0 k 0 0 k A ki 0 0 k 0 k k k k A ki k k k k k k k k k k k k k k k 6k + 5 Una compañía de muebles fabrica butacas, mecedoras y sillas, y cada una de S ellas de tres modelos: E económico, M medio y L lujo. Cada mes produce 0 modelos E, 5 M y 0 L de butacas; modelos E, 8 M y 5 L de mecedoras, y 8 modelos E, 0 M y L de sillas. Representa esta información en una matriz y calcula la producción de un año. BUTACAS MECEDORAS SILLAS E M L Cada mes: E M L Cada año: BUTACAS MECEDORAS SILLAS Unidad. Matrices

66 Página 7 En un edificio hay tres tipos de viviendas: L, L y L5. Las viviendas L tienen ventanas pequeñas y grandes; las L tienen 5 ventanas pequeñas y grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes. Cada ventana pequeña tiene cristales y bisagras, y las grandes, cristales y 6 bisagras. a Escribe una matriz que describa el número y tamaño de ventanas de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana. b Calcula la matriz que expresa el número de cristales y de bisagras de cada tipo de vivienda. P G C B 6 L a ; P L L5 P G C B 6 C B L L b P L L G L5 G L5 5 Un industrial fabrica dos tipos de bombillas: transparentes T y opacas O. De cada tipo se hacen cuatro modelos: M, M, M y M. M M M M T O Esta tabla muestra la producción semanal de bombillas de cada tipo y modelo. El porcentaje de bombillas defectuosas es el % en el modelo M, el 5% en el M, el 8% en el M y el 0% en el M. Calcula la matriz que expresa el número de bombillas transparentes y opacas, buenas y defectuosas, que se producen. D B T O M M M M M ,0 0,05 0,08 0, M ,98 0,95 0,9 0,9 M M T O T O 96 60,9 D , B D B 6 Escribe en forma matricial y resuelve, si es posible, utilizando la matriz inversa: x y a b x + y 7 x + z 50 y y + z 57 Unidad. Matrices

67 a x y x x + y 7 A X B Calculamos la inversa de A: 0 -ª 0 -ª + -ª 0 -ª -ª -ª 0 -ª : 0 / / / / A -ª : Resolvemos el sistema: y 0 / / 7 { { 0 / / 0 b X A B Solución: x 5, y x + z 50 y y + z 5 / / / / 0 x y 0 5 A X B Calculamos la inversa de A: z { A ª -ª -ª -ª Resolvemos el sistema: -ª -ª -ª -ª X A B Solución: x, y, z Escribe en la forma habitual los sistemas: a b x x y 0 7 y 5 z a x y x + 5y 0 7y b x + 5y z x + y + 5z Unidad. Matrices 5

68 8 Dada A 0 S, calcula, si es posible: a Una matriz X tal que XA 0. b Una matriz Y tal que YA. Calculamos la inversa de A: ª -ª 5 -ª + -ª -ª + -ª -ª 5 -ª -ª -ª -ª : -ª Por tanto, A ª -ª -ª -ª ª -ª -ª -ª + 6 -ª a X 0 A 0 b Y 7 A 0 0 x 0 9 Calcula los valores de x para que la matriz A S A 6A + 9I A x 0 x 0 x 0 0 x 0 x 0 x 0 x verifique la ecuación x 0 0 x x 0 0 x 0 0 x 6x x 6x +9 A 6A +9I x 6x x 0 x 0 0 Unidad. Matrices 6

69 0 Resuelve la ecuación matricial A AX + B siendo A y B. S Calculamos la inversa de A: 0 0 -ª A -ª + -ª Resolvemos la ecuación: A + AX + B 0 AX B A 0 5 X A 0 Dada la matriz A S A xa yi 0. A halla el valor de x e y para que se cumpla la igualdad A 9 xa yi x y 0 x y 9 x x 5 x y 0 0 x y 0 y x 8 9 x 0 x 6 + x 0 x 5 x y 0 y 5 x 8 Solución: x, y /0 0 /0 0 Dada A : S a Calcula A + A b Resuelve el sistema A a A /0 0 /0 0 /0 0 / A + A /0 0 + /0 0 /0 0 /0 0 x y z 0 5 /0 0 /0 0 /0 0 /0 0 Unidad. Matrices 7

70 b A A A /0 0 /0 0 / A 5 A A /0 0 /0 0 / 0 Calculamos la inversa de A 5 : / A5 / 0 / 0 Resolvemos el sistema: x y / z Solución: x 0, y 5, z 9 x Sean las matrices A z, B x, C z, D 0 y S -ª -ª : -ª : a Sabiendo que A B + C D, plantea un sistema de ecuaciones para determinar x, y, z. b Encuentra, si es posible, una solución. x a A B + C z x + y z x + y + z x + z x y + z x y + z y D 0 0 / /0 0 / 0 x /0 0 / / 0 x -ª -ª -ª -ª -ª /0 0 z /0 0 9 x + y z /0 0 / 0 z / 0 / x + y z Igualamos: x + y + z x y + z 0 x + y z x En forma matricial: y 0 z M X N { { Unidad. Matrices 8

71 b Intentamos resolver el sistema en forma matricial. Para ello, calculamos la inversa de M: ª -ª -ª 0 0 -ª + -ª ª -ª + / -ª ª / / Luego, la matriz M no tiene inversa. Como ran M y se nos anula la segunda ecuación, tomamos las otras dos para resolver el sistema: x + y + z x + y z -ª + -ª y y x y z z Solución: λ,, λ para todo λ Á. Calcula una matriz X que conmuta con la matriz A, esto es, A X X A, siendo A, y calcula A + A X. 0 a c b d X a b a + c b + d A X 0 c d c d a b a a + b X A c d 0 c c + d han de ser iguales. a + c a b + d a + b d c + d c 0 d a c 0 a b X, con a, b Á 0 a A + A X a 0 0 a + a + b a 0 + a a b Observamos que la matriz que hemos obtenido también es de las que conmutan con A. a b a 5 Sean A y B las matrices dadas por: 5 0 a b 0 A 5 0 B c c Encuentra las condiciones que deben cumplir los coeficientes a, b, c para que se verifique A B B A. Unidad. Matrices 9

72 5 0 a b 0 5a + c 5b + c 0 A B 5 0 c c 0 a + 5c b + 5c a b a + b a + 5b 0 B A c c c 7c Para que A B B A, debe cumplirse que: 5a + c 5a + b 5b + c a + 5b a + 5c 7c b + 5c 7c c b c a 7c 7c 7c 7c a b c 6 Dada la matriz: A prueba que se verifica A + I 0 y utiliza esta igualdad para obtener A 0. Haz A 0 A A y ten en cuenta que A I A ; A 0 0 A + I Obtenemos A 0 teniendo en cuenta que A + I 0 A I : 0 A 0 A A I A I A A 5 Página 75 7 Una matriz cuadrada se llama ortogonal cuando su inversa coincide con su traspuesta. /5 x 0 Calcula x e y para que esta matriz A sea ortogonal: A y / Haz A A t I. Si A A t, ha de ser A A t I; entonces: /5 x 0 /5 y 0 9/5 + x /5y /5x A A t y /5 0 x /5 0 /5y /5x y + 9/ Unidad. Matrices 0

73 9 + x x 6 x ± y x 0 y x y x 5 5 y 9 + y Resuelve la ecuación matricial: 6 X ; 0 Por tanto: X X 0 6 Solución: X Hay dos soluciones: x ; y x ; y / / 8 0 / CUESTIONES TEÓRICAS 9 Justifica por qué no es cierta la igualdad: A + B A B A B cuando A y B son dos matrices cualesquiera. A + B A B A AB + BA B Para que la igualdad fuera cierta, tendría que ser AB BA; y, en general, no es cierto para dos matrices cualesquiera. 50 Sea A una matriz de dimensión : a Existe una matriz B tal que A B sea una matriz de una sola fila? b Y para B A? 0 0 Pon un ejemplo para cada caso, siendo: A 0 0 a No; A B tendrá filas necesariamente. Por ejemplo, tomando A y B, tenemos que: A B Unidad. Matrices

74 b Sí; si tomamos una matriz de dimensión ha de tener dos columnas para poder multiplicar B A, el resultado tendrá una sola fila. Por ejemplo: Si A y B, entonces B A Sean A y B dos matrices cuadradas de igual tamaño. Si A y B son simétricas, lo es también su producto A B? Si la respuesta es afirmativa, justifícala, y si es negativa, pon un contraejemplo. Si A y B son dos matrices cuadradas de igual tamaño, simétricas, su producto, A B, no tiene por qué ser una matriz simétrica. Por ejemplo: Si A y B A B no es simétrica. Página 75 5 Sean A a ij m, n, B b ij n, p, C c ij q, r. Qué condiciones deben cumplir p, q y r para que se puedan efectuar las siguientes operaciones? a A C B b A B + C a n q r b n q; p r 5 Una matriz de filas y columnas tiene rango. a Cómo puede variar el rango si quitamos una columna? b Si suprimimos una fila y una columna, podemos asegurar que el rango de la matriz resultante será? a Tendrá rango dos. b No. Podría ser dos o uno. Por ejemplo: Si en A 0 suprimimos la primera fila y la tercera columna, queda, que tiene rango A tenía rango Es posible añadir una fila a la matriz 0 matriz tenga rango? Razona la respuesta. 7 0 de forma que la nueva Unidad. Matrices

75 Calculemos el rango de la matriz dada: ª -ª -ª -ª 0 6 -ª -ª -ª -ª Tiene rango ; luego, añadiendo una fila, la matriz resultante no podrá tener rango tendría rango ó. 55 Qué condición debe cumplir una matriz A de dimensión para que se verifique que A + A t A? A + A t A A t A A A A A t Luego, la condición es que la matriz coincida con su traspuesta. Es decir, A debe ser de la forma: a b c A b d e c e f 56 a Si A es una matriz regular de orden n y existe una matriz B tal que AB + BA 0, probar que BA + A B 0. b Si A, halla una matriz B 0 tal que AB + BA 0. a Multiplicamos por A por la izquierda en la igualdad: AB + BA 0 A AB + A BA 0 B + A BA 0 Ahora multiplicamos la igualdad obtenida por A por la derecha: BA + A BAA 0 BA + A B 0 b Si B c d, entonces: a b A B a c b d c d a + c b + d a b B A a + b a + b Así: a c b d 6a + b c a d 0 0 AB + BA a + d c + d c + d b c + 6d 0 0 6a + b c 0 a d 0 a + d 0 b c + 6d 0 a b + c 0 a + d 0 d a a + d 0 b c + d 0 a b + c 0 c a + b Unidad. Matrices

76 a b a + b a Por tanto: B, a y b 0 Por ejemplo, con a y b, queda B. 57 Demuestra que si una matriz verifica A 0 0 es la matriz nula, entonces A no puede tener inversa. Supongamos que se verifica que A 0, pero que A sí tiene inversa, que existe A. Multiplicando la igualdad A 0 por A, quedaría: A A 0 A A 0 I 0; lo cual es absurdo. Por tanto, deducimos que no existe A. PARA PROFUNDIZAR 58 Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden. De la igualdad A B A C no puede deducirse, en general, que B C. a Prueba esta afirmación buscando dos matrices B y C distintas tales que A B A C, siendo A. b Qué condición debe cumplir la matriz A para que de A B A C se pueda deducir que B C? a Por ejemplo, si B y C, entonces: A B A C, pero B C. b Debe existir A Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores de a: a 0 M a A 0 M a 0 0 a + a -ª -ª -ª -ª -ª a a 0 0 a Unidad. Matrices

77 Si a, ran M Si a, ran M Si a y a, ran M a 0 a 0 A 0 0 a -ª -ª -ª -ª 0 0 Si a 0, ran A Si a 0, ran A 60 Se dice que una matriz es antisimétrica cuando su traspuesta es igual a su opuesta. Obtén la forma general de una matriz de orden que sea antisimétrica. Si A, entonces At y A. Para que A t A, ha de ser: a c a b b d a c b d c d a a c b b c d d a b a 0 c b c d d 0 a b c d 0 b Por tanto, una matriz antisimétrica de orden es de la forma: b 0 Unidad. Matrices 5

78 UNIDAD RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 76 Determinantes de orden Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: x + y 9 5x y 8 x + y 7 a b c x y 5 0x + 6y 6 5x + y 9 9x 6y 7 8x + y 6 x + y 8 d e f 6x + y 5x + 0y 5 8x 7y 6 x +y 9 x y 5 a 0 Solución: x, y 7 5x y 8 5 b 0x + 6y x + y 7 5x + y 9 c 0 Solución: x 5, y 9x 6y d 6x + y 6 8x + y 6 5x +0y 5 e 0 Solución: x λ, y λ x + y 8 f 8x 7y Solución: x + λ, y λ Incompatible Solución: x, y Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

79 Página 77 Resolución de sistemas mediante determinantes A x A y Resuelve, aplicando x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: A A x 5y 7 5x + y a b x + y 7x y 6x + y 8 x y 9 c d 5x + 9y 60 6x + y Comprueba, en cada caso, la solución que obtengas. a x 5y 7 x + y A 6; A x 56; Por tanto: x 6; y A y 86; b 5x + y 7x y 5 7 A 8; A x 5; 5 66 Por tanto: x 5; y A y 66; c 6x + y 8 5x + 9y A 6; A x 9; 9 0 Por tanto: x ; y A y 0; d x y 9 6x + y 6 9 A ; A x 7; 7 0 Por tanto: x ; y A y 0; Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

80 Página 79. Calcula el valor de estos determinantes: a b c 7 d a 7 7 b 0, porque la segunda fila es proporcional a la primera. c 0, porque la segunda fila solo tiene ceros. d 7. Calcula: a a b b a b c a b d a b c d a b 0 0 ac bc a a d b c b a b a b a b b a c 0, porque la segunda fila solo tiene ceros. d a b c b a c 0, o también obsérvese que la segunda fila es proporcional a la primera. Página 80. Calcula los siguientes determinantes: a 0 6 b a b. Halla el valor de estos determinantes: a b a b 000 Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

81 Página 8. Justifica, sin desarrollar, estas igualdades: a 0 b c 0 d 0 a Tiene una fila de ceros propiedad. b La -ª fila es proporcional a la -ª -ª -ª propiedad 6. c La -ª fila es combinación lineal de las dos primeras -ª -ª + 0 -ª propiedad 9. d La -ª fila es combinación lineal de las otras dos -ª 0 -ª + -ª propiedad 9.. Teniendo en cuenta el resultado del determinante que se da, calcula el resto sin desarrollar: x y z x y z 5x 5y 5z x y z a b c /5 x + 5 y z + x + y + z + x y z 5 0 a 5x 5y 5z 0 /5 x y z 5 0 b 5 x y z x + 5 y z + x + y + z + x y z 5 0 x y z 5 0 c 5 Página 8. Halla dos menores de orden dos y otros dos menores de orden tres de la matriz: M Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

82 Menores de orden dos; por ejemplo: M , Menores de orden tres; por ejemplo: M , Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a, a y a de la matriz: A α ; A + α α 08; A + α α 6; A + α 6 6 Página 8. Calcula el siguiente determinante aplicando la regla de Sarrus y desarrollándolo por cada una de sus filas y cada una de sus columnas: Comprueba que se obtiene el mismo resultado en los siete casos. Aplicando la regla de Sarrus: Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 5

83 Desarrollando por la -ª fila: Desarrollando por la -ª fila: Desarrollando por la -ª fila: Desarrollando por la -ª columna: Desarrollando por la -ª columna: Desarrollando por la -ª columna: Calcula los siguientes determinantes: a b Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 6

84 a Desarrollando por la -ª columna. b Desarrollando por la -ª fila. También podríamos haber observado que la -ª columna es igual a la suma de las otras tres; y, por tanto, el determinante vale cero. Página 85. Calcula el rango de las siguientes matrices: A B C D A Tomamos un menor de orden distinto de cero: 7 0 Luego, las dos primeras filas son linealmente independientes. Observamos que la -ª fila es la suma de las dos primeras, y que la -ª fila es la suma de la -ª y la -ª. Por tanto, ran A. B Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 7

85 Tomamos un menor de orden distinto de cero: 8 0. Luego, las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las anteriores: Las primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la -ª fila depende linealmente de las anteriores: y Por tanto, ran B. C Tomamos un menor de orden distinto de cero: 0. Luego, las dos primeras filas son linealmente 0 independientes. 0 Como , las tres primeras filas son linealmente independientes. Como , entonces ran C D Tomamos un menor de orden distinto de cero: 0. Luego, las dos primeras filas son linealmente 5 independientes. 0 Como 5 9 0, la primera, segunda y cuarta fila son linealmente independientes. 0 La tercera fila es la suma de las dos primeras. Luego, ran D. Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 8

86 Página 87. Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles: x y 5 x + 5y 7 x + y + z 7 a x + y b x y 0 c x y + t 7x + y x y x y z + t 6 a x y 5 x + y x y 5 A A' 0 ran A A' 0 ran A' El sistema es compatible. b x + 5y 7 x y 0 7x + y A A' A' 7 0 ran A' ran A El sistema es incompatible. c x + y + z 7 x y + t x y z + t A 0 A' 0 6 Calculamos el rango de A: 0 0; 0 0; Calculamos el rango de A': 7 6 El sistema es incompatible. 76 ran A' ran A 0 ran A Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 9

87 . Siguiendo el mismo proceso que en el ejercicio anterior, averigua si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles: x + y z x + y z x + y + z 7 a x + z b x + z c x y + t y z 5 y z 0 x y z + t a b c x + y z x + z y z 0 Calculamos el rango de A: 0 A 0 A' y A 0 ran A Calculamos el rango de A': 0 0 pues la -ª y la -ª columna son iguales ran A' ran A 0 0 El sistema es compatible. OBSERVACIÓN: Como la -ª columna de A' y la -ª son iguales, necesariamente ran A' ran A; es decir, el sistema es compatible. x + y z x + z y z 5 A 0 A' 0 Sabemos que ran A ver apartado a de este ejercicio. Calculamos el rango de A': El sistema es incompatible. x + y + z 7 x y + t x y z + t 0 0 ran A' ran A A 0 A' 0 Sabemos que ran A ver apartado c del ejercicio anterior. Calculamos el rango de A': 7 El sistema es compatible ran A' ran A Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 0

88 Página 88. Resuelve mediante la regla de Cramer: x y + 5z x + y z a x y + z 8 b x y + z 8 x + y 9 x + y 0 a x y + 5z x y + z 8 x + y A A x 7; A y ; A z 5 Por tanto: x 7, y, z b x + y z x y + z 8 x + y 0 0 A A x 0; A y 0; A z 8 Por tanto: x 5, y 0, z Resuelve aplicando la regla de Cramer: x 5y +z x y z a x y + z b y + z 6 5x + y +7z x + 5y + 7z a x 5y +z x y + z 5x + y +7z A b 5 7 A x 65; A y 0; A z 6 Por tanto: x 5, y 0, z x y z y + z 6 x + 5y + 7z A 0 Por tanto, ran A <. Como hay menores de orden distintos de cero, ran A. 5 5 Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

89 A' ran A' Por tanto, este sistema es incompatible. Página 89. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x y + z x y + z a x y + z b x y + z y + 7z 0 y + 7z 0 a b x y + z x y + z y + 7z 0 Calculamos el rango de A: 0 A A' 0 y A 0 ran A Calculamos el rango de A': la -ª y la -ª columna son iguales ran A' El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la -ª ecuación: x y + z Solución: x + λ, y 7λ, z λ x y + z x y + z y + 7z 0 A A' Sabemos, por el apartado a, que ran A. Calculamos el rango de A': y + 7z El sistema es incompatible. 0 7 x y z y 7z 0 7 z x y + z + 7z y 0 0 ran A' ran A Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

90 . Resuelve estos sistemas: x + y y + z 5 a b x + z 5x y + z 6 a x + y 0 y + z 5 0 A A' x + z 0 5x y + z 6 5 b 0 Como ran A Calculamos el rango de A': A' 0 ran A' El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la última ecuación y aplicar la regla de Cramer: x ; y ; z Solución: x, y, z x + y x + 6y x +y A 6 A' 6 x + y x + 6y x +y Como A' 09 0, entonces ran A' ran A. El sistema es incompatible. Página 90. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x + y z 0 x 5y + z 0 x + y + z 0 a x y + z 0 b x + y z 0 x + y 0 x 6y + 5z 0 a x 5y + z 0 x y + z 0 x + y 0 5 A Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

91 Por tanto, ran A n-º incógnitas. El sistema solo tiene la solución trivial: x 0, y 0, z 0 b x +y z 0 x + y + z 0 x + y z 0 x 6y + 5z 0 8 ran A n-º de incógnitas El sistema solo tiene la solución trivial: x 0, y 0, z 0. Resuelve estos sistemas: x y z 0 x + y + 5z 0 a x + y + z 0 b x y t 0 x 5y 9z 0 x y + z t 0 b x y z 0 x + y + z 0 x 5y 9z A 0 Seleccionamos el menor 0 ran A Podemos suprimir la -ª ecuación y pasar la z al segundo miembro: x y z x + y z x y z Solución: x λ, y λ, z λ d x + y + 5z 0 x y t 0 x y + z t A 0 0 ran A Para resolverlo, pasamos la t al -º miembro: 0 5 t 0 x + y + 5z 0 t 7t t x y t x ; x y + z t t 0 t 7t t t t 0 y ; z 0 Solución: x λ, y λ, z 0, t λ Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

92 Página 9. Discute y resuelve: x + y + az 0 x + y k a ax y b kx y x + y +6z 0 5x + y 6 a x + y + az 0 ax y x + y + 6z 0 a a 0 A a 0 A' a A a 5 ± ± 5a 6 0 a 8 8 Si a, queda: 5 ± 8 a a 0 A' A El sistema es incompatible. Si a /, queda: / 0 A' / 0 / 6 0 A El sistema es incompatible. 0 ran A 0 ran A' ran A 0 ran A 0 ran A' ran A Si a y a / ran A ran A' n-º incógnitas, el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 0 a 0 a 0 a a 0 6 a 6 x ; y ; a 5a 6 a 5a 6 a 5a 6 a 5a 6 0 a 0 z a 5a 6 a 5a / 0 6 a a 6 Solución: x, y, z a 5a 6 a 5a 6 a 5a 6 Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 5

93 b x + y k kx y 5x + y 6 k A' k 5 6 A A' k ± 0 k k 6 Si k, queda: ± 6 k 5 k A' 5 6 A 0 ran A ran A' n-º incógnitas El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la -ª ecuación: x + y x y Sumando: x 5 x 5; y x 5 Solución: x 5, y Si k 5/, queda: 5/ A' 5/ A 5/ ran A ran A' n-º incógnitas El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la -ª ecuación: 5 x + y 5 x y Solución: x, y 8 Sumando: x x y x 6 Si k y k 5/ ran A' ran A, el sistema es incompatible. Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 6

94 . Discute y resuelve, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones: a x + y 0 a x + a + y 0 a x + y 0 a x + a + y 0 a A a a + A a a a + a a 0 a + a 0 a Si a 0, queda: x + y 0 x + y 0 y x. Sistema compatible indeterminado. Solución: x λ, y λ Si a, queda: y 0 y 0 Sistema compatible indeterminado. Solución: x λ, y 0 Si a 0 y a ran A El sistema solo tiene la solución trivial: x 0, y 0 Página 9. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices: A 0 B 5 Calculamos la inversa de la matriz A: A 0 existe A α ij Adj A Adj A t Adj A t A A 5 5 Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 7

95 Calculamos la inversa de la matriz B: B 0 existe B α ij Adj B Adj B t Adj B t B B. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices: A 0 B 0 7 Calculamos la inversa de la matriz A: A 0 existe A α ij Adj A Adj A t Adj A t A A Calculamos la inversa de la matriz B: B 0 existe B α ij Adj B Adj B t Adj B t B B Página 00 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Sabiendo que a b 7, justifica las siguientes igualdades, citando en ca- c d da caso las propiedades que has aplicado: a b c d a 7 b b d a c b d a b c d a a c b b d c 7 d Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 8

96 Si a Propiedad 8: si a una columna de una matriz se le suma la otra columna multiplicada por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. b Propiedad 5: si multiplicamos cada elemento de una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. c Propiedad : si permutamos las dos columnas, el determinante cambia de signo. d Propiedad 7: si una fila es suma de dos, el determinante puede descomponerse en suma de dos determinantes. m n 5, cuál es el valor de cada uno de estos determinantes? p q a m p b p m c n m d p m e n/m n q q n q p q n mp mq a 5, porque el determinante coincide con el de su matriz traspuesta. p m q n b 5 5 c n m n m m n q p q p p q 5 5 d p m p m p q m n q n q n m n p q n/m mp mq p q m n e m El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. Si cambiamos de orden dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. Si multiplicamos una fila o una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. Sustituye los puntos suspensivos por los números adecuados para que se verifiquen las siguientes igualdades: 7 a 7 + L 7 b 6 + LL 5 L a b Resuelve estas ecuaciones: + x x x + x m a b 0 + x x a x + x m n p q m n p q m n p q x x x x Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 9

97 + x x + x x + x + x + x x x + x + x + x x + x x x x x x x b 0 x x x x x x x x x + x x x x x xx 0 x 0 x x 5 Calcula el valor de estos determinantes: a 7 0 b c 0 7 d a 0 b c 5 d 0 6 Qué valor de a anula estos determinantes? 5 a a + a b 0 a + 6 c 0 d a a a 0 a a 5 a a a b 0 a + 6 a a a 0 a a + a a + 6 6a a [ + a + 6 6] a + a 0 a a 0 a c a + a 0 a a a Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 0

98 a + a a a + + a a a a a + 6a aa + a 6 0 a 0 a + a 6 0 ± + ± 5 a a a d a + + a + a a a + 7 Calcula el valor de los siguientes determinantes: a 0 b 5 0 c 7 0 d a c 0 7 b 5 0 d Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices y comprueba el resultado: a b 0 0 c 0 0 d 0 a A 0 existe A α ij Adj A Adj A t Adj A t A A b B 0 0 existe B α ij Adj B Adj B t Adj B t B B Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

99 c C 0 existe C α ij Adj C Adj C t Adj C t C C 0 6 d D 0 0 existe D α ij Adj D Adj D t Adj D t D D Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales: S a X 0 5 b X 0 a Llamamos A y B 0 A X B X A B Calculamos A : A 0 existe A 0, de manera que tenemos: α ij Adj A Adj A t Adj A t A A Calculamos A B: La solución es: X 5 b Llamamos A y B, de manera que: X A B X A A B A X B A Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

100 A 0 existe A Calculamos A : α ij Adj A Adj A t Adj A t A 5 5 A 5 Calculamos B A : La solución es: X Estudia el rango de las siguientes matrices: 0 a b a El rango es ya que el determinante b -ª fila -ª fila -ª fila -ª fila -ª fila + -ª fila Por tanto: ran 0 5 Como 0 5 ran 0 El rango es 5 0. Resuelve aplicando la regla de Cramer: x y x + y + z a x + y + z 0 b x y z y + z x y + z x + y z 0 x + y z + t c x + y + z 0 d x y t x + y z z t 0 Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

101 a b x y x + y + z 0 y + z A A' A x ; y 5; z 7 Solución: x, y 5, z 7 x + y + z x y z x y + z A' A A 0 x ; y ; z Solución: x, y, z c x + y z 0 x + y + z 0 x + y z A A x ; A y 0 0 A z Por tanto: x, y, z 0 0 Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

102 d x + y z + t x y t z t 0 A' 0. Tenemos que A t t + t 0 + t 0 t 0 t + t 0 t + t x ; y t + t 0 0 t t + λ λ z t. Soluciones:,, λ, λ 0. t Página 0 Estudia la compatibilidad de estos sistemas: S x y 6 x + y z a x + y b x y z 5x + y 5 x y z 0 a x y 6 x + y 5x + y 5 6 A'. Como 5 5 A 5 0 y A' 0, tenemos que: ran A ran A' n-º incógnitas El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación: x y 6 x + y Sumando: 5x 5 x y x 5 Solución:, 5 b x + y z x y z x y z 0 0 A'. A Tenemos que A 0 y que 0 ran A Como 0 Por tanto, el sistema es incompatible. 0 ran A' ran A Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 5

103 Calcula la inversa de las siguientes matrices: S 0 A 0 0 B 0 0 A Existe A α ij Adj A Adj A t A Adj A t A A 0 0 B 0 0 Existe B α ij Adj B Adj B t B Adj B t B 6 6 / / B PARA RESOLVER Prueba, sin desarrollar, que estos determinantes son cero: a /5 b a b c b + c a + c a + b a Hay dos líneas proporcionales. b Suma la -ª fila a la -ª. a La -ª y la -ª columnas son proporcionales la -ª es 5 por la -ª. b Sumamos la -ª fila a la -ª: a b c a + b + c a + b + c a + b + c b + c a + c a + b b + c a + c a + b 5a + b +c b + c a + c a + b 0 pues tiene dos filas iguales. Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 6

104 5 Prueba que el determinante a es múltiplo de y el b múltiplo de 5: 5 a 7 b a Suma la -ª y -ª columnas a la -ª. 6 a A 7 Es múltiplo de Sumamos a la -ª columna las otras dos. Si una columna se multiplica por un número, el determinante queda multipicado por ese número b B Es múltiplo de Sumamos a la -ª fila la -ª. 6 Para qué valores de a se anula este determinante? 8 a A 8 a -ª -ª -ª -ª + -ª -ª + -ª 0 5 a a [8a ] [8a ] 8a 6 0 a 7 Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro que aparece en ellas: 0 a A B a a 0 a A a 6 + a a 0 a Si a Como A 0 y 0 ran A Si a A 0 ran A Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 7

105 a B a a 9a a a 7a ± ± 8 a Observamos que 7 ± 9 a 8 a 0 0 ran B Por tanto: Si a B 0 ran B Si a 8 B 0 ran B Si a y a 8 B 0 ran B 8 Estudia y resuelve estos sistemas homogéneos: 9x + y + z 0 x + y z 0 x y + z 0 a x y z 0 b 8x + y + z 0 x y + z 0 x + y z 0 a x + y z 0 x y z 0 x y + z 0 x + y z 0 x y + z 0 x y z 0 A Como A 0 y 0, entonces, ran A. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la -ª ecuación y pasar la z al º miembro: x + y z x y z λ λ Soluciones:,, λ z z z z z z z x ; y z b 9x +y + z 0 x y + z 0 8x + y + z 0 x + y z 0 A Como 5 0, entonces: ran A n-º incógnitas. 8 El sistema solo tiene la solución trivial: x 0, y 0, z 0 Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 8

106 9 Resuelve los siguientes sistemas: x + y 0 x + y + z t 0 x + z 0 a x + y z + t 0 b x + t 0 x + y + t 0 y + z + t 0 a x + y + z t 0 x + y z + t 0 x + y + t 0 Observamos que la -ª ecuación es la suma de las dos primeras, por lo tanto la eliminamos. El sistema queda: x + y + z t 0 x + y z + t 0 Pasamos al segundo miembro dos de las incógnitas para resolverlo por Cramer, teniendo que ser el determinante de la matriz de los coeficientes que quedan en el primer miembro no nulo: x + y z + t x + y z t Aplicamos la regla de Cramer: A 0 A x z + t z + t; A y z + t z t z t Solución: x λ µ, y λ + µ, z λ, t µ z t b x + y 0 x + z 0 x + t 0 y + z + t 0 Se trata de un sistema homogéneo. A ran A n-º de incógnitas 0 El sistema solo tiene la solución trivial, x 0, y 0, z 0, t 0. 0 Encuentra el valor de a para que este sistema sea compatible: x + y 5 x + y ax + y x + y 5 x + y ax + y 5 a A' ; A' 6 7a 0 a ; Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 9

107 6 Si a, ran A ran A' Sistema compatible. 7 6 Si a, ran A ran A' Sistema incompatible. 7 Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa: x + y z x y a b x y z x y 0 x + y + z 5 a b x y x y 0 A, X x, C x A X C A A X A C X A C Calculamos A : A 0 Existe A α ij Adj A Adj A t Adj A t A A X La solución del sistema es: x, y x + y z x y z x + y + z 5 x A, X y, C x y A X C A A X A C Calculamos A : A 0 0 Existe A X A C α ij Adj A Adj A t Adj A t A A 0 y 0 z y 0 z Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 0

108 0 X La solución del sistema es: x, y 0, z Estudia y resuelve los siguientes sistemas: x+ y + z x y z x y 7z 0 a x + y + z b y + z x + z x+ y 0 a x y z x + y + z x + z A' A Como A 0 y 0, tenemos que ran A. Además, Luego, ran A' ran A < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la primera ecuación: x + y + z x + z x + y z x z z z x 7z y z x Hacemos z λ b Soluciones: x λ, y 7λ, z λ x + y + z x y 7z 0 y + z x + y 0 Como 7 0 A' A 5 0 y A' 0, tenemos que: ran A ran A' n-º incógnitas Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

109 El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la cuarta ecuación. Aplicamos la regla de Cramer: x ; y ; z 5 5 Solución: x, y, z Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m: S mx + y + z x + y + z m a x + y + z m b x + y + mz m x y + mz x + my + z x + y + z 0 x + my + z c x + my + z 0 d x + y + z 5 x + y +z mx + y + z a mx + y + z x + y + z m x y + mz A m 0 Si m, queda: m A' m m m m A Contradictorias Sistema incompatible. A' Si m, queda: A' Contradictorias Sistema incompatible. Si m y m ran A ran A' n-º incógnitas. Sistema compatible determinado. Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

110 b x + y + z m x + y + mz m x + my + z m A' m m m A A m ± m 0 m ± m m Si m, queda: c 0 A' Contradictorias El sistema es incompatible. Si m, queda: A'. Las columnas -ª, -ª y -ª son iguales. A Como 0 ran A' ran A < n-º incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Si m y m ran A ran A' n-º incógnitas. Sistema compatible determinado. x + y +z 0 x + my + z 0 x + y +z 0 A' m 0 A m + 0 m Si m, queda: 0 0 A'. Como 0 y 0 A 0, entonces: ran A ran A'. Sistema incompatible. Si m, queda: ran A ran A' n-º incógnitas. Sistema compatible determinado. Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

111 d x + my + z x + y + z 5 mx + y + z m A' 5 A A m ± 6 ± m + 0 m Si m, queda: 5 m ± Contradictorias Sistema incompatible. A' m m Si m, queda: A'. La -ª y la -ª fila son iguales. 5 A Además 0. Luego, ran A ran A' < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Si m y m ran A ran A' n-º incógnitas. Sistema compatible determinado. Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a: S x y + z 0 x + y + z 0 a x + y z 0 b ax + z 0 x y az 0 x y + az 0 a x y + z 0 x + y z 0 x y az 0 A a Como es homogéneo, sabemos que ran A ran A'. A 5a 5 0 a 5 Si a 5 Como 5 0 ran A ran A' El sistema es compatible indeterminado. Si a 5 Solo tiene la solución trivial 0, 0, 0. Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

112 b x + y + z 0 ax +z 0 x y + az 0 A' a 0 a Como es homogéneo, sabemos que ran A ran A'. A a ± + a a Si a o a Como El sistema es compatible indeterminado. ± 5 a a 0 ran A ran A' 0 Si a y a ran A ran A'. Solo existe la solución trivial 0, 0, 0. Página a Considera la matriz A S y calcula el rango de las matrices AAt y A t A. b Resuelve el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A t A. c Resuelve el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es AA t. a A 0 At 0 0 A A t rango 0 A t A rango b Como el rango es, seleccionamos el menor 5 0 Podemos suprimir la tercera ecuación y pasar la z al segundo miembro: 5x + y z x + y z 0 x z, y z La solución es: x λ, y λ, z λ Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 5

113 c Como el rango n-º de incógnitas El sistema solo tiene la solución trivial: x 0, y 0 6 Dadas A y B : S a Halla A y B. b Halla la matriz inversa de A B. c Comprueba que AB B A. a A 0 Existe A α ij Adj A Adj A t Adj A t A A 5 B 0 Existe B α ij Adj B Adj B t Adj B t B B 0 8 b A B 6 ; A B 0 Existe A B α ij Adj AB Adj AB t Adj AB t AB AB c B A A B 6 5 Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 6

114 7 Dada A, determina la matriz B que verifica B I At A. S 0 A ; At 0 Calculamos A : A 0 Existe A α ij Adj A Adj A t Adj A t A A Calculamos A t A : 6 A t A B A t A + I B Discute el siguiente sistema y resuélvelo, si es posible, en el caso a : S x y a x + a z a + x y + aa z a x y a x + a z a + x y + aa z a Estudiamos el rango de la matriz de coeficientes: 0 A 0 a aa A aa A 0 a 0, a Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 7

115 Si a 0 y a, ran A ran A'. El sistema es compatible determinado. Son solución: A x a a a A y a A z a a La solución es: x a, y, z a a 0 Si a 0 A A' a 0 a + 0 a a aa a 0 a + a a aa a 0 a + a 0 ran A' ran A a El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones: x y 0 x Solución: x, y, z λ 0 Si a A 0 0 A' El sistema es incompatible. ran A' ran A Si a, se trata de un sistema compatible determinado, resuelto en el primer caso, con solución: x, y, z Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 8

116 x 0 9 Sea A 0 S x a Halla los valores de x para que los que A tiene inversa. b Calcula, si es posible, A para x. a Existe A solo cuando A 0. x 0 A 0 x 0 si x 0 x Luego, existe A para todo x 0. b Para x, tenemos que A 0, luego existe A en este caso. La calculamos: α ij Adj A Adj A t Adj A t A 6 6 / / A Dadas las matrices: S 0 5 A 9 B 0 C D halla la matriz X que verifica AB + CX D. AB + CX D CX D AB X C D AB Calculamos C C 0 existe C : α ij Adj C Adj C t Adj C t C C Calculamos A B: Por tanto: A B X [ ] / / 8 7 / / 0 0 / / Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 9

117 Halla X tal que AX B, siendo: S A B 0 AX B X A B Calculamos A A 0 existe A : α ij Adj A Adj A t Adj A t A A Por tanto: / / 0 X 0 0 / / / / Resuelve la ecuación A X B C siendo: S A B C Multiplica C por A por la izquierda y por B por la derecha. AXB C A A X B B A C B X A C B Calculamos A y B A y B existen A y B : α ij Adj A Adj A t Adj A t A A α ij Adj B Adj B t Adj B t B B Por tanto: X A C B Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 0

118 Dada A, halla una matriz X tal que A X A. S Multiplica dos veces por A, una vez por la izquierda y otra por la derecha. Calculamos A A 0 existe A : α ij Adj A Adj A t Adj A t A A Por tanto: AXA X A A 7 5 Determina si las siguientes ecuaciones tienen solución y hállala si es posible: S 0 0 a 0 X 0 b 0 X 0 0 a 0 X 0 A B Como A 0, no existe A. La ecuación no tiene solución. 0 b 0 X 0 0 A 0 0 B 0 Como A 0, existe A y la ecuación tiene solución. A X B A A X A B X A B. Hallamos A : α ij Adj A Adj A t Adj A t A A Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

119 Luego: 0 5 X 6 0 Por tanto: / 5/ X / / 5 Resuelve la ecuación: 0 5 x y + Como AX + B C X A C B. 0 5 x 7 y Calculamos A A 6 0 existe A : A X B α ij Adj A Adj A t Adj A t A A Por tanto: 5 9 A X B X A B x Luego, y z z z { { 5 9 / / ; es decir: x, y, z 6 6 Resuelve la ecuación: X Sea A ; B y C. Entonces: Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

120 X A B C X A C + B X A A C + B A X C + B A C + B A A 0 Existe A Calculamos A : α ij Adj A Adj A t Adj A t A A Por tanto: X Existe algún valor de a para el cual este sistema tenga infinitas soluciones? a x y z x+ ay 5z x + y+ z x y z x + ay 5z x + y + z A' a 5 A A 9a a Si a, queda: A' 5 Como 5 y 0, entonces: ran A ran A' El sistema es incompatible. Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

