LICEO MARTA DONOSO ESPEJO REPASO

Transcripción

1 REPASO Sistema de numeración decimal Anotemos una escala que sirve para representar lo fundamental del sistema de numeración decimal cm Centena de Millón dm Decena de Millón um Unidad de Millón Cm Centena de Mil dm Decena de Mil um Unidad de Mil 100 c Centena 10 d Decena 1 u Unidad Vemos que las unidades de los distintos órdenes se agrupan de diez en diez. Diez unidades de un orden forman una unidad de orden superior. Ejemplo: Analicemos el orden de unidades y el valor posicional del número : Su orden es unidades de mil y su valor de posición : Su orden es centenas y su valor de posición : Su orden es decenas y su valor de posición : Su orden es unidades y su valor de posición 5. O sea 7385 =

2 CRITERIOS DE DIVISIBIIDAD Un número es divisible por 2 cuando es par o termina en 0, 2, 4, 6, ó 8. Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 4. Un número es divisible por 5 cuando terminan en 0 ó en 5. Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez. Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7. Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 8. Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9. Un número es divisible por 10 cuando termina en 0. Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11. Un número es divisible por 13 cuando separando la primer cifra de la derecha, multiplicándola por 9, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 13. Un número es divisible por 17 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 5, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 17. Un número es divisible por 19 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 17, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de19. Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 25. Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125.

3 Números primos Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por sí mismo. Por ejemplo: El 3 es primo ya que sólo es divisible por 1 y por 3. El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12. El 12 es un número compuesto. El 2 es el único número primo que es par. a Criba de Eratóstenes a Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que por tanto sean múltiplos de algún número. Si quieres obtener los 150 primeros números primos, en la siguiente tabla, sigue los pasos indicados: Tacha el número 1, ya que no se considera primo ni compuesto. Encierra el número 2 y tacha sus múltiplos. o sea, el 4, el 6, el 8, etc. Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 3, y tacha sus múltiplos. Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 5, y tacha sus múltiplos. Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números. os números encerrados son los números primos. os restantes corresponde a los números compuestos, con exepción del

4 FACTORES PRIMOS DE UN NÚMERO Todos los números naturales se pueden descomponer en una factorización única de números primos. Ejemplo: Encontremos los factores primos de : 2 24 : 2 12 : 2 6 : 2 3 : 3 1 uego 48 = = También se puede utilizar un diagrama de árbol. Utilicemos este método para obtener los factores primos de 8. Por lo tanto 8 = 2 x 2 x 2 = MÍNIMO COMÚN MÚTIPO (m.c.m) El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos que es común a cada una de estas cantidades. Calculemos por medio de una tabla, donde vamos dividiendo por los números primos. Cuando el número no sea divisible se conservará. Ejemplos: Determinemos el m.c.m. de 12 y 18

5 12 18 : : : : 3 1 El m.c.m. entre 12 y 18 es = = 36 Obtengamos ahora el m.c.m entre 8, 12, y : : : : : 5 1 El m.c.m. es = 120. Otro método para obtenerlo es determinando los múltiplos de cada número y después ver los que son comunes y de ellos elegir el menor. Múltiplos de 12: {12, 24, 36, 48...} Múltiplos de 18: {18, 36, 54,...} El menor múltiplo común de 12 y 18 es 36. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m. c. d.) El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el número mayor que los divide. Se calcula obteniendo los divisores de cada uno de los números y luego, de los divisores comunes, se elige el mayor de ellos. Ejemplos: Obtengamos el m.c.d entre 12 y 18 Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} El mayor divisor común de 12 y 18 es 6

6 PRIMOS REATIVOS Dos números naturales se llaman primos relativos si el máximo común divisor entre ellos es 1. os números 6 y 9 NO son primos relativos ya que los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. os divisores de 9 son 1, 3 y 9. Por lo tanto el máximo común divisor es 3. os números 9 y 14 son primos relativos ya que los divisores de 9 son 1, 3 y 9, mientras que los divisores de 14 son 1, 2, 7 y 14. Por lo tanto el máximo común divisor es 1. Tablas de doble entrada Qué ocurre si nuestro conjunto numérico es de sólo cuatro números: {0, 1, 2, 3}? Cómo operaríamos con ellos al sumar y/o multiplicar?. Veamos. Para la suma elaboremos la siguiente tabla de doble entrada: Extraña, verdad?, pero está correcta, aunque no te suene para nada que es Para obtenerla se debe efectuar lo siguiente. sabemos que en IN es 4, pero en el conjunto dado el 4 no existe, por lo que al llegar al 3, volvemos al comienzo y de ahí que el resultado sea 0. Elaboremos ahora la tabla para la multiplicación:

7 Comprobemos en ambas tablas si se cumplen algunas propiedades, como ser la asociatividad. verifiquemos primero si (2 + 1) + 3 = 2 + (1 + 3) = = 2, se cumple ahora con la multiplicación: (3 2) 1 = 3 (2 1) 2 1 = = 2, se cumple. Tendrán estas tablas elemento neutro?. Investígalo. Ah, y lo más importante sirve para algo lo visto? Tal vez un entendido en computación podría darte esa respuesta. Pregúntale por los sistemas binarios. Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor decimal. as fracciones equivalentes representan la misma parte de una cantidad. Si las representamos en la recta numérica, corresponden al mismo punto. Representemos las fracciones equivalentes y Vemos que ambas fracciones representan la misma parte. Para obtener fracciones equivalentes se debe amplificar o simplificar la fracción. Por amplificar se entiende multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número.

8 Ejemplo: Amplifiquemos la fracción por 6 para obtener una fracción equivalente. uego las fracciones y son equivalentes. Por simplificar, se entiende dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número. Ejemplo: Simplifiquemos la fracción por 3 para obtener una fracción equivalente. uego las fracciones y son equivalentes. Comparar fracciones Para comparar fracciones con igual denominador, basta con comparar los numeradores para definir cuál es mayor o menor. Resulta mayor la que tiene mayor numerador. Resulta menor la que tiene menor numerador. Ejemplo: Comparemos. a primera es mayor ya que 5 > 2. Para comparar fracciones con diferente denominador, se deben buscar fracciones equivalentes con denominador común. Ejemplo: Comparemos las fracciones y Para compararlas debemos reducir estas fracciones a un denominador común, a través de la amplificación. a fracción la amplificaremos por 4 y la fracción la amplificaremos por 3, obteniéndose respectivamente, y.

9 Como 9 > 8, la fracción mayor es o sea >. Fracciones a decimales Para transformar una fracción a la forma decimal, se divide el númerador por el denominador. Así si queremos convertir a decimal tenemos que efectuar la división 1 : 8 1 : 8 = 0,125 o sea un decimal exacto Efectuemos ahora la transformación de a forma decimal. 2 : 3 = 0, o sea un decimal periódico Convirtamos a decimal la fracción 1 : 6 = 0, o sea un decimal semi periódico Multiplicación de decimales Al multiplicar dos números decimales, lo más conveniente es efectuarla como si fueran números enteros y luego, en el resultado, separar tantos dígitos como cifras decimales había en total en los factores. Ejemplo: 0, ,053 lo vamos a multiplicar como si fuera lo cual da Ahora contamos la cantidad de cifras decimales de los factores 0, y 0,053, siendo de 5 y 3, respectivamente, o sea en total 8 cifras decimales. Al aplicar la cantidad de cifras obtenidas al resultado , obtenemos como resultado final 0, a explicación de este procedimiento es el siguiente: 0,07365 = y 0,053 =

10 Efectuemos el producto = = 0, Se debe tener especial cuidado al multiplicar cantidades que terminan en cero ya que no nos debemos olvidar de agregar, al resultado final, los ceros que contiene la cifra. Ejemplo 0, = Agregamos los ceros al resultado obtenido, resultando Ahora contamos la cantidad de cifra decimales contenidas en el ejercicio, siendo 4 cifras. uego el resultado final es 424,8600; o mejor 424,86. Esto tiene la siguiente justificación: 0,0582 = y 7300 = uego 0, = = = = = 424,86 División de decimales Para dividir números decimales tendremos que utilizar generalmente la amplificación Efectuemos la división 36 : 0,5 Esto es lo mismo que decir que 0,5 tiene un solo decimal)., fracción que podemos amplificar por 10 (basados en Resulta, entonces, Efectuamos esta sencilla división 360 : 5. uego el resultado final de 36 : 0,5 es 72. Si queremos comprobar que nuestro resultado está bién, debemos multiplicar 72 0,5 y obtenet 36. Otro ejemplo: 3764 : 0,04 En este caso debemos amplificar por 100, ya que 0,04 tiene dos decimales.

