TEMA 12: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO.

Transcripción

1 TEMA 12: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO. 1. Distancia entre dos puntos: Si A= (a 1, a 2, a 3 ) y B= (b 1, b 2, b 3 ), entonces: 2.Ángulo entre elementos del espacio: Ángulo entre dos rectas: d (A, B) = + + El ángulo entre dos rectas r y s que se cortan es el menor de los ángulos que determinan sus respectivos vectores directores ; 0 cos 1 Cos = Ángulo entre dos planos: Es el menor de los ángulos que forman sus respectivos vectores normales: 1 Cos = Ángulo entre recta y plano: Es el ángulo complementario del ángulo que forman el vector director dela recta r y el vector perpendicular al plano. = =

2 3. Paralelismo y perpendicularidad: 1) Recta perpendicular a un plano: 2) Recta paralela a un plano: r 3) Planos paralelos: 4) Planos perpendiculares: 2 4.-Proyecciones: Ejemplo1: Hallar la proyección del Punto P 1 (1, 2, 3) sobre el plano : 2x y + 3z 5 = 0. Y las coordenadas del punto P 2 simétrico de P 1 respecto del plano. Solución: La recta perpendicular al plano por el punto P, es: r : x = 1 + 2λ y = 2 - λ z = 3 + 3λ M es la intersección de r con el plano : 2 (1 + 2λ) λ + 3 ( λ) 5 = 0 ; =

3 Las coordenadas del punto M, proyección del punto P 1 sobre el plano son: M=,,. M es el punto medio del segmento, por lo tanto P 2 =,, Ejemplo2: Calcular la proyección del punto P (1, 2, 3) sobre la recta r: = = Solución: Buscamos el plano perpendicular a r y que contenga a P. La intersección de dicho plano con r, será el punto buscado. : - x + y + 3z 10 = 0 x = 2 λ r: y = 5 + λ z = 1 + 3λ La intersección de r y es: -2 + λ λ λ 10 = 0 = El punto P tiene de coordenadas: P = (18/11, 59/11, 23/11). Busca otro procedimiento para resolver el problema. 3 Ejemplo 3: Halla la proyección de la recta r: 2x 3y + z = 1 sobre el plano : 2x y + 3z + 5 = 0. x- y + 3z = -4 Solución: La recta r será la intersección del plano con el plano perpendicular a y que contenga a r. el vector de dirección de la recta, como está dada como intersección de dos planos se puede obtener : = Por lo tanto = 8, 5,1 es el vector de dirección de la recta y = (2, 1,3) es el vector perpendicular al plano; el punto P 13, 9,0 pertenece a la recta r. La ecuación del plano perpendicular a y que contiene a r es:

4 = 0 ; - 7 x + 13 y + 9 z + 26 = La ecuación de la recta pedida r se puede escribir domo intersección de dos planos de la forma: 5.-Distancias: - 7 x + 13 y + 9 z + 26 = 0 2x y + 3z + 5 = 0 Distancia de un punto a un plano: Sean el punto (,, ) y el plano : = 0 La distancia d, del punto al plano, es la mínima distancia y se obtiene utilizando la expresión:, = 4 Distancia de un punto a una recta: D (P, r) = Área = despejando : =, =, = Ejemplo: x = 1-2λ Hallar la distancia del punto P (5, -1,6) a la recta r: y = -λ z = 5 + λ Solución: A=(1,0,5) es un punto que pertenece a la recta ; = ( 4, -1, 1) = (-2,-1,1) es el vector de dirección de la recta:

5 = (0, -6, -6) ; d (P, r) = = 12 Distancia entre panos paralelos: Si dos planos son coincidentes o se cortan en una recta, la distancia entre ellos es nula. Si dos planos son paralelos, entonces la distancia entre ellos es la distancia de un punto de uno de ellos al otro plano, es decir: D (, ) = (, ) Distancia entre una recta y un plano: Cuando la recta y el plano se cortan en un punto, o la recta está contenida en el plano, la distancia es cero. Si la recta es paralela al plano, entonces: D ( r, ) = D( P, ) Siendo P un punto cualquiera de la recta r. Distancia entre dos rectas: 5 A) Rectas paralelas: si r y s son dos rectas paralelas, entonces d( r, s) = d( P, s), siendo P un punto cualquiera de la recta r. B) Si r y s son dos rectas secantes, entonces d( r, s) = 0. C) Si r y s son dos rectas que se cruzan: D( r, s ) = D(s, ) = D( B, ), siendo el plano paralelo a la recta s y que contiene a r. Para hallar la ecuación de dicho plano, se utiliza el vector perpendicular al plano ( ), y un punto de la recta r. Para encontrar la distancia entre dos rectas que se cruzan es más fácil:

6 La distancia entre las rectas r y s es la altura del paralelepípedo, es decir: D(r, s) =,, Siendo A un punto de r y su vector de dirección. B un punto de s y su vector de dirección. 6.Perpendicular común a dos rectas que se cruzan: Llamamos perpendicular común a dos rectas que se cruzan en el espacio a la recta que corta perpendicularmente a cada una de ellas. Ejemplo: Hallar la perpendicular común a las rectas: Hallar la perpendicular común a las rectas: x = 2 + x= t r: y = 6-2 s: y = -2 + t z = 5 + z = - 3 t 6 Solución: Sean P ( 2 + λ, 6-2λ, 5 + λ ) y Q ( t, -2 + t, -3-t) dos puntos cualesquiera de r y s respectivamente. El vector ( t- 2 λ, t + 2λ- 8, -t λ 8) tiene que ser paralelo al vector : x = ( 1, 2, 3 ), por lo que: = = Resolviendo el sistema: 2t 4-2λ = t + 2λ 8 3t - 3λ 6 = - t λ - 8

7 Se obtiene: λ = 1 ; t = 0 La ecuación pedida es: = = Los puntos P (3, 4,6) y Q( 0, -2, -3), la d(p,q), nos daría la distancia entre las dos rectas. 7