121 Si a ran A ran A' Compatible determinado. Por tanto, no existe ningún valor de a para el que el sistema tenga infinitas soluciones. Página 0 8 Prueba, sin desarrollar el determinante, que: x x + x + x x + x + 0 x x + 5 x + 6 Resta la primera fila a la segunda y a la tercera. x x + x + -ª x x + x + x x + x + -ª -ª 0 0, x x + 5 x + 6 -ª -ª 0 pues las dos últimas filas son proporcionales. 9 Calcula: + a + a + a + a a a a a a b m m m a + a + a + a + a a a a a a a a a Descomponemos el determinante en suma de dos. Hay dos filas iguales en cada uno de los determinantes. b m m 0, 0 0 m a a a a a a a a pues es el determinante de una matriz diagonal y los elementos de la diagonal son. a a a 0 Obtén en función de a, b, c el valor de: a + b a a a a + c a Resta la tercera columna a las dos primeras. Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes

122 a a a -ª -ª 0 c 0 a + b a a b c 0 a 0 c -ª -ª b c abc a a + c a -ª a a + c a Sabiendo que a b c x y z 5, calcula: a b c a a + 7 b + 7 c + 7 b x y z x/ y/ z/ a a + 7 b + 7 c + 7 a b c x/ y/ z/ x/ y/ z/ x/ y/ z/ Descomponemos el determinante en suma de dos. Sacamos factor común de la -ª fila. El -º determinante es 0, pues las dos primeras filas son proporcionales. a b c a b c b x y z a b c x y z x y z 5 a b c 5 x y z Cuando cambiamos de orden dos filas consecutivas, el determinante cambia de signo. Calcula los valores de a para los cuales el rango de A es menor que : 0 A 0 a a 0 A 0 a a Puede ser ran A para algún valor de a? El rango de A es menor que si A 0. A a a A 0 si a o a Por tanto: si a o a ran A < Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 5

123 El ran A no puede ser, porque si nos fijamos en el menor: 0 a 0, independientemente del valor de a. CUESTIONES TEÓRICAS El rango de la matriz de coeficientes de un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones y tres incógnitas es igual a. Qué puedes decir de su solución? Al ser el sistema homogéneo con incógnitas, tenemos que ran A ran A' n-º incógnitas. El sistema sería compatible determinado. Por tanto, tendría como solución única la solución trivial 0, 0, 0. En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de coeficientes es igual a 0. a Puede ser compatible? b Puede tener solución única? c Se puede aplicar la regla de Cramer? a Sí, podría ser compatible indeterminado si ran A ran A' < n-º incógnitas. b No, pues al ser ran A < n-º incógnitas, el sistema no puede ser compatible determinado. c Sí, si es compatible, pasando al -º miembro las incógnitas que sea necesario. 5 Qué condición debe cumplir una matriz cuadrada para tener inversa? La condición necesaria y suficiente para que una matriz, A, cuadrada tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero, es decir, A 0. 6 Sean A y B inversas una de otra. Si A, cuánto vale B? Si A y B son inversas una de otra, entonces A B I. Así: A B A B I B A 7 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es igual a. Qué rango, como máximo, puede tener la matriz ampliada? Como máximo, la matriz ampliada podrá tener rango. Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 6

124 8 Existe algún valor de a para el cual la matriz no tenga inversa? a a a a + 0 para cualquier valor de a. a a a a Por tanto, no existe ningún valor de a para el que la matriz dada no tenga inversa. PARA PROFUNDIZAR 9 a Para qué valor de a este sistema es compatible determinado? b Puede ser compatible indeterminado? A' x y y + z a x z y z x y a y + z a x z y z A' 0 ran A n-º incógnitas a a x y x z y z y + z FILAS -ª -ª -ª -ª -ª A a a 0 a Si a ran A ran A' Compatible determinado Por tanto, Si a ran A ran A' Incompatible b No, por lo que hemos visto en el apartado anterior a 50 Calcula el valor de este determinante dando el resultado factorizado: x x x x x x x x x x x x Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 7

125 x x x x x x x x x x x x + x x x x + x x x + x x x + x + x x x x x x x x x x x x -ª -ª -ª -ª -ª -ª -ª + x x x x 0 x x x + x + x x + x x Sumamos a la -ª columna las demás. Sacamos + x factor común, de la -ª columna. Desarrollamos por la -ª columna. x x x 5 Discute los siguientes sistemas según los valores de los parámetros que contienen: x y + z a x y + z a x z b b x+ y z 8 x + z c x + y + az b a x y + z a x z b x + z c a A' 0 b 0 c A A 6 0 ran A ran A' n-º incógnitas El sistema es compatible determinado para cualquier valor de a, b y c. a x y + z x + y z 8 x + y + az b 8 a b A' A 5a 0 a 0 Si a 0, queda: A' ; 8 5 0; 8 0 b b A 5b b Si a 0 y b ran A ran A' < n-º incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Si a 0 y b ran A ran A'. El sistema es incompatible. Si a 0 ran A ran A' n-º incógnitas. El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de b. Unidad. Resolución de sistemas mediante determinantes 8

126 UNIDAD PROGRAMACIÓN LINEAL Página 0 Problema Para representar y x, representa la recta y x. Después, para decidir a cuál de los dos semiplanos corresponde la inecuación, toma un punto cualquiera exterior a la recta y comprueba si sus coordenadas verifican o no la desigualdad. Análogamente, representa: x +5y 0 x + y 6 x + y 0 y x x + 5y 0 x + y 6 x + y 0 Página 05 Problema Representa el recinto formado por las siguientes condiciones: y x ; x + 5y 0; x + y 6; x + y 0 x + 5y 0 x + y 0 y x x + y 6 Unidad. Programación lineal

127 Problema Un comerciante acude al mercado a comprar naranjas. Dispone de 500 y en su furgoneta caben 700 kg. En el mercado hay naranjas de tipo A a 0,5 y de tipo B a 0,8. Él las podrá vender a 0,58 las de tipo A y a 0,9 las de tipo B, y se cuestiona cuántos kilogramos de cada tipo debería comprar para conseguir que los beneficios sean lo más altos posible. a Si se gasta todo el dinero en naranjas de tipo B, cuántos kilos le caben aún en su furgoneta? b Si llena la furgoneta con naranjas de tipo A, cuánto dinero le sobra? Cuál será el beneficio? c Cuál será el beneficio si compra 00 kg de naranjas de tipo A y 00 kg de tipo B? a 500 : 0,8 65 kg de naranjas de tipo B puede comprar kg le caben aún en su furgoneta. b 700 0,5 50 se gasta le sobran. Beneficio 700 0,58 0,5 56 c 00 0,58 0, ,9 0,8 6 de beneficio. Página 8 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Minimiza la función f x, y x + 8y sometida a las siguientes restricciones: x 0, y 0 x + y 8 x 5y 0 x + 5y 5 Representamos las rectas: x + y 8 x +y x 5y 0 x + 5y 5 y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x 0 e y 0. Unidad. Programación lineal

128 Representamos la dirección de las rectas z x + 8y, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: x + 8y 0 x + y 0 x + y x + 5y 5 x 5y 0 5 x + y 0 El mínimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + y x 5y 0 0 x 9 8 y Punto, 9 9 El mínimo vale f,. Maximiza y minimiza la función p x + y con las siguientes restricciones: x y 0 5y 9 x Representamos las rectas: x y 0 5y 9 x y hallamos la región que cumple las condiciones del problema. Representamos la dirección de las rectas p x + y, dibujando la recta x +y 0: La restricción 5y 9 es superflua. La región x sería la misma sin ella. y 9 El máximo se alcanza en el punto de intersección de las 5 rectas: x + y 0 x y 0 x y 0 x x y 9 Punto, 9 El máximo es p, + No hay mínimo Unidad. Programación lineal

129 Maximiza la función z x + y sujeta a las siguientes restricciones: x + y 6 x + y 8 8x + y x + y 0 Representamos las rectas: x + y 6 x + y 8 x + y 8x + y x + y 6 x + y 0 y obtenemos la región que cumple las condiciones del problema. Representamos la dirección de las rectas z x + y, dibujando la recta x + y 0: La restricción x + y 0 es superflua. La región sería la misma sin ella. x + y 6 No hay máximo. La función x + y se puede hacer tan grande como se quiera en el recinto propuesto. x + y 0 x + y 6 x + y x + y 0 En la región determinada por x + y 5, x y 0, x 0 e y 0, halla el punto en que la función f x, y x + y alcanza su valor mínimo. Puede alcanzar su máximo en esa región? Representamos las rectas: x + y 5 x y 0 y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x 0 e y 0. Representamos la dirección de las rectas z x + y, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: x + y 0 x + y 0 x + y 5 x + y 0 x y 0 Unidad. Programación lineal

130 El mínimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas. 0 5 Punto, No hay máximo. La función x +y se puede hacer tan grande como se quiera en el recinto propuesto. x + y 0 5 Calcula los puntos del recinto x y 0 que hacen mínima o máxima la 0 y 0 función z x + y. Cuántas soluciones hay? Representamos las rectas y obtenemos la región que cumple las restricciones dadas. Representamos la dirección de las rectas z x + y, dibujando la recta x + y 0. Esta recta es paralela a x + y 0, que determina uno de los lados del recinto: Hay infinitos puntos que hacen mínima la función: todos los que están sobre el segmento de recta y 0 x con 0 x 0. El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x y 0 y 0 x 0 y 0 x + y 5 x y 0 0 x 7 5 y x + y 0 x y 0 y 0 y 0 y x y y 0 x + y 0 x + y 0 Punto 0, 0 6 Es posible maximizar y minimizar la función z x + y + sujeta a estas restricciones? x + y 0 x y 0 5x y 7 0 Representamos las rectas: x + y 0 x y 0 5x y 7 0 y obtenemos el recinto que cumple las restricciones del problema. Unidad. Programación lineal 5

131 Representamos la dirección de las rectas z x + y +, dibujando la recta x + y + 0. x + y x + y + 0 5x y 7 No existe máximo ni mínimo. x y 7 Las rectas x + y 8, x + y 6 y x + y 6 se cortan dos a dos en tres puntos que son los vértices de un triángulo T. Sea S la intersección del triángulo T con el primer cuadrante. Halla el máximo de la función z 5x + y cuando x e y varían en S. Representamos las rectas: x + y 8 x + y 6 x + y 6 y obtenemos el triángulo T, y la región S. x + y 6 Representamos la dirección de las rectas z 5x + y, dibujando la recta: 5x + y 0 El máximo se alcanza en el punto de corte de x + y 6 con el eje X; es decir, en el punto 6, 0. El máximo vale z x + y 0 x + y 6 x + y 8 8 Dibuja el recinto que cumple estas restricciones: x 0 y x + 0 y 0 y + x 5 0 a Localiza los puntos de este recinto en los que la función objetivo Fx, y x + y se hace máxima y mínima, respectivamente. b Sobre el mismo recinto, haz máxima y mínima la función Gx, y 5x + y. Unidad. Programación lineal 6

132 Representamos las rectas: x 0 y x + 0 y 0 y + x 5 0 y obtenemos el recinto que cumple las condiciones del problema. Representamos la dirección de las rectas z x + y, dibujando la recta x + y 0. x 0 y + x 5 0 y x + 0 y 5x + y 0 Representamos la dirección de las rectas z 5x + y, dibujando la recta 5x + y 0. x + y 0 a Fx, y alcanza el máximo en el punto de intersección de las rectas: y + x 5 0 y x y Punto, F x, y alcanza el mínimo en el punto de corte con el eje Y de la recta y x + 0, es decir, en el punto 0,. b Gx, y alcanza el máximo en el punto de corte de las rectas: y x + 0 y + x 5 0 x y Punto, El máximo vale G, 5 + Gx, y alcanza el mínimo en el punto 0,. El mínimo vale G0,. 9 Considera el triángulo de vértices 0, 0,, 8 y 0,. Determina razonadamente: S a El punto del triángulo donde la función f x, y x + y + 9 alcanza el máximo. b El punto del triángulo donde la función f x, y x + y + alcanza el máximo. Sabemos que el máximo se alcanza en algún vértice o en un lado. Calculamos el valor de la función dada en cada uno de los vértices: a fx, y x + y + 9 f0, 0 9 f, 8 9 f0, 8 Hay infinitos puntos que hacen máxima la función: todos los puntos del lado que une los vértices 0, 0 y, 8. Unidad. Programación lineal 7

133 b fx, y x + y + f0, 0 f, 8 8 f0, 55 La función alcanza el máximo en el punto 0,. PARA RESOLVER 0 Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre. La empresa A le paga 0,05 por impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 0,07 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos de tipo A, en la que le caben 0, y otra para los de tipo B, en la que caben 00. Ha calculado que cada día puede repartir 50 impresos como máximo. Cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? Llamamos x al n-º de impresos de tipo A e y al n-º de impresos de tipo B. Las restricciones son: 0 x 0 0 y 00 x + y 50 La función que nos da el beneficio es fx, y 0,05x + 0,07y. Tenemos que maximizar fx, y, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones y la recta 0,05x + 0,07y 0 5x + 7y 0, que nos da la dirección de las rectas z 0,05x + 0,07y. El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + y 50 y 00 x 50 y 00 Por tanto, habrá de repartir 50 impresos de tipo A y 00 de tipo B. El beneficio será de: f50, 00 0, , , x 0 x x + 7y 0 y 00 y 0 x + y 50 Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Además, el triple de la producción de vinagre más cuatro veces la producción de vino es siempre menor o igual que 8 unidades. Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 8 y cada unidad de vinagre. Unidad. Programación lineal 8

134 Llamamos x a las unidades de vino e y a las de vinagre. Las restricciones son: x 0; y 0 x y + y + x 8 La función que nos da el beneficio es fx, y 8x + y. Tenemos que maximizar fx, y, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones y la recta 8x + y 0 x + y 0, que nos da la dirección de las rectas z 8x + y. El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x y + y + x 8 Por tanto, hay que producir unidades de vino y de vinagre. x y 8x + y 0 x y + y + x 8 Página 9 Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de 00 y a no fumadores al precio de 60. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador 0 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 000 kg, cuál debería ser la oferta de la compañía si se quiere obtener el máximo beneficio? Llamamos x al n-º de plazas para fumadores e y al n-º de plazas para no fumadores. Las restricciones del problema son: x 0; y 0 x + y 90 0x + 50y 000 x + 5y 00 Tenemos que maximizar la función: fx, y 00x + 60y, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones y la recta 00x + 60y 0 5x + y 0, que nos da la dirección de las rectas z 00x + 60y: El máximo se alcanza en el punto 90, 0. Por tanto, deben ofrecer 90 plazas para fumadores y ninguna para no fumadores, para obtener el máximo beneficio. Unidad. Programación lineal 5x + y x + y 90 x + 5y

135 Una persona quiere invertir en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 0%. Las de tipo B son más seguras, pero producen solo el 7% nominal. Decide invertir como máximo en la compra de acciones A y, por lo menos, en la compra de acciones B. Además, quiere que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. Cómo debe invertir los para que el beneficio anual sea máximo? Llamamos x al dinero invertido en acciones de tipo A en decenas de miles de euros e y al dinero invertido en acciones de tipo B en decenas de miles de euros. Las restricciones del problema son: x + y 0 0 x 6 y x y La función que nos da el beneficio anual es: fx, y 0,x + 0,07y. Tenemos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones, y la recta 0,x + 0,07y 0 0x + 7y 0, que nos da la dirección de las rectas z 0,x + 0,07y. El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + y 0 x 6 x 6 y Por tanto, debe invertir en acciones de tipo A y en acciones de tipo B. 0x + 7y 0 x 0 x 6 x + y 0 x y y Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 500. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 0,5 el kg y las de tipo B a 0,8 el kg. Sabemos que solo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 kg de naranjas como máximo y que piensa vender el kilo de naranjas de tipo A a 0,58 y el de tipo B a 0,9. Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener beneficio máximo? Llamamos x a los kg de naranjas del tipo A e y a los kg de naranjas del tipo B. Las restricciones del problema son: x 0; y 0 x + y 700 0,5x + 0,8y 500 5x + 8y Unidad. Programación lineal 0

136 La función que nos da el beneficio es fx, y 0,08 + 0,y. Tenemos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones, y la recta 0,08x + 0,y 0 8x + 0y 0 x + 5y 0, que nos da la dirección de las rectas z 0,08x + 0,y. El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + y 700 5x + 8y Por tanto, deberá comprar 00 kg de naranjas del tipo A y 500 kg del tipo B. x 00 y x + 5y 0 5x + 8y x + y Un sastre tiene 80 m de tela de algodón y 0 m de tela de lana. Un traje de caballero requiere m de algodón y m de lana y un vestido de señora necesita m de cada una de las telas. Calcula el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden por el mismo precio. Llamamos x al número de trajes e y al número de vestidos. Resumamos en una tabla la información: Las restricciones del problema son: x 0; y 0 x + y 80 x + y 0 N-º ALGODÓN LANA TRAJE x x x VESTIDO y y y TOTAL x + y x + y Si llamamos k al beneficio obtenido por la venta de un traje o de un vestido, la función que nos da el beneficio total es fx, y kx + y. Tenemos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones y la recta kx + y 0 x + y 0, que nos da la dirección de las rectas z kx + y. El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + y 0 x + y 80 x 0 y 0 Por tanto, debe confeccionar 0 trajes y 0 vestidos x + y 0 x + y x + y 0 Unidad. Programación lineal

137 6 Se quiere promocionar una marca desconocida, D, de aceites, utilizando una marca conocida, C. Para ello, se hace la siguiente oferta: Pague a solo,5 el litro de aceite C y a,5 el litro de aceite D siempre y cuando compre en total 6 litros o más y la cantidad de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D. Disponemos de un máximo de,5. a Representa gráficamente los modos existentes de acogernos a la oferta. b Acogiéndonos a la oferta, cuál es la mínima cantidad de aceite D que podemos comprar? Cuál es la máxima de C? Llamamos x al n-º de litros de aceite D, e y al n-º de litros de aceite C. Las restricciones del problema son: x 0; y 0 x + y 6 x y x,5y +,5x,5 y + x 7 x, y enteros a Representamos gráficamente el recinto: ACEITE C y x y x x + y 6 x + y 7 ACEITE D Hay 0 puntos en el recinto 0 modos de acogernos a la oferta. b La mínima cantidad de D son litros y la máxima de C son 8 litros. 7 Se quiere elaborar una dieta para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos al día: mg de vitamina A, mg de vitamina B, 0 mg de la C y mg de la D. Para ello, se van a mezclar piensos de dos tipos, P y Q, cuyo precio por kilo es, para ambos, de 0, y cuyo contenido vitamínico en miligramos por kilo es el siguiente: A B C D P 0 Q 7,5 0 Cómo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mínimo? Unidad. Programación lineal

138 Llamamos x al pienso de tipo P en kg e y al de tipo Q en kg. Las restricciones son las siguientes: x + y x + y 0x + 7,5y 0 8x + y x x y 0 La función que nos da el gasto es: fx, y 0,x + 0,y 0,x + y. Tenemos que minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones, y la recta 0,x, y 0 x + y 0, que nos da la dirección de las rectas z 0,x + y. Como la recta x + y 0 es paralela a x + y, el mínimo se alcanza en cualquier punto de la recta x + y comprendido entre A y B. Hallamos las coordenadas de A y de B: A: Punto de corte de las rectas: x + y 8x + y B: Punto de corte de las rectas: x + y x + y 6 x 5 y 5 x y 6 A, B, 5 5 x + y 8x + y x + y x A B 5 6 x + y 8 Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T y T, para lo que usa tres ingredientes, A, B y C. Dispone de 50 kg de A, 90 kg de B y 50 kg de C. Para fabricar una tarta T debe mezclar kg de A, kg de B y kg de C, mientras que para hacer una tarta T necesita 5 kg de A, kg de B y kg de C. a Si se venden las tartas T a 0, y las tartas T a, qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos? b Si se fija el precio de una tarta del tipo T en 5, cuál será el precio de una tarta del tipo T si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T y 5 del tipo T? Llamamos x al n-º de tartas de tipo T e y al n-º de tartas de tipo T. Unidad. Programación lineal

139 Las restricciones del problema son: x 0; y 0 x + 5y 50 x + y 90 x + y 50 a La función que nos da los ingresos es fx, y 0x + y. Tenemos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones, y la recta 0x + y 0, que nos da la dirección de las rectas z 0x + y: El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + 5y 50 x + y x + y 50 x + y 90 x 50 y x + y 0 x + 5y Por tanto, deben fabricarse 50 tartas de tipo T y 0 tartas de tipo T. b Si llamamos k al precio de la tarta de tipo T, los ingresos vendrían dados por la función gx, y 5x + ky. Si la función gx, y alcanza el máximo en el punto 60, 5, que no es un vértice, será porque hay infinitas soluciones y la recta 5x + ky 0 será paralela a x + y 90. Por tanto: 5 5x + ky 0 pendiente k x + y 90 pendiente 5 k k 0 Por tanto, el precio de una tarta del tipo T será de 0. Página 0 9 Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas de cortar, coser y teñir se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser, tres horas y la de teñir, una hora. Fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser, una hora y la de teñir, ninguna hora. La máquina de teñir se puede usar durante tres horas, la de coser, doce y la de cortar, siete. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y cinco por cada pantalón. Cómo emplearemos las máquinas para conseguir el beneficio máximo? Unidad. Programación lineal

140 Llamamos x al n-º de chaquetas e y al n-º de pantalones. Las restricciones del problema son: x 0, y 0 x x + y 7 x + y x, y enteros La función que nos da el beneficio es fx, y 8x + 5y. Tenemos que maximizar esta función sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta 8x + 5y 0, que nos da la dirección de las rectas z 8x + 5y: x + y x El máximo se alcanza en el punto, 5. Por tanto, han de fabricarse chaquetas y 5 pantalones. 8x + 5y 0 x + y 7 0 Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de mg de vitamina A y S 6 mg de vitamina B en el pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso P y P, cuyos contenidos vitamínicos por kg son los que aparecen en la tabla: Si el kilogramo de pienso P vale 0, y el del P 0,6, cómo deben mezclarse los piensos para suministrar las vitaminas requeridas con un coste mínimo? Llamamos x a los kg de pienso P e y a los kg de pienso P. Las restricciones del problema son: x 0, y 0 x + y x + y 6x + y 6 x + y A B P 6 P La función que nos da el coste es fx, y 0,x + 0,6y. Tenemos que minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Unidad. Programación lineal 5

141 Representamos el conjunto de restricciones y la recta x + y 5 0,x + 0,6y 0 x + y 0, que nos da la dirección de las rectas z 0,x + 0,6y. El mínimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + y x + y x y x + y 0 5 x + y Por tanto, se deben mezclar kg de pienso P con kg de pienso P. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. S Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y del número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 0 electricistas y 0 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 50 por electricista y 0 por mecánico. Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio? Llamamos x al n-º de electricistas e y al de mecánicos. Las restricciones del problema son: x 0, y 0; x 0; y 0 y x y x x, y enteros La función que nos da el beneficio es: fx, y 50x + 0y Tenemos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta 50x + 0y 0 5x + y 0, que nos da la dirección de las rectas z 50x + 0y. 5x + y y x y x y x 0 Unidad. Programación lineal 6

142 Solo hay puntos en el conjunto de restricciones: 0, 0, 0, 0, 0, 0 y 0, 0. El máximo se alcanza en el punto 0, 0. Por tanto, deben elegirse 0 electricistas y 0 mecánicos. Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta Imperial S y la tarta de Lima. La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos y tiene un precio de venta de 8. La tarta de Lima necesita kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 0. En el almacén les quedan 0 kilos de azúcar y 0 huevos. a Qué combinaciones de especialidades pueden hacer? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas? a Llamamos x al n-º de tartas de tipo Imperial e y al n-º de tartas de Lima. Las restricciones del problema son: x 0, y 0; x, y enteros 0,5x + y 0 x + y 0 8x + 8y 0 x + y 5 La función que nos da los ingresos por ventas es fx, y 8x + 0y. Tendremos que maximizar esta función sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta 8x +0y 0 x + 5y 0, que nos da la dirección de las rectas z 8x +0y: 0 5 x + y 5 8x + 0y x + y 0 Puntos de coordenadas enteras dentro de este recinto b El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + y 5 x + y 0 x 0 y 5 Por tanto, han de fabricar 0 tartas Imperiales y 5 de Lima. Unidad. Programación lineal 7

143 Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. S La unidad de tipo A se hace con g de oro y,5 g de plata y se vende a 5. La de tipo B se vende a 0 y lleva,5 g de oro y g de plata. Si solo se dispone de 750 g de cada metal, cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio? Llamamos x al n-º de unidades de tipo A e y al n-º de unidades de tipo B. Las restricciones del problema son: x 0; y 0 x +,5y 750,5x + y 750 La función que tenemos que maximizar, sujeta a las restricciones anteriores, es: fx, y 5x +0y Representamos el conjunto de restricciones y la recta 5x + 0y 0 5x + 6y 0, que nos da la dirección de las rectas z 5x + 0y. El máximo se alcanza en el punto de corte de las rectas:,5x + y 750 x +,5y 750 x 00 y 00 Por tanto, ha de fabricar 00 joyas de cada uno de los dos tipos ,5x + y x + 0y 0 x +,5y 750 Se desea realizar una mezcla con dos sustancias, A y B, que ha de contener S como mínimo 0 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias nos las venden dos proveedores en forma de lotes. El lote del primer proveedor es tal que los contenidos de B y de A están en relación de a y hay una unidad de A. El lote del segundo proveedor es tal que los contenidos de A y de B están en relación de a y hay una unidad de B. El primer proveedor vende cada lote a 0 y el segundo al doble. Ambos proveedores nos venden lotes enteros o fracciones de ellos. Qué número de lotes hemos de comprar para que el coste sea mínimo? Llamamos x a los lotes del primer proveedor e y a los lotes del segundo proveedor. Unidad. Programación lineal 8

144 Las restricciones del problema son: x 0; y 0 x + y 0 x + y 0 La función que nos da el coste es fx, y 0x +0y. Tenemos que minimizar esta función sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta 0x + 0y 0 x + y 0, que nos da la dirección de las rectas z 0x + 0y: El mínimo se alcanza en el punto de corte de las rectas: x + y 0 x + y 0 x y Por tanto, hemos de comprar lotes de cada uno de los dos tipos. x + y 0 x + y 0 x + y 0 Página 5 Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de aves una dieta S mínima que consiste en unidades de hierro y unidades de vitaminas diarias. El granjero sabe que cada kilo de maíz proporciona,5 unidades de hierro y de vitaminas y que cada kilo de pienso compuesto proporciona de hierro y de vitaminas. Sabiendo que el kilo de maíz vale 0, y el de pienso compuesto 0,5, se pide: a Cuál es la composición de la dieta diaria que minimiza los costes del granjero? Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta. b Cambiaría la solución del problema si por escasez en el mercado el granjero no pudiera disponer de más de kilo diario de pienso compuesto? Razona la respuesta. a Llamamos x al n-º de kg de maíz e y al n-º de kg de pienso. Las restricciones del problema son: x 0; y 0,5x + y x + y La función que nos da el coste es fx, y 0,x + 0,5y. Tenemos que minimizar esta función sujeta a las restricciones anteriores. Unidad. Programación lineal 9

145 Representamos el conjunto de restricciones y la recta 0,x + 0,5y 0 5x + 6y 0, que nos da la dirección de las rectas z 0,x + 0,5y. El mínimo se alcanza en el punto de corte de las rectas: x +y,5x + y x 7 y,5x + y x + y 5 5 5x + 6y 0 7 Por tanto, debe utilizar kg de maíz y kg de pienso compuesto. b Si añadimos la restricción y a las anteriores, el recinto sería:,5x + y x + y 5x + 6y 0 y El mínimo en este caso se alcanzaría en el punto de corte de: x + y y x y En este caso, debería utilizar kg de maíz y kg de pienso compuesto. CUESTIONES TEÓRICAS 6 Puede una función objetivo alcanzar su valor óptimo en un punto interior de la región factible? Es decir, no situado en el borde. Puede ocurrir si se admiten valores decimales en x e y? Sí puede alcanzar su valor óptimo en el interior cuando tratamos con valores enteros. No puede ocurrir si los valores son decimales. Unidad. Programación lineal 0

146 7 Puede una función objetivo representarse por una recta horizontal? Y por una vertical? Sí se puede representar por una recta horizontal, y también por una vertical. 8 Tiene máximo la función z en el recinto señalado? Y mínimo? No tiene máximo ni mínimo. ;; ; ; z 9 Al representar las distintas restricciones de un problema, comprobamos que no hay ningún punto que cumpla todas a la vez la región de validez es vacía. Qué podemos afirmar sobre la solución del problema? La solución no existe, ya que no hay ningún punto que cumpla las restricciones. PARA PROFUNDIZAR 0 Una empresa compra 6 locomotoras a tres fábricas: 9 a A, 0 a B y 7 a C. Las locomotoras deben prestar servicio en dos estaciones distintas: de ellas en la estación N y 5 en la S. Los costes de traslado son, por cada una, los que se indican en la tabla en miles de euros: Averigua cómo conviene hacer el reparto para que el coste sea mínimo. Hacemos una tabla: A B C N x y x y S 9 x 0 y x + y A B C N 6 5 S 0 5 Las restricciones del problema son: x 0; y 0 x + y x + y x 9 y 0 para que todos los datos de la tabla sean positivos o cero x, y enteros La función que nos da el coste en miles de euros es: fx, y 6x + 5y + x y + 9 x + 00 y + 5x + y x y + 9 Tenemos que minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Unidad. Programación lineal

147 Representamos el recinto de restricciones: x + y 0 B A F x + y x 9 C E D 9 y 0 x, y enteros Los vértices del recinto son: A 0, 0 B, 0 C 9, D 9, 0 E, 0 F 0, Hallamos fx, y en cada uno de los vértices: f0, 0 9 f, 0 f9, 79 f9, 0 85 f, 0 65 f0, 7 El mínimo se alcanza en el punto A 0, 0. Por tanto, el reparto debe efectuarse así: A B C N 0 0 S Un productor tabaquero posee 85 hectáreas de terreno para plantar dos variedades de tabacos VIRGINIA y PROCESADO. La variedad VIRGINIA tiene un rendimiento de /ha, pero necesita h/ha de uso de maquinaria y 80 h/ha de mano de obra. Además, el Estado limita su explotación a 0 ha por plantación. La variedad PROCESADO produce un rendimiento de /ha y utiliza h/ha de uso de maquinaria y 60 h/ha de mano de obra. La cooperativa local le ha asignado 90 h de uso de maquinaria, pero solo se dispone de 5 0 horas de mano de obra a /h. Cuántas hectáreas debe dedicar a cada variedad de tabaco? Llamamos x a las hectáreas dedicadas a VIRGINIA e y a las dedicadas a PROCESADO. Las restricciones del problema son: x 0; y 0 x 0 x + y 85 x + y 90 80x + 60y 5 0 x + y 7 Unidad. Programación lineal

148 La función que nos da el beneficio será igual al rendimiento menos el coste de la mano de obra: fx, y 9 600x 960x y 70y 8 60x y Tenemos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones, y la recta 8 60x y 0 x + y 0, que nos da la dirección de las rectas z 8 60x y: 90 x A 50 B x + y x + y 90 x + y 85 x + y Hallamos los puntos A y B, y obtenemos el valor de fx, y en cada uno de los dos: x + y 85 x + y 7 x 6 y 69 A6, 69 f6, x + y 7 x + y 90 x 8 y 5 B8, 5 f8, Por tanto, el máximo se alcanza en el punto A; es decir, debe dedicar 6 ha a VIR- GINIA y 69 ha a PROCESADO. Don Elpidio decide emplear hasta de su patrimonio en la adquisición de acciones de dos sociedades de inversión: BLL e ISSA. El precio de cada acción es de 0 cada una, y en ambos casos. BLL dedica el 5% de su actividad al sector seguros, el 5% al sector inmobiliario y el 0% al industrial. ISSA dedica el 0% de sus recursos al sector seguros, el 5% al inmobiliario y el 5% al industrial. D. Elpidio no quiere invertir más del 0% de su capital en el sector industrial ni más del 5% en el inmobiliario. Cuántas acciones debe adquirir de cada sociedad si BLL prevé entregar un dividendo de, /acción e ISSA de /acción? Unidad. Programación lineal

149 Llamamos x al n-º de acciones que adquiere de BLL e y al n-º de acciones que adquiere de ISSA. Hagamos una tabla que resuma la información que nos dan: N-º PRECIO SEGUROS INMOBILIARIA INDUSTRIAL ACCIONES BBL x 0x,5x,5x x ACCIONES ISSA y 0y y,5y,5y TOTAL 0x + 0y,5x + y,5x +,5y x +,5y Las restricciones del problema son: x 0, y 0 0x + 0y x + y 000 x +,5y 000,5x +,5y La función que nos da los beneficios es fx, y,x + y. Tenemos que maximizarla, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta,x + y 0, que nos da la dirección de las rectas z,x + y: 000,5x +,5y ,x + y x + y 000 x +,5y El máximo se alcanza en el punto de corte de las rectas: x + y 000,5x +,5y x 500 y 500 Por tanto, debe adquirir 500 acciones de cada una de las dos sociedades. Unidad. Programación lineal

150 UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a lím f x x + b lím f x no existe x + c lím f x x + d lím f x + x + e lím f x x + Unidad 5. Límites y continuidad

151 f lím f x + x g lím f x x h lím f x no existe; x lím f x 0 x + i lím f x + x lím f x x + j lím f x 5 x lím f x x + Unidad 5. Límites y continuidad

152 k lím f x x l π lím f x + x π lím f x 0 x π + Página. Si u x y v x cuando x +, calcula el límite cuando x + de: a ux + v x b v x/u x c 5 u x d v x e u x v x f u x v x a lím [ux + vx] + b lím x + x + ux c lím 5 ux 5 5 d lím v x no existe x + x + e lím [ux v x] 6 f lím u x x + x +. Si u x y v x 0 cuando x +, calcula el límite cuando x + de: a ux v x b v x u x c v x/u x d log v x e u x v x f u x a lím [ux v x] 0 x + b lím x + [v x ux] 0 c v x 0 lím x + ux 0 Unidad 5. Límites y continuidad

153 d lím log v x si v x 0 + x + no existe si v x 0 e lím [ux v x] 0 0 x + f lím u x x + Página. Indica cuáles de las siguientes expresiones son infinitos ± cuando x + : a x 5 x + b 0,5 x c,5 x d log x e /x + f x g x h x i x a lím x 5 x + + Sí x + b lím 0,5 x 0 No x + c lím,5 x Sí x + d lím log x + x + Sí e lím x + x + 0 No f lím x + Sí x + g lím x + Sí x + h lím x 0 No x + i lím x Sí x +. a Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos: log x x x x 5,5 x x b Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula: log x 5 x x lím lím lím x + x x + x x +,5 x a x,5 x x 5 x x log x Unidad 5. Límites y continuidad

154 log b x lím 0 x + x lím x + x 5 x x lím x +,5 x + 0 Página 5 5. Sabiendo que, cuando x +, f x +, g x, h x, u x 0, asigna, siempre que puedas, límite cuando x + a las expresiones siguientes: a f x hx b f x f x c f x + hx d f x x e f x hx f u x u x g f x/hx h [ hx] hx i g x hx j u x/hx k f x/u x l h x/u x m g x/u x n x + f x ñ f x hx o x + hx p h x hx q x x a lím f x h x x + b lím f x f x x + c lím f x + h x + + Indeterminado x + d lím f x x x + e lím f x h x + x + f lím u x ux 0 0 Indeterminado x + g f x + lím x + h x Indeterminado h lím [ h x] hx [+ ] 0 x + i lím x + g x hx 0 j ux 0 lím 0 x + h x k f x + lím ± x + ux 0 Unidad 5. Límites y continuidad 5

155 l hx lím ± x + ux 0 gx m lím x + ux 0 ± n lím x + f x x + ñ lím f x hx + 0 x + o lím x + h x + + x + Indeterminado p lím h x h x No existe x + q lím x x + 0 x + Página 6 6. Las funciones f, g, h y u son las del ejercicio propuesto 7 página anterior. Di cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones. En cada caso, si es indeterminación, di de qué tipo, y, si no lo es, di cuál es el límite: a f x + hx b f x/hx c f x hx d f x hx e f x ux f ux hx g [g x/] f x h g x f x a lím f x + h x + +. Indeterminado. x + f x + b lím. Indeterminado. x + hx c lím f x hx x + d lím f x hx + 0 x + e lím f x ux + 0. Indeterminado. x + f lím ux hx 0 ± x + gx g [ ] f x +. Indeterminado. lím x + h lím g x f x + + x + Unidad 5. Límites y continuidad 6

156 Página 7. Calcula los siguientes límites: a lím x 6x + x + 5x + x b c lím 6x x x + x + d a x 6x + + b x 6x + lím lím x + 5x + x x + 5x + x c 6x x 0 d 5x 6x + lím lím x + x + x + x + x. Calcula: a lím x + x x b x + x x + c d x 5x + lím x + x x a x + x x 9x x 5x x lím lím x + x x + x + x x + 9x + 7x + 7 9x x 5x x lím x + 9x 7x 7 b x + x 9x +6x + x lím lím 9 x + x 0x x + x 0x c + x 5x + lím x + x x lím x + lím x + lím x + lím x + 8x x d 5x 8x lím lím lím x + x x + x x + x x 6x + 5x + x 5x 6x + x + x x + x x 0x 8x 5x x 5 Página 8. Sin operar, di el límite, cuando x +, de las siguientes expresiones: a x x + b x x c x + x d x x e 5 x x 8 f x log 5 x a x lím x + + b lím x x x + x + x + x c + d x x + lím x + lím x + Unidad 5. Límites y continuidad 7

157 e 5 x + f log 5 x + lím x +. Calcula el límite, cuando x +, de las siguientes expresiones: a x + 5 x + 5 x x x x b c x + x x + d x + 5 x 5x + x + 5 e x x f x a lím x + x 6x + 5x 0 x 8x + x + x lím x + x x x + x + 7x 0 lím x + x x x x + lím x + x + lím x 0 x + x + b lím x + + x c + lím x + d lím x + 5 x 5x x + e x + + lím x + f x + x x + 0 lím x + Página 9 x + 5 x + x x + x + 5 x + 5 x + x x 8 x x x x x x. Halla el lím de las siguientes expresiones: x a 5x 6x + b x + x x 5x + x x a 5x 6x + 5x + 6x + lím lím x x + x x + x x x + lím x + x + 5x x xx + lím x + x + x x + 5x x + lím x + x x b 5x + x + 5x + lím lím x x x x + x + x No existe, pues el radicando toma valores negativos cuando x. 5 x x x x x lím x + x + x + 5x + lím x + x x x Unidad 5. Límites y continuidad 8

158 . Halla el lím de las siguientes expresiones: x x a 5x + b x + 5 x x c x x x + x x a 5x + x x + 5x + lím lím lím x x x + x x + x x + 5 x + x x x b lím x x lím x + x lím x + x 5x + 6x 0 x + x + 8x x lím x + x x + x + x 7x 0 lím x + x c lím x lím x lím 0 x x + x + x x + 5 x + x x x Página. Si lím f x y lím g x, di el valor del límite cuando x tiende a de x x las siguientes funciones: a f x + g x b f x g x f x c g x d f x g x e g x f f x 5 g x a lím f x + g x + 5 x b lím f x gx 6 x f x c lím x gx d lím f x gx 9 x e lím gx x f f x 5gx 0 lím x Unidad 5. Límites y continuidad 9

