Tema 2. Determinantes

Transcripción

1 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes. Deerminne de un mriz Tem. Deerminnes.. Definición de deerminne El deerminne de un mriz cudrd es un número. Pr l mriz, su deerminne se deno por de() o por. El cálculo de un deerminne puede hcerse prir del más sencillo, el de orden ; el deerminne de un mriz de orden se hce prir de l orden ; el de un mriz de orden, prir de l orden ; sí sucesivmene. Pr un mriz de orden,, se define: Es l diferenci de los producos cruzdos. Ejemplos: ) ) Pr un mriz de orden,, su deerminne vle: Si se clcul cd deerminne de orden se ordenn los érminos por signos, se oiene: ( ) ( ) ( ) Resuldo que puede recordrse fácilmene con l regl de Srrus (rnci, 9 ), cuo esquem es: Producos con signo posiivo Producos con signo negivo ( ) Oservción: El deerminne de un mriz de orden n puede definirse como l sum de odos los producos de n fcores cd produco, elegidos de fils columns diferenes (un fcor de cd fil uno de cd column). En ol hrá n! sumndos/producos. (En el cso de n, hrá! sumndos; si n, hrá! sumndos). El signo de cd produco dependerá de l pridd de l inversión de cd permución; quí se drá l regl de signos. Dicho eso, el deerminne de un mriz se define como: ± ) ( j j nj. n José Mrí Mrínez Medino

2 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes Ejemplos: ) ( ) ( ) () () plicndo l regl de Srrus, se endrí: 9 9. ) Si l mriz es ringulr, su deerminne es el produco de los elemenos de l digonl ( ) ; ( )( ).. Menor complemenrio djuno de un elemeno de l mriz El menor complemenrio, M ij, del elemeno ij ( ij ) n n es el deerminne de l mriz de orden n, que resul l suprimir l fil i l column j de l mriz. i El djuno del elemeno ij de l mriz ( ij ) n n es j ij ( ) M ij. Eso es, el djuno es o el menor correspondiene. Pr l mriz, los menores complemenrios de los elemenos de l primer fil son: M ; M ; M Pr l mism mriz, los djunos de los elemenos de l segund fil son: ; ; Oservciones: ) El djuno es el menor con signo más o menos. Los signos de los djunos se vn lernndo, como se indic en l l djun: ) Los deerminnes se pueden desrrollr por l fil o column que se desee. Su vlor es l sum de los elemenos de es fil o column por sus respecivos djunos. Pr deerminnes de mrices de orden puede hcerse: ( Por ) ( Por ) ( Por ) sí, desrrolldo por l ercer column: ( ) ( ) ( ) José Mrí Mrínez Medino

3 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes 9.. Deerminnes de orden superior Teniendo en cuen l definición de menor complemenrio, lo hecho pr deerminnes de orden, el cálculo de un deerminne de orden se hce como sigue: ( M M M M ) Generlizndo, el cálculo de un deerminne de orden n se hce medine el cálculo de deerminnes de orden n. Eso es, el deerminne de un mriz de orden n se clcul como sigue: Por l fil i: i i i i... in in ij es el djuno del elemeno ij. Por l column j: j j j j... nj nj Ddo que ese proceso puede resulr mu engorroso convendrá desrrollr por l fil o column que eng más ceros. Ejemplo: ( ) () (). (Los ceros no es preciso escriirlos: el resuldo del produco correspondiene será ).. lguns propieddes de los deerminnes Ls propieddes que siguen se enuncin pr fcilir el cálculo de deerminnes. Ls más significivs son: ) El deerminne de un mriz es igul l de su rspues:. Es propiedd permie plicr odo lo que se dig pr fils columns. Ejemplo: ( ) ( ) José Mrí Mrínez Medino