11 Ya no es necesario transforma la expresión en fracción, para darse cuenta de que la división a efectuar es : 4, dando como resultado Pero, cómo debemos operar cuando ambos son decimales? Dividamos 0,512 : 1,6. Para amplificar debemos observar cuál de las dos cantidades tiene mayor cantidad de decimales. En este caso es el 0,512 y él es el que determina que se debe amplificar por (3 decimales, 3 ceros) Al amplificar resulta 512 : 1600, cuyo resultado es 0,32. as divisiones con decimales tiene mucha aplicación en la vida cotidiana, como en lo siguiente: Se tiene una barra de fierro de 1,5 metros de largo y de ella se quieren obtener pernos de 0,075 metros de largo. Cuántos pernos salen? (Resp. 20) SISTEMA MÉTRICO DECIMA Es el conjunto de medidas que se derivan del metro. Es un sistema, porque es un conjunto de medidas; métrico, porque su unidad fundamental es el metro; decimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen como las potencias de 10. Hay cinco clases de medidas: de longitud, de superficie, de volumen, de capacidad y de masa (peso). 1. Unidades de ongitud. a unidad de las medidas de longitud es el metro, que se representa por m. os múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro, las palabras griegas Deca, Hecto y Kilo, que significan diez, cien y mil respectivamente, y los submúltipos que se forman anteponiendo las palabras griegas deci, centi y mili, que significan décima, centésima y milésima parte respectivamente. Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez. os múltiplos y submúltiplos del metro son: Kilómetro Km m. Hectómetro Hm. 100 m. Decámetro Dm. 10 m. metro m. 1 m. decímetro dm. 0,1 m. centímetro cm. 0,01 m. milímetro mm. 0,001 m

12 2. Unidades de Superficie. a unidad de las medidas de superficie es el metro cuadrado, que corresponde a un cuadrado que tiene de lado un metro lineal y se representa por m 2. Estas medidas aumentan y disminuyen de cien en cien. os múltiplos y submúltiplos del m 2 son: Kilómetro cuadrado Km m 2 Hectómetro cuadrado Hm m 2 Decámetro cuadrado Dm m 2 metro cuadrado m 2 1 m 2 decímetro cuadrado dm 2 0,01 m 2 centímetro cuadrado cm 2 0,0001 m 2 milímetro cuadrado mm 2 0, m 2 3. Unidades de Volumen. a unidad de estas medidas es el metro cúbico, que es un cubo que tiene de arista un metro lineal y se representa por m 3. Estas medidas aumentan y disminuyen de mil en mil. os múltiplos y submúltiplos del m 3 son: Kilómetro cúbico Km m 3 Hectómetro cúbico Hm m 3 Decámetro cúbico Dm m 3 metro cúbico m 3 1 m 3 decímetro cúbico dm 3 0,001 m 3 centímetro cúbico cm 3 0, m 3 milímetro cúbico mm 3 0, m 3 4. Unidades de Capacidad. a unidad de estas medidas es el litro. Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez. os múltiplos y submúltiplos del litro son: Kilólitro Kl l. Hectólitro Hl. 100 l. Decálitro Dl. 10 l. litro l. 1 l. decílitro dl. 0,1 l. centílitro cl. 0,01 l. milílitro ml. 0,001 l. 5. Unidades de Peso. a unidad de estas medidas es el gramo.

13 as medidas de peso aumentan y disminuyen de diez en diez. os múltiplos y submúltiplos del gramo son: Kilógramo Kg g. Hectógramo Hg. 100 g. Decágramo Dg. 10 g. gramo g. 1 g. decígramo dg. 0,1 g. centígramo cg. 0,01 g. milígramo mg. 0,001 g.