159 . Si lím f x l y lím g x m, entonces lím [ f x + g x] l + m. x a x a x a Enuncia las restantes propiedades de los límites de las operaciones con funciones empleando la notación adecuada. Si lím f x l y lím g x m, entonces: x a x a lím [ f x + gx] l + m x a lím [ f x gx] l m x a lím [ f x gx] l m x a f x l lím Si m 0. x a gx m 5 Si f x > 0, [ f xgx ] l m lím x a 6 Si n es impar, o si n es par y f x 0 lím f x x a 7 Si α > 0 y f x > 0, lím [log α f x] log α l x a. Si lím p x +, lím q x +, lím r x y lím s x 0, di, en los casos x x x x que sea posible, el valor del lím de las siguientes funciones: x Recuerda que las expresiones + /+, + +, 0 +, +, 0/0 son indeterminaciones. a p x + q x b p x q x r x p x c d p x p x s x p x e f g s x p x h s x q x q x r x i p x r x j r x s x k l [ ] s x m r x p x n r x q x r x ñ p x r x o a lím [px + qx] x b lím x [px qx] + +. Indeterminado. c r x lím 0 x px + r x s x n n l r x p x Unidad 5. Límites y continuidad 0

160 d px lím lím x px x e sx 0 lím 0 x qx + f px + lím. Indeterminado. x qx + g lím [sx px] 0 +. Indeterminado. x h Sx rx 0 0 i lím px rx + + x j lím rx sx 0 x k r x 0 lím. Indeterminado. x sx 0 0 l sx 0 lím x m lím rx px + + x n lím rx qx 0 x ñ px +. Indeterminado. lím x r x o px. Indeterminado. lím x r x r x Página. Calcula los límites siguientes: x x a x + x + 5 b 5x + lím lím x x 6x 7 x x + x x a x x + x + 5 x + x x + 5 lím lím x x 6x 7 x x + x 7 x x lím x x b x 5x + 5 lím 5 x x + x x 8 8 Unidad 5. Límites y continuidad

161 x 5. Calcula: 5x + x + x + lím lím x 0 x 0 x 5x + x + x + x 5x + x + x + lím x + x x + x x + x x + x x 0 x x + x x + x + x 5x + x + x + x + lím x 0 x x + x + x 5x + x + x 5x + x x x x x lím x 0 x x + x + 7x + x 0x x 7x + x 0 lím lím x 0 x x + x + x 0 x x + x + 0 7x + x 0 lím 5 x 0 x + x + Página 9 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Sabemos que lím f x +, lím g x y lím h x. x + x + x + En cuáles de los siguientes casos hay indeterminación para x +? En los casos en que no la haya, di cuál es el límite: a f x + g x b g x + h x f x c h x f x d g x e [h x] g x f [ h x] f x a f x + gx f x + gx + + lím x + lím lím x + x Indeterminación. b lím gx + hx lím g x + lím hx + x + x + x + c f x + lím + x + gx f x + d lím x + gx Indeterminación. e lím [hx] gx 0 x + + f lím [ hx] f x 0 + Indeterminación. x + Unidad 5. Límites y continuidad

162 Calcula los límites cuando x de las siguientes funciones: x + 5 0x 5 a f x b g x x x + c hx x d i x x + x + 5 x + 5 a lím lím x x x + + x 0x 5 0x 5 b lím lím 0 x x + x + x + c x x lím lím x x + x + x + x d + x x x lím lím x 7 + 5x x + 7 5x 5 x + x 7 + 5x Calcula los siguientes límites comparando los exponentes del numerador y denominador: x a + 6x lím b lím x + x + x + 5x 7 x + + x c lím d lím x + x x + x x + x a + 6x x lím lím x + x + x + x b + 5x 7 lím x + x + + x c lím 0 x + x x d lím 0 x + x + Calcula estos límites observando cuál es el infinito de orden superior: a e x x x b + lím lím x + x + e x c lím x + x x + 7 d x + a lím e x x + x + lím x + ln x + x Unidad 5. Límites y continuidad

163 x b + lím 0 x + e x c + lím x + x + x ln x d + lím 0 x + x x Calcula los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos: a lím 0,5 x + b lím x + x x a lím 0,5 x + lím 0,5 x + + x x + b lím x + lím x + 0 x x + 6 Si lím p x + lím q x x x lím r x lím s x 0 x x di, en los casos que sea posible, el valor de los siguientes límites: s x a lím b lím [s x q x] x p x x c lím [r x] q x d lím [p x q x] x x sx 0 a lím 0 x px + b lím [sx qx] 0 Indeterminado. x c lím [rx] qx 0 x d lím [px qx] x 7 Calcula: x a + lím b lím [ x ] x 0 x x x x x Unidad 5. Límites y continuidad

164 a lím x 0 Hallamos los límites laterales: lím ; lím +. x 0 x x 0 + x b [ ] lím x x + x x x x x x + x lím x 0 x lím x x lím x x x x + lím x x x Hallamos los límites laterales: x + x + lím + ; lím +. x x x x + x x x 0 x 0 0 x x + lím x x x 8 Calcula los límites de las siguientes funciones cuando x + : 5x a f x x + x + b g x x log x + x c h x d i x x + 5x a x + 5x x + lím lím x + x x + x x + x + b lím + x + log x x x x x x c lím lím lím x + x + x + x x + x x d lím + x + x + 9 Calcula los siguientes límites: x a 5x x x + b g x x lím x + c,x x x + d x lím x + x 5x x + x x 0x x x + x + a lím x + x + x + lím x + lím x + x x + 5 x 0x x x x x lím lím x + x + x + x + Unidad 5. Límites y continuidad 5

165 b x 0 lím x + c,x + lím x + x + x + 5 d x + + lím x + x + x x x + + Página 50 0 Calcula: x a lím b x x 5 x c + x lím d x x x x 0 a lím 0 x x 5 lím x lím x 0 x 7x + 6 x x x x x x b 7x + 6 x 6x lím lím lím x 6 5 x x x x x x c + x x + x x + lím lím lím x x x x xx x x x d x x xx 0 x lím lím lím 0 x 0 x x x 0 xx x 0 x Averigua si estas funciones son continuas en x : x si x < a f x b f x x si x 6 x si x x + si x > a lím f x lím x x x lím f x lím 6 x x + x + f 6 b lím f x lím x x x lím x + f x lím x + x + 5 f x es continua en x, puesto que lím x f x f. f x no es continua en x, puesto que no existe lím x f x. Unidad 5. Límites y continuidad 6

166 Estudia la continuidad de las dos funciones siguientes: a f x si x < /x si x < b f x si x x si x a f x x si x < si x Si x Es continua, pues está formada por funciones continuas. En x : lím f x lím x x x lím f x lím lím f x f f x es continua en x. x + x + x f Por tanto, f x es continua en todo Á. b El dominio de la función es D Á {0}. Si x 0 y x La función es continua. En x 0: Es discontinua, puesto que f x no está definida para x 0. Además, lím f x y lím f x +. Hay una asíntota vertical en x 0. x 0 x 0 + En x : lím f x lím x x x lím f x lím x x + x + f f x es continua en x, pues lím x f x f. PARA RESOLVER a Calcula el límite de la función f x cuando x 0, x, x, x +, x : x f x x 5x + 6 b Representa gráficamente los resultados. a f x x x 5x + 6 lím f x x 0 6 x x x lím f x lím. x x x 0 Unidad 5. Límites y continuidad 7

167 Hallamos los límites laterales: lím f x ; lím f x + x x + lím f x lím x x x lím f x 0; lím f x 0 x + x b x a Calcula el límite de la función y 9 en los puntos en los que no está definida. x x b Halla su límite cuando x + y cuando x. c Representa la función con la información que obtengas. d Cuáles son los puntos de discontinuidad de esta función? a El dominio de la función es: D Á {0, }, pues el denominador se anula en: x x 0 x x 0 x 0 x y x 9 x x lím x 0 x + x. 0 x + x x x x + x + Hallamos los límites laterales: lím ; lím + x 0 x x 0 + x x + 6 lím x x x + x + b lím ; lím x + x x x c Unidad 5. Límites y continuidad 8

168 d La función es discontinua en x 0 tiene una asíntota vertical y en x no está definida; tiene una discontinuidad evitable. x 5 Sea la función f x x + x. x x a Calcula: lím f x; lím f x; lím f x; lím f x x 0 x x + x b Cuál es la función que coincide con f x excepto en x 0 y en x? c En qué puntos no es continua f x? x f x x + x x x x x x xx a lím f x lím [xx ] 0 x 0 x 0 lím f x lím [xx ] x x 0 lím f x + x + lím f x + x b gx xx x x c En x 0 y en x. La función no está definida en estos valores hay discontinuidades evitables. 6 x Calcula el límite de la función f x x x. x 8 cuando x 0, x y 0 lím f x 0 x 0 8 lím f x. Hallamos los límites laterales: x 0 lím f x ; lím f x + x x + 6 lím f x. Hallamos los límites laterales: x 0 lím f x + ; x lím f x x + Unidad 5. Límites y continuidad 9

169 x 7 Calcula el límite de la función f x + cuando x +, x y x + x. lím f x + x + lím f x + x lím f x +. Hallamos los límites laterales: x 0 lím f x + ; lím f x x x + 8 Calcula el valor que debe tener k para que las siguientes funciones sean continuas: x + si x x + k si x 0 a f x b f x k x si x > x si x > 0 a Si x, la función es continua. En x : lím f x lím x + x x lím f x lím k x k Para que sea continua, ha de ser: x + x + k k 5 f + b Si x 0, la función es continua. En x 0: lím f x lím x + k k x 0 x 0 lím f x lím x Para que sea continua, ha de ser: k x 0 + x 0 + f k k 9 Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua: x x si x si x < a f x x b f x x k si x k si x a Si x, la función es continua. Si x : f x x x + x + x + x lím lím lím x x x x x Unidad 5. Límites y continuidad 0

170 lím x + x + x + x f k Para que sea continua, ha de ser k. b Para que f x sea continua en x, ha de ser lím f x f. x Para x, f x es continua pues está formada por funciones continuas. Hallamos k para que lím f x f : x f x x x + x lím lím lím lím x + x x x x x x lím f x x + f k Ha de ser k. lím k k x + 0 Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones para los S distintos valores del parámetro a: a f x x + ax si x e b f x ax si x 0 a x si x > x + a si x > 0 a En x, la función es continua. En x : lím f x lím x + ax + a x x lím f x lím a x a Para que sea continua, ha de ser: x + x + + a a a 8 f + a Por tanto, la función es continua si a 8, y es discontinua en x si a 8. b En x 0, la función es continua. En x 0: lím f x lím e ax x 0 x 0 lím f x lím x + a a Para que sea continua, ha de ser: x 0 + x 0 + a a f 0 Por tanto, la función es continua si a, y es discontinua en x 0 si a. Unidad 5. Límites y continuidad

171 Página 5 Se considera la función f x definida del modo siguiente: x + si x < f x x si x < x + si x > Se desea saber si es continua en todos los puntos o deja de serlo en alguno. Si x y x la función es continua. Si x : lím f x lím x + x x lím f x lím x La función es continua en x. x + x + f Si x No es continua, pues no está definida en x ; no existe f. Además: lím f x lím x x x La discontinuidad es de salto finito. lím f x lím x + x + x + Estudia la continuidad de las siguientes funciones, represéntalas gráficamente y di cuáles son sus límites cuando x + y x. si x < 0 a f x x + si 0 < x < b f x x x si x x x si x x si < x < 6 0 si x 6 a f x si x < 0 x + si 0 < x < x x si x Continuidad: Si x 0 y x Es continua, pues está formada por funciones continuas. En x 0 lím f x lím x 0 x 0 lím f x lím f x lím x + x 0 x 0 + x 0 + No existe f 0. Hay una discontinuidad evitable en x 0. Unidad 5. Límites y continuidad

172 lím f x lím x + x x En x lím f x lím x x x + x + f Discontinuidad de salto finito en x. lím f x lím x x + x + x + lím f x lím x x Gráfica: b f x x x si x x si < x < 6 0 si x 6 Continuidad: Si x y x 6 Es continua, pues está formada por funciones continuas. lím f x lím x x 0 x x En x lím f x lím x 0 x + x + f 0 f x es continua en x. lím f x lím x x 6 x 6 En x 6 lím f x lím 0 0 x 6 + x 6 + f 6 0 Discontinuidad de salto finito en x 6. lím f x f x Unidad 5. Límites y continuidad

173 lím f x lím 0 0 x + x + lím f x x Gráfica: lím x x x 5 6 Representa gráficamente la función f x y estudia su continuidad: S f x x + 5x si 0 x 5 x 5 si 5 x 0 f x x + 5x si 0 x 5 Dominio [0, 0] x 5 si 5 x 0 Continuidad: Si x [0, 5 U 5, 0], es continua, pues está formada por funciones continuas. Gráfica: lím f x lím x + 5x 0 lím f x f 5. x 5 x 5 x 5 En x 5 lím f x lím x 5 0 Es continua x 5 + x 5 + f Unidad 5. Límites y continuidad

174 Dada la función: S + b si x x f x x + si < x < x + 8 si x calcula el valor de b para que f x sea continua en x. Es continua en x? + b si x x f x x + si < x < x + 8 si x Para que f x sea continua en x, ha de tenerse que: lím x lím f x f x f x + b + b lím f x lím x + 7 Ha de ser + b 7; es decir, b 6. x + x + f + b lím x x Veamos que la función también es continua en x : lím f x lím x + 7 lím f x f x x x lím f x lím x f x es continua en x x + x + f 7 5 Representa, estudia la continuidad y halla los límites para x + y x S de la función: x si x < f x si x x + x si x > f x x si x < si x x + x si x > Continuidad: Si x y x Es continua, pues está formada por funciones continuas. Unidad 5. Límites y continuidad 5

175 lím f x lím x lím f x f. x x x En x lím f x lím f x es continua en x. x + x + f lím f x lím x x En x lím f x lím x + x x + x + f Discontinuidad de salto finito en x. lím f x lím x + x x + x + lím f x lím x 0 x x Gráfica: x + x + si x < 6 Sea f x x + si x S x + 8x si x > Estudia su continuidad y represéntala gráficamente. f x x + x + si x < x + si x x + 8x si x > Continuidad: Si x y x Es continua, pues está formada por funciones continuas. lím x f x lím x + x + 0 lím f x f x x En x lím f x lím x + 0 f x es continua x + x + en x. f 0 Unidad 5. Límites y continuidad 6

176 lím f x lím x + 6 x x En x lím f x lím x + 8x x + x + f 6 Discontinuidad de salto finito en x. Gráfica: e x si x 0 7 Dada f x si 0 < x < S x +x + si x Estudia su continuidad y represéntala gráficamente. f x e x si x 0 si 0 < x < x +x + si x Continuidad: Si x 0 y x Es continua está formada por funciones continuas. lím f x lím e x lím f x f 0 x 0 x 0 x 0 En x 0 lím f x lím f x es continua en x 0. x 0 + x 0 + f 0 lím f x lím x x En x lím f x lím x + x + x + x + f Discontinuidad de salto finito en x. Unidad 5. Límites y continuidad 7

177 Gráfica: El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la S función: Pt 5 + t, donde t se mide en años transcurridos desde t 0. t + Calcula: a La población inicial. b El tamaño de la población a largo plazo. a P0 5 millones de individuos. b Pt 5 + t lím lím millón de individuos. t + t + t + 9 Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo en cientos de S euros en relación con el valor x en cientos de euros de lo vendido por cada uno. Dicho incentivo sigue la función: 0,0 x si 0 x 00 f x 0x si x > 00 x + 00 a Estudiar la continuidad de f x. Indicar si el incentivo recibido por un empleado es sensiblemente distinto si el valor de las ventas es ligeramente superior o inferior a b Cuál es la cantidad máxima que un empleado podría recibir como incentivo si sus ventas fueran muy grandes? Justifica tu respuesta. a Dominio [0, + Si x 00 La función es continua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos definidos. lím f x lím 0,0x 00 x 00 x 00 En x 00 0x lím f x lím, 0 x 00 + x 00 + x + 00 f Unidad 5. Límites y continuidad 8

178 Hay una discontinuidad de salto finito en x 00. Como lím f x lím f x, el incentivo recibido por un empleado sí es x 00 x 00 + sensiblemente distinto si el valor de sus ventas es ligeramente superior o inferior a x 00. 0x b lím f x lím 5 x + x + x Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de S una determinada población de una especie protegida vendrá dado, durante los próximos años, por la función 5 000t f t, siendo t el número de años transcurridos. Se pide: t + a Tamaño actual de la población. b Cómo evoluciona el tamaño de la población entre los años y 9? c Si esta función fuese válida indefinidamente, se estabilizaría el tamaño de la población? Justifica la respuesta. a f individuos. f 9 f b T.V.M. [, 9] Aumenta en 50 individuos, lo que supone un aumento medio de 50 por año t c lím f t lím t + t + t + Se estabilizaría en individuos. Página 5 Se ha investigado el tiempo T, en minutos que se tarda en realizar cierta S prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas x, en días, obteniéndose que: Tx 00, 0 x 0 x , x > 0 x 5x 5 a Justifica que la función T es continua en todo su dominio. b Por mucho que se entrene un deportista, será capaz de hacer la prueba en menos de minuto? Y en menos de? Unidad 5. Límites y continuidad 9

179 Tx 00 a La función y es continua, salvo en x 0; pero, como solo la x + 0 consideramos en 0 x 0, será continua en el intervalo 0, 0. 5 La función y + es continua, salvo en x 5 y en x 5; x 5x 5 pero como la estamos considerando para x > 0, es continua en el intervalo 0, +. Por tanto, si x 0 x [0, 0 U 0, +, la función Tx es continua. Si x 0, tenemos que: 00 lím T x lím 5 x 0 x 0 x + 0 lím x 0 + T T x lím + x 5x 5 Por tanto, T x es continua en su dominio. 5 T x es continua en x 0. b T 0 0 minutos; y, a mayor tiempo de entrenamiento, menos tardan en realizar la prueba. Además: lím x + 00, 0 x 0 x , x > 0 x 5x 5 x x 5x 5 T x + lím x + Por tanto, ningún deportista sería capaz de realizar la prueba en menos de minuto ni en menos de minutos. Se ha comprobado que las pérdidas o ganancias de una empresa se ajustan a x la función y, siendo x los años de vida de la empresa x 0 e y x + en cientos de miles de. a Representa la función. b En qué año deja de tener pérdidas? c Están limitados sus beneficios? Si lo están, cuál es su límite? Unidad 5. Límites y continuidad 0

180 a 5 6 x b 0 x 0 x y la función es creciente. x + Deja de tener pérdidas en el - o año x. x c lím x + x + El beneficio está limitado a Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra la cantidad de 5. No obstante, si se le encargan más de 0 unidades, disminuye el precio por unidad, y por cada x unidades cobra: 5x si 0 < x 0 C x ax si x > 0 a Halla a de forma que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran. b A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran muchísimas unidades? El precio de una unidad es C x/x. a lím C x lím 5x 50 x 0 x 0 lím C x lím ax x 0 + x 0 + C 0 50 Para que sea continua, ha de ser: 00a a a a 000 a 0 C x ax b x lím lím lím 0,7 x + x x + x x + x CUESTIONES TEÓRICAS Sea la función f x x. x El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando x. Cómo elegir el valor de f para que la función f sea continua en ese punto? Unidad 5. Límites y continuidad

181 f x x x x + lím lím lím lím x + x x x x x x Para que f sea continua en x, debemos elegir f. 5 Expresa simbólicamente cada una de estas frases y haz una representación gráfica de cada caso: a Podemos conseguir que f x sea mayor que cualquier número K, por grande que sea, dando a x valores tan grandes como sea necesario. b Si pretendemos que los valores de g x estén tan próximos a como queramos, tendremos que dar a x valores suficientemente grandes. c Podemos conseguir que hx sea mayor que un número K, por grande que sea, dando a x valores suficientemente próximos a. a lím f x + x + b lím gx x + c lím h x + x 6 De una función g se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0, ] y que para 0 < x es: Cuánto vale g 0? g x gx x + x x x + lím lím lím lím x +. x 0 + x 0 + x x 0 + x x 0 + Por tanto, g0. x + x x 7 Escribe una definición para cada una de estas expresiones y haz una representación de f: a lím f x b lím f x x x + c lím f x + d lím f x x x + Unidad 5. Límites y continuidad

182 a Podemos conseguir que f x esté tan próximo a como queramos sin más que darle a x valores suficientemente grandes y negativos. b Podemos conseguir que f x sea tan negativo como queramos sin más que tomar x tan grande como sea necesario. c Podemos conseguir que f x tome valores tan grandes como queramos sin más que darle a x valores tan próximos a pero menores que como sea necesario. d Podemos conseguir que f x tome valores tan grandes y negativos como queramos sin más que darle a x valores tan próximos a pero mayores que como sea necesario. 8 Si una función no está definida en x, puede ocurrir que lím f x 5? x Puede ser continua la función en x? Sí, puede ser que lím f x 5, por ejemplo: x x x + x x + f x es tal que lím 5; y f x no está definida x x x en x. Sin embargo, fx no puede ser continua en x pues no existe f. 9 De una función continua, f, sabemos que f x < 0 si x < y f x > 0 si x >. Podemos saber el valor de lím f x? x lím f x 0 x Página 5 0 Dibuja la gráfica de una función que sea negativa si x <, positiva si x > y que no tenga límite cuando x tiende a. Por ejemplo y, cuya gráfica es: x Unidad 5. Límites y continuidad

183 Sea P un polinomio: Px ax + bx + c Prueba que Px P0 x tiene límite en 0 y calcula su valor. lím x 0 Px P0 x ax + bx + c c ax + bx lím lím x 0 x x 0 x xax + b lím lím ax + b b x 0 x x 0 Calcula sobre la gráfica de esta función: a lím f x x ± b lím f x x c lím f x x d lím f x x + Y X a lím f x b lím f x x ± x c lím f x + d lím f x x x + Halla, observando la gráfica de esta función, los siguientes límites: a lím f x b lím f x x + x Y c lím f x d lím f x x e lím f x f lím f x x x + x + X a lím x + f x + b lím x f x c lím f x d lím f x + x x + e lím f x f lím f x + x x + Unidad 5. Límites y continuidad

184 PARA PROFUNDIZAR Estudia la continuidad de las siguientes funciones, definiéndolas previamente en intervalos, y represéntalas: a y x b y x x c y x d y x x e y x f y x + x a Es continua en Á, pues es la diferencia de dos funciones continuas. y x Gráfica: + x si x < 0 x si x 0 b Es continua en Á, pues es la diferencia de dos funciones continuas. y x x x + si x < si x Gráfica: 5 6 c Es continua en Á {}. y x si x < x + si x > x Unidad 5. Límites y continuidad 5

185 Gráfica: 5 d Es continua en Á, pues es el producto de dos funciones continuas. y x x x si x < 0 x si x 0 Gráfica: e Es continua en Á. y x Gráfica: x si x < x + si x x si x > f Es continua en Á, pues es la suma de dos funciones continuas. x + si x < 0 y x + x si 0 x x si x > Unidad 5. Límites y continuidad 6

186 Gráfica: Representa y estudia la continuidad de la función siguiente: e f x x si x x x si < x Continuidad: Si x Es continua, pues está formada por funciones continuas. lím x f x lím e x e /e x En x lím f x lím x x 0 x + x + f /e Hay una discontinuidad de salto finito en x. Gráfica: Estudia la continuidad de la función y x + x en x 0. Qué tipo de x discontinuidad tiene? En x 0, la función no está definida, luego es discontinua. Como: x si x < 0 y, entonces: lím x ; lím x + x + si x > 0 x 0 x 0 + Por tanto, hay una discontinuidad de salto finito en x 0. Unidad 5. Límites y continuidad 7

187 7 Dada f x x, justifica que lím f x y lím f x. x + x + x f x x si x 0 x + x si x > 0 x + x lím f x lím x + x + x + x lím f x lím x x x + 8 Calcula lím x + x x. x + Multiplica y divide por x + x + x lím x + x x + x x x + x + x x + x lím 9 Calcula: a lím x + x b x x + x + x x x lím lím x + x + x + x x + x + x + x x x x lím lím lím x + x + x x + x + x x + x x x + a lím x x + lím x + x + x + x lím x + x + x lím lím x x x + x x + x x + x x + + x x x + x + 6 lím lím 0 x x x + x x + x x b + x + x lím lím x + x x x + x + x x x + x + x + x x + x + x x + x + x lím lím x + x + x x x + x x + x x + x x lím lím lím x + x x + x x + x x + x x Unidad 5. Límites y continuidad 8

188 50 Calcula: [ + x lím x x ] lím x 0 x 0 + x x x + x x + x + x lím x + x + x 0 x + x x + x + x lím lím x + x + x + x + x 0 x x 0 x x lím lím x + x + + x + x 0 x x 0 x 5 Calcula los siguientes límites: x a lím b x x lím x 0 x + 9 x x a lím lím x x x x + x x + x lím x lím + x x x x + x x lím lím + x x x + x + x x + 9 x x +9 b lím lím x x 0 x x 0 x x + x x x lím lím x x x 0 x x 0 x lím x x 0 x Hallamos los límites laterales: lím ; lím + x x x 0 x x 0 + x Unidad 5. Límites y continuidad 9

189 UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f x Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f', f'9 y f'. f' 0; f'9 ; f' Di otros tres puntos en los que la derivada sea positiva. La derivada también es positiva en x, x, x 0 Di otro punto en el que la derivada sea cero. La derivada también es cero en x. Di otros dos puntos en los que la derivada sea negativa. La derivada también es negativa en x, x 5 Di un intervalo [a, b] en el que se cumpla que si x [a, b], entonces f'x > 0. Por ejemplo, en el intervalo [ 5, ] se cumple que, si x [ 5, ], entonces f'x > 0. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

190 Problema Continúa escribiendo las razones por las cuales g x es una función cuyo comportamiento responde al de la derivada de f x. En el intervalo a, b, f x es decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le pasa a gx en a, b. La derivada de f en b es 0: f'b 0. Y también es gb 0. a En general: gx f'x 0 donde f x tiene tangente horizontal. gx f'x > 0 donde f x es creciente. gx f'x < 0 donde f x es decreciente. a b b y f x y gx f'x Página 55 Problema Cuál es la derivada de cada cual? Justifica tus respuestas con argumentos análogos a los que utilizaste en el problema anterior. B A C La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente, y es negativa donde la función decrece. A B C Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

191 Invéntate una gráfica sencilla y trata de esbozar la gráfica de su función derivada. Por ejemplo: fx f'x Página 57 x, x. f x x, x > Es derivable en x 0? lím f x lím x x x lím f x lím x x + x + La función no es continua en x, pues lím f x lím f x. x x + Por tanto, tampoco es derivable en x. x, x. f x x 8, x > Es derivable en x 0? lím f x lím x x x lím f x lím x 8 x + x + La función es continua, pues: lím f x lím f x f x x + si x < f'x x si x > f' f' + Por tanto, f x no es derivable en x. Página 6. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: x a f x b f x x + x + x Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

192 x tg x c f x ln d f x + x + tg x tg x e f x + tg x f f x ln e tg x g f x x + h f x log sen x cos x i f x sen x + cos x + x j f x sen x + cos x k f x 7 sen x + l f x sen x 5 x + x m f x sen x + x + n f x cos x + x a f'x + x x x + x + x + x b Utilizamos el resultado obtenido en a: f'x + x x + x x + x c Utilizamos el resultado obtenido en a: f'x + x x + x x + x + x De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente: f x ln x ln + x. Derivamos: f'x x + x x + x x x d f'x + tg x + tg x tg x + tg x + tg x + tg x[ tg x + tg x] + tg x + tg x + tg x + x x De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a: f'x D [tg x] + tg x + tg x + tg x + tg x + tg x e Teniendo en cuenta lo obtenido en d: f'x + tg x + tg x tg x + tg x + tg x tg x + tg x También podríamos haber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

193 f f x ln ln e tg x / f'x e tg x + tg x x + g f x x + / f'x x + / ln ln x + h f x log sen x cos x [log sen x + log cos x] cos x sen x f'x [ + ] cos x sen x cos x ln 0 sen x cos x ln 0 sen x De otra forma: ln 0 sen x cos x tg x f x log sen x cos x sen x log f'x cos x ln 0 sen x ln 0 ln 0 ln 0 tg x i f x sen x + cos x + x + x f'x cos x sen x sen x cos x ln 0 tg x cos x + cos x j f'x + x + x sen x + sen x cos x + cos x x + sen x + sen x x k f'x 7 senx + ln 7 Dsen x + 7 senx + ln 7 x cos x + l f'x cos x 5 x + x 5x + x x m f'x cos x + x sen x + x + cos x + x sen x + x + + x n f'x cos x + x [ sen x + x ] x + x cos x + x sen x + x x 5 x + x 5 x sen x + x x + x Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 5

194 . Halla las derivadas -ª, -ª y -ª de las siguientes funciones: a y x 5 b y x cos x c y sen x + cos x + x a y x 5 y' 5x ; y'' 0x ; y''' 60x b y x cos x y' cos x x sen x y'' sen x sen x x cos x sen x x cos x y''' cos x cos x + x sen x cos x + x sen x c y sen x + cos x + x + x y' ; y'' 0; y''' 0. Calcula f' siendo: f x x x e 5 x 5 f x x x e x / / x / e /5 e x /0 9 e x /0 5 x /5 x /5 5 9 e f'x x 7/ e 60 0 x 7 Por tanto: f' 5 9 e 60. Calcula f'π/6 siendo: f x cos x sen x sen 6x f x cos x sen x sen 6x cos 6x sen 6x f'x cos x 6cos x π π Por tanto: f' 6 cos 6 cosπ Calcula f'0 siendo: f x ln x + x + x + f x ln x + lnx x + x + + x + x + f'x x + 8x + x + x + x + x + x + x + x + 6x + x + x + 8 x + x + sen x Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 6

195 6x x + x + 8 x + x + Por tanto: f'0 8 Página 6. Estudia la derivabilidad en x 0 de la función: f x Continuidad en x 0 : lím f x lím x x 0 lím f x f 0 x x x lím f x lím x 9 0 x + x Por tanto, f x es continua en x 0. Derivabilidad en x 0 : lím f'x lím x f' x x lím f'x lím f' + x + x + Por tanto, f x es derivable en x 0. Además, f'. x x, x x 9, x >. Calcula m y n para que f x sea derivable en Á: f x x mx + 5, x 0 x + n, x > 0 Si x 0, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios. Continuidad en x 0: lím f x lím x mx x 0 x 0 lím f x lím x + n n x 0 + x 0 f 0 5 Derivabilidad en x 0: lím f'x lím x m m f'0 x 0 x 0 lím f'x lím x 0 f'0 + x 0 + x 0 + Por tanto, f x es derivable en Á para m 0 y n 5. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 7

196 Página 6. Halla las rectas tangentes a la curva y 5x + 7x 6x en los puntos de abscisas 0,, x. Calculamos la derivada de la función: y' 5x + x 6x 5x + 7x 6x x Ordenadas de los puntos: y0 0; y ; y 50 Recta tangente en 0, 0: y'0 8 y 8x Recta tangente en, : y' 9 y 9x 9x + Recta tangente en, 50: y' y 50 + x x + 7 0x x 8x + x. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y x x + que sean paralelas a la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto. y x x + Calculamos la derivada: y' x Si son paralelas a la bisectriz del - o y - o cuadrante, la pendiente es. Por tanto: x x x x ± y 6 y 0 Recta tangente en, 6: y 6 x + x + 5 Recta tangente en, 0: y 0 x x + Página 6. Dada la función y x x 9x + 5, averigua: a Dónde crece. b Dónde decrece. y' x 6x 9 x x x x + Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 8

197 a x < y' > 0 f es creciente en, x > y' > 0 f es creciente en, + b < x < y' < 0 f es decreciente en, Página 66. Comprueba que la función y x /x tiene solo dos puntos singulares, en x 0 y en x 6. Averigua de qué tipo es cada uno de ellos estudiando el signo de la derivada. y' x x x x x x x x x x x x 6 x x x x 6 x y' 0 x x 6 0 x 0 x 6 f' 0,0 > 0 f'0,0 > 0 En x 0 hay un punto de inflexión. f'5,99 < 0 f'6,0 > 0 En x 6 hay un mínimo relativo. a Halla todos los puntos singulares abscisa y ordenada de la función y x + x. Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno de ellos. b Ídem para y x + 8x + x + x + 9. a y' x +x x x + y' 0 x 0 Punto 0, 0 x Punto, Dos puntos singulares. Los dos puntos están en el intervalo [ ;,5], donde la función es derivable. Además, f 7 y f,5,7. En 0, 0 hay un punto de inflexión. En, hay un máximo relativo. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 9

198 b y' x + x +x + x +x +x + y' 0 x Punto, 0 x Punto, x Punto, 0 Los tres puntos están en el mismo intervalo [, 0], donde la función es derivable. Además, f f 0 9. Hay un mínimo relativo en, 0, un máximo relativo en, y un mínimo relativo en, 0. Tres puntos singulares. 9 Página 68. Estudia la curvatura de la función: y x 8x + 5 f'x x x ; f''x 6x 8x x 0 Punto 0, 5 f''x 0 xx 0 x Punto, 7 f'''x 7x 8; f'''0 0; f''' 0 Los puntos 0, 5 y, son puntos de inflexión. 7 La función es cóncava en, 0 U, +, pues f''x > 0. La función es convexa en el intervalo 0,, pues f''x < 0.. Estudia la curvatura de la función: y x 6x + 9x f'x x x + 9; f''x 6x f''x 0 6x 0 x Punto, f'''x 6; f''' 0 El punto, es un punto de inflexión. La función es convexa en,, pues f''x < 0. La función es cóncava en, +, pues f''x > 0. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 0

199 Página 70. Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima. Llamamos x al número que buscamos. Ha de ser x > 0. Tenemos que minimizar la función: 5 f x x + x f'x 5 x 5 f 5 0 x 5 0 x 5 no vale, pues x >0 Como lím f x +, lím f x +, y la función es continua en 0, + ; hay x 0 + un mínimo en x 5. x x + Por tanto, el número buscado es x 5. El mínimo es 0. x. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 0 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máxima. x + y 0 y 0 x x y x 0 x Área 0x x, 0 < x < 0 x Tenemos que maximizar la función: f x 0x x y, 0 < x < 0 0 x f'x 5 x 0 x 5 y f 0 0; f 0 0; f 5 ; y f es continua. Luego, en x 5 está el máximo. Los catetos miden 5 cm cada uno. El área máxima es de,5 cm.. Entre todos los rectángulos de perímetro m, cuál es el que tiene la diagonal menor? d 6 x + x, 0 < x < 6 d 6 x Tenemos que minimizar la función: f x 6 x + x, 0 < x < 6 x 6 x + x f'x + x 6 x + x 6 x + x f'x x 0 x 6 + x 6 x + x f 0 6; f 6 6; f 8,; y f x es continua. Luego, en x hay un mínimo. El rectángulo con la diagonal menor es el cuadrado de lado m. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

200 . Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,8 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. Suponemos el recipiente con dos tapas: πr h h Área total πrh + πr πrh + r r r V 6,8 l 6,8 dm Como V π r h, r h 6,8 h 6,8 h, r r Así: Áreal total πr + r π + r r Tenemos que hallar el mínimo de la función: f r π + r, r >0 f'r π + r π 0 + r 0 r Como lím f r +, lím f r +, y f es continua en 0, + ; en r hay r 0 + un mínimo. r r h. El cilindro tendrá radio dm y altura dm. r r r r + + r r Página 78 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Definición de derivada Halla la tasa de variación media T.V.M. de las siguientes funciones en los intervalos: [, ]; [0, ]; [, 5]; [, + h] a fx x + b fx 7x 5 c fx d fx x En cuáles de ellas es constante la T.V.M.? Qué tipo de funciones son? Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

201 a f x x + En [, ] f f T.V.M. En [0, ] f f 0 T.V.M. En [, 5] f 5 f T.V.M. 7 En [, + h] f + h f h T.V.M. + h h h h + b f x 7x 5 En [, ] f f T.V.M. 7 En [0, ] f f 0 T.V.M. 7 En [, 5] f 5 f T.V.M. 7 En [, + h] f + h f 7h T.V.M. h h 7 c f x En [, ] f f T.V.M. 0 En [0, ] f f 0 T.V.M. 0 En [, 5] f 5 f T.V.M. 0 En [, + h] f + h f T.V.M. h 0 d f x x En [, ] f f T.V.M. En [0, ] f f 0 T.V.M. En [, 5] f 5 f 8 T.V.M. En [, + h] f + h f T.V.M. h h h La función b f x 7x 5 es una función afín y la T.V.M. es constante. La función c f x es una función constante y la T.V.M. es 0 constante. 6 Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

202 Halla la T.V.M. de la función fx x + 5x en el intervalo [, + h] y, con el resultado obtenido, calcula f'. f x x + 5x en [, + h] f + h f h + h h + h h f' lím h + h 0 Utilizando la definición de derivada, calcula f' en las siguientes funciones: x a fx b fx x 7 c fx x 5 d fx + x x f + h f h/7 a f' lím lím h 0 h h 0 h 7 f + h f h b f' + 6h lím lím 6 h 0 h h 0 h f + h f h c f' h lím lím h 0 h h 0 h f + h f d f' lím lím h h 0 h h 0 9h + h 9 Calcula la función derivada de las siguientes funciones, utilizando la definición: 5x + a fx b fx x c fx d fx x x x 5h f x + h f x a f'x lím lím h 0 h h 0 h f x + h f x b f'x h + 6xh lím lím 6x h 0 h h 0 h f x + h f x h c f'x lím lím h 0 h h 0 x x + h h 5 lím h 0 x x + h x Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

203 f x + h f x d f'x h + xh h lím lím x h 0 h h 0 h Reglas de derivación 5 Calcula la derivada de las siguientes funciones: a y x b y x + x + x x c y d y 0,5 x x + x a y' x x + x x x + b y' x + x + x x d y' 0,5 x 0,5 x x x + x + x 6x x + x x c y' + x x + x 0 0 9x + 6x x x x + x 6 Halla la derivada de estas funciones: x x + x sen x a y b y c y d y x + sen x cos x a y' x x + x x + x + x x + x + x + x x x x + x + x b y' x x x c y' cos x sen x d y' cos x + sen x cos x cos x 7 Deriva las funciones siguientes: a y e x x b y x c y x d y ln x e x Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 5

204 a y' e x x + e x e x x b y' x e x x e x x x x ln c y' x e x x ln x e x x + x e x d y' x 8 Deriva estas funciones: a y ln x b y ln x c y ln x d y sen x a y' x x b y' x x x e x e x ln x e x ln x x x c y' e x e x x ln x x e x d y' x sen x cos x x sen x cos x 9 Calcula la derivada de estas funciones: a y sen x cos x b y sen x + cos x c y e x + d y cos x + a y' cos x sen x cos x b y' sen x cos x + cos x + sen x cos x sen x + cos x sen x cos x + cos x c y' x e x + d y' cos x + senx + 6 cos x + senx + Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 6

205 0 Deriva las funciones siguientes: a y log b y sen x c y + x d y x + x x x a y log log x y' x ln b y' x cos x sen x x + + x x x c y' + x + x x x x + x x x + x + x + d y' x x x + x + x x x + x + x x Halla la derivada de: a y x x b y ln c y ln sen e x d y x x + a y x y' x b y ln x ln x + x x + x x + y' x + x c y' e x/ cos e x sen e x x + x + x + d y' x x + x x + Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 7

206 Recta tangente Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos cuya abscisa se indica: x a y en x b y 0,x 0,0x en x 0 c y x + en x d y en x x x + 5 e y en x f y sen π x en x x 5 g y e x en x 0 h y sen x cos x en x i y ln x + en x 0 j y x ln x en x e a Ordenada en el punto: x y Pendiente de la recta: y' x y' Recta tangente: y x x + b Ordenada en el punto: x 0 y Pendiente de la recta: y' 0, 0,0x y' 0 0, 0, 0, Recta tangente: y + 0, x 0 0,x + π c Ordenada en el punto: x y Pendiente de la recta: y' y' x + 7 Recta tangente: y + x + x d Ordenada en el punto: x y Pendiente de la recta: y' y' Recta tangente: y x x + x 6 e Ordenada en el punto: x y Pendiente de la recta: y' 0 0 y' x Recta tangente: y x x Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 8

207 π f Ordenada en el punto: x y Pendiente de la recta: y' sen x cos x y' 0 Recta tangente: y π g Ordenada en el punto: x 0 y Pendiente de la recta: y' e x y' 0 Recta tangente: y x x + π h Ordenada en el punto: x y Pendiente de la recta: y' cos x sen x y' 0 Recta tangente: y i Ordenada en el punto: x 0 y 0 Pendiente de la recta: y' y' 0 x + Recta tangente: y x π j Ordenada en el punto: x e y e Pendiente de la recta: y' ln x + y' e Recta tangente: y e + x e x e Página 79 S Escribe la ecuación de la tangente a la curva y x + x +, que es paralela a la recta x y Calculamos la pendiente de la recta x y + 5 0: x y y x + 5 Pendiente. y' x + x La recta tangente tiene pendiente y pasa por, : y + x + x y x Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 9

208 x Halla las tangentes a la curva y paralelas a la recta x + y 0. x S La pendiente de la recta x + y 0 es m. Buscamos los puntos en los que la derivada sea igual a : y' x x x x x x x + x x + y' x x + x x + x x + x x 0 xx 0 Recta tangente en 0, 0: y x Recta tangente en, : y x y x Escribe las ecuaciones de las tangentes a la función y x x en los puntos S de corte con el eje de abscisas. Los puntos de corte son 0, 0 y, 0. y'0 pendiente en 0, 0 y' x y' pendiente en, 0 Rectas tangentes: En 0, 0 y x En, 0 y x x Halla los puntos de tangente horizontal en las siguientes funciones y escribe la ecuación de la tangente en esos puntos: a y x x + x b y x + x c y 6x d y x + a y' x x + 0 x 5x + x x y 0 x / y /7 x 0 Punto 0, 0 x Punto, b y' x + x x x + 0 x 0 y 0 x + / y / x / y / c y' 6 x + 6x x 0 6x x + d y' x 5 x x 5x + 0 x 0 Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones x x y x y x y x y 9 0

209 Máximos y mínimos. Puntos de inflexión 7 Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones: a y x x + 9x + b y x x 8 c y x x d y x + x e y x + f y e x x a y x x + 9x + f'x x 6x + 9 f'x 0 x 6x No tiene solución. No tiene ni máximos ni mínimos. f''x 6x 6 0 x f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de inflexión en, 9. x b y 8x f'x x x x x f'x 0 x x 0 x 0 y 0 x y / f' < 0 f' < 0 f' > 0 Hay un mínimo en,. f''x x x 0 xx 0 x 0 y 0 x / y 6/8 f'' > 0 f'' < 0 f'' > Hay un punto de inflexión en 0, 0 y otro en,. c f'x x 6x f'x 0 x x 6 0 x 0 y 0 x / y 7/6 Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

210 f' < 0 f' < 0 f' > Hay un mínimo en,. f''x x x xx 0 x 0 y 0 x y f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un punto de inflexión en 0, 0 y otro en,. d f'x x x f'x 0 x x + 0 x 0 y 0 f' < 0 f' > 0 0 Hay un mínimo en 0, 0. f''x x + 0 para todo x. No hay puntos de inflexión. e f'x x x + f'x 0 x 0 x 0 y f' > 0 f' < 0 0 Hay un máximo en 0,. f''x x + + x x + x x + + 8x x + x + 6x x + f''x 0 x ± ± ± y f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de inflexión en, y otro en,. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

211 f f'x e x x + e x e x x + xe x f'x 0 xe x 0 x 0 pues e x 0 para todo x y f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un mínimo en 0,. f''x e x + xe x e x + x f''x 0 x y e f'' < 0 f'' > 0 e Hay un punto de inflexión en,. 8 Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones y di si tienen máximo o mínimos: a y x b y c y d y x x + x + a y. Dominio Á {, } x f'x x 0 x 0 x Signo de la derivada: x f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 x x La función: crece en, U, 0 decrece en 0, U, + tiene un máximo en 0, x b y. Dominio Á { } x + f'x x + x x + x + x + x + 5 x + Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

212 f'x > 0 para todo x. Por tanto, la función es creciente en, U, +. No tiene máximos ni mínimos. c y x. Dominio Á x + f'x xx + x x x + x x x + x + x x + f'x > 0 x 0 x 0 Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 0 La función: decrece en, 0 crece en 0, + tiene un mínimo en 0, 0 x d y. Dominio Á {0} x f'x x x x x x + x x x + x f'x 0 para todo x 0. f'x > 0 para todo x 0. La función es creciente en, 0 U 0, +. No tiene máximos ni mínimos. 9 Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de las siguientes funciones: 8 x a y b y x + c y x x x d y x x e y x x 9x f y x 8 x a y 8 x. Dominio Á {0, } xx x x f'x x x 8 x x x + 6x 6x x 6x x x x x x 6x + 6 x x x x 8 x x Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

213 f'x 0 x 6 ± ± 6 6x x ± 8 6 x x / Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: es creciente en, 0 U 0, es decreciente en, U, 9 tiene un máximo en, tiene un mínimo en, U, + f' > 0 b y x +. Dominio Á {, } x f'x xx x + x x x x x x x x x f'x 0 x 0 x 0 Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: es creciente en, U, 0 es decreciente en 0, U, + tiene un máximo en 0, x c y. Dominio Á {, } x f'x x x x x x x x x x x x x x x x f'x 0 x x 0 x 0 x x Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 5

214 Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 La función: es creciente en, U, + es decreciente en, U, U, tiene un máximo en, tiene un mínimo en, tiene un punto de inflexión en 0, 0 x d y x. Dominio Á {} x f'x x x x x 8x x 6 + x + x x x x x + 8x 6 x x x + x f'x 0 x ± 6 ± x + 0 x ± x x Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0 La función: es creciente en, U, es decreciente en, U, + tiene un mínimo en, tiene un máximo en, 9 e y x x 9x. Dominio Á f'x x 6x 9 x x ± + ± 6 f'x 0 x ± x x Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 6

215 Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en, U, + es decreciente en, tiene un máximo en, 5 tiene un mínimo en, 7 f y 8 8. Dominio Á {0, } x x x x f'x 8x 6x 8xx 6 x x x x 8x 6 x x f'x 0 x 6 0 x Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 0 f' < 0 La función: es creciente en 0, es decreciente en, 0 U, U, + tiene un máximo en, 0 Estudia la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de las siguientes funciones: a y x x + b y x 6x c y x d y x e x x e y x + f y ln x + a y x x +. Dominio Á f'x x ; f''x 6x f''x 0 6x 0 x 0 Signo de f''x: f'' < 0 f'' > 0 0 La función: es convexa en, 0 es cóncava en 0, + tiene un punto de inflexión en 0, Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 7

216 b y x 6x. Dominio Á f'x x x; f''x x x f''x 0 x 0 x Signo de f''x: f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 La función: es cóncava en, U, + es convexa en, tiene un punto de inflexión en, 5 y otro en, 5 c y x. Dominio Á f'x x ; f''x x f''x 0 x f''x > 0 para x Por tanto, la función es cóncava. No tiene puntos de inflexión. d y x e x. Dominio Á f'x e x + x e x + xe x ; f''x e x + + xe x + xe x f''x 0 x e x 0 para todo x Signo de f''x: f'' < 0 f'' > 0 La función: es convexa en, es cóncava en, + tiene un punto de inflexión en, x e y. Dominio Á { } x + f'x x + x x + x x + x + f''x 6 x + f''x 0 para todo x. e x + Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 8

217 Signo de f''x: f'' < 0 f'' > 0 La función: es convexa en, es cóncava en, + no tiene puntos de inflexión f y lnx +. Dominio, + f'x f''x x + x + f''x < 0 para x, + Por tanto, la función es convexa en, +. Estudia si las siguientes funciones tienen máximos, mínimos o puntos de inflexión en el punto de abscisa x : a y + x b y + x c y x 6 a f'x x ; f''x 6x f' > 0 f' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de inflexión en x. b f'x x ; f''x x f' < 0 f' > 0 f'' > 0 f'' > 0 Hay un mínimo en x. c f'x 6x 5 ; f''x 0x f' > 0 f' < 0 f'' < 0 f'' < 0 Hay un máximo en x. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 9

218 PARA RESOLVER Prueba que la recta y x es tangente a y x 6x + 8x. Halla el punto de tangencia y estudia si esa recta corta a la curva en otro punto distinto al de tangencia. y' x x +8 Veamos para qué valor de x tiene pendiente : x x +8 x y x x x y El punto, verifica la ecuación. Veamos los puntos de corte: x 6x + 8x x x 6x + 9x 0 x x 6x El otro punto de corte es 0, 0. x 0 y 0 x y Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y x x 0 en su S punto de inflexión. Hallamos su punto de inflexión: f'x x x; f''x x f''x x 0 x Hay un punto de inflexión en,. Pendiente de la recta tangente en ese punto: f' 6 Ecuación de la recta tangente: Página 80 7 y x 7 6 Determina la parábola y ax + bx + c que es tangente a la recta y x S en el punto A, y que pasa por el punto B5,. y ax + bx + c 6 6 f'' < 0 f'' > Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 0

219 y' ax + b y' a + b Pasa por A, y a + b + c Pasa por B5, y5 5a +5b + c Solución del sistema: a, b 6, c 7 y x +6x 7 5 La curva y x + ax + bx + c corta al eje de abscisas en x y tiene un punto de inflexión en,. Calcula a, b y c. y x + ax + bx + c f'x x + ax + b f''x 6x +a f 0 + a b + c 0 a b + c a 6 f 8 + a + b + c a + b + c 7 b f'' 0 + a 0 a 6 c 6 De la función f x ax + bx sabemos que pasa por, y en ese punto tiene tangente paralela a la recta x + y 0. a Halla a y b. b Determina sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. a f x ax + bx; f'x ax + b 0 f a + b f' a + b a b f x x + x b f'x 6x + f'x 0 x 0 Signo de la derivada: x x f' < 0 f' > 0 f' < 0 La función: es decreciente en, U, + es creciente en, Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

220 tiene un mínimo en, tiene un máximo en, 0 si x < 0 7 Considera la siguiente función: f x x si 0 x < S x si x a Estudia su continuidad. b Estudia su derivabilidad. a Continuidad: Si x 0 y x Es continua, pues está formada por funciones continuas. En x 0: lím f x lím 0 0 x 0 x 0 lím f x lím x 0 x 0 + x 0 f 0 0 lím x 0 f x f 0. Por tanto, la función es continua en x 0. En x : lím f x lím x x x lím f x lím x x + x f lím x f x f. Por tanto, la función es continua en x. La función es continua en Á. b Derivabilidad: Si x 0 y x La función es derivable. Su derivada es, en esos puntos: f'x 0 si x < 0 x si 0 < x < si x > En x 0: f'0 0 f'0 +. Por tanto, f x es derivable en x 0; y f'0 0. En x : f' f' +. Por tanto, f x no es derivable en x. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

221 La función es derivable en Á {}. Su derivada es: 0 si x < 0 f'x x si 0 x < si x > 8 Esta es la gráfica de una función y f x. Calcula, observándola: f', f' y f' En qué puntos no es derivable? f' 0; f' 0; f' No es derivable en x 0 ni en x. 9 Cuántos puntos hay en esta función que no tengan derivada? y x + 6x + 8 x 6 ± 6 6 ± 6 ± + 6x x x x x + 6x + 8 si x < x + 6 si x < y x 6x 8 si x y' x 6 si < x < x + 6x + 8 si x > x + 6 si x > La función es continua, pues es el valor absoluto de una función continua. En x y' y' + En x y' y' + La función no es derivable en x ni en x ; es decir, en, 0 y en, 0. Son dos puntos angulosos. 0 Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo Á: S f x ax + x si x x bx si x > Para que sea derivable, en primer lugar, ha de ser continua. Si x La función es continua, pues está formada por dos polinomios. En x : lím f x lím ax + x a + 6 x x lím f x lím x bx b x + x f a + 6 Para que sea continua, ha de ser a + 6 b, es decir, a + b; o bien b a. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

222 Derivabilidad: Si x la función es derivable. Además: ax + si x < f'x x b si x > En x : f' a + f' + b Para que sea derivable ha de ser a + b, es decir, b a +. Teniendo en cuenta las dos condiciones obtenidas: b a b a + a a + a a b 7 Por tanto, para que f x sea derivable en todo Á, ha de ser a y b 7. Observa las gráficas de las siguientes funciones e indica en qué puntos no son derivables. a b c Alguna de ellas es derivable en todo Á? a No es derivable en x tiene un punto anguloso ni en x no está definida la función. b Es derivable en todo Á. c No es derivable en x 0 tiene un punto anguloso. La función f x está definida por: S f x x x si x 0 ax + b si x > 0 Calcula a y b para que f sea continua y derivable. Continuidad: En x 0 La función es continua, pues está formada por dos polinomios. En x 0: lím f x lím x x 0 x 0 x 0 lím f x x 0 + f 0 0 lím ax + b b x 0 Para que sea continua ha de ser b 0 Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

223 Derivabilidad: Si x 0 La función es derivable. Además: f'x x si x < 0 a si x > 0 En x 0: f'0 f'0 + a Para que sea derivable, ha de ser a. Por tanto, f x será continua y derivable si a y b 0. Considera esta función: S f x x + x si x x + si x > a Estudia su continuidad. b Estudia su derivabilidad. c Existe algún punto en el que f'x 0? d Represéntala gráficamente. a Continuidad: En x : La función es continua, pues está formada por dos polinomios. En x : lím f x lím x + x x x lím f x lím x + x + x f lím x f x f. Por tanto, la función es continua en x. La función es continua en todo Á. b Derivabilidad: Si x : La función es derivable. Además: x + si x < f'x si x > En x : f' f' + La función no es derivable en x. Por tanto, la función es derivable en Á {}. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 5

224 c Puntos en los que f'x 0: f'x x + si x < x + 0 x f'x si x > f'x 0 si x > Por tanto, la derivada se anula en x. d Gráfica de f x: S De la función f x x + ax + b se sabe que: Tiene un mínimo en x. Su gráfica pasa por el punto,. Teniendo en cuenta estos datos, cuánto vale la función en x? f x x + ax + b f'x x + a f' + a 0 a f 8 + b b 6 f x x x + 6 f 5 S Calcula p y q de modo que la curva y x + px + q contenga al punto, y presente un mínimo en x. y x + px + q y' x + p y' 6 + p 0 p 6 f 8 + q q 9 y x +6x La función f x está definida de la siguiente manera: S e x, x 0 f x, 0 < x < x +x +, x Estudia su continuidad y derivabilidad. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 6

225 Continuidad: Si x 0 y x Es continua, pues está formada por funciones continuas. En x 0 e x, x 0 f x, 0 < x < x +x +, x f 0 En x lím f x lím e x x 0 lím f x lím x 0 + x 0 x 0 + lím f x f 0. La función es continua en x 0 x 0 lím f x lím lím f x lím f x x lím f x lím x + x + No es continua en x x + f La función es continua en Á {}. Derivabilidad: Si x 0 y x. Es derivable y: f'x x x + e x x < < x < x + x > x En x 0 f'0 f'0 + 0 No es derivable en x 0. En x No es derivable pues no es continua. La función es derivable en Á {0, }. x + Página 8 Problemas de optimización 7 Con una cartulina rectangular de m m se quiere construir una caja sin S tapa. Para ello se recorta un cuadrado de cada uno de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máximo. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 7

226 x x x x x x x x x x x El volumen de la caja es: Vx x x x, x 0, Vx 6x 0x + x V'x 6 0x + x V'x 0 6 0x + x 0 x 0 ± 8,7 no vale 0,9 V''x 0 + x; V''0,9 < 0 x 0,9 es máximo. 8 Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0 cm, cuál es el de área S máxima? Perímetro x + y 0 y 0 x Altura h x y x h x c x 0 x y h Área x y 0 x 0x 5 5 x 0x 5 5 x 0x 5 0x 5x + 500x Tenemos que maximizar la función área: f x f'x 0x 5x + 500x x 50x x 5x + 500x f'x 0 90x 50x x 5x ± ± 5 x 5 ± 5 x 5 no vale x 0 x 5 no vale, pues quedaría y 0, al ser perímetro 0 Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 8

227 f'x > 0 a la izquierda de x 0 y f'x < 0 a la derecha de x 0. Por tanto, en x 0 hay un máximo. Luego, el triángulo de área máxima es el equilátero de lado 0 cm, cuya área es 5, cm. 9 Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 0 cm y de capacidad máxima. Cuál debe ser el radio de la base? h + R 00 R 00 h Volumen πr h π 00 h h π 00h h 0 cm h Tenemos que maximizar la función volumen: f h π 00h h f'h π 00 h R f'h 0 00 h 0 h 00 consideramos la raíz positiva, pues h 0. f'h > 0 a la izquierda de h y f'h < 0 a la derecha de h Luego, en h 00 hay un máximo. Por tanto, el radio de la base será: R 00 h R 0 Se sabe que el rendimiento, r en %, de un estudiante que realiza un examen de una hora viene dado por r t 00t t siendo 0 t, t en horas. a Explica cuándo aumenta y cuándo disminuye el rendimiento. b Cuándo se anula? c Cuándo es máximo? rt 00t t, 0 t, t en horas. 00 a r't t r't 0 t r' > 0 r' < 0 rt aumenta entre 0 y rt disminuye entre, pues r es creciente. y, pues r es decreciente. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 9

228 b rt 0 00t t 0 t 0 y t c r't 0 t. Es máximo pues r' > 0 a su izquierda y r' < 0 a su derecha. Un comerciante compra artículos a 50 la unidad y sabe que si el precio S de venta es 750, vende 0 unidades al mes y que por cada descuento de 0 en el precio de venta, incrementa las ventas de cada mes en unidades. Determina el precio de venta que hace máximos los beneficios del comerciante. Llamamos: x n- o de veces que se descuentan 0. Así, el precio por unidad será de: 750 0x, y por tanto se venderán 0 + x unidades al mes; luego el dinero obtenido por las ventas vendrá dado por la función: f x 750 0x 0 + x 60x + 650x Maximizar los beneficios es equivalente a maximizar esta función: f'x 0x f'x 0 x,75 0 Comprobamos que, efectivamente, se trata de un máximo: f''x 0 f'',75 0 < 0 x,75 es máximo Por tanto, el precio de venta que hace máximos los beneficios es: x 750 0, /unidad Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se S desea que el perímetro de dicha pista sea de 00 m, halla las dimensiones que hacen máxima el área de la región rectangular. y x Perímetro de la pista x + π y 00 Despejamos: y 00 x π Área del rectángulo x y x 00 x π 00x x π Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 0

229 Derivamos: 00 x 00 A' 0 x 50 m y m π π π A'' ; A''50 < 0 x 50 es máximo π El saldo, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo viene S dado por la función: 0,t si 0 t < f t, + 0,0t si t < 8,6 + 0,t 8 si 8 t Deduce razonadamente el valor de t en el que el capital fue máximo. ft 0,t si 0 t <, + 0,0t si t < 8,6 + 0,t 8 si 8 t En el primer intervalo se trata de una función afín decreciente que alcanza el máximo valor en 0, f 0. En el segundo intervalo tenemos otra función afín creciente, por lo que alcanza su máximo valor en 8, f 8,6. En el tercer intervalo, derivamos: f't 0, t 8 Tiene un mínimo en t 8, por lo que alcanza el máximo en el otro extremo del intrvalo: f,96. Por tanto, el capital fue máximo en t. Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a medida S que transcurre la jornada laboral. Dicho rendimiento corresponde al número de instancias revisadas en una hora. La función que expresa dicho rendimiento es: Rt 0t 0,5t + t siendo t el número de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral. a Determina cuándo se produce el máximo rendimiento y cuándo se produce el mínimo rendimiento. b Halla la tasa de variación media del rendimiento Rt entre t y t. Vamos a suponer una jornada laboral de 8 horas; es decir: Rt 0t 0,5t + t ; t [0, 8] a R't 0 t + t R't 0 0 t + t 0 t 5 t Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

230 R' > 0 R' < 0 R' > R0 0 R 6 R5,5 R8 80 Hay un mínimo relativo en t 5 y un máximo relativo en t, pero el mínimo absoluto corresponde a t 0 y el máximo absoluto a t 8 horas. R R b T.V.M.[, ] 5 5 Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 m de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta,5 y el de tramo vertical. a Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo. b Cuál será ese coste mínimo? 6 a Área x y 6 y x 6 m y Coste,5 x + y 5x + 6y 6 C 5x + x x C' x,68 m y 5, m x C'' 7 ; C'' > 0 x es mínimo 5 5 x 6 5 b C ,8 5 6 Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad Rx en miles de euros viene dada en función de la cantidad que se invierte, x en miles de euros, por medio de la siguiente expresión: Rx 0,00x + 0,x +,5 a Deduce y razona qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan. b Qué rentabilidad se obtendrá? Rx 0,00x + 0,x +,5 a R'x 0,00x + 0, R'x 0 x 00 miles de. R''x 0,00, R''00 < 0 x 00 es máximo Invirtiendo se obtiene la máxima rentabilidad. b R00,5 miles de 500. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

231 7 Un artículo ha estado 8 años en el mercado. Su precio Pt, en miles de euros, estaba relacionado con el tiempo, t, en años, que este llevaba en el mercado por la función: Pt t + si 0 t 5/t + 5 si < t 8 a Estudia el crecimiento y decrecimiento de Pt. b Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo? c Cuál fue la tasa de variación media del precio durante los últimos 6 años? Pt t + si 0 t 5/t + 5 si < t 8 8t 0 < t < a P't No existe P', pues P' P' +. 5/ < t < 8 Pt es creciente en 0 < t < pues P't > 0. Pt es decreciente en < t < 8 pues P't < 0. b El máximo se alcanza en t, P 0. P8 P c T.V.M.[, 8], Página 8 8 Una empresa de mensajería ofrece estas tarifas: Si la carga es menor de kg, costará 8 por kilo. A partir de kg, el precio por kilo se obtiene restando de 8 el número de kilos que exceden de. La carga máxima que puede llevar un mensajero es 6 kg. Sea x el peso de la carga, Px la función que nos da el precio por kilo de carga e Ix la función que nos da los ingresos de la empresa. a Halla las expresiones algebraicas de Px e Ix y represéntalas. b Para qué valor de x se obtiene el máximo ingreso? a Precio por kilogramo de carga: 8, 0 x < 8, 0 x < Px 8 x, x 6 0 x, x 6 Ingresos en función de los kilos de carga: 8x, 0 x < Ix 0 xx, x 6 8x, 0 x < 0x x, x 6 Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

232 0 8 6 Px Ix b Se obtiene el máximo ingreso para x 5. CUESTIONES TEÓRICAS 9 Una función polinómica de tercer grado, cuántos puntos de derivada nula S puede tener? Puede tener uno o ninguno? La derivada de una función polinómica de tercer grado es una función polinómica de segundo grado. Por tanto, puede haber dos puntos, un punto, o ningún punto, con derivada nula. Por ejemplo: x f x x x f'x x 0 Dos puntos x f x x f'x x 0 x 0 Un punto f x x + x f'x x + 0 para todo x Ninguno 50 Justifica que una función polinómica de segundo grado tiene siempre un S punto de tangente horizontal. Su derivada es una función polinómica de primer grado, que se anula siempre en un punto. 5 La función f tiene derivadas primera y segunda y es f'a 0 y f''a 0. S Puede presentar f un máximo relativo en el punto a? En caso afirmativo, pon un ejemplo. Sí puede presentar un máximo. Por ejemplo: f x x en x 0 es tal que: f' > 0 f' < 0 0 f'x x f''x x Por tanto: f'0 0 y f''0 0 En 0, 0 hay un máximo relativo. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones

233 5 S Una función f es decreciente en el punto a y derivable en él. Puede ser f'a > 0? Puede ser f'a 0? Puede ser f'a < 0? Razona tus respuestas. Si f es decreciente en x a y es derivable en él, entonces f'a 0. Lo probamos: f decreciente en a signo de [ f x f a] signo de x a f x f a x a < 0 f x f a Por tanto, f'x lím 0; es decir: f'a 0 x a x a Ejemplo: f'a x es decreciente en Á y tenemos que: f'x x f'0 0 y f x es decreciente en x 0 f'0 < 0 para x 0 5 Considera la función x valor absoluto de x: a Presenta un mínimo relativo en algún punto? b En qué puntos es derivable? Razona tus respuestas. x si x 0 si x < 0 f x x ; f'x x si x > 0 si x > 0 f x no es derivable en x 0, pues f'0 f'0 +. Por tanto, f es derivable para x 0. y x Pero f x presenta un mínimo relativo en x 0, pues f 0 0 < f x si x 0. De hecho, es el mínimo absoluto de f x. 5 La derivada de una función f es positiva para todos los valores de la variable. Puede haber dos números distintos, a y b, tales que f a f b? Razona tu respuesta. Si f'x > 0 para todo x f x es creciente; es decir, si a > b f a > f b, y si a < b f a < f b. Por tanto, no puede ser f a f b. En este caso, tendría que existir un punto c entre a y b, en el que f'c 0. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 5

234 55 De una función f sabemos que f'a 0, f''a 0 y f'''a 5. Podemos asegurar que f tiene máximo, mínimo o punto de inflexión en x a? Justifica tu respuesta. f tiene un punto de inflexión en x a. Veamos por qué: f'''a 5 > 0 f'' es creciente en x a. Como, además, f''a 0, tenemos que f''x < 0 a la izquierda de a y f''x > 0 a su derecha. Es decir, f x cambia de convexa a cóncava en x a. Por tanto, hay un punto de inflexión en x a. 56 Si f'a 0, cuál de estas proposiciones es cierta? a f tiene máximo o mínimo en x a. b f tiene una inflexión en x a. c f tiene en x a tangente paralela al eje OX. Si f'a 0, solo podemos asegurar que f tiene en x a tangente horizontal paralela al eje OX. Podría tener un máximo, un mínimo o un punto de inflexión en x a. Por tanto, solo es cierta la proposición c. 57 De una función f x se sabe que: S f f 0; f' 0; f'' > 0 Qué puedes decir acerca de la gráfica de esta función? f f 0 f' 0 f'' > 0 f tiene un mínimo en x. 58 La representación gráfica de la función derivada de una función f, es una S recta que pasa por los puntos, 0 y 0,. Utilizando la gráfica de la derivada: a Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f. b Estudia si la función f tiene máximo o mínimo. a x < f' > 0 f creciente x > f' < 0 f decreciente b x f' 0 y tiene un máximo f' Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 6

235 59 S Si la gráfica de la derivada de g es una parábola que corta al eje OX en 0, 0 y, 0 y tiene por vértice,, qué puedes decir del crecimiento y decrecimiento de g? Determina si la función g presenta máximos o mínimos. Si x < 0 g' < 0 g decreciente Si 0 < x < g' > 0 g creciente Si x > g' < 0 g decreciente 0 g' En x 0 tiene un mínimo y en x un máximo. Página 8 PARA PROFUNDIZAR 60 Estas gráficas representan las funciones derivadas de las funciones f, g, h y j: f' g' h' j' a Cuáles de estas funciones tienen puntos de tangente horizontal? b Cuál de estas gráficas es la función derivada de una función polinómica de primer grado? c Cuál de ellas corresponde a una función polinómica de segundo grado? a Los puntos de tangente horizontal son los puntos en los que se anula la derivada. f tiene un punto de tangente horizontal en x, pues f' 0. j tiene dos puntos de tangente horizontal en x y en x, pues j' j' 0. g y h no tienen ningún punto de tangente horizontal. b La derivada de una función polinómica de primer grado es una función constante. Por tanto, es g'. c La derivada de una función polinómica de segunda grado es una función polinómica de primer grado. Por tanto, es f'. 6 Cuál de estas gráficas representa la función f y cuál su derivada f'? Justifica tu respuesta. a b c Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 7

236 a La función es una recta que tiene pendiente. Por tanto, su derivada es y. Luego, estas gráficas sí representan a una función y su derivada. b En x 0, la función tiene un máximo; la derivada se anula. La recta tendría que pasar por 0, 0. No representan, por tanto, a una función y su derivada. c En x, la función tiene un máximo; la derivada se anula, y tendría que pasar por, 0. Estas tampoco representan a una función y su derivada. Por tanto, solo la primera es válida. 6 Estudia la derivabilidad de estas funciones: a y x b y x + c y x d y ln x a y x f x es una función continua en Á. f'x x f x es derivable en Á {0} en x 0 no existe la derivada. b y x + f x es continua en Á. x f'x x + f x es derivable en Á. c y x f x es continua en Á. x f'x x x f x es derivable en Á {0} en x 0 no existe la derivada. d y lnx x > 0 x > x < ó x > f x es continua si x < ó x >. f'x x x f x es derivable si x < ó x > pues para ser derivable ha de ser continua. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 8

237 6 Sea la función: f x x x x si x 0 x si x > 0 Halla f'x, f''x y represéntalas. x si x < 0 f'x x si x 0 En x 0 existe la derivada, pues f x es continua, y, además, f'0 f'0 +. si x < 0 f''x si x > 0 En x 0 no existe la segunda derivada, pues f''0 f''0 +. f'x f''x 6 Prueba que la función f x x + x no es derivable en x. x x + si x < f x x + x si x 0 si x < f'x si x > si x < x si x f' 0 f' +. Por tanto, la función no es derivable en x. 65 Calcula la derivada de orden n de la función f x e x. f x e x f'x e x f''x e x f n x n e x 66 Dada la función f x e x + ln x, comprueba que f'0 0 y f''0 0. Será también f''' 0 0? f'x e x f'0 0 x Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 9

238 f''x e x f''0 0 x f''' x e x f''' 0 0 x 67 Estudia la existencia de máximos y mínimos relativos y absolutos de la función y x. f x f'x x si x < x + si x x si x > x si x < x si < x < x si x > En x no es derivable, pues f' f' +. En x no es derivable, pues f' f' +. La derivada se anula en x 0. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 La función tiene un máximo relativo en 0,. No tiene máximo absoluto lím f x lím f x +. x + x Tiene un mínimo relativo en, 0 y otro en, 0. En estos puntos, el mínimo también es absoluto, puesto que f x 0 para todo x. 68 Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función dada por: y x + x x ± + + x 0 x ± x x f x f'x x + x si x < x x + si x x + x si x > x + si x < x si < x < x + si x > Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 50

239 En x no es derivable, pues f' f' +. En x no es derivable, pues f' f' +. Veamos dónde se anula la derivada: x + 0 x Pero f'x x + para x < y x >. x 0 x y f'x x para < x < Por tanto f'x se anula en x. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en, U, + es decreciente en, U, tiene un máximo en, tiene un mínimo en, 0 y otro en, La función f x x + ax + bx + c verifica que f, f' 0 y que f no tiene extremo relativo en x. Calcula a, b y c. Si es f' 0 y no hay extremo relativo, tiene que haber una inflexión en x. f x x + ax + bx + c f'x x + ax + b f''x 6x +a f + a + b + c f' 0 + a + b 0 f'' a 0 a b c 0 f x x x + x 70 Halla a y b para que la función f x sea continua: x + a si x < f x ax + b si x < 0 x + si 0 x Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f. Si x y x 0: La función es continua, pues está formada por polinomios. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 5

240 En x : lím f x lím x + a + a x x lím f x lím ax + b a + b x + x f a + b Para que sea continua, ha de ser + a a + b, es decir: b a. En x 0: lím f x x 0 lím ax + b b x 0 lím f x lím x + x 0 + x 0 f 0 Para que sea continua, ha de ser b. Por tanto, f x será continua si a y b. Para estos valores, queda: f x f x x + si x < x + si x < 0; es decir: x + si 0 x x + si x < 0 x + si x 0 Derivabilidad: Si x 0: Es derivable. Además: f'x si x < 0 6x si x > 0 En x 0: f'0 f'0 + 0 La función no es derivable en x 0. Por tanto, es derivable en Á {0}. 7 Existe algún punto en el que f x +x no sea derivable? Justifica tu respuesta. f x si x < 0 x si x 0 + x Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 5

241 Continuidad: Si x 0 Es continua, pues está formada por dos funciones continuas en los intervalos en los que están definidas. Si x 0: lím f x lím x 0 x 0 x lím f x lím x 0 + x 0 + x f 0 lím f x f 0. Es continua en x 0. x 0 Por tanto, es una función continua en Á. Derivabilidad: Si x 0: Es derivable. Además: f'x si x < 0 x si x > 0 + x En x 0: f'0 f'0 + No es derivable en x 0. Por tanto, es derivable en Á {0}. Unidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicaciones 5

242 UNIDAD 7 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 8 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta función sobre unos ejes coordenados dibujados en papel cuadriculado. La solución está en el propio ejercicio.. Traza unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado y representa una curva, lo más sencilla posible, que cumpla las siguientes condiciones: lím f x x lím f x x + lím f x x lím f x + x + f 0 ; f'0 0 f 5 0; f,75 0 f es derivable en todo Á, salvo en x. 5 Unidad 7. Representación de funciones

243 Página 85. Describe, con la menor cantidad de datos y de forma similar a la de los apartados anteriores, la siguiente función: lím f x x lím f x x + lím f x + x lím f x + x + f 9 0; f 0 0; f 8 0 f'0 0 f ; f' 0. Representa sobre unos ejes en papel cuadriculado una gráfica inventada por ti. Descríbela en papel aparte. Dale la descripción a tu compañera o compañero para que la represente. Representa tú la suya. Comparad cada representación con la curva original. Discutid las diferencias que observéis. Hay algún error en la representación? Hay, acaso, error en la descripción? Es todo correcto? Por ejemplo: lím f x ; lím f x x x + lím f x ; lím f x + x x + f 0; f' 0 f 0; f' 0 f 0 Unidad 7. Representación de funciones

244 5. Observa esta gráfica: Halla la ordenada para las siguientes abscisas: x 0, x, x, x 7, x, x 00, x, x 99 En qué puntos no está definida esta función? Qué tramo de la función te bastaría conocer para hacerte una idea exacta de cómo es la gráfica? Te sugiere esta curva algún tipo de simetría o periodicidad? f 0 0; f ; f ; f 7 f 0; f 00 0; f ; f 99 En general, f k 0; f k + f k y no existe f x en x k +, con k Z. La función no está definida en los puntos de la forma x k +, con k Z. Bastaría con conocer la función para x [0,, si supiéramos que es par y que es periódica de periodo. Simetría Es una función par simétrica respecto al eje Y. Periodicidad Es periódica de periodo. Página 86. Halla el dominio de estas funciones: a y x 5x x + 7x + b y + 5 c y x 5x + a D Á b x 5x ± ± 9 x D Á {, } c x + 0 para todo x D Á 5 ± x + x x + x x. Halla el dominio de: a y x x b y ln x + c y ln x d y a x x 0 D, 0] U [, + e x x Unidad 7. Representación de funciones

245 b x + > 0 para todo x D Á c x > 0 D, U, + d x 0 x 0 D Á {0} Página 87. Halla las posibles simetrías y periodicidades, di dónde son continuas y dónde derivables: a y x 5x b y x x x c y x x d y e y sen x + / cos x x a f x x 5 x x 5x f x Es una función par: simétrica respecto al eje Y. No es periódica. Es continua y derivable en Á. b Dominio, 0] U [, + f x x x. No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al centro de coordenadas. No es periódica. Es continua en su dominio. Es derivable en, 0 U, +. c Dominio Á {, } x f x f x. Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. x No es periódica. Es continua y derivable en su dominio. d Dominio Á {0} x f x. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. x No es periódica. Es continua y derivable en su dominio. e Dominio Á f x sen x + cos x sen x + cos x Unidad 7. Representación de funciones

246 No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. Es periódica de periodo π. Es continua y derivable en Á. Página 88. Halla las ramas infinitas de: a y x 5 0x b y c y x d y x 8x +7 e y ln x + f y x x x x a y x 5 0x lím f x x lím f x + x + x b y x Dominio Á {, } f x lím f x + ; lím x x x f x lím f x + ; lím + x + x + x Ramas parabólicas Ramas parabólicas lím f x + ; lím f x x x + lím f x ; lím f x + x x + Asíntotas verticales: x ; x x x c y x x + + x x + Dominio Á {} lím f x ; lím f x + x x + y x + es una asíntota oblicua. x 6 x x + Unidad 7. Representación de funciones 5

247 f x x + lím f x + x lím f x + x + x 6 x x + x es asíntota vertical f x x + > 0 si x + f x x + < 0 si x d y x 8x +7 lím f x + x lím f x + x + Ramas parabólicas e y lnx + Dominio Á lím f x + x f x lnx + lím lím lím x 0 x x x x x x + lím f x + x + f x lnx + lím lím lím x 0 x + x x + x x + x + No hay asíntotas verticales. Ramas parabólicas f y x > 0 para todo x. Dominio Á lím f x 0 y 0 es asíntota horizontal cuando x. x Unidad 7. Representación de funciones 6

248 f x lím f x + ; lím + x + x + x No hay asíntotas verticales. Página Halla los puntos singulares y los puntos de inflexión de: a y x 6x + 9x + 5 b y ln x + a y x 6x + 9x + 5. Dominio Á f'x x x + 9 f'x 0 x x + 0 ± 6 ± x Signo de f'x: ± x x f' > 0 f' < 0 f' > 0 Hay un máximo en, 9 y un mínimo en, 5. f''x 6x f''x 0 6x 0 x Signo de f''x: f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de inflexión en, 7. b y lnx +. Dominio Á f'x x x + f'x 0 x 0 x 0 f''x < 0 para x < 0 f''x > 0 para x > 0 Hay un mínimo en 0, 0. Unidad 7. Representación de funciones 7

249 f''x x + x x x + x x + x + f''x 0 x + 0 x Signo de f''x: x + x + x x f'' < 0 f'' > 0 f'' < 0 Hay un punto de inflexión en, ln y otro en, ln. 6. Halla los puntos singulares de: a y x 5 0x b y c y d y x x x x a y x 5 0x. Dominio Á f'x 5x 60x f'x 0 5x x 0 x x 0 x x x Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 Hay un máximo en, 6, un mínimo en, 6, y un punto de inflexión en 0, 0. x b y. Dominio Á {, } x f'x xx x x x x x x x f'x 0 x 0 x 0 Signo de f'x: x x f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 Hay un máximo en 0, 0. x c y. Dominio Á {} x f'x x x x x x x x x x x 6x x x 6x x x Unidad 7. Representación de funciones 8

250 f'x 0 x x 6 0 x 0 x 6 Signo de f'x: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' > Hay un punto de inflexión en 0, 0 y un mínimo en 6,. d y x x. Dominio, 0] U [, + f'x x x x x x x f'x 0 x 0 x Dominio. No hay puntos singulares. 7 Página 9. Representa estas funciones: a y x 8x + 7 b y x + x 6x c y x x x + x a y x 8x + 7 Simetrías: f x x 8x + 7 f x. Es par: simétrica respecto al eje Y. Ramas infinitas: lím f x + ; lím f x + x x + Puntos singulares: f'x x 6x f'x 0 xx 0 x 0 x x Puntos singulares: 0, 7;, 9;, 9 Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y 7 Punto 0, 7 Con el eje X y 0 x 8x x 8 ± ± 6 8 ± 6 x 7 x ± 7 x x ± Puntos: 7, 0;, 0;, 0; 7, 0 Unidad 7. Representación de funciones 9