14 POTENCIAS: Recuerda: - os elementos que intervienen son la Base y el Exponente o El exponente indica la cantidad de veces que se multiplica la base o Ej. a b = a*a*a*a*. b veces PROIEDADES Potencias de exponente 0 a 0 = = 1 Potencias de exponente 1 a 1 = a 5 1 = 5 Potencias de exponente entero negativo Multiplicación de potencias con la misma base Se conserva la base y se SUMAN los exponentes a m a n = a m+n = = 2 7 División de potencias con la misma base Se conserva la base y se RESTAN los exponentes. a m : a n = a m - n 2 5 : 2 2 = = 2 3 Potencia de un potencia Se conserva la base y se Multiplican los exponentes (a m ) n =a m n (2 5 ) 3 = 2 15

15 Multiplicación de potencias con el mismo exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente a n b n = (a b) n = 8 3 División de potencias con el mismo exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente. a n : b n = (a : b) n 6 3 : 3 3 = 2 3

16 GEOMETRIA CONTENIDOS SOBRE ÁNGUOS - Definición de un ángulo: en geometría, se define como el conjunto de puntos determinados por dos semirrectas, que tienen el mismo punto de partida. También se puede definir a un ángulo como dos segmentos finitos con un punto extremo común. B A C AB es una semirrecta BC es una semirrecta B es el punto de partida - Modo de nombrar un ángulo: Un ángulo se designa en cualquiera de las siguientes formas: o Con la sola letra del vértice si hay únicamente un ángulo que tenga tal vértice. Por ejemplo B B o Con una letra minúscula o un número que se coloca los lados del ángulo en las cercanías del vértice; por ejemplo, a o < 1 a 1 o Por medio de 3 letras mayúsculas, las cuales la del vértice se halla en el centro y se nombra entre las otras dos, que se colocan sobre lados del ángulo. A B es donde esta el ángulo y siempre va al centro B Vértice C El ángulo de nombra asi: < A B C

17 Clases de ángulos: Ángulo agudo: es menor de 90º B Ángulo recto: tiene 90º 90º Ángulo obtuso : es mayor que 90º pero menor de 180º. Ángulo llano o plano: mide 180º. 180º Ángulo cóncavo o entrante: es mayor que 180º pero menor que 360º. OTROS ASUNTOS SOBRE ÁNGUOS Ángulos iguales: son los que tienen el mismo número de grados. 90º 90º <A = <B A B Recta bisectriz: divide al ángulo en dos partes iguales A 1 2 <1 = < 2 Recta perpendicular: corta a una recta y la divide en dos ángulos rectos. 90º 90º

18 Mediatriz Si una recta biseca (corta) a un segmento, y además, es perpendicular a él se llama mediatriz. Mediatriz es, la perpendicular a un segmento en su punto medio. G GH es mediatriz porque: GH biseca (corta) al segmento EF 90º 90º GH es perpendicular a EF E M H F Entonces < EMG y < EMF son ángulos rectos y M es el punto medio de EF Ángulos complementarios son los que sumados dan 90º. 60º 30º 60º + 30º = 90º Ángulos suplementarios son los ángulos que sumados dan 180º. 140º 40º 140º + 40º = 180º Igualdad de ángulos entre paralelas: Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal y 2 son // paralelas es trasversal

19 Tipos de ángulos formados Ángulos correspondientes entre paralelas son iguales = 5 2 = 6 3 = 7 4 = 8 Ángulos alternos entre paralelas son iguales = 7 2 = 8 3 = 5 4 = 6 Ángulos alternos opuestos por el vértice son iguales = 3 2 = 4 6 = 8 5 = 7

20 Triángulos os triángulos son polígonos de tres lados. as propiedades fundamentales del triángulo son: 1) a suma de sus ángulos interiores es 180º. 2) a suma de sus ángulos exteriores es 360º. 3) Cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. os triángulos se clasifican: Según sus lados en: Equilateros: Tienen sus tres lados iguales. Isósceles: Tienen dos lados iguales. Escalenos: Tienen sus tres lados desiguales. Según sus ángulos en: Acutángulos: Tienen todos sus ángulos agudos. Rectángulos. Tienen un ángulo recto. Obstusángulos: Tienen un ángulo obstuso.