251 Puntos de inflexión: f''x x 6 f''x 0 x 6 0 x x ± ± Puntos, 7 y 7, 9 9 Gráfica: 7 9 b y x + x 6x Simetrías: f x x x 6x. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. Ramas infinitas: lím f x + ; lím f x + x x + Puntos singulares: f'x x + x 7x f'x 0 xx + x 6 0 x 0 ± + x ± 5 x x Puntos: 0, 0;, 6;, 89 Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y 0 Punto 0, 0 Con el eje X y 0 x x + x 6 0 x 0 x 0 ± 6 + x 6 ± 8 6 x,86 x,9 Puntos: 0, 0;,86; 0;,9; 0 Unidad 7. Representación de funciones 0

252 Puntos de inflexión: f''x 6x + x 7 f''x 0 x + x 6 0 ± + 7 x 6 ± 76 6 x, x,79 Puntos:,;,8 y,79; 07, Gráfica: c y x x x + x Simetrías: f x x + x x x. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. Ramas infinitas: lím f x + ; lím f x + x x + Puntos singulares: f'x x x x + f'x 0 x x x + 0 x x + x 0 x x x Puntos, 7;, 9;, 9 Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y 0 Punto 0, 0 Con el eje X y 0 xx x x + 0 x 0 x x x + 0 x x x 6 0 Puntos: 0, 0;, 0;,65; 0;,65; 0 Unidad 7. Representación de funciones x x,65 x,65

253 Puntos de inflexión: f''x x x f''x 0 x 6x 0 6 ± 6 + x 6 6 ± 8 6 x,5 x 0,5 Puntos:,5;,8 y 0,5;,7 Gráfica: 7 9. Representa las siguientes funciones: a y x x 6 b y x x c y /x x a y x x 6 Simetrías: f x x + x 6. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen de coordenadas. Ramas infinitas: lím f x + ; lím f x + x x + Puntos singulares: f'x x x f'x 0 x x 0 Puntos: 0, 6;, 7 x 0 x Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y 6 Punto 0, 6 Con el eje X y 0 x x 6 0 x x + x + x tiene una sola raíz, que está entre y ; pues, si gx x + x + x + 8, g 6 < 0 y g > 0. Puntos, 0 y k, 0, con k entre y. Unidad 7. Representación de funciones

254 Puntos de inflexión: f''x 6x x f''x 0 xx 0 8 Puntos: 0, 6 y, 7 x 0 x Gráfica: 0 b y x x Simetrías: f x x + x f x. Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. Ramas infinitas: lím f x ; lím f x + x x + Puntos singulares: f'x x f'x 0 x 0 x x Puntos:, ;, Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y 0 Punto 0, 0 Con el eje X y 0 x x 0 xx 0 x 0 x x Puntos: 0, 0;, 0;, 0 Puntos de inflexión: f''x 6x f''x 0 6x 0 x 0 Punto 0, 0 Unidad 7. Representación de funciones

255 Gráfica: c y x x Simetrías: f x x x f x. Es par: simétrica respecto al eje Y. Ramas infinitas: lím f x + ; lím f x + x x + Puntos singulares: f'x x x f'x 0 xx 0 Puntos: 0, 0;, ;, x 0 x x Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y 0 Punto 0, 0 Con el eje X y 0 x x 0 x 0 x x 8 x Puntos: 0, 0;, 0;, 0 Puntos de inflexión: f''x x f''x 0 x 0 Puntos:, 0 ; 0, 9 9 x x Unidad 7. Representación de funciones

256 Gráfica: Página 9. Representa: x a y b y x x x 8 x x a y x + x. Dominio Á {, } x x Simetrías: f x x x f x. Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. Asíntotas verticales: lím f x + x Asíntota vertical en x. lím f x x + lím f x + x lím f x x + Asíntota vertical en x. Asíntota oblicua: x x + x x x y x es asíntota oblicua. Posición de la curva respecto a la asíntota: f x x > 0 si x curva por encima f x x < 0 si x + curva por debajo Puntos singulares: x f'x x x x x x + x x + x x x x Unidad 7. Representación de funciones 5

257 f'x 0 x x + 0 Puntos: 0, 0;, ;, Cortes con los ejes: Corta a los ejes en 0, 0. Gráfica: x 0 x x b y x x 8 8 x. Dominio Á {0} x x Simetrías: x f x + x 8. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni x respecto al origen. Asíntotas verticales: lím f x + x 0 Asíntota vertical en x 0. lím f x x 0 + Asíntota oblicua: x x 8 8 x x x y x es asíntota oblicua. Posición de la curva respecto a la asíntota: f x x > 0 si x curva por encima f x x < 0 si x + curva por debajo Puntos singulares: f'x + 8 > 0 para todo x del dominio. x La función es creciente en todo su dominio. No tiene puntos singulares. Unidad 7. Representación de funciones 6

258 Cortes con los ejes: Con el eje X y 0 x x 8 0 Puntos:, 0 y, 0 No corta el eje Y, pues no está definida en x 0. x x Gráfica:. Representa: x a y 9 b y x x + x x + x a y 9. Dominio Á {, } x Simetrías: x f x 9 f x. Es par: simétrica respecto al eje Y. x Asíntotas verticales: lím f x x Asíntota vertical en x. lím f x + x + lím f x + x lím f x x + Asíntota vertical en x. Asíntota horizontal: x 9 5 x x y es asíntota horizontal. Posición de la curva respecto a la asíntota: f x < 0 si x curva por debajo f x < 0 si x + curva por debajo Unidad 7. Representación de funciones 7

259 Puntos singulares: xx f'x xx 9 xx x + 9 x x f'x 0 0x 0 x 0 Punto 0, 9 Cortes con los ejes: 9 Con el eje Y x 0 y Punto 0, 9 0x x Con el eje X y 0 x 9 0 Puntos:, 0 y, 0. x x Gráfica: x b y + x. Dominio Á x + Simetrías: f x x x x + f x. Es impar: simétrica respecto al origen de coordenadas. No tiene asíntotas verticales. Asíntota oblicua: x + x x + x x + x + y x es asíntota oblicua. Posición de la curva respecto a la asíntota: f x x < 0 si x curva por debajo f x x > 0 si x + curva por encima Puntos singulares: x f'x + x + x + x x x + x + x + x x x + x + x + x + x + Unidad 7. Representación de funciones 8

260 f'x 0 x + x + 0 x ± 8 No tiene solución. No hay puntos singulares. Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y 0 Punto 0, 0 Con el eje X y 0 x + x 0 xx + 0 x 0 Punto 0, 0 Puntos de inflexión: x f''x + xx + x + x + x + x x + x x + xx + x x + x + 6x x + x + xx x + x 0 f''x 0 x Puntos: 0, 0;, 5 ; 5, Gráfica: x Página 95. Representa: a y e x b y e x c y ln x + a y e x Dominio: Á. x Simetría: f x e x f x. Es una función par: es simétrica respecto al eje Y. Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím x f x lím x + f x 0 Unidad 7. Representación de funciones 9

261 y 0 es asíntota horizontal. Además, como e x > 0 para todo x, la curva se sitúa por encima de la asíntota. Puntos singulares: f'x x e x f'x 0 x 0 x 0 Punto 0, e Puntos de inflexión: f''x e x + x xe x + x e x Puntos de inflexión: 0,7;,65, 0,7;,65 f''x 0 x x ± 0,7 f e/,65 Gráfica: b y e x x Dominio: D Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales: lím f x + x 0 lím f x + x 0 + Asíntota vertical: x 0 lím f x 0. Además f x > 0 para todo x del dominio. x y 0 es una asíntota horizontal cuando x lím f x + ; x + lím x + f x x +. Rama parabólica. Puntos singulares: e f'x x e x x x e x x x f'x 0 x Punto, e e x x x Unidad 7. Representación de funciones 0

262 Gráfica: c y ln x + Dominio: Como x + > 0 para todo x, D Á. Simetrías: f x ln x + fx. Es par: simétrica respecto al eje Y. No tiene asíntotas verticales. Ramas infinitas: lím f x lím f x + x x + x f x ln x + x + lím lím lím x + x x + x x + 0 Por tanto, no tiene asíntotas de ningún tipo. Tiene ramas parabólicas. Puntos singulares: f'x x x + f'x 0 x 0 x 0 Punto 0, ln Puntos de inflexión: f''x x + x x x + 8 x x + x + 8 x x + x f''x 0 8 x 0 Puntos:, ln 8 y, ln 8 x Gráfica: Unidad 7. Representación de funciones

263 . Representa: a y ln x b y sen x + cos x a y ln x Dominio: x > 0 D, U, + Simetrías: f x ln x f x. Es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas verticales: lím f x ; lím f x x x + x y x son asíntotas verticales. lím f x lím f x + x x + x f x ln x x lím lím lím x + x x + x x + 0 Tiene ramas parabólicas. Puntos singulares: f'x x x f'x 0 x 0 x 0. No tiene puntos singulares, pues la función no está definda en x 0. Puntos de inflexión: f''x x x x x x x x x x No tiene puntos de inflexión. Puntos de corte con los ejes: Con el eje X y 0 ln x 0 x x No corta al eje Y, pues no existe f 0. x Puntos:, 0 y, 0 x Unidad 7. Representación de funciones

264 Gráfica: b y sen x + cos x Está definida, y es continua y derivable en todo Á. Es periódica de periodo π solo la estudiamos en [0, π]. No existe lím f x no tiene asíntotas ni ramas parabólicas. x ± Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y x 0 f 0 Punto 0, Con el eje X y 0 sen x + cos x 0 5π tg x + 0 tg x x o x 6 5π Puntos, 0 ; π, Puntos singulares: π 6 f'x cos x sen x f'x 0 cos x sen x 0 tg x 0 tg x Puntos de inflexión: π π x Punto, π π x Punto, f''x sen x cos x f x f''x 0 f x 0 Los puntos de inflexión son los de corte con el eje X. Gráfica: π π π π π π π π Unidad 7. Representación de funciones

265 Página 0 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Representa una función continua y derivable en Á tal que: lím f x +, lím f x, f' 0 x + x f, f'x 0 para cualquier x. Representa una función que no esté definida en x y tal que: lím f x + y lím f x x x + lím x ± f x si x +, f x < si x, f x > No tiene puntos singulares y es creciente. De una función y f x tenemos esta información: D Á {, }; lím f x + ; lím f x x x + lím f x ; lím f x + ; lím f x 0 x x + x ± si x +, f x > 0; si x, f x < 0 f' 0, f ; f' 0, f Represéntala. Dibuja la gráfica de una función de la que se conocen las siguientes propiedades: lím f x, lím f x + x x + f'x 0 si x, x 0, x, x f ; f 0 0; f 5; f 5 Unidad 7. Representación de funciones

266 5 Dibuja la gráfica de una función que cumpla las siguientes propiedades: S lím fx, lím fx, lím fx x x + x 5 f 8, f 0 0 es el único punto donde f x se anula. f' 8 0 y la derivada no se anula en ningún otro punto. Además, f'x < 0 para todo x positivo. La función es continua en toda la recta real, salvo en los puntos x 5 y x Describe las siguientes funciones indicando sus asíntotas y ramas infinitas, sus puntos singulares y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. a b c d y x a Asíntota vertical: x 0. Asíntotal horizontal: y lím f x ; lím f x x x + si x, fx < ; si x +, f x < lím f x ; x 0 lím f x x 0 + f x no tiene puntos singulares. Decrece en, 0 y crece en 0, +. Unidad 7. Representación de funciones 5

267 b Asíntota vertical: x. Asíntotal horizontal: y lím f x ; lím f x x x + si x, fx > ; si x +, f x > lím f x + ; x lím f x x + Puntos singulares: f'0 0; f 0. Máximo en 0, Creciente en, U, 0 y decreciente en 0, +. c Asíntota horizontal si x + : y 0 lím f x + ; lím f x 0 x x + si x +, fx > 0 Puntos singulares: f'0 0; f 0 0. Mínimo en 0, 0 f' 0; f. Máximo en, Decreciente en, 0 U, + y creciente en 0,. d Asíntota vertical: x Asíntota oblicua: y x si x, f x > x; si x +, f x < x lím f x + ; lím f x x x + Puntos singulares: no tiene. Creciente en, U, +. 7 Se considera la función f x x + x +. Tiene máximos y/o mínimos? S Tiene algún punto de inflexión? Haz una gráfica aproximada de esta función. f x x + x + f'x x + f'x 0 x no tiene solución. f'x > 0 para todo x f x es creciente. No tiene máximos ni mínimos. f''x 6x f''x 0 6x 0 x 0 Unidad 7. Representación de funciones 6

268 Signo de f''x: f'' < 0 0 f'' > 0 Hay un punto de inflexión en 0,. Además, lím f x ; lím f x + x x + Gráfica: 8 Dada la función y x x +, se pide: S a Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Extremos relativos. b Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. c Dibuja la gráfica a partir de los resultados anteriores. a f'x x f'x 0 x 0 x x Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' > 0 f x es creciente en, U, + es decreciente en, tiene un máximo en, y un mínimo en, b f''x 6x f''x 0 6x 0 x 0 Signo de f''x: f'' < 0 f'' > 0 0 f x es convexa en, 0 es cóncava en 0, + tiene un punto de inflexión en 0, Unidad 7. Representación de funciones 7

269 c 9 En las siguientes funciones, estudia su dominio, asíntotas y posición de la curva respecto de estas, y represéntalas a partir de los resultados obtenidos: a y b y c y x x + d y x e y x f y x + x x x x x + x + x + a y x Dominio: Á {, } Asíntotas: lím f x 0; lím f x 0 x x + y 0 es asíntota horizontal. si x, f x > 0; si x +, f x > 0 lím f x + x lím f x x + x es asíntota vertical lím f x x lím f x + x + x es asíntota vertical Gráfica: Unidad 7. Representación de funciones 8

270 b y x + Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím f x 0; lím f x 0 x x + si x, f x < 0; si x +, f x < 0 Gráfica: c y x x Dominio: Á {, } Asíntotas: lím f x 0; lím f x 0 x x + si x, f x < 0; si x +, f x > 0 y 0 es asíntota horizontal. lím f x x x es asíntota vertical lím f x + x + lím f x x lím f x + x + Gráfica: x es asíntota vertical Unidad 7. Representación de funciones 9

271 d y x x x x Dominio: Á {0} Asíntotas: lím f x + x 0 lím x 0 + f x x 0 es asíntota vertical y x es asíntota oblicua. si x, f x > x; si x +, f x < x Gráfica: e y x + x Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím f x 0; lím f x 0 x x + si x, f x < 0; si x +, f x > 0 Gráfica: f y x x + x + x + Dominio: x + x + 0 ± x No tiene solución. D Á Unidad 7. Representación de funciones 0

272 Asíntotas: lím f x ; lím f x x x + si x, f x > ; si x +, f x < y es asíntota horizontal. Gráfica: Página 0 0 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones estudiando ramas infinitas, máximos y mínimos y puntos de inflexión: a y x x + b y x x c y x x d y x x a y x x + Ramas infinitas: lím f x ; lím f x + x Máximos y mínimos: f'x x f'x 0 x 0 x Signo de f'x: x + f' > 0 f' < 0 f' > 0 x x Máximo en,. Mínimo en,. Puntos de inflexión: f''x 6x f''x 0 6x 0 x 0 Signo de f''x: f'' < 0 0 f'' > 0 Punto de inflexión en 0,. Unidad 7. Representación de funciones

273 Gráfica: b y x x Ramas infinitas: lím x f x + ; lím f x + x + Máximos y mínimos: f'x x x f'x 0 xx 0 Signo de f'x: x 0 x 0 x x f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 Máximo en 0, 0. Mínimos en, y en,. Puntos de inflexión: f''x x f''x 0 x x ± ±,5 Signo de f''x: f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0,5,5 Puntos de inflexión:,5; 0 ;,5; Gráfica: Unidad 7. Representación de funciones

274 c y x x Ramas infinitas: lím x f x ; lím f x + x + Máximos y mínimos: f'x x x f'x 0 xx 0 x 0 x / Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 Máximo en 0, 0 y mínimo en, 7. Puntos de inflexión: f''x 6x f''x 0 6x 0 x 6 Signo de f''x: f'' < 0 f'' > 0 Punto de inflexión:, 7 Gráfica:,5 0,5 d y x x Ramas infinitas: lím x f x ; lím f x + x + Máximos y mínimos: f'x x f'x 0 x 0 x x Unidad 7. Representación de funciones

275 Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' > 0 Máximo en, y mínimo en,. Puntos de inflexión: f''x 6x f''x 0 6x 0 x 0 Signo de f''x: f'' < 0 f'' > 0 0 Punto de inflexión en 0, 0. Gráfica: S Representa las siguientes funciones determinando previamente sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y sus máximos y mínimos: a f x x + 6x b f x x x + x c f x x x + 60x a f x x + 6x f'x 6x + 6 f'x 0 6x x Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f x es creciente en, ; es decreciente en, +. Tiene un máximo en,. Unidad 7. Representación de funciones

276 Gráfica: b f x x x + x f'x x 8x + 8 ± ± 6 f'x 0 x 6 6 Signo de f'x: 8 ± 6 f' > 0 f' < 0 f' > 0 x 6 x f x es creciente en, U, + ; es decreciente en,. Tiene un máximo en, y un mínimo en, 0. Gráfica: 7 c f x x x + 60x f'x 6x x + 60 f'x 0 6x 7x x Signo de f'x: 7 ± 9 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 x x 5 5 f x es creciente en, U 5, + ; es decreciente en, 5. Tiene un máximo en, 0 y un mínimo en 5, 7. Gráfica: Unidad 7. Representación de funciones 5

277 Estudia las ramas infinitas y los puntos singulares de las siguientes funciones. Con la información obtenida, represéntalas: a y b y c y x + + x d y e y x + f y x x x x x a y x + Dominio: Á { } Ramas infinitas: lím x lím x + f x 0 y 0 es asíntota horizontal. f x 0 f x > 0 si x +, f x < 0 si x lím x lím x + f x f x + x es asíntota vertical. Puntos singulares: f'x < 0 f x es decreciente en su dominio. No tiene máximos ni mínimos. x + Gráfica: b y + x Dominio: Á Ramas infinitas: lím x lím x + f x 0 y 0 es asíntota horizontal. f x 0 f x > 0 la curva está por encima de la asíntota. No tiene asíntotas verticales. Unidad 7. Representación de funciones 6

278 Puntos singulares: f'x x + x f'x 0 x 0 x 0 Signo de f'x: Máximo en 0,. Gráfica: c y x Dominio: Á {, } Ramas infinitas: f' > 0 0 f' < 0 0,5 0,5 lím x lím x + f x 0 y 0 es asíntota horizontal. f x 0 f x < 0 si x + y si x lím x lím x + f x f x + x es asíntota vertical. lím x lím x + f x + f x x es asíntota vertical. Puntos singulares: f'x x x f'x 0 x 0 x 0 Signo de f'x: f' < 0 f' < 0 0 f' > 0 f' > 0 Mínimo en 0,. Unidad 7. Representación de funciones 7

279 Gráfica: d y x Dominio: Á {} Ramas infinitas: lím f x 0 x lím x + y 0 es asíntota horizontal. f x 0 f x > 0 la curva está por encima de la asíntota. lím x lím x + f x + f x + x es asíntota vertical. Puntos singulares: f'x x f'x 0. Signo de f'x: No tiene puntos singulares. Gráfica: f' > 0 f' < 0 e y x + x + x x Dominio: Á {0} Ramas infinitas: lím x 0 lím x 0 + f x f x + x 0 es asíntota vertical. Unidad 7. Representación de funciones 8

280 y x es asíntota oblícua. f x < x si x ; f x > x si x + Puntos singulares: f'x x f'x 0 x 0 Signo de f'x: x x x x f' > 0 f' < 0 0 f' < 0 f' > 0 Máximo en, y mínimo en,. Gráfica: f y x x Dominio: Á {} Ramas infinitas: lím x lím x + f x f x y es asíntota horizontal. f x < si x ; f x > si x + lím x lím x + f x + f x + x es asíntota vertical Puntos singulares: f'x xx x x xx x x x f'x 0 6x 0 x 0 6x x Signo de f'x: f' < 0 0 f' > 0 f' < 0 Mínimo en 0, 0. Unidad 7. Representación de funciones 9

281 Gráfica: En las siguientes funciones se pide: dominio de definición, cortes con los S ejes, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los posibles máximos o mínimos. Con la información obtenida, represéntalas: x + x a y b y c y x x x x d y e y x + f y x x + x + x + x a y x + x Dominio: Á {} Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y Punto 0, Con el eje X y 0 x + 0 x Punto, 0 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f'x x x + 6x 6 6x 6 x x x f'x 0 para todo x f'x < 0 f x es decreciente en todo su dominio. Ramas infinitas: lím f x y es asíntota horizontal. x f x f x < si x ; f x > si x + lím x + lím x lím x + f x f x + x es asíntota vertical. Unidad 7. Representación de funciones 0

282 Gráfica: b y x x Dominio: Á {} Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y 0 Punto 0, 0 Con el eje X y 0 x 0 Punto 0, 0 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f'x x x x x f'x 0 para todo x. f'x < 0 f x es decreciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos. Ramas infinitas: lím x lím x + f x f x y es asíntota horizontal. f x < si x ; f x > si x + lím x lím x + Gráfica: f x f x + x es asíntota vertical. 6 c y x x Dominio: Á {} Unidad 7. Representación de funciones

283 Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y 0 Punto 0, 0 Con el eje X y 0 x 0 Punto 0, 0 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f'x x x x x x x x x x f'x 0 x 0 x Signo de f'x: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f x es decreciente en, U, +, crece en,. Tiene un mínimo en,. Ramas infinitas: lím x lím x + f x 0 f x 0 y 0 es asíntota horizontal. f x < 0 si x ; f x > 0 si x + lím x lím x + f x + f x + x es asíntota vertical. Gráfica: d y x x + Dominio: x ± 8 x + 0 x. No tiene solución. Por tanto: Dominio: Á Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y Punto 0, Con el eje X y 0 Como y 0, no corta al eje X. Unidad 7. Representación de funciones

284 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f'x x x x + f'x 0 x 0 x Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f x es creciente en,, es decreciente en, +. Tiene un máximo en,. Ramas infinitas: lím f x 0 x lím x + y 0 es asíntota horizontal. f x 0 f x > 0 la curva está por encima de la asíntota. No tiene asíntotas verticales. Gráfica: e y x + x + Dominio: Á Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y Punto 0, Con el eje X y 0 x Punto, 0 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f'x x + x + x + x x + [x + xx + ] x + x + x + x + x x x + x x + x + f'x 0 x + x 0 x x Signo de f'x: f' < 0 f' > 0 f' < 0 Unidad 7. Representación de funciones

285 f x es decreciente en, U, + ; es creciente en,. Tiene un mínimo en, 0 y un máximo en, 5. Ramas infinitas: lím x lím x + f x f x y es asíntota horizontal. f x < si x ; f x > si x + No tiene asíntotas verticales. Gráfica: 5 x f y + x + x x Dominio: Á {0} Cortes con los ejes: No corta al eje Y, pues x 0 no está en el dominio. No corta al eje X, pues x + 0 para todo x. Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f'x x x x + x x 9x x x f'x 0 x 0 x x x Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f x es creciente en, U, + ; es decreciente en, 0 U 0,. Tiene un máximo en, y tiene un mínimo en,. Ramas infinitas: lím f x x 0 lím x 0 + f x + x 0 es asíntota vertical. y x es asíntota oblícua. Unidad 7. Representación de funciones

286 x x f x < si x ; f x > si x + Gráfica: PARA RESOLVER Representa las siguientes funciones estudiando previamente: S Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto de estas. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y extremos relativos. 8 a y x + b y x c y x x + x d y x + e y x f y x x x x x x x x g y h y i y x 9 x x x + x j y x k y x l y x x + x x x m y n y x + x x a y x + 8 x Dominio: Á {0} Asíntotas: lím f x x 0 lím f x + x 0 + x 0 es asíntota vertical y x es asíntota oblicua. si x, f x < x; si x +, f x > x Unidad 7. Representación de funciones 5

287 Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x 8 x f'x 0 x 8 0 x x Signo de la derivada: x x f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f x es creciente en, U, + es decreciente en, 0 U 0, tiene un máximo en, 8 tiene un mínimo en, 8 Gráfica: 8 b y x x + Dominio: Á { } Asíntotas: lím f x 0; lím f x 0 x x + si x, f x < 0; si x +, f x > 0 y 0 es asíntota horizontal. lím f x x lím f x x + x es asíntota vertical Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x x + x x + x + x + x x + x + x + x + Unidad 7. Representación de funciones 6

288 f'x 0 x + 0 x Signo de f'x: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f x es decreciente en, U, + es creciente en, tiene un máximo en, Gráfica: x c y x + x x x Dominio: Á {, } Asíntotas: lím f x x x es asíntota vertical lím f x + x + lím f x x lím f x + x + x es asíntota vertical y x es asíntota oblicua. si x, f x < x; si x +, f x > x Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x x x x x x x x x x x x x f'x 0 x x 0 Signo de f'x: x 0 x x x x x f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 Unidad 7. Representación de funciones 7

289 f x es creciente en, U, + Gráfica: es decreciente en, U, U, tiene un máximo en, tiene un mínimo en, d y x x + x + x Dominio: Á {} Asíntotas: lím f x x lím f x + x + x x es asíntota vertical y x es asíntota oblicua. si x, f x < x ; si x +, f x > x Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x x x x + x x x x x x xx x f'x 0 xx 0 x 0 x Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f x es creciente en, 0 U, + y es decreciente en 0, U, tiene un máximo en 0, y tiene un mínimo en, Unidad 7. Representación de funciones 8

290 Gráfica: e y x x Dominio: Á {} Asíntotas: lím f x 0; lím f x 0 x x + si x, f x < 0; si x +, f x > 0 y 0 es asíntota oblicua. lím f x x lím f x x + x es asíntota vertical Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x x x x x x x x x 8 8x + x x + 6 x f'x 0 x x Signo de f'x: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f x es decreciente en, U, + es creciente en, tiene un máximo en, Unidad 7. Representación de funciones 9

291 Gráfica: f y x x Dominio: Á {} Asíntotas: lím f x 0; lím f x 0 x x + si x, f x < 0; si x +, f x > 0 y 0 es asíntota horizontal. lím f x + x lím f x + x es asíntota vertical x + Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x x x x x x x x f'x 0 x 0 x x x Signo de f'x: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f x es decreciente en, U, + Gráfica: es creciente en, tiene un mínimo en, 8 0, 0, Unidad 7. Representación de funciones 50

292 x x g y x x + x x x Dominio: Á {} Asíntotas: lím f x + x x es asíntota vertical lím f x x + y x es asíntota oblicua. si x, f x > x ; si x +, f x < x Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x + x f'x 0 x + 0 no tiene solución f x no tiene extremos relativos. f'x > 0 para todo x f x es creciente en todo su dominio. Gráfica: x h y x 9 x Dominio: Á {, } Asíntotas: lím f x, lím f x x x + si x, f x < ; si x +, f x < y es asíntota horizontal. lím f x x x es asíntota vertical lím f x + x + lím f x + x lím f x x + x es asíntota vertical Unidad 7. Representación de funciones 5

293 Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x x9 x x x 8x x + x 8x 9 x 9 x 9 x f'x 0 8x 0 x 0 Signo de f'x: f' < 0 f' < 0 f' > 0 f' > 0-0 f x es decreciente en, U, 0 es creciente en 0, U, + tiene un mínimo en 0, 0 Gráfica: i y x + x + x x Dominio: Á {0} Asíntotas: lím f x x 0 lím x 0 + f x + x 0 es asíntota vertical y x es asíntota oblicua. si x, f x < x; si x +, f x > x Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x x f'x 0 x 0 Signo de f'x: x x f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 Unidad 7. Representación de funciones 5

294 f x es creciente en, U, + es decreciente en, 0 U 0, tiene un máximo en, tiene un mínimo en, Gráfica: j y x x Dominio: Á {} Asíntotas: lím f x ; lím f x x x + si x, f x < ; si x +, f x > y es asíntota horizontal. lím f x + x lím f x + x es asíntota vertical x + Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x xx x x xx x x x x 6x x 6x x x f'x 0 6x 0 x 0 Signo de f'x: f' < 0 f' > 0 f' < 0 0 f x es decreciente en, 0 U, + es creciente en 0, tiene un mínimo en 0, 0 Unidad 7. Representación de funciones 5

295 Gráfica: k y x x x + Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. y x es asíntota oblicua. Si x, f x > x; si x +, f x < x. Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x 6x x + x x 6x + 6x x x + x + f'x 0 x x + 0 x 0 Signo de f'x: f'x > 0 para todo x 0 f x es creciente en todo Á. Gráfica: x x + x + 6x x + l y x x Dominio: Á {, } Asíntotas: lím f x + x x es asíntota vertical lím f x x + Unidad 7. Representación de funciones 5

296 lím x lím x + f x f x + x es asíntota vertical f x lím f x + ; lím x x x f x lím f x + ; lím x + x + x + Ramas parabólicas Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x x x x x x 5 6x x 5 x 5 6x x x x x x 8 x f'x 0 x x 8 0 Signo de f'x: x 0 x 8 x 8 f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > f x es decreciente en, 8 U 0, U, 8 es creciente en 8, U, 0 U 8, + tiene un mínimo en 8, 6 y otro en 8, 6 tiene un máximo en 0, 0 Gráfica: m y x x + Dominio: Á { } Asíntotas: lím f x + x lím f x x + x es asíntota vertical Unidad 7. Representación de funciones 55

297 f x lím f x + ; lím x x x f x lím f x + ; lím x + x + x + Ramas parabólicas Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x x x + x x + 6x x x + 6x x + x + x + f'x 0 x x + 0 x 0 x Signo de f'x: f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' > 0 0 f x es decreciente en, es creciente en, U, + tiene un mínimo en, 7 tiene un punto de inflexión en 0, 0 Gráfica: x n y x + x x Dominio: Á {} Asíntotas: lím f x x x es asíntota vertical lím f x + x + y x es asíntota oblicua. Si x, f x < x ; si x +, f x > x. Unidad 7. Representación de funciones 56

298 Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x x x x x x x f'x 0 xx 0 Signo de f'x: x 0 x f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f x es creciente en, 0 U, + es decreciente en 0, U, tiene un máximo en 0, tiene un mínimo en, 0 Gráfica: 5 a Halla las asíntotas de la gráfica de la función definida para x > 0 por S f x + x. x b Halla las regiones de crecimiento y de decrecimiento de f indicando sus máximos y mínimos locales y globales, si los hay. c Esboza la gráfica de f. a lím f x + x 0 es asíntota vertical. x 0 + f x x + x y x es asíntota oblicua. Si x +, f x > x b f'x x x x x no vale f'x 0 x 0 x x no vale, pues f x está definida solamente para x > 0 Unidad 7. Representación de funciones 57

299 Signo de f'x: f' < 0 f' > 0 0 f x es decreciente en 0, es creciente en, + tiene un mínimo local y global en, no tiene un máximo c 6 Dada la función f x, se pide: x + a Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto a estas. b Máximos y mínimos relativos, e intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c Dibuja la gráfica de f. a Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím f x 0 y 0 es asíntota horizontal. x lím x + f x 0 f x > 0 la curva está por encima de la asíntota. x b f'x x + f'x 0 x 0 Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 0 f x es creciente en, 0; es decreciente en 0, +. Tiene un máximo en 0,. Unidad 7. Representación de funciones 58

300 c Página 0 7 S Representa gráficamente la función: p x x + /x + x Cuántas raíces reales tiene este polinomio p x? px x + x + x lím px + ; lím px + x x + p'x x + x + x xx + x + p'x 0 x 0 Hay un punto singular en 0,. p''x x + 8x + x + x + p''x 0 ± x 6 no tiene solución. px no tiene puntos de inflexión. Gráfica: f x tiene dos raíces reales. 8 Dadas las siguientes funciones, halla sus asíntotas, estudia el crecimiento y la existencia de máximos y mínimos. Dibuja su gráfica: e a y x b y x x + x + c y x + d y x + 8 x x Unidad 7. Representación de funciones 59

301 e a y x x + Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím f x 0 y 0 es asíntota horizontal cuando x f x >0 x lím x + f x f x + ; lím + Rama parabólica x x + Crecimiento, máximos y mínimos: f'x e x x + e x x x + e x x x + x + f'x 0 x x + 0 ± x. No tiene solución. f'x > 0 para todo x f x es creciente en todo Á. No tiene máximos ni mínimos. Corta al eje Y en 0,. Gráfica: 6 b y x x + Dominio: Á x / x x + Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. y x es asíntota oblicua. Si x, f x > x; si x +, f x < x Crecimiento, máximos y mínimos: f'x x x + x 8x x + x 8x x + x x + x + x + f'x 0 x x + 0 x 0 0, 0 f'x > 0 si x 0 f x es creciente tiene un punto de inflexión en 0, 0 Unidad 7. Representación de funciones 60

302 Gráfica: 0,5 c y x + x Dominio: Á {} Asíntotas: lím f x + x lím f x + x + x es asíntota vertical y x es asíntota oblicua. Si x, f x > x; si x +, f x > x. Crecimiento, decrecimiento, extremos relativos: f'x 8 x x 8 x f'x 0 x 8 x x Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' > 0 f x es creciente en, U, + es decreciente en, tiene un mínimo en, Gráfica: Unidad 7. Representación de funciones 6

303 d y x + 8 x Dominio: Á {} Asíntotas: lím x lím x + f x f x + x es asíntota vertical. lím x f x y es asíntota horizontal. lím x + f x f x < si x ; f x > si x + Crecimiento, máximos y mínimos: f'x x x x + 8 x x x x 8 x x f'x 0 7x 0 x 0 Signo de f'x: f'x < 0 f x es decreciente en su dominio. Tiene un punto de inflexión en 0, 8. 7x x Gráfica: 8 9 Estudia los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente: a y e x e x b y e x + e x c y sen x + cos x para 0 x π a y e x e x senh x. Esta función se denomina seno hiperbólico de x. f'x e x + e x f'x 0 e x + e x 0 no tiene solución no hay máximos ni mínimos f'x > 0 para todo x f x es creciente Unidad 7. Representación de funciones 6

304 f''x e x e x f''x 0 e x e x 0 e x 0 e x 0 e x x 0 x 0 y 0 Signo de f''x: e x f'' < 0 0 f'' > 0 Hay un punto de inflexión en 0, 0. Gráfica: b y e x + e x cosh x. Esta función se denomina coseno hiperbólico de x. f'x e x e x f'x 0 e x e x 0 x 0 y Signo de f'x: f' < 0 f' > 0 Hay un mínimo en 0,. f''x e x + e x f''x 0 no tiene solución no hay puntos de inflexión Gráfica: Unidad 7. Representación de funciones 6

305 c y sen x + cos x para 0 x π f'x cos x sen x f'x 0 cos x sen x tg x π x 5π x Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 π 5π π π 5π Hay un máximo en, y un mínimo en,. f''x sen x cos x f''x 0 sen x cos x tg x π x 7π x Signo de f''x: Hay un punto de inflexión en, 0 y otro en, 0. Gráfica: f'' < 0 f'' > 0 f'' < 0 0 π 7π π π 7π π 7π π 0 Representa las siguientes funciones: a y x ln x b y c y x ln x e x x d y x e x e y xe x + f y x e x x g y h y ln x ln x a y x e x Dominio: Á Unidad 7. Representación de funciones 6

306 Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f x lím fx ; lím x x x + Rama parabólica lím fx lím x lím x + x + e x x + e x 0 y 0 es asíntota horizontal cuando x + f x > 0. Puntos singulares: e f'x x xe x e x x e x f'x 0 x 0 x Signo de f'x e x x e x f' > 0 f' < 0 f x es creciente en, es decreciente en, + tiene un máximo en, e Corta a los ejes en el punto 0, 0. Gráfica: ln x b y x Dominio: 0, + Asíntotas: lím x 0 + f x x 0 es asíntota vertical /x lím fx lím x + x + x 0 y 0 es asíntota horizontal cuando x + f x > 0. Unidad 7. Representación de funciones 65

307 Puntos singulares: f'x /x x ln x x ln x x f'x 0 ln x x e Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 0 e f x es creciente en 0, e es decreciente en e, + tiene un máximo en e, e Corta al eje X en, 0. Gráfica: c y x ln x Dominio: 0, + Asíntotas: ln x lím x ln x lím lím /x lím x 0 x 0 + x 0 + /x x 0 + /x x 0 + No tiene asíntotas verticales. f x lím fx + ; lím + Rama parabólica x + x + x Puntos singulares: f'x ln x + x ln x + x f'x 0 ln x x e Signo de f'x: f' < 0 e f' > 0 0 e Unidad 7. Representación de funciones 66

308 f x es decreciente en 0, e es creciente en, + tiene un mínimo en, e e Corta al eje X en, 0. Gráfica: e d y x e x Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím fx lím x e x lím x lím 0 x x + x + x + y 0 es asíntota horizontal cuando x f x < 0. f x lím fx + ; lím x + x + x + Rama parabólica Puntos singulares: f'x e x +x e x e x + x xe x f'x 0 x 0 Signo de f'x: e x e x f' < 0 f' > 0 0 f x es decreciente en, 0 es creciente en 0, + tiene un mínimo en 0, Corta al eje X en, 0. Unidad 7. Representación de funciones 67

309 Gráfica: e y xe x + Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím f x 0 y 0 es asíntota horizontal cuando x. x lím x + f x < 0 si x f x f x + ; lím + Rama parabólica x x + Puntos singulares: f'x e x + + xe x + + xe x + f'x 0 x Signo de f'x: f' < 0 f' > 0 f x es decreciente en, es creciente en, + tiene un mínimo en,. Corta a los ejes en el punto 0, 0. Gráfica: f y x e x Dominio: Á Unidad 7. Representación de funciones 68

310 Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f x lím fx + ; lím x x x Rama parabólica x e x lím fx + ; lím lím x lím 0 x + x + x + x + y 0 es asíntota horizontal cuando x + f x > 0. e x e x Puntos singulares: y x e x f'x xe x x e x e x x x e x f'x 0 x x 0 x x 0 Signo de f'x: e x x x e x x 0 x f' < 0 f' > 0 f' < 0 0 f x es decreciente en, 0 U, + es creciente en 0, Gráfica: tiene un mínimo en 0, 0 tiene un máximo en, e x g y ln x Dominio: ln x 0 x. Además, ha de ser x > 0. Dominio: 0, U, + Asíntotas: lím f x 0 x 0 + Unidad 7. Representación de funciones 69

311 lím x lím x + lím x + f x f x + x es asíntota vertical. f x f x + ; lím + Rama parabólica x x + Puntos singulares: x ln x x x f'x x ln x x ln x ln x xln x ln x f'x 0 xln x 0 Signo de f'x: x 0 no vale ln x x e / f' < 0 f' < 0 f' > 0 e / f x es decreciente en 0, U, e / es creciente en e /, + tiene un mínimo en e /, e. Gráfica: h y lnx Dominio:, U, + Asíntotas: lím fx x es asíntota vertical x lím fx x es asíntota vertical x + f x lím fx + ; lím x x x 0 f x lím fx + ; lím x + x + x 0 Ramas parabólicas Unidad 7. Representación de funciones 70

312 Puntos singulares: f'x x x f'x 0 x 0 x 0 No hay puntos singulares x 0 no pertenece al dominio. Puntos de corte con el eje X: lnx 0 x x Puntos:, 0 y, 0 x x Gráfica: 6 6 Estudia y representa las siguientes funciones: a y x b y x c y x d y x a y x Dominio: [, ] Asíntotas: No tiene. Puntos singulares: f'x x x x x f'x 0 x 0 Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 0 f x es creciente en el intervalo, 0 y decreciente en el intervalo 0,. Tiene un máximo en 0,. Corta al eje X en, 0 y en, 0. Gráfica: Unidad 7. Representación de funciones 7

313 b y x Dominio:, ] U [, + Simetría: f x f x Es par Simétrica respecto al eje Y. Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. f x + lím x + lím x + f x x x lím x x + lím x + [f x x] [ x] lím x + x + x lím x x lím 0 x + x + x x + x + x y x es asíntota oblícua cuando x +. f x < x Por simetría pues f x es par, deducimos que: y x es asíntota oblícua cuando x. f x < x Puntos singulares: f'x x x x x f'x 0 x 0 que no está en el dominio No tiene puntos singulares. f x es decreciente en, y es creciente en, +. Pasa por, 0 y, 0. Gráfica: lím x + x x x x + x Unidad 7. Representación de funciones 7

314 c y x x / Dominio: Á Simetría: f x x f x. Es par: simétrica respecto al eje Y. No tiene asíntotas. Ramas infinitas: lím f x lím f x + x lím x + f x x 0 x + Ramas parabólicas Puntos singulares: f'x x / x No existe f'0 f x no es derivable en x 0. f x es decreciente en, 0 y creciente en 0, +. Pasa por 0, 0. Gráfica: d y x Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím x lím x f x f x x lím x + f x f x lím 0 x x + Ramas parabólicas Puntos singulares: x f'x x f x no es derivable en x ni en x. f'x 0 x 0 x 0 Unidad 7. Representación de funciones 7

315 Signo de f'x: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 f x es creciente en, 0, es decreciente en 0, + ; tiene un máximo en 0,. Corta al eje X en, 0 y en, 0. Gráfica: Estudia el dominio de definición, las asíntotas y los extremos de cada una de las siguientes funciones y, con esa información, trata de encontrar su gráfica entre las que están representadas a continuación: a y sen x b y xe x c y sen d y x x e y x + f y sen x π π π π π π π π π 5 6 a y sen x Dominio: sen x 0 D Á {πk}, k Z x 0 + πk; k Z Unidad 7. Representación de funciones 7

316 Asíntotas: x πk, k Z son asíntotas verticales. No hay más asíntotas. Extremos: f'x cos x sen x x π/ + πk f'x 0 cos x 0 k Z x π/ + πk Signo de f'x en 0, π: f x es periódica de periodo π. f x es decreciente en 0, π U π, π π es creciente en, π U π, π π tiene un mínimo en, π tiene un máximo en, Gráfica f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0 0 π π π π b y xe x Dominio: Á Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím fx lím xe x lím x lím 0 x x + x + x + y 0 es asíntota horizontal cuando x f x < 0. f x lím fx + ; lím x + x + x + Rama parabólica Extremos: f'x e x + xe x e x + x f'x 0 + x 0 x e x e x Unidad 7. Representación de funciones 75

317 Signo de f'x: f' < 0 f' > 0 f x es decreciente en, es creciente en, + e tiene un mínimo en, Gráfica 6 x c y sen Dominio: Á Asíntotas: No tiene. Extremos: f'x cos x x x π f'x 0 cos 0 + πk x π + πk f x es periódica de periodo π. Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 π π π f x es creciente en 0, π U π, π es decreciente en π, π tiene un máximo en π, tiene un mínimo en π, Gráfica 5 d y x Dominio: Á Asíntotas: No tiene. f x lím fx ; lím x x + x 0 f x lím fx + ; lím x + x + x 0 Ramas parabólicas Unidad 7. Representación de funciones 76

318 Extremos: f'x f x no es derivable en x 0 x f'x > 0 para todo x 0. f x es creciente. Gráfica e y x + Dominio: Á Simetría: f x f x f x es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas: No tiene asíntotas verticales. lím fx + x + lím x + f x x x + lím x + x lím x + x + [fx x] lím [ x] x + x + x x + + x lím x + x + + x x + x lím lím x + x + x + + x x + + x 0 y x es asíntota oblicua cuando x + f x > x. Por simetría: y x es asíntota oblicua cuando x f x > x. Extremos: f'x x x x + x + f'x 0 x 0 Signo de f'x: f' < 0 f' > 0 0 Unidad 7. Representación de funciones 77

319 f x es decreciente en, 0 es creciente en 0, + tiene un mínimo en 0, Gráfica f y sen x Dominio: Á Asíntotas: No tiene. Extremos: f'x sen x cos x sen x π f'x 0 sen x 0 x 0 + πk x k, k Z f x es periódica de periodo π. Signo de f'x en 0, π: f' > 0 0 f x es creciente en 0, π π es decreciente en, π π tiene un máximo en, π f' < 0 π tiene un mínimo en 0, 0 y otro en π, 0 Gráfica La recta y x + 6 es una asíntota oblicua de la función f x x +. Halla el valor de k y representa la función. S x k Hallamos k: Si y x + 6 es asíntota oblicua, tenemos que: f x lím ; lím [ f x x] 6 x + x x + Por tanto: f x f x + ; x + lím lím lím x + x + x x + x kx Unidad 7. Representación de funciones 78

320 [ f x x] x [ x] + x + x + kx lím lím lím x + x + x k x + x k kx + lím k 6 k x + x k Luego: f x x + x Dominio: Á {} Asíntotas: lím f x x lím f x + x + x es asíntota vertical y x + 6 es asíntota oblicua. Si x, f x < x + 6; si x +, f x > x + 6 Puntos singulares: f'x xx x + x x x x x x x x f'x 0 x x 0 x Signo de f'x: ± + 8 x 6,08 x 0,08 f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0,08 6,08 f x Gráfica: es creciente en ; 0,08 U 6,08; + es decreciente en 0,08; U ; 6,08 tiene un máximo en 0,08; 0, tiene un mínimo en 6,08;, Unidad 7. Representación de funciones 79

321 Una partícula se mueve a lo largo de la gráfica de la curva y x para x x >. En el punto P, la deja y se desplaza a lo largo de la recta tangente a dicha curva. a Halla la ecuación de la tangente. b Si se desplaza de derecha a izquierda, halla el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota vertical más próxima al punto P. c Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, halla el punto en el que la partícula encuentra el eje OX. a f'x x x x x + x x x 0 f' 9 La ecuación de la recta tangente en P es: 0 0 y + x y x x + x b La asíntota vertical más próxima a P es x. Tenemos que hallar el punto de intersección de x con la recta tangente anterior: 0 y x 9 9 x El punto es, c Tenemos que hallar el punto en el que la recta anterior corta al eje OX: 0 y x 9 9 y 0 y 9 x 0 6 x x y 0 9 El punto es 6, 0 5 Página 05 5 Dada la función f x x x halla: S a Los puntos en los que f no es derivable. b Calcula sus máximos y mínimos. c Represéntala gráficamente. x a f x x + si x < x + x si x < x x si x x x si x Si x ±, tenemos que: f x es derivable. Su derivada es: f'x x + 6x si x < x 6x si x > Unidad 7. Representación de funciones 80

322 Por tanto: f' 9 f' + 9 f' f' + f x no es derivable en x Punto, 0. b f'x 0 x + 6x 0 si x < x 0 0, 0 x x + 0 x, x 6x 0 si x > ninguno Como f x 0 para todo x, tenemos que: f x tiene un mínimo en 0, 0 y otro en, 0, y tiene un máximo en,. c lím f x + ; lím f x + x x + Uniendo todo lo anterior, llegamos a la gráfica: 6 Halla los puntos de corte, los máximos y mínimos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los puntos de inflexión de las siguientes funciones definidas en el intervalo [0, π]. Utilizando la información obtenida, represéntalas gráficamente: a y cos x b y + sen x c y sen x cos x d y sen x a y cos x Dominio: [0, π] nos la definen en este intervalo. Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y Punto 0, Con el eje X y 0 cos x 0 cos x π x 5π x π 5π Puntos, 0 y, 0 Unidad 7. Representación de funciones 8

323 Máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento: f'x sen x f'x 0 sen x 0 x 0 x π x π Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 0 π π f x es creciente en el intervalo 0, π y es decreciente en el intervalo π, π. Tiene un máximo en π,, un mínimo en 0, y otro mínimo en π,. Puntos de inflexión: f''x cos x f''x 0 cos x 0 π x π x Signo de f''x: f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 π π π Puntos de inflexión:, y, π π Gráfica: π π π π b y + sen x Dominio: [0, π] está solo definida en este intervalo. Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y Punto 0, Con el eje X y 0 + sen x 0 sen x 7π x 6 7π π Puntos, 0 y, π x 6 Unidad 7. Representación de funciones 8

324 Máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento: f'x cos x π x f'x 0 cos x 0 π x Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 π π π f x es creciente en 0, U, π ; es decreciente en,. π π π π Tiene un máximo en, y un mínimo en,. π π Puntos de inflexión: f''x sen x f''x 0 sen x 0 Signo de f''x: x 0 x π x π f'' < 0 f'' > 0 0 π π Puntos de inflexión en 0,, π, y en π,. Gráfica: π π π π c y sen x cos x Dominio: [0, π] nos la definen en este intervalo. Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y Punto 0, Con el eje X y 0 sen x cos x 0 π x π 5π tg x Puntos, 0 y, 5π 0 x Unidad 7. Representación de funciones 8

325 Máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento: f'x cos x + sen x f'x 0 cos x + sen x 0 + tg x 0 tg x π x 7π x Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 π 7π π f x es creciente en 0, U, π ; es decreciente en,. π π 7π 7π Tiene un máximo en, y un mínimo en,. Puntos de inflexión: f''x sen x + cos x sen x cos x f x Los puntos de inflexión son los puntos de corte con el eje X. Gráfica: π 7π π π π π d y sen x Dominio: [0, π] nos la definen en este intervalo. Cortes con los ejes: Con el eje Y x 0 y 0 Punto 0, 0 Con el eje X y 0 sen x 0 x 0 x π x π Puntos 0, 0, π, 0 y π, 0. Máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento: f'x sen x cos x Unidad 7. Representación de funciones 8

326 f'x 0 sen x cos x 0 sen x 0 cos x 0 x 0 x π x π x π/ x π/ Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' > 0 f' < 0 0 π π π π f x es creciente en 0, U π, ; es decreciente en, π U, π. π Tiene un máximo en,, otro en π, π π otro en π, 0 y otro en π, 0. Puntos de inflexión: f''x [cos x sen x] f''x 0 cos x sen x 0 tg x 0 π π, y tiene un mínimo en 0, 0, tg x tg x tg x x π/ x 7π/ x π/ x 5π/ π Puntos de inflexión:,,,,, y,. Gráfica: π 5π 7π π π π π 7 Dada la gráfica de la función f x, determina: S f x X Unidad 7. Representación de funciones 85

327 a Dominio de la función. b Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c Intervalos donde la derivada es positiva. d Puntos donde no es derivable. e Ecuaciones de las asíntotas. a, + b Es creciente en, U, y es decreciente en, +. c f'x > 0 en, U,. d No es derivable en x, ni en x, ni en x. e Asíntota vertical: x Asíntota horizontal: y 0 8 Dada la función f x bx con b 0, se pide: S x + a Determina las asíntotas de la función para cualquier valor del parámetro b. b Determina el valor del parámetro b para que la función tenga un máximo en el punto,. a Dominio: Á No tiene asíntotas verticales. lím f x lím f x 0 y 0 es asíntota horizontal. x x + b b f b 6 f x Comprobemos que, en efecto, hay un máximo para x : f'x 6x + 6x x 6x + 6 x x + x + 6x x + 6 6x x + f'x 0 6 6x 0 x x x Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 Como f' > 0 a la izquierda de x, y f' < 0 a su derecha, en x hay un máximo. Unidad 7. Representación de funciones 86

328 9 x Comprueba que la función f x x + distintas. tiene dos asíntotas horizontales x si x < 0 x + f x x si x 0 x + Por tanto: x lím f x lím x x x + y es asíntota horizontal cuando x x lím f x lím x + x + x + y es asíntota horizontal cuando x Dada la función f x ax + b +, calcula a y b para que la gráfica de f x pase por el punto, 6 y tenga, en ese punto, tangente horizontal. Para ese valor de a y b, representa la función. 8 f x ax + b + ; f'x a x 8 x Pasa por, 6 a + b 6 a + b Tangente horizontal f' 0 a 0 a Para estos valores, queda: f x x + + Dominio: Á {0} 8 x a ; b Asíntotas: lím f x x 0 lím f x + x 0 + x 0 es asíntota vertical 8 f x x + + y x + es asíntota oblicua x Si x, f x < x + ; si x +, f x > x + Puntos singulares: f'x 8 x x 8 x f'x 0 x 8 0 x x x Unidad 7. Representación de funciones 87

329 Signo de f'x: f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f x es creciente en, U, + es decreciente en, 0 U 0, tiene un máximo en, 6 tiene un mínimo en, 0 Gráfica: Estudia y representa y tg x indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y extremos, si los hubiere. y tg x Como es una función periódica de periodo π, basta con estudiarla en el intervalo [0, π]. Dominio: Á { π + kπ } Asíntotas: π En el intervalo [0, π] tiene una asíntota vertical en x : lím f x ; lím f x + x π/ x π/ + De la misma forma, hay asíntotas verticales en x Intervalos de crecimiento y extremos: f'x + tg x < 0 f x es decreciente. No tiene máximos ni mínimos. Corta al eje X, en el intervalo [0, π], en los puntos: π + kπ. tg x 0 tg x x π Unidad 7. Representación de funciones 88

330 Gráfica: π π π π π π π π CUESTIONES TEÓRICAS Qué podemos decir del grado de una función polinómica que tiene dos máximos y dos mínimos relativos? En esa función, puede estar uno de los mínimos más alto que el máximo? Si tiene dos máximos y dos mínimos relativos, y es polinómica, su derivada tiene, al menos, cuatro raíces; es decir, f'x será, al menos, de grado. Por tanto, f x será, al menos, de grado 5. Sí, podría haber un mínimo más alto que un máximo. Por ejemplo: está más alto que el má- El mínimo de x ximo de x 0. x 0 x Cuántos puntos de inflexión puede tener como máximo una función polinómica de cuarto grado? Si f x es un polinomio de cuarto grado, f'x será un polinomio de tercer grado y f''x será un polinomio de segundo grado. Así, f'x tendrá, a lo sumo, dos raíces. Por tanto, f x tendrá, como máximo, dos puntos de inflexión. La función f x x + no está definida en x ni en x ; x sin embargo, tiene solo una asíntota vertical. Justifica esta información. Unidad 7. Representación de funciones 89

331 f x x + x lím f x x lím f x + x + x + x + x lím f x lím x x x x es asíntota vertical En x hay una discontinuidad evitable, no hay una asíntota. 5 Cuántas asíntotas verticales puede tener una función? Y horizontales? Asíntotas verticales puede tener infinitas. Como ejemplo, podemos considerar la función y, cuya gráfica está representada en el ejercicio, es la gráfica. sen x Asíntotas horizontales puede tener, como máximo, dos: una cuando x y otra cuando x +. 6 Da un ejemplo de una función que tenga un mínimo en x y que no sea S derivable en ese punto. Represéntala. y x x + si x < x si x f 0 f x > 0 para x Hay un mínimo en x, en, 0. f x no es derivable en x, pues f' f' +. La gráfica es: 7 S Da un ejemplo de una función que sea derivable en x con f' 0 y que no tenga máximo ni mínimo en ese punto. Por ejemplo, y x. f'x x f' 0 f'x > 0 para x f x es creciente Unidad 7. Representación de funciones 90

332 En x hay un punto de inflexión. La gráfica es: Si es posible, dibuja una función continua en el intervalo [0, ] que tenga, al S menos, un máximo relativo en el punto, y un mínimo relativo en el punto,. Si la función fuera polinómica, cuál habría de ser, como mínimo, su grado? f x debe tener, al menos, dos máximos y dos mínimos en [0, ], si es derivable. Si f x fuera un polinomio, tendría, como mínimo, grado 5 pues f'x se anularía, al menos, en cuatro puntos. Unidad 7. Representación de funciones 9

333 UNIDAD 8 INICIACIÓN A LAS INTEGRALES Página 06. Dos trenes Un Talgo y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma vía y en idéntica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente. Éstas son las gráficas TIEMPO - VELOCIDAD de ambos movimientos. VELOCIDAD en km/h TALGO MERCANCÍAS TIEMPO en horas Como podemos ver en la gráfica, el Talgo, a las dos horas, reduce su velocidad: A qué puede deberse? Por qué no aminora la marcha también el otro tren? A las tres horas ambos trenes modifican su marcha: el Talgo para durante breves minutos, mientras que el de mercancías va muy despacio durante media hora. Para hacernos una idea clara de estos movimientos, realicemos algunos cálculos: a El Talgo, durante h, va a 0 km/h. Cuántos kilómetros recorre a esa velocidad? b De a, el Talgo disminuye su velocidad. Cuántos kilómetros recorre a esa velocidad? Unidad 8. Iniciación a las integrales

334 c El tren de mercancías aminora la marcha a las h. Qué distancia ha recorrido hasta ese momento? d Qué distancia recorre el tren de mercancías durante la media hora en que va a baja velocidad? e A qué distancia de la estación de salida está esta otra en la que para el Talgo? f Observa que en todos los cálculos que has realizado hasta ahora se han obtenido áreas bajo las gráficas, roja o negra. Señala los recintos cuyas áreas has calculado y asigna a cada uno su área correspondiente. a 0 0 km. b A 60 km/h durante de hora, recorre 60 5 km. c Ha ido a 80 km/h durante horas, luego ha recorrido 80 0 km. d Va a 0 km/h durante hora, luego recorre 0 5 km. e La parada la hace a las horas; en este momento lleva recorrida una distancia de: 0 0 km en las dos primeras horas 60 5 km el siguiente cuarto de hora 0 90 km los siguientes tres cuartos de hora Total: km hasta llegar a la parada. f VELOCIDAD km/h Área 0 Área 90 TALGO 0 VELOCIDAD km/h Área 5 TIEMPO horas 0 Área 0 MERCANCÍAS 0 Área 5 TIEMPO horas Unidad 8. Iniciación a las integrales

335 Página 07. Consumo de energía eléctrica La gráfica nos da la potencia eléctrica que hay en funcionamiento en una vivienda, a cada instante, entre las 7 de la mañana y las de la noche. POTENCIA en watios TIEMPO en horas El área bajo la curva es la energía consumida: potencia tiempo energía. Un cuadrito equivale a 0, kw h Cuántos kw h se han consumido, aproximadamente, en esas 7 horas? Hay 8,5 cuadritos, luego se han consumido: 0, 8,5 8,5 kw h. Cuál es la función cuya derivada es? La función cuya derivada es x es... x La función cuya derivada es cos x es... sen x La función cuya derivada es x es... x Di cuál es la función cuya derivada es: a x b x c 5x d x e x f 7x g x + x h 5x + 7x i sen x j sen x k 5sen x l x ln m x n 5 x a x b x c 5x d x e x f 7x g x + x h 5x + 7x i cos x j cos x k 5 cos x l x 5 m n ln ln Página 08. Halla una primitiva de: a x b x c d a x b x / x x x / c x d x / x x x 5 5 x x x x / / / x x Unidad 8. Iniciación a las integrales

336 . Busca una primitiva de: x x a b c x x x x x a x / / x /6 x x 5/6 5/6 6 6 x 5 5 x x x 7/6 b x /6 7/6 6 6 x 7 7 c x / x / x /6 x x x 7/6 7/6 6 6 x 7 7 Página 09. Halla una primitiva de: a f x x 5 b f x 5x c f x x x + 7x x + x a x 5 x 6 + k 6 5x b x / + k + k 5 x x + 7x x + c x x x 5 x 5/ 5/ 5x 5 5 x x + 7x ln x + k x. Busca una primitiva de: a f x sen x 5cos x b f x e x + 5 x + x x c f x 5x 5x a sen x 5 cos x cos x 5 sen x + k b e x + 5 x + e x k ln 5x 5x 5x 5x 5 c + k 5x 5x 5x 5x x + 5x Unidad 8. Iniciación a las integrales

337 Página 5. Halla las primitivas de estas funciones: a f x x 5x + x 5 b f x 5x + x c f x d f x x x e f x cos x sen x a x 5x + x 5 x 5x + + k b 5x + 5x + + k 5x + + k 5 0 c x ln x x + k x x d x ln x x + k x x e cos x sen x sen x + k 6. Busca las primitivas de: a f x x x ln b f x x x c f x x 5 d f x sen x e f x sen x x x 8x f f x a x x ln x + k + k b x x x + k + k ln ln c x 5 x 5 + k + k ln ln d sen x cos x + k x x x 5 e sen x x x 8x cos x x + k x x x cos x sen x f cos x ln sen x + k sen x Unidad 8. Iniciación a las integrales 5

338 Página 5. Halla e interpreta estas integrales: a π sen x b x 0 a Gx sen x cos x Gπ ; G0 π sen x Interpretación geométrica: I y sen x III 0 π II π π π IV La parte positiva y la parte negativa son iguales; por eso da de resultado 0: Área de I Área de II + Área de III Área de IV 0 x b Gx x x 6 6 G ; G x 6 6 Interpretación geométrica: y x Como queda por debajo del eje X, la integral es el área del recinto señalado con signo negativo, es decir: Área del recinto. Halla la siguiente integral e interprétala geométricamente: 0e x Gx e x e x Unidad 8. Iniciación a las integrales 6

339 G e ; G0 e x e 6,9 0 Interpretación geométrica: 8 Área del recinto e 6,9 y e x Página 7. Halla el área comprendida entre la función y x x, el eje X y las rectas x 0, x 5. Puntos de corte con el eje X: x x 0 x, x, x, x Solo nos sirven x, x están entre 0 y 5. Hay tres recintos: I [0, ]; II [, ]; III [, 5] Gx x x x 5x + + x 8 6 G0 0; G ; G ; G5 5 5 Área del recinto I G G0 Área del recinto II G G Área del recinto III G5 G Área total + + 9,6 u Halla el área comprendida entre la función y x x x y el eje X. Puntos de corte con el eje X: x x x 0 x x x 0 x, x 0, x Hay dos recintos: I [, 0]; II [0, ] x x 8 5 Gx x x x x x x Unidad 8. Iniciación a las integrales 7

340 5 8 G ; G0 0; G 5 Área del recinto I G0 G 8 Área del recinto II G G Área total +,08 u Página 8. Halla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes: f x x x +, g x x + x + f x gx x x + x x x x x x x x 0 x x x 0 x, x 0, x Hay dos recintos: I [, 0]; II [0, ] Gx x x x x x x 7 5 G ; G0 0; G 5 7 Recinto I: Área [, 0] G0 G II Recinto II: Área [0, ] G G Área total: +,8 u 6 I Página 5 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Halla una primitiva de las siguientes funciones: a f x x + b f x x x c f x + x d f x 8x + x e f x + f f x x + x x x g f x + h f x x x x 5x Unidad 8. Iniciación a las integrales 8

341 a x + x + x b x x x x x c + x + x d 8x + x x + x e + x + x + x f + x / + x + x x 5x 5 x x / / x 5 x x x x 5x g + x / + x + + x x x / / x x x 6 x x 8/ h x x / x 5/ x 8/ x 8 8 Calcula: a b c x + x x 5x d x e f g x h x x + x x x x x a x / + k + k + k x 5x b x / + k + k x + x c x / + x / + + k + + k x x d x x + k + + k x e ln x + k x 5 5 x / / x 5/ 5/ x x / / x x 5x 5 5 x 5/ 5/ x x x x x 5 5 Unidad 8. Iniciación a las integrales 9

342 f ln x + + k x + g x x x x x x x ln x + + k x h ln x x + k Resuelve: a sen x b cos x + π c d + tg x e cos x f sen x sen x g sen x h cos x a sen x sen x cos x + k b cos x + sen x + + k c cos 5 5x 5 tg 5x + k cos 5x 5 d + tg x + tg x tg x + k e cos x ln sen x + k sen x f sen x + cos + k π g sen x cos x + k π π π x π π π h cos x cos x sen x + k π π x π π π cos 5x Unidad 8. Iniciación a las integrales 0

343 Calcula: a e x + b e x c x 7 d x/ a e x + e x + + k b e x e x e x + k ln c x 7 ln x 7 x 7 + k + k x/ ln ln d x/ x/ + k x 7 ln 5 Calcula: a x b x + 5 c d e + x 5 f g x h x x + x a x x + k b x + 5 x k + k c + k d x 5/ + k e x x + x 5 + x / + k + k f ln x + k g x ln x + + k x + x x 6 x + x + x 6x x h ln x + k 6 x + x x x 5 / / [x + /] / / x + 6 x 5 9 x + x x + Unidad 8. Iniciación a las integrales

344 6 Calcula: a x b x 5x c + x d x e x e f sen x cos x g x h x sen x x a x 0x 5x + / + k + k 5x + x b + k x c x + ln x + x + k x + x d x e x x e x e x + k 5x x + e ln x + + k f sen x cos x sen x + k x g ln x + k x x x 6x x + x x h x sen x x sen x cos x + k 5 6 5x x + 0 x 5x + / / x + x + x 5x Calcula: a e 5x b x x + 5 c e d x e x + 5 f x 6x + x a e 5x 5 e 5x e 5x + k 5 x + 5 ln b x x + 5 x x k x x x x Unidad 8. Iniciación a las integrales

345 c e x e x e x + k x x d + k x 6x + x + 5 x + 5 e + k x f x / + k + k x x x + 5 x x 6 x 6x + x + 5 x 6x + x + 5 x / / x 9 8 Resuelve las siguientes integrales: a x x + b x c x x + d x x + 5x 7 x + x + x x Dividendo Divide y transforma la fracción así: cociente + divisor a x x + x + x x b x + 5x 7 x + x + x + c x x + x x x + k x x + x x x x x + ln x + k + x ln x + + k d + x + ln x + x x x resto divisor 9 Calcula: x a sen b sen x cos x c x x x d e x + f x + x + x + x x g h i ln x j cos e x e x e x + e x x x x Unidad 8. Iniciación a las integrales

346 a sen cos + k x x x b sen x cos x sen + k x c x x x / + k + k x + x + d + k e x + x + x x + k f + k g x + x x x h ln + e x + k + e x i ln x ln x + k x j cos e x sen e x + k e x e x x x x x 7/ 7/ x + 6x x x 7 7 x + x 5 5 x x x + 8x + 5 ln x + k Página 6 0 Resuelve las siguientes integrales: a 5 x b 6 x c x + x d x e e x f e x g π sen x cos x h π x 0 πsen a Gx x x G5 5; G 8 5 x G5 G Unidad 8. Iniciación a las integrales

347 b Gx x x x G6 0; G 6 x G6 G 0 8 c Gx x + x + G G 6 x x x + x G G 0 d Gx x / x x / / x 6 G ; G 6 x G G e Gx ln x x Ge ; G 0 e x Ge G f Gx e x e x G e; G e e x G G e e e e e e g Gx sen x cos x cos x sen x Gπ ; G0 π 0 sen x cos x Gπ G0 h Gx sen x cos x Unidad 8. Iniciación a las integrales 5

348 Gπ ; G π π π sen x Gπ G π 0 Halla, en cada caso, el área limitada por: S a f x x, el eje X y las rectas x 0 y x. b f x x x, el eje X y las rectas x y x. c f x x x y el eje X. d f x x, el eje X y las rectas x y x. e f x e x, el eje X y las rectas x y x. f f x x +, el eje X y las rectas x y x. a Puntos de corte con el eje X: x 0 x, x Solo nos sirve x. Hay un recinto: [0, ] Gx x x x 6 G ; G0 0 6 Área G G0 u b Puntos de corte con el eje X: x x 0 x 0, x Hay dos recintos: I [, 0]; II [0, ] Gx x x x x G ; G0 0; G Área del recinto I G0 G Área del recinto II G G0 6 Área total + u I II Unidad 8. Iniciación a las integrales 6

349 c Puntos de corte con el eje X: x x 0 x, x Hay un recinto: [, ] Gx x x 5 G ; G 9 x x x Área G G 9 u 5 d Puntos de corte con el eje X: x 0 x, x Hay tres recintos: I [, ]; II [, ]; III [, ] Gx x x x G ; G ; G ; G II I III Área del recinto I G G Área del recinto II G G Área del recinto III G G Área total u e No corta al eje X. Gx e x e x G e ; G e Área G G e e e e 9,7 u e e f No corta al eje X. Gx x + x + x G ; G 0 Área G G u Unidad 8. Iniciación a las integrales 7

350 Halla las integrales de las siguientes funciones en los intervalos que se indican: a f x x 6x en [0, ] b f x cos x en [0, π/] c f x x + x en [, ] x d f x sen en [0, π] a Gx x 6x x x G0 0; G x 6x G G0 0 b Gx cos x sen x G0 0; G π/ 0 π π cos x G G0 c Gx x + x x + x x + x x G ; G x + x 9 G G x d Gx sen cos x G0 ; Gπ π x sen Gπ G0 + 0 x x PARA RESOLVER Calcula el área comprendida entre las curvas: S a y x ; y x b y x ; y c y x ; y x d y x ; y x + x e y x + 5x ; y x + f y x ; y 8 x ; x ; x Unidad 8. Iniciación a las integrales 8

351 a x x 0 x 0, x Gx x x x x G0 0; G 6 Área G G0 u 6 b x 0 x, x Gx x x x G ; G Área G G u c x x 0 x 0, x Gx x x x x G0 0; G Área G G0 u d x x + x x x 0 x 0, x Gx x x x x G0 0; G Área G G0 u e x + 5x x + x + x 0 x, x Gx x + x 0 7 G ; G x + x x 0 7 Área G G 9 u 7 Unidad 8. Iniciación a las integrales 9

352 f x 8 x x 0 x, x Gx x x 6 G ; G x 6 Área G G u 6 6 Calcula el área de los recintos limitados por: S a La función f x x x + y los ejes de coordenadas. b La curva y x, la recta x y el eje X. π c La función y sen x, el eje de abscisas y las rectas x y x π. d La función y cos x y el eje OX entre x 0 y x π. a f x x x + x 0 x Gx x x G0 ; G 0 Área G G0 u b x 0 x 0 8 Gx x x G0 0; G Área G G0 u 8 c sen x 0 x 0 π π entre y Hay dos recintos: I [ π, 0 ] ; II [ π 0, ] Gx sen x cos x π π ; G0 G G Unidad 8. Iniciación a las integrales 0

353 Área recinto I G0 G + 0,9 π Área recinto II G G0 0,9 Área total 0,9 0,58 u π π d cos x 0 x entre 0 y π Hay dos recintos: I [ π 0, ] ; II π [, π ] π π Gx cos x sen x π G0 0; G ; Gπ 0 π Área recinto I G G0 Área recinto II Gπ G0 I π π II Área total + u 5 Calcula el área comprendida entre las curvas: S a y x e y x b y x e y x c y x e y x d y x e y x e y x + x y el eje de abscisas. a x x x + x 0 x, x Gx x + x x + x x 5 G 9; G Área G G u 8 b x x x 0 x, x Gx x x 8 G ; G 8 x 6 Área G G u Unidad 8. Iniciación a las integrales

354 c x x x x + x + x + 0 x, x x x Gx x + x x 7 0 G ; G 6 9 Área G G u d x x x x, x Gx x + 8 x + 8x G ; G 6 Área G G u e x + x 0 x, x Gx x + x x + x 8x + x x 8 7 G ; G 65 Área G G 5, u x x Halla el área comprendida entre la curva y x + x + 5 y la recta y 5. S x + x x + x 0 x 0, x x Gx x + x + x G0 0; G Área G G0 u S Calcula el área limitada por las siguientes curvas: a y x + x ; y x + ; x ; x b y x ; y x ; y c y xx x ; y 0 d y x x; y x e y x x; y x f y x x ; y x Unidad 8. Iniciación a las integrales

355 a x + x x + x 0 x, x Gx x x x G ; G Área G G u b x x x 0 x, x x x, x I II III Tenemos tres recintos: I [ ], [ ] ; II [, ; III, ] Para el I y el III hay que considerar: G x x x x G ; G ; G ; G Área del recinto I G G Área del recinto III G G 5 5 Para el II hay que considerar: G x + x + x x + x 7 G ; G 7 Área del recinto II G G Área total + + u 6 6 c x x x 0 x 0, x, x Hay dos recintos: I [0, ]; II [, ] Gx x x x x x + x x x + x Unidad 8. Iniciación a las integrales

356 G0 0; G ; G 0 Área del recinto I G G0 Área del recinto II G G Área total + u d x x x x x 0 x 0, x Gx x x x x 9 G0 0; G 9 Área G G0 u e x x x x + x x 0 x, x 0, x Hay dos recintos: I [, 0]; II [0, ] x Gx x + x x + x 8 G ; G0 0; G Área del recinto I G0 G Área del recinto II G G Área total + u x f Por simetría respecto al anterior, el área es la misma: 7 Área total u 6 8 Un depósito se vacía de forma variable según la función v t 5 0,t t en min, v en l/min. Calcula lo que se ha vaciado el depósito entre los minutos 00 y 00. Unidad 8. Iniciación a las integrales

357 Gt 5 0,t 5t 0,t 5t 0,05t G00 000; G00 0 Área G00 G Se han vaciado 000 litros entre los minutos 00 y Una fábrica arroja diariamente material contaminante a una balsa según un S ritmo dado por la siguiente función: m 0,0t 0,t + t + siendo m la cantidad de material en kg y t la hora del día. Cuánto material arroja cada día? Consideramos t entre 0 y horas: 0 0,0t 0,t + t + 0,0t [ + t + t] 0,t 9,8 0 9,8 kg 0 0 Calcula el área limitada por la gráfica de y x + x, la tangente a esa curva S en x y el eje de abscisas. Recta tangente en x : y' + x m y' 5; y 6 Recta y x 5x Hacemos las gráficas para entender mejor la situación: 8 6 Puntos de corte de y x + x con el eje X: x + x 0 x, x 0 Punto de corte de y 5x con el eje X: Área bajo y x + x entre 0 y : G x x + x x + x 5x 0 x 5 Unidad 8. Iniciación a las integrales 5

358 G ; G 0 0 Área G G 0 u Área bajo y 5x entre y : 5 G x 5x x G ; G x 8 5 Área G G + u 8 6 El área buscada es: u Página 7 Dada la curva de ecuación y x x + x, halla la ecuación de su tangente en el origen y calcula el área de la región que queda encerrada entre la curva y la tangente. Tangente en el origen: y' x x + ; m y'0 ; y0 0 Recta y x x x + x x x x 0 x 0, x Gx x x x x G0 0; G Área G G0 u 8 6 Halla el área de la figura sabiendo que el lado curvo corresponde a la función y x +. Entre y 0 tenemos un triángulo de base y altura : Área u ;;; Entre y tenemos un triángulo de base y altura : Área u Unidad 8. Iniciación a las integrales 6

359 Entre 0 y : Gx x + x + x G0 0; G Área G G0 u 7 El área total será: + + u 6 Dada la función f x x, escribe las ecuaciones de las tangentes a f en los puntos de corte con el eje de abscisas. Halla el área comprendida entre las rectas tangentes y la curva. Puntos de corte con el eje X: x 0 x, x Puntos, 0 y, 0 f'x x; f' ; f' Recta tangente en x y x + x + 8 Recta tangente en x y x x + 8 Hacemos una gráfica para entenderlo mejor: 8 6 Área del triángulo de vértices, 0, 0, 8 y, 0: 8 Área 6 u Área entre y x y el eje X: Gx x x x 6 6 G ; G Área G G u 6 El área total será la diferencia: 6 u Unidad 8. Iniciación a las integrales 7

360 Dada f x x +, halla: a x f b x f c x f d f 0 Gx x + x + x G0 0; G ; G ; G 5 a x f Gx G0 0 x + x x b x f Gx G + x x c x f Gx G + x + d 5 f G G 6 5 a Halla el área limitada por y x, el eje X y las rectas x 0 y x 5. b Calcula x. a Definimos la función por intervalos para hacernos una idea de su forma: x +, x y x x, x > El área buscada será: 0y 5 0 x x [ x + x] + [x x] u b x x + + x [ x + x] + [x x] u 6 Calcula: a f x y b siendo: 0 gx, x si 0 x x si x f x g x x si < x x + si < x Unidad 8. Iniciación a las integrales 8

361 a f x x + x 0 0 G x x x G G 0 0 G x x x x G G Así: f x b gx x + x + G x x x G G 0 G x x + x + x G G Así: gx 7 Dada la función f x, halla el área limitada por f x, el eje OX y las rectas x 0 y x S : f x x < x x + x x x + x > Para x comprendida entre 0 y, tenemos que: f x x + x Hallamos los puntos de corte con el eje OX: x + x 0 x x + 0 x 0 x Por tanto, el área pedida es: Área 0 x x [ ] x + x ,5 u Unidad 8. Iniciación a las integrales 9

362 8 Halla una función f de la cual sabemos que: f 'x x x + 5 y que f 0 Gx x x + 5 x x + 5x + k son las primitivas de la función dada. Entre todas ellas, nos interesa la que cumple que G 0, es decir: G 5 + k 0 k 5 Así: f x x x + 5x 5 9 Halla la función primitiva de la función y x x que pase por el punto,. Gx x x x x + k son las primitivas de la función dada. Buscamos k para que pase por, : G + k k 0 La función que buscamos es: f x x x 0 Halla la función que tome el valor en x y cuya derivada es: f 'x x + 6 Gx x + 6 x + 6x + k son las primitivas de la función dada. Buscamos k para que G : G 7 + k k 5 Por tanto: f x x + 6x 5 Halla la primitiva de f x x x que corte al eje de abscisas en x. x x Gx x x x + k son las primitivas de la función dada. Buscamos k para que G 0: G + k k La función que buscamos es: x x y x + Unidad 8. Iniciación a las integrales 0

363 CUESTIONES TEÓRICAS Si F x y G x son dos primitivas de f, se verifica necesariamente que F x k + G x? Justifica la respuesta. Sí. Justificación: f Fx + c f Gx + c Restando: 0 Fx Gx + c c Fx k + Gx Siendo F x x f x 5x, halla la función f. Calcula F 0 y F. f x F'x 6x 5 F0 0; F Calcula el área bajo la curva f x x en el intervalo variable [, x]. Halla el área para x. x 0 x, x Área x t Gt t t t x G Área [, x] Gx G x x + Cuando x, queda: Área [, ] 8 u 5 Demuestra, utilizando integrales, que el área del rectángulo es A b a. Y r Halla la ecuación de la recta r y calcula el área limitada por r y el eje OX entre x 0 y x b. La ecuación de r es y a. El área es: a b X Área b a 0 Gx a a x Gb a b; G0 0 Área Gb G0 a b Unidad 8. Iniciación a las integrales

364 PARA PROFUNDIZAR 6 Dada la función f x ae x/ + x 0: x S a Calcula f x en función de a. b Se sabe que F es una primitiva de f. Calcula a si F 0 y F /. a f x [ ] aex/ + aex/ ae/ ae/ x x ae / e / + b Si F es una primitiva de f, tenemos que: F x ae x/ + k x Tenemos que hallar k y a para que: F 0 ae / + k 0 ae / + k F ae / + k ae / + k Restando la - a ecuación menos la - a : ae / e / 0 a 0 k Por tanto: F x + x 7 S Expresa por una integral el área del triángulo de vértices 0,, 7, y 7, 0. Explica el significado de la integral escrita. La ecuación de la recta que pasa por 0, y 7, 0 es: 0 7, Pendiente Ecuación: y x + 0, 7, La ecuación de la recta que pasa por 0, y 7, es: y. 7 El área del triángulo es el área comprendida entre las dos rectas anteriores y x 7. Así, tenemos que: Área 7 [x + ] 0 0x 7 Área Calculamos su valor: x 9 u 7 0 Unidad 8. Iniciación a las integrales

365 8 Halla el área del triángulo mixtilíneo de vértices A,, B, y C,, S en el que las líneas AB y AC son rectas, mientras que la que une los puntos B y C es la de ecuación y x. B, y A, y x C, Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A y C: Pendiente Ecuación: y + x x + Calculamos el área pedida: Área x + [ x + ] [ ] x x x [ ] x 8 + x u 6 9 S La curva y a[ x ], con a > 0, limita con el eje de abscisas un recinto de unidades de superficie. Calcula el valor de a. Hallamos los puntos de corte con el eje de abscisas: a[ x ] 0 x x x x x Calculamos el área e igualamos a : Área a[ x ] a[ ] x a[ ] + a x a[ ] a 9 a 9 Unidad 8. Iniciación a las integrales

366 UNIDAD 9 CÁLCULO DE PROBABILIDADES Página 7 Cálculo de probabilidades Calcula matemáticamente cuál es la probabilidad de que no toque raya en la cuadrícula de cm cm una moneda de cm de diámetro. De qué tamaño debe ser un disco para que la probabilidad de que no toque raya en una cuadrícula de cm cm sea de 0,? En una cuadrícula de cm cm dejamos caer veces una moneda y contabilizamos que no toca raya en. Estima cuál es el diámetro de la moneda. Sobre un suelo de losetas hexagonales de cm de lado se deja caer un disco de 0 cm de diámetro. Cuál es la probabilidad de que no toque raya? Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

367 Área del cuadrado grande 9 cm Área del cuadrado pequeño cm P 0, 9 Área del cuadrado grande 6 cm Área del cuadrado pequeño d P d 0, d, d ±,8 6 d,8 d, cm d,8 d 5,8 cm No vale Ha de tener un diámetro de, cm. Área del cuadrado grande 6 cm Área del cuadrado pequeño d P 0,68 d d,9 d,9 cm 7 0, Área del hexágono grande 7, cm a cm Perímetro 7 cm a 6 0, cm 7, 5, Área del hexágono pequeño 0,088 cm a' a r 0, 5 5, cm a' l l l a' ; l 9,6 l 6, cm Perímetro 7, cm l l/ 0,088 P 0,7 7, Página 8. Numeramos con,, y las cuatro caras alargadas de una regleta. Dejamos caer la regleta y anotamos el número de la cara superior. a Cuál es el espacio muestral? Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

368 b Escribe un suceso elemental y tres no elementales. c Cuántos sucesos tiene esta experiencia? a E {,,, } b Elementales {}, {}, {}, {} No elementales {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,,, }, {Ø} c 6 sucesos Página 9. Justifica gráficamente las siguientes igualdades: a A U B I C A U B I A U C b A U B ' A' I B' a E A B E A B C C A U B I C A U B A U C A U B I A U C b E B E B A A A U B' B' C' A' I B' Página. Lanzamos un dado chapucero 000 veces. Obtenemos f 7, f 0, f 8, f, f 5 96, f 6. Estima las probabilidades de las distintas caras. Cuáles son las probabilidades de los sucesos PAR, MENOR QUE 6, {, }? 7 P [] 0,7 P [] 0,0 P [] 0, P [] 0, P [5] 0,96 P [6] 0, P [PAR] 0,0 + 0, + 0, 0,69 P [MENOR QUE 6] P [6] 0, 0,887 P [{, }] 0,7 + 0,0 0,9 Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

369 . Cuál es la probabilidad de obtener al multiplicar los resultados de dos dados correctos? P 6 9. Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados correctos la diferencia de sus resultados sea? Hacemos una tabla para la diferencia de resultados: er DADO o DADO P [DIFERENCIA ] 6 6 Página 5. Observa las bolas que hay en la urna. a Forma un cuadro de doble entrada en el que se repartan las bolas según el color V, R, N y el número,. b Calcula la probabilidad de ROJO, NEGRO, VERDE, y, sin más que observar la composición de la urna. c Comprueba que las probabilidades obtenidas en b se pueden obtener sumando filas o columnas del cuadro formado en a. d Calcula las probabilidades condicionadas: P [/ROJO], P [/VERDE], P [/NEGRO], P [/ROJO], P [/VERDE], P [/NEGRO]. e Di si alguno de los caracteres ROJO, NEGRO, VERDE es independiente de o de. Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

370 a V R N b y c P [R] 0,5 P [] 0, P [N] 0, P [] 0, P [V] 0, 0 5 d P [/R] ; P [/V] ; P [/N] 5 P [/R] ; P [/V] 0; P [/N] 5 e No son independientes. Página 6. Calcula la probabilidad de obtener tres CUATROS al lanzar tres dados. 6 P 0,006. Calcula la probabilidad de no obtener NINGÚN SEIS al lanzar cuatro dados. Cuál es la probabilidad de NO SEIS? Repite cuatro veces P 0,8. Calcula la probabilidad de obtener ALGÚN SEIS al lanzar cuatro dados. ALGÚN SEIS es el suceso contrario de NINGÚN SEIS. P [NINGÚN 6] 0,8 0,5. Vas a lanzar 5 monedas. Halla la probabilidad de: a Obtener 5 cruces. b Obtener alguna cara. a P [5 CRUCES] 5 0,05 0,0 b P [ALGUNA CARA] P [NINGUNA] P [5 CRUCES] 0, ,969 Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 5

371 Página 7 5. Tenemos un dado y las dos urnas descritas arriba. Lanzamos el dado. Si sale ó, acudimos a la urna I. Si sale,, 5 ó 6, acudimos a la urna II. Extraemos una bola de la urna correspondiente. a Completa las probabilidades en el diagrama en árbol. b Halla: P [{,, 5, 6} y ], P [ /], P [ /5] y P [ y ]. a Ver el ejemplo en la propia página b,, y ,,,5,6 Página 9. Tenemos dos urnas. La experiencia consiste en extraer una bola de I, introducirla I en II, remover y extraer, finalmente, una bola de II. Calcular la probabilidad de que la segunda bola extraída sea: a Roja. b Verde. c Negra. II /5 /5 II /5 /6 /5 /6 /5 II /5 / P [ y ] P [ y ] P [ y ] P [ y ] P [ y ] P [ y ] II /5 /5 / P [ y ] P [ y ] P [ y ] Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 6

372 8 a P [-ª ] b P [-ª ] c P [-ª ] Página 5. En el ejercicio propuesto del apartado anterior, calcular: a Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, cuál es la probabilidad de que la primera también lo fuera? P [-ª /-ª ] b P [-ª /-ª ] c P [-ª /-ª ] P [ y ] /0 a P [-ª /-ª ] P [-ª ] /0 P [ y ] /0 b P [-ª /-ª ] P [-ª ] 8/0 P [ y ] 6/0 6 c P [-ª /-ª ] P [-ª ] 9/0 9 8 Página 55 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Lanzamos un dado y una moneda. Los posibles resultados son, C,, +,, C a Describe el espacio muestral con los doce elementos de los que consta. Sean los sucesos: A Sacar uno o dos en el dado B sacar + en la moneda D {, C,, +,, C,, +, 6, +} b Describe los sucesos A y B mediante todos los elementos. c Halla A U B, A I B, A U D' a E {, C,, +,, C,, +,, C,, +,, C,, +, 5, C, 5, +, 6, C, 6, +} Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 7

373 b A {, C,, +,, C,, +} B {, +,, +,, +,, +, 5, +, 6, +} c A U B {, C,, +,, C,, +,, +,, +, 5, +, 6, +} A I B {, +,, +} D' {, +,, C,, C,, +, 5, C, 5, +, 6, C} A U D' {, C,, +,, C,, +,, C,, +, 5, C, 5, +, 6, C} Sea U {a, a, a } el espacio de sucesos elementales de un experimento aleatorio. Cuáles de estas funciones definen una función de probabilidad? Justifica la respuesta. a P [a ] / b P [a ] / P [a ] / P [a ] / P [a ] /6 P [a ] / c P [a ] / d P [a ] / P [a ] 0 P [a ] / P [a ] / P [a ] / a P [a ] + P [a ] + P [a ] Sí define una probabilidad, pues P [a ], P [a ] y P [a ] son números mayores o iguales que cero, y su suma es. 5 b P [a ] + P [a ] + P [a ] + + > No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que. c P [a ] + P [a ] + P [a ] Sí define una probabilidad, pues P [a ], P [a ] y P [a ] son números mayores o iguales que cero, y su suma es. d P [a ] + P [a ] + P [a ] + + > No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que. Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 8

374 Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B: P [A] /, P [B] /, P [A U B] / Dos sucesos A y B son incompatibles cuando P [A I B] 0. Como: P [A U B] P [A] + P [B] P [A I B] + P [A I B] P [A I B] 0 los sucesos A y B son incompatibles. Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, S elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto. a Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento utilizando la letra s para las respuestas afirmativas y la n para las negativas. b Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto? c Describe el suceso contrario de más de una persona es partidaria de consumir el producto. a E {s, s, s, s, s, n, s, n, s, n, s, s, s, n, n, n, s, n, n, n, s, n, n, n} b {s, s, s, s, s, n, s, n, s, n, s, s} c El suceso contrario es una persona, o ninguna, son partidarias de consumir el producto. Por tanto, estaría formado por: {s, n, n, n, s, n, n, n, s, n, n, n}. Es el suceso contrario al del apartado b. 5 En familias de tres hijos, se estudia la distribución de sus sexos. Por ejemplo V, M, M significa que el mayor es varón y los otros dos mujeres. Cuántos elementos tiene el espacio muestral E? Describe los siguientes sucesos: A La menor es mujer, B El mayor es varón. En qué consiste A U B? E tiene 8 elementos. A {V, V, M, V, M, M,, M, V, M, M, M, M} B {V, V, V, V, V, M, V, M, V, V, M, M} A U B O bien la menor es mujer, o bien el mayor es varón {V, V, M, V, M, M,, M, V, M, M, M, M, V, V, V, V, M, V} Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 9

375 6 Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la mayor de las puntuaciones sea un, un, un, un, un 5, un 6. Completa esta tabla y razona sobre ella En la tabla vamos anotando la mayor puntuación obtenida. Así: P [La mayor de las puntuaciones sea un ] 6 P [La mayor de las puntuaciones sea un ] 6 5 P [La mayor de las puntuaciones sea un ] 6 7 P [La mayor de las puntuaciones sea un ] 6 9 P [La mayor de las puntuaciones sea un 5] 6 P [La mayor de las puntuaciones sea un 6] 6 7 Una clase se compone de veinte alumnos y diez alumnas. La mitad de las alumnas y la mitad de los alumnos aprueban las matemáticas. Calcula la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, resulte ser: a Alumna o que aprueba las matemáticas. b Alumno que suspenda las matemáticas. c Sabiendo que es alumno, cuál es la probabilidad de que apruebe las matemáticas? d Son independientes los sucesos ALUMNO y APRUEBA MATEMÁTICAS? Haz una tabla de contingencia. Hacemos la tabla de contingencia: ALUMNOS ALUMNAS APRUEBAN MAT SUSPENDEN MAT a P [alumna U aprueba mat.] P [alumna] + P [aprueba mat.] P [alumna I aprueba mat.] Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 0

376 0 b P [alumno I suspende mat.] 0 0 c P [aprueba mat./alumno] 0 d Hay que ver si: P [alumno I aprueba mat.] P [alumno] P [aprueba mat.] Calculamos cada una: 0 P [alumno I aprueba mat.] 0 0 P [alumno] 0 5 P [aprueba mat.] 0 Por tanto, sí son independientes. 8 Di cuál es el espacio muestral correspondiente a las siguientes experiencias aleatorias. Si es finito y tiene pocos elementos, dilos todos, y si tiene muchos, descríbelo y di el número total. a Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el número. b Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo. c Extraemos dos cartas de una baraja española y anotamos el palo de cada una. d Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el resultado. e Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el número de caras. a E {,,,, 5, 6, 7, 0,, } b E {OROS, COPAS, ESPADAS, BASTOS} c Llamamos: O OROS; C COPAS; E ESPADAS; B BASTOS. Entonces: E {O, O, O, C, O, E, O, B, C, O, C, C, C, E, C, B, E, O, E, C, E, E, E, B, B, O, B, C, B, E, B, B} d E tiene 6 6 sucesos elementales. Cada suceso elemental está compuesto por seis resultados que pueden ser cara o cruz: x, x, x, x, x 5, x 6 x i puede ser cara o cruz. Por ejemplo: C, +, C, C, +, C es uno de los 6 elementos de E. e E {0,,,,, 5, 6} Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

377 Página 56 PARA RESOLVER 9 En una caja hay seis bolas numeradas, tres de ellas con números positivos y las otras tres con números negativos. Se extrae una bola y después otra, sin reemplazamiento. a Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea positivo. b Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea negativo. Hacemos un diagrama en árbol: / /5 /5 P [ ] 5 0 P [ ] 5 0 / /5 /5 P [ ] 5 0 P [ ] 5 0 a P [ ] + P [ ] + 0, b P [ ] + P [ ] + 0, En una cierta ciudad, el 0% de la población tiene cabellos castaños, el 5% S tiene los ojos castaños y el 5% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a Si tiene cabellos castaños, cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños? b Si tiene ojos castaños, cuál es la probabilidad de que tenga cabellos castaños? c Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños? Usa una tabla como la siguiente: OJOS CAST. OJOS NO CAST. CAB. CAST. 5 0 CAB. NO CAST Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

378 Hacemos la tabla: 5 a 0 8 0,75 5 b 5 5 0,6 50 c 00 0,5 OJOS CAST. OJOS NO CAST. CAB. CAST CAB. NO CAST Dos personas juegan a obtener la puntuación más alta lanzando sus dados A y B. El dado A tiene cuatro caras con la puntuación 6 y las otras dos caras con la punatuación 0. El dado B tiene una cara con la punuación, cuatro caras con puntuación 6 y la otra con puntuación. Qué jugador tiene más probabilidad de ganar? Haz una tabla en la que aparezcan las 6 posibilidades del dado A y las del dado B. En cada una de las 6 casillas anota quién gana en cada caso. Formamos una tabla en la que aparezcan todas las posibilidades las 6 del dado A y las 6 del B. En cada casilla ponemos quién gana en cada caso: A gana en casos. B gana en 6 casos. En 6 casos hay empate. En una tirada, la probabilidad de que gane A es: 7 P [A] 6 8 La probabilidad de que gane B es: 6 P [B] 6 6 B A A B 6 A B 6 A B 6 A B 0 A A A A A B 0 A A A A A B Por tanto, A tiene mayor probabilidad de ganar. De los sucesos A y B se sabe que: S P [A], P [B] y P [A' I B' ]. 5 Halla P [A U B] y P [A I B]. Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

379 P [A' I B'] P [A U B'] P [A U B] P [A U B] P [A U B] P [A U B] P [A] + P [B] P [A I B] + P [A I B] 5 P [A I B] Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad, de manera que: S P [A] 0,, P [B] 0, y P [A I B ] 0, Calcula razonadamente: a P [A U B ] b P [A' U B'] c P [A/B ] d P [A' I B'] 5 a P [A U B] P [A] + P [B] P [A I B] 0, + 0, 0, 0,6 b P [A' U B'] P [A I B'] P [A I B] 0, 0,9 c P [A/B] P [A I B] 0, P [B] 0, d P [A' I B'] P [A U B'] P [A U B] 0,6 0, A, B y C son tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresa en función de ellos los sucesos: a Se realiza alguno de los tres. b No se realiza ninguno de los tres. c Se realizan los tres. d Se realizan dos de los tres. e Se realizan, al menos, dos de los tres. a A U B U C b A' I B' I C' c A I B I C d A I B I C' U A I B' I C U A' I B I C e A I B I C' U A I B' I C U A' I B I C U A I B I C 5 Un examen consiste en elegir al azar dos temas de entre los diez del programa y desarrollar uno de ellos. S a Un alumno sabe 6 temas. Qué probabilidad tiene de aprobar el examen? Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

380 b Qué probabilidad tiene el mismo alumno de saberse uno de los temas elegidos y el otro no? a P[APROBAR] P[SABE -º Y -º] + P[SABE -º YNO-º] + P[NO SABE -º YSÍ -º] , b P[SABE -º YNO-º] + P[NO SABE -º YSÍ -º] , Se lanza un dado dos veces. Calcula la probabilidad de que en la segunda tirada se obtenga un valor mayor que en la primera. En total hay 6 posibles resultados. De estos, en 6 casos los dos números son iguales; y, en los otros 0, bien el primero es mayor que el segundo, o bien el segundo es mayor que el primero con la misma probabilidad. Luego, hay 5 casos en los que el resultado de la segunda tirada es mayor que el de la primera. Por tanto, la probabilidad pedida es: 5 5 P 6 NOTA: también se puede resolver el problema haciendo una tabla como la del ejercicio número 6 y contar los casos. 7 Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que S pase la primera prueba es 0,6. La probabilidad de que pase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas es 0,5. Se pide: a Probabilidad de que pase al menos una prueba. b Probabilidad de que no pase ninguna prueba. c Son las pruebas sucesos independientes? d Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado la primera. Tenemos que: P [pase -ª] 0,6; P [pase -ª] 0,8; P [pase -ª I pase -ª] 0,5 a P [pase -ª U pase -ª] P [pase -ª] + P [pase -ª] P [pase -ª I pase -ª] 0,6 + 0,8 0,5 0,9 b P [pase al menos una] 0,9 0, c P [pase -ª] P [pase -ª] 0,6 0,8 0,8 P [pase -ª I pase -ª] 0,5 0,8 No son independientes. Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 5

381 P [pase -ª I no pase -ª] d P [pase -ª/no pase -ª] P [no pase -ª] P [pase -ª] P [pase -ª I pase -ª] P [no pase -ª] 0,8 0,5 0, 0,75 0,6 0, 8 En una comarca hay dos periódicos: El Progresista y El Liberal. Se sabe que el 55% de las personas de esa comarca lee El Progresista P, el 0% lee El Liberal L y el 5% no lee ninguno de ellos. Expresa en función de P y L estos sucesos: a Leer los dos periódicos. b Leer solo El Liberal. c Leer solo El Progresista. d Leer alguno de los dos periódicos. e No leer ninguno de los dos. f Leer solo uno de los dos. g Calcula las probabilidades de: P, L, P I L, P U L, P L, L P, L U P', L I P'. hsabemos que una persona lee El Progresista. Qué probabilidad hay de que, además, lea El Liberal? Y de que no lo lea? Tenemos que: P [P] 0,55; P [L] 0,; P [P' I L'] 0,5 a P [P' I L'] P [P U L'] P [P U L] 0,5 P [P U L] P [P U L] 0,5 0,75 P [P U L] P [P] + P [L] P [P I L] 0,75 0,55 + 0, P [P I L] P [P I L] 0, P [leer los dos] P [P I L] 0, b P [L] P [P I L] 0, 0, 0, c P [P] P [P I L] 0,55 0, 0,5 d P [P U L] 0,75 e P [P' I L'] 0,5 f P [P I L'] + P [P' I L] 0,5 + 0, 0,55 g P [P] 0,55; P [L] 0,; P [P I L] 0,; P [P U L] 0,75 P [P L] P [P] P [P I L] 0,5 Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 6

382 P [L P] P [L] P [P I L] 0, P [L U P'] P [L' I P'] 0,5 P [L I P'] P [L I P] 0, 0,8 P [L I P] 0, 0 h P [L/P] 0,6 P [P] 0,55 55 P [L' I P] 0,5 5 7 P [L'/P] 0,6 P [P] 0, o bien: P [L'/P] P [L/P] Página 57 9 Una urna A tiene bolas blancas y 7 negras. Otra urna B tiene 9 bolas blancas y negra. Escogemos una de las urnas al azar y de ella extraemos una bola. Calcula: a P [ BLANCA/A ] b P [ BLANCA/B ] c P [ A y BLANCA ] d P [ B y BLANCA ] e P [ BLANCA ] f Sabiendo que la bola obtenida ha sido blanca, cuál es la probabilidad de haber escogido la urna B? a P [BLANCA/A] 0 0, 9 b P [BLANCA/B] 0 0,9 c P [A y BLANCA] 0 0 0,5 9 9 d P [B y BLANCA] 0 0 0,5 9 e P [BLANCA] P [A y Blanca] + P [B y Blanca] ,6 P [B y Blanca] 9/0 9 f P [B/BLANCA] 0,75 P [Blanca] /0 0 Tenemos las mismas urnas del ejercicio anterior. Sacamos una bola de A y la echamos en B y, a continuación, sacamos una bola de B. a Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea negra? Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 7

383 b Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, cuál es la probabilidad de que también la primera fuese negra? a P [-ª NEGRA] P [-ª BLANCA y -ª NEGRA] + P [-ª NEGRA y -ª NEGRA] P [-ª NEGRA y -ª NEGRA] 7/0 / b P [-ª NEGRA/-ª NEGRA] P [-ª NEGRA] 7/0 /0 7/0 7 Tenemos dos urnas con estas composiciones: Extraemos una bola de cada urna. Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? Y la probabilidad de que sean de distinto color? P [mismo color] P [distinto color] P [mismo color] Un aparato eléctrico está constituido por dos componentes A y B. Sabiendo S que hay una probabilidad de 0,58 de que no falle ninguno de los componentes y que en el % de los casos falla B no habiendo fallado A, determina, justificando la respuesta, la probabilidad de que en uno de tales aparatos no falle la componente A. Llamamos A falla A ; B falla B. A 0, B 0,58 Tenemos que: P[A' I B'] 0,58; P[B I A'] 0, Así: P[A'] P[A' I B'] + P[B I A'] 0,58 + 0, 0,90 A' I B' U B I A' A' La probabilidad de que no falle A es de 0,90. Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 8

384 Dos jugadores arrojan a la vez dos monedas cada uno. Cuál es la probabilidad de que ambos obtengan el mismo número de caras cero, una o dos? Razónalo. Para cada jugador tenemos que: P[0] P[0 CARAS] P[] P[ CARA] P[] P[ CARAS] Los resultados de los dos jugadores son sucesos independientes. La probabilidad de que ambos obtengan el mismo número de caras es: P[0] + P[] + P[] , Se lanza un dado repetidas veces y estamos interesados en el número de tiradas precisas para obtener un 6 por primera vez. a Cuál es el espacio muestral? b Cuál es la probabilidad de que el primer 6 se obtenga en la séptima tirada? a E {,,, } b P[7-ª TIRADA] 6 0, Un producto está formado de dos partes: A y B. El proceso de fabricación es tal, que la probabilidad de un defecto en A es 0,06 y la probabilidad de un defecto en B es 0,07. Cuál es la probabilidad de que el producto no sea defectuoso? P [ningún defecto] P [no defecto en A] P [no defecto en B] 0,06 0,07 0,9 0,9 0,87 6 Una urna contiene 0 bolas blancas, 6 negras y rojas. Si se extraen tres bolas con reemplazamiento, cuál es la probabilidad de obtener blancas y S una roja? 0 0 P [BBR] + P [BRB] + P [RBB] P [BBR] 0, Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 9

385 7 Una urna A contiene 6 bolas blancas y negras. Otra urna B tiene 5 blancas y 9 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, que resul- S tan ser blancas. Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la A. Hacemos un diagrama en árbol: A 6b n b P [A y b] 6 5 / / B 5b 9n 5 b P [B y b] P [b] La probabilidad pedida será: P [A y b] /6 9 P [A/b] P [b] /56 0,75 8 Se dispone de tres urnas: la A que contiene dos bolas blancas y cuatro rojas, S la B con tres blancas y tres rojas; y la C con una blanca y cinco rojas. a Se elige una urna al azar y se extrae una bola de ella. Cuál es la probabilidad de que esta bola sea blanca? b Si la bola extraida resulta ser blanca, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? A B C a Hacemos un diagrama en árbol: /6 A / /6 / B /6 /6 / /6 C 5/6 b r b r b r P [A y b] 6 8 P [B y b] 6 8 P [C y b] P[b] + + 0, P[B y b] /8 b P[B/b] 0,5 P[b] 6/8 6 Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 0

386 Página 58 9 Sean A y B dos sucesos tales que: P [ A U B] ; P [ B'] ; P [ A I B]. S Halla P [ B ], P [ A ], P [ A' I B]. P [B] P [B'] P [A U B] P [A] + P [B] P [A I B] P [A] + P [A] P [A' I B] P [B] P [A I B] 0 En cierto país donde la enfermedad X es endémica, se sabe que un % de S la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para detectar la enfermedad, pero no es totalmente fiable, ya que da positiva en el 90% de los casos de personas realmente enfermas y también da positiva en el 5% de personas sanas. Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le ha dado positiva? 0, 0,88 ENFERMO 0,9 NO ENFERMO 0,05 POSITIVO POSITIVO P [ENF. y POSITIVO] 0, 0,9 0,08 P [NO ENF. y POSITIVO] 0,88 0,05 0,0 P [POSITIVO] 0,08 + 0,0 0,5 La probabilidad pedida será: P [NO ENF. Y POSITIVO] 0,0 P [NO ENF./POSITIVO] 0,89 P [POSITIVO] 0,5 En tres máquinas, A, B y C, se fabrican piezas de la misma naturaleza. El S porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina es, respectivamente, %, % y %. Se mezclan 00 piezas, 00 de cada máquina, y se elige una pieza al azar, que resulta ser defectuosa. Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en la máquina A? / / / A /00 B C /00 /00 DEFECTUOSA P [A y DEF.] DEFECTUOSA P [B y DEF.] DEFECTUOSA P [C y DEF.] P [DEF.] Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

387 La probabilidad pedida será: P [A y DEF.] /00 P [A/DEF.] P [DEF.] 6/00 6 Una caja A contiene dos bolas blancas y dos rojas, y otra caja B contiene S tres blancas y dos rojas. Se pasa una bola de A a B y después se extrae una bola de B, que resulta blanca. Determina la probabilidad de que la bola trasladada haya sido blanca. A b r / b B b r /6 b; P [-ª b y -ª b] 6 / r B b r /6 b; P [-ª r y -ª b] 6 P [-ª b] + 7 Por tanto, la probabilidad pedida será: P [-ª b y -ª b] / P [-ª b/-ª b] P [-ª b] 7/ 7 Una urna A contiene 5 bolas blancas y negras. Otra urna B, 6 blancas y S negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, que resultan ser negras. Halla la probabilidad de que la urna elegida haya sido la B. / / A B 5b n 6b n n P [A y n] n P [B y n] Por tanto, la probabilidad pedida será: P [n] P [B y n] /5 P [B/n] P [n] 0/ Tengo dos urnas, dos bolas blancas y dos bolas negras. Se desea saber cómo S debo distribuir las bolas en las urnas para que, al elegir una urna al azar y extraer de ella una bola al azar, sea máxima la probabilidad de obtener bola blanca. La única condición exigida es que cada urna tenga al menos una bola. Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

388 Hay cuatro posibles distribuciones. Veamos cuál es la probabilidad de obtener blanca en cada caso: a / / I I II 0 / / II P [I y ] P [II y ] 6 P [ ] + 6 b / I I 0 II P [I y ] / II 0 P [II y ] 0 P [ ] c I II / / I II 0 / / P [I y ] 0 P [II y ] P [ ] d / / I I II / / / / II P [I y ] P [II y ] P [ ] + Para obtener la máxima probabilidad de obtener una bola blanca, deberemos colocar una bola blanca en una de las urnas y las otras tres bolas en la otra urna. 5 Sean A y B dos montones de cartas. En A hay 8 oros y 5 espadas y, en B, S oros y 7 espadas. Sacamos dos cartas del mismo montón y resulta que ambas son espadas. Halla la probabilidad de que las hayamos sacado del montón B. Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

389 / A8o, 5e 5 e / Bo, 7e e 5 P[A y e] 7 6 P[B y e] P[e] Así, tenemos que: P[B y e] /0 89 P[B/e] 0,79 P[e] 57/ Una urna contiene 5 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 5 bolas negras sin marcar y 75 bolas negras marcadas. a Se extrae una bola. Calcula la probabilidad de que sea blanca. b Se extrae una bola y está marcada. Cuál es la probabilidad de que sea blanca? c Se extrae una bola. Cuál es la probabilidad de que sea negra y esté marcada? d Son independientes los sucesos sacar bola marcada y sacar bola blanca? Resumimos la información en una tabla: MARCADAS SIN MARCAR BLANCAS NEGRAS a P[BLANCA] b P[BLANCA/MARCADA] c P[NEGRA y MARCADA] d P[BLANCA] P[MARCADA] P[BLANCA y MARCADA] 00 6 No son independientes. 5 Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

390 7 Dos personas se enfrentan en un juego en el que será vencedor el primero que gane 5 partidas. Pero antes de finalizar el juego, éste se interrumpe en el momento en que uno ha ganado partidas y otro. Cómo deben repartirse los 00 euros que apostaron? Describe en un diagrama en árbol las posibles continuaciones de la partida. Llamamos A al jugador que lleva partidas ganadas y B al de. Las posibles continuaciones del juego son: / A A5, B / B A, B gana A / A A5, B / B A, B5 gana A gana B P [gana A] + + P [gana B] Por tanto, A debe llevarse del total y B, ; es decir: A ; B En un centro escolar hay tres grupos de Bachillerato. El primero está compuesto por 0 alumnos de los que 7 prefieren la música moderna, prefieren la clásica y que no le gusta la música. En el segundo, compuesto por alumnos, la distribución de preferencias es 5, 7, 0, respectivamente; y, en el tercero, formado por alumnos, la distribución de preferencias es 6, 6,, respectivamente. Se elige un grupo al azar y se regalan entradas para un concierto de música clásica a dos alumnos seleccionados al azar. a Halla la probabilidad de que los dos alumnos elegidos sean aficionados a la música clásica. b Si los dos alumnos agraciados son, efectivamente, aficionados a la música clásica, cuál es la probabilidad de que sean del primer grupo? Organiza los datos en una tabla. Organizamos los datos en una tabla: MODERNA CLÁSICA NO TOTAL -º 7 0 -º º 6 6 La probabilidad de elegir un grupo cualquiera es. Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 5

391 a P[ ALUMNOS DE CLÁSICA] + + 0, P[DOS DE -º DE CLÁSICA] P[DOS DE CLÁSICA] b P[ ALUMNOS DEL -º/AMBOS DE CLÁSICA] / /0 /9 0,0 0,68 Página 59 CUESTIONES TEÓRICAS 9 Sean A y B dos sucesos tales que P[A] 0,0; P[B/A] 0,5 y P[B] b. S Halla: a P [A I B]. b P[A U B] si b 0,5. c El menor valor posible de b. d El mayor valor posible de b. a P [A I B] P [A] P [B/A] 0,0 0,5 0, b P [A U B] P [A] + P [B] P [A I B] 0,0 + 0,5 0, 0,8 c El menor valor posible de b es P [B] P [A I B], es decir, 0,. d El mayor valor posible de b es: P [A] P [A I B] 0, 0, 0,7 0 Si la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es p, cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos no ocurra? Razónalo. Si P [A I B] p, entonces: P [A' U B'] P [A I B'] P [A I B] p Razona la siguiente afirmación: Si la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es menor que /, la suma de las probabilidades de ambos por separado, no puede exceder de /. P [A] + P [B] P [A U B] + P [A I B] < + pues P [A U B] y P [A I B] <. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio. Es posible que p sea una probabilidad si: P [A], P [B] y P [A' I B']? P [A' I B'] P [A U B'] P [A U B P [A U B] Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 6

392 Por otra parte: P [A U B] P [A] + P [B] P [A I B] 7 + P [A I B] P [A I B] Es imposible, pues una probabilidad no puede ser negativa. 0 Sea A un suceso con 0 < P [A] <. a Puede ser A independiente de su contrario A'? b Sea B otro suceso tal que B A. Serán A y B independientes? c Sea C un suceso independiente de A. Serán A y C ' independientes? Justifica las respuestas. a P [A] p 0; P [A'] p 0 P [A] P [A'] p p 0 P [A I A'] P [Ø] 0 No son independientes, porque P [A I A'] P [A] P [A']. b P [A I B] P [B] P [A] P [B] P [B]? Esto solo sería cierto si: P [A], lo cual no ocurre, pues P [A] <. P [B] 0. Por tanto, solo son independientes si P [B] 0. c A independiente de C P [A I C] P [A] P [C] P [A I C'] P [A A I C] P [A] P [A I C] P [A] P [A] P [C] P [A] P [C] P [A] P [C'] Por tanto, A y C' son independientes. Si A y B son dos sucesos de experimento aleatorio y P[A] 0: a Qué podemos decir de P[A I B]? b Y de P[A U B]? c Responde a las mismas preguntas si P[A]. a P[A I B] 0 b P[A U B] P[B] b P[A I B] P[B]; P[A U B] P[A] 5 Al tirar tres dados, podemos obtener suma 9 de seis formas distintas: 6, 5,, 5,, y otras seis de obtener suma 0: 6, 5, 6, 5,,. Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 7

393 Sin embargo, la experiencia nos dice que es más fácil obtener suma 0 que suma 9. Por qué?,, 6;,, 5;,, cada uno da lugar a! formas distintas. Es decir:! 6 8,, ;,, 5 cada uno da lugar a formas distintas. Es decir: formas distintas de obtener suma 9. P [suma 9] ,, 6;,, 5;,, formas,, 6;,, ;,, 9 formas formas distintas de obtener suma 0. 7 P [suma 0] 6 Está claro, así, que P [suma 0] > P [suma 9]. PARA PROFUNDIZAR 6 Un hombre tiene tiempo para jugar a la ruleta 5 veces, a lo sumo. Cada apuesta es de euro. El hombre empieza con euro y dejará de jugar cuando pierda el euro o gane euros. a Halla el espacio muestral de los resultados posibles. b Si la probabilidad de ganar o perder es la misma en cada apuesta, cuál es la probabilidad de que gane euros? a Hacemos un esquema: FIN GGG FIN GGPGG FIN GGPGP FIN GGPPG FIN GGPPP FIN GPGGG FIN GPGGP FIN GPGPG FIN GPGPP FIN GPP FIN P Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 8

394 El espacio muestral sería: E {GGG, GGPGG, GGPGP, GGPPG, GGPPP, GPGGG, GPGGP, GPGPG, GPGPP, GPP, P} donde G significa que gana esa partida y P que la pierde. b Por el esquema anterior, vemos que gana euros con: GGG probabilidad 8 GGPGG probabilidad 5 GPGGG probabilidad 5 Por tanto: P [gane euros] + + 0, En una baraja de 0 cartas, se toman tres cartas distintas. Calcula la probabilidad de que las tres sean números distintos. S P [ números distintos] P [-ª dist. de la -ª] P [-ª dist. de la -ª y de la -ª] Escogidas cinco personas al azar, cuál es la probabilidad de que al menos S dos de ellas hayan nacido en el mismo día de la semana es decir, en lunes, martes, etc.? P [ninguna coincidencia] P [-ª en distinto día que la -ª] P [5-ª en distinto día que -ª, -ª, -ª y -ª] , P [alguna coincidencia] P [ninguna coincidencia] 0,5 0,85 9 En una competición de tiro con arco, cada tirador dispone, como máximo, de S tres intentos para hacer diana. En el momento en que lo consigue, deja de tirar y supera la prueba y, si no lo consigue en ninguno de los tres intentos, queda eliminado. Si la probabilidad de hacer blanco con cada flecha, para un determinado tirador, es 0,8: a Calcula la probabilidad de no quedar eliminado. b Si sabemos que superó la prueba, cuál es la probabilidad de que lo haya conseguido en el segundo intento? Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 9

395 a -ª forma P[NO ELIMINADO] P[AC -ª] + P[NO AC -ª y AC -ª] + P[NO AC -ª y NO AC -ª y AC -ª] 0,8 + 0, 0,8 + 0, 0, 0,8 0,99 -ª forma P[NO ELIMINADO] P[ELIMINADO] P[NO AC -ª y NO AC -ª y NO AC -ª] 0, 0,008 0,99 P[NO AC -ª y AC -ª] 0, 0,8 b P[AC -ª/NO ELIMINADO] 0,6 P[NO ELIMINADO] 0,99 50 Sea A el suceso una determinada persona A resuelve un determinado problema y B el suceso lo resuelve la persona B. Se sabe que la probabilidad S de que lo resuelvan las dos personas es de /6; y, la de que no lo resuelva ninguna de las dos es de /. Sabiendo que la probabilidad de que lo resuelva una persona es independiente de que lo resuelva la otra, calcula PA y PB. Llamamos P[A] x; P[B] y. Como A y B son independientes: P[A I B] P[A] P[B] x y 6 Además, tenemos que: P[A' I B' ] P[A U B' ] P[A U B] Pero: P[A U B] P[A] + P[B] P[A I B] x + y, es decir: x + y 6 Uniendo las dos condiciones anteriores: 5 x y y x x 6 x + y x x ; x ; 5x 6x x 5 ± 5 5x + 0; x Hay dos soluciones: 5 ± 6 x x x y x y P[A] / P[B] / P[A] / P[B] / Unidad 9. Cálculo de Probabilidades 0

396 5 Qué es más probable, obtener alguna vez un 6 lanzando un dado veces o un doble 6 lanzando dos dados veces? P[AL MENOS UN 6 EN TIRADAS] P[NINGÚN 6 EN TIRADAS] 0,577 P[DOBLE 6 CON DADOS EN TIRADAS] P[NINGÚN DOBLE 6] * 0,9 6 * P[DOBLE 6 EN UNA TIRADA] P[NO DOBLE 6] 6 Por tanto, es más probable sacar al menos un 6 lanzando veces un dado Unidad 9. Cálculo de Probabilidades

397 UNIDAD 0 LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS Página 6 Lanzamiento de varios dados CUATRO DADOS La distribución de probabilidades de la suma de cuatro dados es la siguiente: x i p i a Haz su representación gráfica y observa su parecido con la distribución normal. b Calcula su media y su desviación típica. Hazlo con calculadora y ten en cuenta que, puesto que los denominadores son iguales, puedes poner en las frecuencias los correspondientes numeradores. c Comprueba que los parámetros del promedio de los resultados son MEDIA,5 y DESVIACIÓN TÍPICA 0,855 pues se obtienen dividiendo por cuatro los correspondientes parámetros de sus sumas. La media es la misma que las anteriores y la desviación típica menor que las anteriores. a x i p i Unidad 0. Las muestras estadísticas

398 b µ ; σ, c :,5;, : 0,855 Página 65. Una ganadería tiene 000 vacas. Se quiere extraer una muestra de 0. Explica cómo se obtiene la muestra: a Mediante muestreo aleatorio simple. b Mediante muestreo aleatorio sistemático. a Se numeran las vacas del al 000. Se sortean 0 números de entre los 000. La muestra estará formada por las 0 vacas a las que correspondan los números obtenidos. 000 b Coeficiente de elevación: h 5 0 Se sortea un número del al 5. Supongamos que sale el 9. Las vacas seleccionadas para la muestra serían las que correspondieran a los números 9,, 59, 8, 09,, 98. Página 66. Una ganadería tiene 000 vacas. Son de distintas razas: 85 de A, 5 de B, de C, 0 de D y 0 de E. Queremos extraer una muestra de 0: a Cuántas hay que elegir de cada raza para que el muestreo sea estratificado con reparto proporcional? b Cómo ha de ser la elección dentro de cada estrato? a Llamamos n al número de vacas que debemos elegir de raza A, n al de raza B, n al de C, n al de D y n 5 al de E. Ha de cumplirse que: 0 n n n n n Así, obtenemos: n 5,8 n 0,7 n 9,6 n, n 5 6,6 La parte entera de estos número suma: Faltan para llegar a 0. Por tanto, debemos elegir: 5 vacas de raza A, vacas de B, 9 de C, de D y 7 de E. Unidad 0. Las muestras estadísticas

399 Página 67. Obtén aleatoriamente cuatro números enteros al azar entre y 95. Por ejemplo: RAN # RAN # RAN # RAN # Hemos obtenido los números 5,, 7 y 80.. Obtén cinco números enteros elegidos aleatoriamente entre y 800. Por ejemplo: RAN # RAN # RAN # RAN # RAN # Hemos obtenido los números 79, 8, 60, 98 y 669. Página De una población de N 856 elementos, deseamos extraer una muestra de tamaño n 0. Mediante el uso de números aleatorios, designa cuáles son los 0 individuos que componen la muestra. Para multiplicar por 856 los números que aparezcan en pantalla, introducimos: 856 factor constante Ahora recurrimos a los números aleatorios. Por ejemplo, podemos obtener: RAN # 75 RAN # RAN # RAN # RAN # RAN # RAN # Unidad 0. Las muestras estadísticas

400 RAN # RAN # RAN # 9 55 Los individuos elegidos para la muestra serían los correspondientes a los números, 9, 9, 59, 5, 75, 86, 55, 75 y De una población de 5 individuos, queremos extraer una muestra de tamaño 0 mediante números aleatorios. Obtén los cinco primeros elementos de dicha muestra. Para multiplicar por 5 los números que aparezcan en pantalla, introducimos: 5 factor constante Ahora recurrimos a los números aleatorios. Por ejemplo, podemos obtener: RAN # 9 RAN # RAN # RAN # RAN # Los cinco primeros elementos de la muestra serían los correspondientes a los números 9, 9,, 70 y 58. Página 70. Halla las siguientes probabilidades en una distribución N 0, : a P[z >,8] b P[z,8] c P[z >,8] d P[,6 z <,] e P[ z ] f P[ 0,6 z,] g P[ z ] h P[, < z <,7] i P[ z ] a P[z >,8] P[z,8] 0,997 0,006 b P[z,8] P[z,8] P[z <,8] 0,96 0,059 c P[z >,8] P[z <,8] 0,96 d P[,6 z <,] P[z <,] P[z,6] 0,989 0,97 0,09 e P[ z ] P[z ] P[z ] 0,977 0,8 0,59 f P[ 0,6 z,] P[z,] P[z 0,6] P[z,] P[z 0,6] P[z,] P[z 0,6] 0,99 0,79 0,68 Unidad 0. Las muestras estadísticas

401 g P[ z ] P[z ] P[z ] P[z ] P[z ] P[z ] P[z ] 0,977 0,8 0,885 h P[, < z <,7] P[,7 < z <,] P[z <,] P[z <,7] 0,989 0,955 0,09 i P[ z ] P[ z ] P]z ] P[z ] 0,977 0,8 0,59. Calcula el valor de k exacta o aproximadamente en cada uno de los siguientes casos: a P[z k] 0,5 b P[z k] 0,879 c P[z k] 0,9 d P[z k] 0, e P[z k] 0, f P[z > k] 0, g P[z k] 0,997 h P[z k] 0,6 a P[z k] 0,5 k 0 b P[z k] 0,879 k, c P[z k] 0,9 k,8 d P[z k] 0, P[z k] 0, P[z k] 0, 0,67 k 0, k 0, 0 k k e P[z k] 0, P[z k] 0, 0,8 k 0,8 k 0,8 f P[z > k] 0, P[z k] 0, 0,88 k,75 g P[z k] 0,997 P[z k] 0,997 k,76 k,76 h P[z k] 0,6 P[z k] 0,6 k 0,5 k 0,5 Unidad 0. Las muestras estadísticas 5

402 Página 7. En una distribución N 8,, halla las siguientes probabilidades: a P[x 0] b P[x 6,5] c P[x ] d P[9 x ] e P[ x < 5] a P[x 0] P[ ] z 0 8 b P[x 6,5] P[ ] z 6,5 8 c P[x ] P[ ] z 8 0,9599 0,00 P[z 0,5] 0, d P[9 x ] P[ z ] P[z 0,8] P[z 0,8] 0,680 P[z,75] P[z,75] P[z,75] P[0,5 z,5] P[z,5] P[z 0,5] 0,89 0,5987 0, e P[ x < 5] P[ z ] P[,75 z,75] P[z,75] P[z,75] P[z,75] P[z,75] P[z,75] 0,9599 0,998. En una distribución N 6; 0,9, calcula k para que se den las siguientes igualdades: a P[x k] 0,977 b P[x k] 0,8 c P[x k] 0, d P[x k] 0,6 a P[x k] 0,977 P[x k] P[ ] z k 6 0,9 b P[x k] 0,8 P[x k] P[ ] z k 6 0,9 c P[x k] 0, k 6 0,977 k 7,8 0,9 k 6 0,8 0,8 k 6,756 0,9 P[x k] P[ ] z k 6 0, k 6 0,9 0,9 d P[x k] 0,6 P[x k] P[ ] z k 6 0,6 k 6 0,9 0,9 0,5 k 5,5 0, k 5,69 Unidad 0. Las muestras estadísticas 6

403 Página 7. Calcula razonadamente los valores críticos correspondientes a las probabilidades 0,95 y 0,99. Para una probabilidad de 0,95: α/ 0,95 α/ α 0,95 0,05; 0,95 + 0,05 0,975 P[z z α/ ] 0,975 z α/,96 z α/ z α/ Para una probabilidad de 0,99: α/ 0,99 α/ α 0,99 0,005; 0,99 + 0,005 0,995 P[z z α/ ] 0,995 z α/,575 z α/ z α/. Calcula los valores críticos correspondientes: a α 0,09 b α 0, c α 0,00 a α 0,09 α 0,9 α 0,09 0,05; 0,9 + 0,05 0,955 P[z z α/ ] 0,955 z α/,70 b α 0, α 0,79 α 0, 0,05; 0,79 + 0,05 0,895 P[z z α/ ] 0,895 z α/,5 c α 0,00 α 0,998 α 0,00; 0, ,00 0,999 P[z z α/ ] 0,999 z α/,08 Unidad 0. Las muestras estadísticas 7

404 Página 7. En una distribución N 7, 6 halla los intervalos característicos para el 90%, el 95% y el 99%. Para el 90%: 7,65 6; 7 +,65 6 6,; 8,87 Para el 95%: 7,96 6; 7 +,96 6 6,; 8,76 Para el 99%: 7,575 6; 7 +, ,55; 88,5. En una distribución N 8, halla los intervalos característicos para el 95% y el 99,8%. Para el 95%: 8,96 ; 8 +,96 0,6; 5,8 α Para el 99,8%: α 0,998 α 0,00 0,00 0, ,00 0,999 z α/,08 8,08 ; 8 +,08 5,68; 0, Página 76. Los parámetros de una variable son: µ 6,, σ,8. Nos disponemos a extraer una muestra de n 00 individuos: a Halla el intervalo característico para las medias muestrales correspondientes a una probabilidad p 0,99. b Calcula P [6 < x < 7]. Como n > 0, las medias muestrales se distribuyen según una normal de media σ,8,8 µ 6, y de desviación típica 0,; es decir: n 00 0 x es N6,; 0, a Para p 0,99 z α/,575 El intervalo característico es: 6,,575 0,; 6, +,575 0,; es decir: 5,78; 7,0 b P[6 < x 6 6, 7 6, < 7] P[ < z < 0, 0, ] P[,67 < z <,5] P[z <,5] P[z <,67] P[z <,5] P[z >,67] P[z <,5] P[z,67] 0,998 0,955 0,96 Unidad 0. Las muestras estadísticas 8

405 . Los sueldos, en euros, de los empleados de una fábrica se distribuyen N 00, 00. Se elige al azar una muestra de 5 de ellos. Cuál es la probabilidad de que la suma de sus sueldos sea superior a 5 000? Halla el intervalo característico para las sumas de 5 individuos, correspondientes a una probabilidad del 0,9. La suma de los sueldos sigue una distribución normal de media nµ y de desviación típica σ n ; es decir: Σx es N0 000; 000 Por tanto: P[Σx > 5 000] P[ ] z > Intervalo característico: P[z >,5] P[z,5] 0,998 0,006 Para una probabilidad del 0,9 es: 0 000,65 000; ,65 000; es decir: 6 70; 90 Página 78. La variable x es binomial, con n 00 y p 0,008. a Calcula la probabilidad de que x sea mayor que 0. b Halla el intervalo característico para una probabilidad del 95%. Como np 9,6 > 5 y nq > 5, podemos aproximar mediante una normal de media µ np 9,6 y de desviación típica σ npq 00 0,008 0,99,09. Es decir: x es B 00; 0,008 x' es N9,6;,09 z es N0, a P[x > 0] P[x' 0,5] P[ ] z 0,5 9,6,09 P[z 0,9] P[z < 0,9] 0,6 0,859 b Para una probabilidad del 95%, z α/,96. El intervalo característico será: 9,6,96,09; 9,6 +,96,09; es decir:,5; 5,66. Si tenemos un dado correcto y lo lanzamos 50 veces: a Cuál es la probabilidad de que el salga más de 0 veces? b Cuál es la probabilidad de que salga múltiplo de al menos 0 veces? Unidad 0. Las muestras estadísticas 9

406 a Llamamos x n- o de veces que sale el ; así, x es B 50;. Como np > 5 y nq > 5, podemos aproximar mediante una normal de media 5 µ 50 8, y de desviación típica σ 50,6; es decir: x es B 50; x' es N8,;,6 z es N0, P[x > 0] P[x' 0,5] P[ ] z 0,5 8,,6 P[z 0,8] P[z < 0,8] 0,799 0,06 b Llamamos x n- o de veces que sale múltiplo de. La probabilidad de obtener un múltiplo de en una tirada es p. Así, x es B 50;. Como np > 5 y nq > 5, podemos aproximar mediante una normal de media µ 50 6,67 y de desviación típica σ 50,; es decir: x es B 50; x' es N6,67;, z es N0, P[x 0] P[x' 9,5] P[ ] z 9,5 6,67, 0,80 0, P[z 0,85] P[z < 0,85] Página 80. Como sabemos, en un dado correcto la proporción de veces que sale el 5 es /6 0, 6. Halla los intervalos característicos correspondientes al 90%, 95% y 99% para la proporción de cincos, en tandas de 00 lanzamientos de un dado correcto. Las proporciones de cincos en tandas de 00 lanzamientos siguen una distribución /6 5/6 normal de media p 0,7 y de desviación típica pq 6 n 00 0,07; es decir: pr es N0,7; 0,07 Hallamos los intervalos característicos: Para el 90%: 0,7 ±,65 0,07 0,09; 0, Para el 95%: 0,7 ±,96 0,07 0,097; 0, Para el 99%: 0,7 ±,575 0,07 0,075; 0,65 Unidad 0. Las muestras estadísticas 0

407 Página 86 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Muestras En cada uno de los casos que se mencionan a continuación, el colectivo es población o es muestra? Explica por qué. a Un campesino tiene 87 gallinas. Para probar la eficacia de un nuevo tipo de alimentación, las pesa a todas antes y después de los 0 días que dura el tratamiento. b Un granjero prueba con 00 de sus gallinas la eficacia de un nuevo tipo de alimentación. a Es población, porque pesa a todas las gallinas. b Es muestra, porque no pesa a todas las gallinas, sino solo a una parte de ellas. Un fabricante de elásticos quiere estudiar su resistencia a la rotura. Para ello, los estira hasta que se rompen y anota el grado de estiramiento que alcanzan sin romperse. Puede realizar dicho estiramiento sobre la población o es imprescindible realizarlo sobre la muestra? Por qué? Es imprescindible hacerlo sobre una muestra, porque interesa romper la menor cantidad de elásticos posible. Solo uno de los siguientes procedimientos nos permite obtener una muestra representativa. Di cuál es y, en los otros, estudia el sentido del sesgo y su importancia: a Para estudiar las frecuencias relativas de las letras, se toman al azar 0 libros de la biblioteca de un centro escolar y se cuenta las veces que aparece cada letra en la página 0 de los libros seleccionados. b Para conocer la opinión de sus clientes sobre el servicio ofrecido por unos grandes almacenes, se selecciona al azar, entre los que poseen tarjeta de compra, a 00 personas entre las que han gastado menos de 000 el último año, otras 00 entre las que han gastado entre 000 y y 00 más entre las que han gastado más de c Para calcular el número medio de personas por cartilla en un Centro de Salud de la Seguridad Social, los médicos toman nota de las cartillas de las personas que acuden a las consultas durante un mes. a Es una muestra representativa. Unidad 0. Las muestras estadísticas

408 b No es representativa, porque hay mucha más gente en un intervalo por ejemplo, entre 000 y que en otro más de 5 000, y hemos tomado el mismo número de representantes. Además, hay otra mucha gente sin tarjeta que no se ha tomado en cuenta. c No es representativa, ya que lo que más se va a ver son las cartillas que corresponden a familias numerosas. Está claro que, cuanta más genta tenga esa cartilla, más fácil es que ese mes se tome nota de ella. La validez de la información que nos proporciona una encuesta depende, en gran medida, de la cuidadosa elaboración del cuestionario. Algunas de las características que deben tener las preguntas, son: Ser cortas y con un lenguaje sencillo. Sus respuestas deben presentar opciones no ambiguas y equilibradas. Que no requieran esfuerzo de memoria. Que no levanten prejuicios en los encuestados. Estudia si las siguientes preguntas son adecuadas para formar parte de una encuesta y corrige los errores que observes: a Cuánto tiempo sueles estudiar cada día? Mucho Poco Según el día b Cuántas veces fuiste al cine a lo largo del año pasado? c Qué opinión tienes sobre la gestión del alcalde? Muy buena Buena Indiferente d Pierden sus hijos el tiempo viendo la televisión? Sí No e En qué grado cree usted que la instalación de la planta de reciclado afectaría al empleo y a las condiciones de salud de nuestra ciudad? a y c adecuadas para mejorarlo, podríamos añadir en c la opción: Mala. b Cambiar por: Con qué frecuencia vas al cine? Mucho Poco Nunca d Cambiar por: Con qué frecuencia ven sus hijos la televisión? Mucho Poco Nunca e Cambiar por: Instalaría una planta de reciclado en su ciudad? Sí No Unidad 0. Las muestras estadísticas

409 5 De un colectivo de 500 personas elige una muestra de 0 mediante: a Un muestreo aleatorio sistemático. b Un muestreo aleatorio simple. Utiliza la tecla RAN # de la calculadora. Para los dos casos, numeramos a las personas del al a h 5 0 Origen: 5 RAN # por ejemplo Deberemos elegir las personas cuyos números sean:, 9, 6, 89,, 9, 6, 89,, 9, 6, 89,, 9, 6, 89,, 9, 6, 89. b Con la tecla RAN # de la calculadora, hacemos: 500 RAN # hasta obtener 0 resultados distintos. 6 En un conjunto de 000 conductores hay: 50 taxistas. 75 camioneros. 5 conductores de autobús. El resto son conductores de vehículos corrientes y se reparten así: 50 con más de 0 años de experiencia. 5 con una experiencia de entre 5 y 0 años. 75 con una experiencia de 0 a 5 años. Para confeccionar una muestra de 0 individuos mediante muestreo aleatorio estratificado proporcional, cuántos hay que seleccionar de cada uno de los seis estratos? Llamamos n al número de taxistas que tendríamos que seleccionar, n al número de camioneros, n al número de conductores de autobuses, n al número de conductores con más de 0 años de experiencia, n 5 al de conductores con una experiencia entre 5 y 0 años y n 6 al de conductores con una experiencia de 0 a 5 años. Entonces: n n n n n 5 n Así, deberemos elegir: n taxistas n camioneros n conductor de autobús n 0 conductores con más de 0 años de experiencia n 5 7 con experiencia entre 5 y 0 años n 6 7 con experiencia entre 0 y 5 años Unidad 0. Las muestras estadísticas

410 Página 87 7 En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan más a sus habitantes. Para ello, van a ser en- S cuestados 00 individuos elegidos al azar. a Explica qué procedimiento de selección sería más adecuado utilizar: muestreo con o sin reposición. Por qué? b Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 500 niños, adultos y 500 ancianos, se decide elegir la muestra utilizando muestreo estratificado. b. Define los estratos. b. Determina el tamaño muestral correspondiente a cada estrato. a Muestreo sin reemplazamiento para evitar repeticiones. b b. Niños, adultos y ancianos. b. Llamamos n al número de niños que deberíamos elegir, n al número de adultos y n al número de ancianos. Tenemos que: n n n Así, deberían elegirse: n 5 niños n 70 adultos n 5 ancianos En determinada provincia hay cuatro comarcas, C, C, C y C, con un total de personas censadas. De ellas, residen en C, S en C y en C. Se quiere realizar un estudio sobre las costumbres alimenticias en esa provincia basado en una muestra de 000 personas. a Qué tipo de muestreo deberíamos realizar si queremos que en la muestra resultante haya representación de todas las comarcas? b Qué número de personas habría que seleccionar en cada comarca, atendiendo a razones de proporcionalidad? c Cómo seleccionarías las personas en cada comarca? Justifica las respuestas. a Deberíamos realizar un muestreo aleatorio estratificado. b El número de personas que residen en C es: Unidad 0. Las muestras estadísticas

411 Llamamos n, n, n y n al número de personas que tendríamos que seleccionar en cada comarca C, C, C y C, respectivamente. Entonces: n n n n Por tanto, debemos elegir: n 600 personas de C n 900 personas de C n 00 personas de C n 00 personas de C c Dentro de cada comarca, podríamos seleccionarlos mediante un muestreo aleatorio simple, o mediante un muestreo sistemático. Intervalos característicos Distribución de medias y proporciones muestrales 9 En una distribución normal de media µ 9,5 y varianza σ,, halla el intervalo característico para el 99%. Para el 99% α 0,99 z α/,575 El intervalo será de la forma: µ,575 σ, µ +,575 σ En este caso, como µ 9,5 y σ,,, queda: 9,5,575,; 9,5 +,575,, es decir: 6,;,59 0 En las distribuciones normales cuyos parámetros se dan, halla el intervalo característico que en cada caso se indica: a b c d e MEDIA, µ DESV. TÍPICA, σ 5 PROBABILIDAD f g h i MEDIA, µ DESV. TÍPICA, σ PROBABILIDAD El intervalo característico es de la forma: µ z α/ σ; µ + z α/ σ a z α/,96; µ 0; σ Intervalo,96;,96 Unidad 0. Las muestras estadísticas 5

412 b z α/,575; µ 0; σ Intervalo,575;,575 c z α/,65; µ 0; σ Intervalo,65;,65 d z α/,8; µ 0; σ Intervalo,8;,8 e z α/,96; µ ; σ 5 Intervalo 8,6;, f z α/,575; µ 5; σ 550 Intervalo 095,75; 98,5 g z α/,96; µ 5; σ 550 Intervalo ; 590 h z α/,65; µ 5; σ 550 Intervalo 607,5; 6,75 i z α/,8; µ 5; σ 550 Intervalo 808; 6 En una distribución normal con media µ 5 y desviación típica σ 5,; obtén un intervalo centrado en la media, µ k, µ + k, de forma que el 95% de los individuos estén en ese intervalo. El intervalo será de la forma: µ z α/ σ; µ + z α/ σ Como α 0,95, entonces z α/,96. Así, el intervalo será: 5,96 5,; 5 +,96 5,; es decir:,6; 5,88 En una distribución N 0,, obtén un intervalo centrado en la media µ k, µ + k, tal que: P[µ k < x < µ + k] 0,90 El intervalo será de la forma: µ z α/ σ; µ + z α/ σ Como α 0,90, entonces z α/,65. Así, el intervalo será: 0,65 ; 0 +,65 ; es decir:,; 6,58 Unidad 0. Las muestras estadísticas 6

413 Di cómo se distribuyen las medias muestrales en cada uno de los siguienes casos: a b c Recordemos que si la población se distribuye según una normal Nµ, σ, o bien seleccionamos una muestra de tamaño n 0 en una población cualquiera no necesariamente normal con media µ y desviación típica σ, entonces, las medias muestrales siguen una distribución N µ, σ. Aplicamos este resultado en cada n uno de los casos propuestos: a N 0, 6 b N 0, 00 c N,75;, d N,75;, 50 e N, 5 00 f N, 5 00 g N 5, 550 Página 88 0 POBLACIÓN POBLACIÓN DISTRIBUCIÓN Normal Desc. Normal MEDIA, µ 0 0,75 DESV. TÍPICA, σ, TAM. MUESTRA, n 6 00 d e f g DISTRIBUCIÓN Desc. Norm. Desc. Desc. MEDIA, µ,75 5 DESV. TÍPICA, σ, TAM. MUESTRA, n ; es decir, N0, ; es decir, N0; 0, ; es decir, N,75; 0,6 ; es decir, N,75; 0,7 ; es decir, N;,5 ; es decir, N;,5 ; es decir, N 5; 86,96 Halla el intervalo característico correspondiente a la probabilidad que en cada caso se indica, correspondiente a las medias muestrales del ejercicio anterior: a 90% b 95% c 99% d 90% e 95% f 80% g 99% Unidad 0. Las muestras estadísticas 7

414 a z α/,65 Intervalo 0,65 ; 0 +,65 ; es decir: 8,55;,65 b z α/,96 Intervalo 0,96 0,; 0 +,96 0,; es decir: 9,6; 0,78 c z α/,575 Intervalo,75,575 0,6;,75 +,575 0,6; es decir:,05; 5,95 d z α/,65 Intervalo,75,65 0,7;,75 +,65 0,7; es decir:,7;,0 e z α/,96 Intervalo,96,5; +,96,5; es decir: 09,06;,9 f z α/,8 Intervalo,8,5; +,8,5; es decir: 0,08;,9 g z α/,575 Intervalo 5,575 86,96; 5 +,575 86,96; es decir: 88,078; 75,9 5 Averigua cómo se distribuyen las proporciones muestrales, pr, para las poblaciones y las muestras que se describen a continuación: PROPORCIÓN, p, EN LA POBLACIÓN TAMAÑO, n, DE LA MUESTRA a b c d e f 0,5 0,6 0,8 0, 0,05 0, Recordemos que, si np 5 y nq 5, entonces, las proporciones muestrales siguen una distribución N p, pq n. Aplicamos este resultado a cada uno de los casos propuestos. Comprobamos que en todo ellos se tiene que np 5 y nq 5. a N 0,5; 0,5 0,5 0 b N 0,6; 0,6 0, 0 c N 0,8; 0,8 0, 0 d N 0,; 0,9 50 0, ; es decir, N0,5; 0,58 ; es decir, N0,6; 0,0 ; es decir, N0,8; 0,07 ; es decir, N0,; 0,0 Unidad 0. Las muestras estadísticas 8

415 e N 0,05; 0,05 0,95 00 f N 0,5; 0, ,5 ; es decir, N0,05; 0,08 ; es decir, N0,5; 0,06 6 Halla los intervalos característicos para las proporciones muestrales del ejercicio anterior, correspondientes a las probabilidades que, en cada caso, se indican: a 90% b 95% c 99% d 95% e 99% f 80% a z α/,65 Intervalo 0,5,65 0,58; 0,5 +,65 0,58; es decir: 0,; 0,76 b z α/,96 Intervalo 0,6,96 0,0; 0,6 +,96 0,0; es decir: 0,8; 0,8 c z α/,575 Intervalo 0,8,575 0,07; 0,8 +,575 0,07; es decir: 0,6; 0,99 d z α/,96 Intervalo 0,,96 0,0; 0, +,96 0,0; es decir: 0,08; 0,8 e z α/,575 Intervalo 0,05,575 0,08; 0,05 +,575 0,08; es decir: 0,006; 0,06 f z α/,8 Intervalo 0,5,8 0,06; 0,5 +,8 0,06; es decir: 0,0; 0,96 PARA RESOLVER 7 En una distribución N 0, 6, tomamos muestras de tamaño 6. S a Cuál es la distribución de las medias de las muestras? b Cuál es la probabilidad de extraer una muestra cuya media esté comprendida entre 9 y? a Las medias muestrales, x, se distribuyen según una normal de media µ 0 y σ 6 6 de desviación típica 0,75; es decir: n 6 8 x es N0; 0,75 b P[9 < x < ] P[ < z < 0,75 0,75 ] P[, < z <,] P[z <,] P[z <,] P[z <,] P[z <,] P[z <,] 0,908 0,86 Unidad 0. Las muestras estadísticas 9

416 8 Se sabe que el cociente intelectual de los alumnos de una universidad se distribuye según una ley normal de media 00 y varianza 79. S a Halla la probabilidad de que una muestra de 8 alumnos tenga un cociente intelectual medio inferior a 09. b Halla la probabilidad de que una muestra de 6 alumnos tenga un cociente intelectual medio superior a 09. El cociente intelectual sigue una distruibución normal de media µ 00 y de desviación típica σ 79 7; es decir, x es N00, 7. a Las medias en muestras de 8 alumnos se distribuirán según una normal de media µ 00 y de desviación típica ; es decir, x es σ 7 7 n 8 9 N00,. Así: P[x < 09] P[ ] z < P[z < ] 0,9987 b Las medias en muestras de 6 alumnos se distribuyen según una normal de media µ 00 y de desviación típica,5; es decir, x es σ 7 7 n 6 6 N00;,5. Así: P[x > 09] P[ ] z > 09 00,5 P[z > ] P[z ] 0,977 0,08 9 Las notas en un cierto examen se distribuyen normal con media µ 5, y desviación típica σ,. Halla la probabilidad de que un estudiante tomado al azar tenga una nota: a Superior a 7. b Inferior a 5. c Comprendida ente 5 y 7. Tomamos al azar 6 estudiantes. Halla la probabilidad de que la media de las notas de estos 6 estudiantes: d Sea superior a 7. e Sea inferior a 5. f Esté comprendida entre 5 y 7. g Halla k para que el intervalo 5, k; 5, + k contenga al 95% de las notas. hhalla b para que el intervalo 5, b; 5, + b contenga al 95% de las notas medias de las muestras de 6 individuos. x es N5,;, z es N0, a P[x > 7] P[ ] z > 7 5,, P[z > 0,7] P[z 0,7] 0,76 0,88 Unidad 0. Las muestras estadísticas 0

417 b P[x < 5] P[ ] z < 5 5,, 0,557 0,8 5 5, 7 5, c P[5 < x < 7] P[ < x <,, ] P[z < 0,] P[z > 0,] P[z 0,] P[ 0, < z < 0,7] P[z < 0,7] P[z < 0,0] 0,76 0,8 0,9 Las medias de las notas de 6 estudiantes se distribuyen N 5,; x es N5,; 0,6. d P[x > 7] P[ ] z > 7 5, 0,6 e P[x < 5] P[ ] z < 5 5, 0,6 0,695 0,085 f P[5 < x 5 5, 7 5, < 7] P[ < z < 0,6 0,6 ] ; es decir, P[z >,8] P[z,8] 0,9977 0,00 P[z < 0,5] P[z > 0,5] P[z 0,5] P[ 0,5 < z <,8] P[z <,8] Pz < 0,5] 0,9977 0,085 0,689, 6 g Es un intervalo característico para la media de la población, por tanto: k z α/ σ Como α 0,95 z α/,96. Así: k,96,,70 h Es un intervalo característico para las medias muestrales, en muestras de tamaño 6, por tanto: b z α/ 0,6 Como α 0,95 z α/,96. Así: b,96 0,6,76 0 Cuatro de cada diez habitantes de una determinada población lee habitualmente el periódico Z. S Halla el intervalo característico para la proporción de habitantes de esa población que leen el periódico Z, en muestras de tamaño 9, correspondiente al 95%. p proporción de lectores del periódico Z 0,. 0 El intervalo característico para la proporción de lectores, pr, en muestras de tamaño n es de la forma: p z α/, p + z α/ pq pq n n Unidad 0. Las muestras estadísticas

418 Para el 95% α 0,95 z α/,96 El intervalo será: 0, 0,6 0, 0,6 0,,96 ; 0, +,96 ; es decir: 0,6; 0,5 9 9 En un saco mezclamos judías blancas y judías pintas en la relación de blancas por cada pinta. Extraemos un puñado de 00 judías. a Cuál es la probabilidad de que la proporción de judías pintas esté comprendida entre 0,05 y 0,? b Halla un intervalo en el cual se encuentre el 99% de las proporciones de las muestras de tamaño 00. a La proporción de judías pintas es p. Si extraemos un puñado de 00 judías, 5 tenemos una binomial B 00, 5. Una proporción entre 0,05 y 0, significa que haya entre 00 0,05 5 y 00 0, 0 judías pintas. Por tanto, si x es B 00, 5, tenemos que calcular P[5 < x < 0]. Como 00 > 5 y 00 > 5, podemos aproximar la binomial mediante una 5 5 normal de media µ 00 6,67 y desviación típica σ 00, Así, si x es B 00, x' es N6,67;,9 z es N0,. Calculamos: 5,5 6,67 9,5 6,67,9,9 P[ 0,7 z,] P[z,] P[z 0,7] P[5 < x < 0] P[5,5 x' 9,5] P[ z ] P[z,] P[z 0,7] P[z,] P[z 0,7] 0,879 0,6808 0,557 b Si consideramos muestras de tamaño 00, el intervalo característico para la proporción muestral es de la forma: p z α/, p + z α/ pq pq Para el 99% α 0,99 z α/,575 Unidad 0. Las muestras estadísticas

419 Así, el intervalo será: /5 / es decir: 0,00; 0,09 /5,575, +, ; /5 Página 89 El tiempo de espera, en minutos, de los pacientes en un servicio de urgencias, es N,. S a Cómo se distribuye el tiempo medio de espera de 6 pacientes? b En una media jornada se ha atendido a 6 pacientes. Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de su espera esté comprendido entre 0 y 5 minutos? a El tiempo medio de espera, x, de 6 pacientes se distribuye según una normal σ de media µ y de desviación típica ; es decir x es n 6 N,. b P[0 < x 0 5 < 5] P[ < z < ] P[ < z < ] P[z < ] P[z < ] 0,8 0 0,8 Una variable aleatoria se distribuye N µ, σ. Si se extraen muestras de tamaño n: S a Qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral, x? b Si se toman muestras de tamaño n de una variable aleatoria x con distribución N 65,, calcula P[x > 7,7]. a x σ sigue una distribución normal de media µ y de desviación típica, es decir, n x es N µ, σ n. b Las medias muestrales en muestras de tamaño n se distribuyen según una σ normal de media µ 65 y de desviación típica 6; es decir, x n es N65, 6. Así: P[x > 7,7] P[ ] z > 7, P[z >,5] P[z,5] 0,965 0,075 Se sabe que el peso en kilogramos de los alumnos de bachillerato de Madrid S es una variable aleatoria, x, que sigue una distribución normal de desviación típica igual a 5 kg. En el caso de considerar muestras de 5 alumnos, qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral, x? Unidad 0. Las muestras estadísticas

420 La variable aleatoria media muestral, x, sigue una distribución normal con la misma σ 5 5 media que la población, llamémosla µ, y con desviación típica ; es decir, x n 5 5 es Nµ,. 5 En una ciudad, la altura media de sus habitantes tiene una desviación típica S de 8 cm. Si la altura media de dichos habitantes fuera de 75 cm, cuál sería la probabilidad de que la altura media de una muestra de 00 individuos tomada al azar fuera superior a 76 cm? La altura en la población, x, sigue una distribución normal N75, 8. Si consideramos muestras de tamaño n 00, las medias muestrales se distribuyen según σ 8 8 una normal de media µ 75 y de desviación típica 0,8; es decir, x n 00 0 es N75; 0,8. Así: P[x > 76] P[ ] z > ,8 0,89 0,056 P[z >,5] P[z,5] 6 En una localidad de habitantes, la proporción de menores de 6 años es de 500/ a Cuál es la distribución de la proporción de menores de 6 años en muestras de 50 habitantes de dicha población? b Halla la probabilidad de que, en una muestra de 50 habitantes, haya entre 5 y 0 menores de 6 años. a La proporción, pr, de menores de 6 años en muestras de tamaño n 50 sigue 500 una distribución normal de media p 0,5 y de desviación típica: pq n 0,5 0,75 0,06, es decir, pr es N0,6; 0, b El número de menores de 6 años en una muestra de 50 es una binomial B50; 0,5. Como np > 5 y nq > 5, podemos aproximar mediante una normal de media µ 50 0,5,5 y de desviación típica: σ npq 50 0,5 0,75,06 Así, si x es B50; 0,5 x' es N,5;,06 z es N0,, entonces: 5,5,5 9,5,5 P[5 < x < 0] P[5,5 < x' < 9,5] P[ < z <,06,06 ] P[0,98 < z <,9] P[z <,9] P[z < 0,98] 0,9890 0,865 0,55 Unidad 0. Las muestras estadísticas

421 7 El % de los habitantes de un municipio es contrario a la gestión del alcalde y el resto son partidarios de este. Si se toma una muestra de 6 individuos, cuál es la probabilidad de que ganen los que se oponen al alcalde? En muestras de 6, el número de personas que se oponen al alcalde, x, sigue una distribución binomial B6, 0,. Tenemos que calcular P[x > ]. Como np > 5 y nq > 5, podemos aproximar mediante una normal de media µ n p 6 0, 6,88 y de desviación típica npq 6 0, 0,58,95. Así, si: x es B6, 0, x' es N6,88;,95 z es N0,, entonces: P[x > ] P[x',5] P[ ] z,5 6,88,95 P[z <,] 0,9 0,0778 P[z,] 8 La probabilidad de que un bebé sea varón es 0,55. Si han nacido 8 bebés, cuál es la probabilidad de que haya 00 varones o más? Halla el intervalo característico correspondiente al 95% para la proporción de varones en muestras de 8 bebés. El número de varones entre 8 bebés, x, sigue una distribución binomial B8; 0,55. Tenemos que calcular P[x 00]. Como np > 5 y nq > 5, podemos aproximar mediante una normal de media µ np 8 0,55 9,76 y de desviación típica npq 8 0,55 0,85 6,78. Así, si: x es B8; 0,55 x' es N9,76; 6,78 z es N0,, entonces: P[x 00] P[x' 99,5] P[ ] z 99,5 9,76 6,78 P[z < 0,70] 0,7580 0,0 P[z 0,70] El intervalo característico para la proporción muestral es de la forma: p z α/, p + z α/ pq pq n n Para el 95% α 0,95 z α/,96 Así, el intervalo será: 0,55 0,85 0,55 0,85 0,55,96, 0,55 +, ; es decir: 0,8; 0,587 9 La estatura de los jóvenes de una ciudad sigue una distribución N µ, σ. Si el S 90% de las medias de las muestras de 8 jóvenes están en 7,; 75,8, halla µ y σ. Para el 90% α 0,90 z α/,65 Unidad 0. Las muestras estadísticas 5

422 El intervalo característico para las medias de las muestras de 8 jóvenes para el 90% es: σ σ µ,65, µ +,65 n n El centro del intervalo es µ: 7, + 75,8 µ 7,6 µ La semiamplitud del intervalo es: σ 75,8 7,,65 8 σ, 9,65, σ 6,57 9,65 0 Sabemos que al lanzar al suelo 00 chinchetas, en el 95% de los casos, la proporción de ellas que quedan con la punta hacia arriba está en el intervalo 0,6; 0,78. Calcula la probabilidad p de que una de esas chinchetas caiga con la punta hacia arriba y comprueba que la amplitud del intervalo dado es correcta. p es el centro del intervalo, es decir: 0,78 + 0,6 p 0, p Veamos que la amplitud del intervalo dado es correcta: Para el 95% α 0,95 z α/,96 El intervalo característico es: p z α/, p + z α/ pq pq n n En este caso p 0,; q 0,8; n 00; z α/,96, queda: 0, 0,8 0, 0,8 0,,96 ; 0, +,96 ; es decir: ,6; 0,78, como queríamos probar. De 0 alumnos, la proporción de que tengan dos o más hermanos es de S 8/0. Indica los parámetros de la distribución a la que se ajustarían las muestras de tamaño 0. En muestras de tamaño n 0, la proporción muestral, pr, seguiría una distribución normal de media: 8 µ np 0 0 0, 0 Unidad 0. Las muestras estadísticas 6

423 y de desviación típica: 0, 0,6 σ 0,089 pq n 0 Es decir, pr es N; 0,089. Si la distribución de la media de las alturas en muestras de tamaño 9 de los S niños de 0 años tiene como media 5 cm y como desviación típica, cm, cuánto valen la media y la varianza de la altura de los niños de esa ciudad? Si la media en la población es µ y la desviación típica es σ, entonces, la distribución de las medias muestrales es N µ, σ. Así, tenemos que: n µ 5 cm σ σ σ, cm σ, 7 8, cm n 9 7 Por tanto, la media es µ 5 cm y la varianza es σ 8, 70,56. PARA PROFUNDIZAR Los paquetes recibidos en un almacén tienen un peso medio de 00 kg y una S desviación típica de 50 kg. Cuál es la probabilidad de que 5 de los paquetes, elegidos al azar, excedan el límite de carga del montacargas donde se van a meter, que es de 8 00 kg? Sabemos que la suma de los pesos de n de esas bolsas tomadas al azar sigue una distribución normal de media nµ y de desviación típica σ n, es decir: n Σ x i es Nnµ, σ n i En este caso: 5 Σ x i es N5 00; 50 5 ; es decir N7 500; 50 i Tenemos que calcular: P[ 5 Σ x i > 8 i 00] [ ] P z > P[z >,8] P[z,8] 0,997 0,006 Tras realizar un test de cultura general entre los habitantes de cierta población, se observa que las puntuaciones se distribuyen N 68, 8. Se desea S clasificar a los habitantes en tres grupos de baja cultura, de cultura aceptable, de cultura excelente, de manera que el primero abarque un 0% de la población, el segundo un 65%, y el tercero un 5%. Cuáles son las puntuaciones que marcan el paso de un grupo a otro? Unidad 0. Las muestras estadísticas 7

424 Obtenemos las puntuaciones que marcarían el paso de un grupo a otro en una N0, : 65% 0% 5% 0,65 0,0 0,5 z z P[z z ] 0,0 P[z z ] 0,0 P[z < z ] 0,80 z 0,8 z 0,8 P[z z ] 0,65 + 0,0 0,85 z,0 En una N68, 8 será: 0,65 0,0 x x 0,5 x 68 8 x ,8 x 5,88,0 x 86,7 Por tanto, habrá que considerar: Baja cultura general Puntuación menor que 5,88. Cultura general aceptable Entre 5,88 y 86,7 puntos. Cultura general excelente Puntuación superior a 86,7. Unidad 0. Las muestras estadísticas 8

425 UNIDAD INFERENCIA ESTADÍSTICA Página 9 Problema A partir de una muestra de 500 individuos hemos estimado, con un nivel de confianza del 90%, que la estatura media de los soldados de un cierto reemplazo está comprendida entre 7, cm y 75, cm. Utilizando el sentido común, y sin realizar ningún tipo de cálculo, responde a las siguientes preguntas: a Imagina que disminuimos el tamaño de la muestra pero queremos que el nivel de confianza se mantenga. Cómo influirá este cambio en la longitud del intervalo? Aumentará? Quedará igual? Disminuirá? b Ahora aumentamos el tamaño de la muestra pero queremos que se mantenga la longitud del intervalo. Cómo influirá este cambio en el nivel de confianza? Aumentará? Quedará igual? Disminuirá? c Manteniendo el tamaño de la muestra, disminuimos la longitud del intervalo. Cómo influirá este cambio en el nivel de confianza? Aumentará? Quedará igual? Disminuirá? a Aumentará la longitud del intervalo. b Aumentará el nivel de confianza. c Disminuirá el nivel de confianza. Problema Reflexionemos sobre cada una de las siguientes experiencias: a Lanzamos una moneda 0 veces y obtenemos 6 caras. b Lanzamos una moneda 00 veces y obtenemos 60 caras. c Lanzamos una moneda 000 veces y obtenemos 600 caras. Unidad. Inferencia estadística