4 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes ) Si se inercmin enre sí dos fils (o dos columns) de un deerminne, su vlor es el mismo cmido de signo. Ejemplos: c ) d e f g h i c g h i ) d e f d g e h c f i g d h e c i f c i f c), pero si se cmi l fil ª por l ª ) Un deerminne no vrí si un de sus fils se le sum o res or fil culesquier; u or fil muliplicd por un número (siempre elemeno elemeno). L rnsformción que se hce es susiuir un fil por ell mism más, o menos, or fil muliplicd por un número. (Lo dicho pr fils vle pr columns). Ejemplos: c c ) d e f d e f c l segund fil se le h resdo l g h i g h i c primer, l ercer fil se le h sumdo el dole de l primer. c c c ) d e f d e f e f los elemenos de l primer column se les hn g h i g h i h i sumdo los de ls ors dos columns. c) (ompruéese). Oservciones: ) L fil ª inicil,, se cmi por. Un error frecuene consise en cmir por. sí se muliplic l primer fil por, lo que muliplic por el resuldo. ) l hcer los cmios neriores se h uscdo que prezcn ceros en l primer column; es esregi fcili mucho los cálculos del deerminne. ) Si los elemenos de un fil (o column) se muliplicn por un número, el deerminne de l mriz qued muliplicdo por ese mismo número. Eso es: de (,,..., n) de(,,..., n) Es propiedd permie scr fcor común por fils en un deerminne. Ejemplo: ( ) ( ) ( sle de ;, de ) h e g d José Mrí Mrínez Medino

5 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes ) Si ( ij ) n n, enonces:. n Eso es, l muliplicr un mriz por, sus deerminne qued muliplicdo por siendo n el orden de l mriz. Ejemplo: Si. l clculr, se puede scr el fcor de cd fil: ( ) ( ) ( ) Es fácil ver que. Eso es:. Oservciones: se muliplic por ods ls fils, odos los elemenos de l Si ( ij ) n n, ( ij ) n n mriz. En consecuenci, de cd fil puede scrse como fcor. Si h dos fils, ; n si huiese n fils, el fcor serí. En cmio, es el produco de dos números. Eso es, no es lo mismo que. ) El deerminne de un produco de mrices es el produco de sus deerminnes. Si son mrices del mismo orden, enonces:. En priculr: ( ) ; ( ) Ejemplo: Si,. Los deerminnes vlen: ; ;. Efecivmene, se cumple que (). onsecuencis de ess propieddes: deerminnes que vlen on frecuenci ineres ser si un deerminne vle. (L impornci de que se verá más delne). Pues ien, prir de ls propieddes neriores se cumple: ) Un deerminne vle si odos los elemenos de un fil o column son ceros. Ejemplos: ) ) Esos deerminnes no se hcen; se iguln direcmene, indicndo el moivo. n, José Mrí Mrínez Medino

6 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes José Mrí Mrínez Medino ) Un deerminne vle si iene dos fils (o dos columns) igules o proporcionles. ) Un deerminne vle si un fil o column es cominción linel de ors. Ejemplos: ) ) c) En ) si se inercmin d igul (sólo cmiri el "color" de ls fils); pero su vlor serí el mismo con el signo cmido. Y el único número que iene el mismo vlor con signo con es el. En ) ls columns ª ª son proporcionles:. En c) se oserv que... Álger de deerminnes (plicción de ls propieddes) Pr prcicr ls propieddes neriores se proponen resuelven los siguienes ejercicios. (El lecor deerí plnerse el pequeño reo de resolverlos personlmene, recurrir ess soluciones sólo si iene dificuldes o pr compror sus respuess). Ejercicio. (Propueso en Selecividd en, en rgón) Uiliz ls propieddes de los deerminnes pr clculr el vlor de d c con,, c, d R. Solución: Resndo l fil ª ls ors dos se iene: d c ( ) c d d c. Ejercicio lcul el vlor de los deerminnes: ) ). Solución: ) Resndo l fil ª ls ors dos se iene:, pues iene dos fils proporcionles. ) Igulmene,, pues.

7 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes Ejercicio Hll los vlores de x pr los que el deerminne de l mriz x vle. x Pr cd uno de esos vlores comprue que en l mriz se d lgún ipo de cominción linel enre fils columns; indícl de mner explíci. Solución: x x x x o x x Pr x, Puede verse que ; mién. Pr x, En ese cso: ; o. Ejercicio c En el supueso que d e f, hll el vlor de los siguienes deerminnes: g h i c g h i c ) d e f ) d e f c) d e d f d d g e h f i c g h g ig Solución: ) Se plicn ls propieddes: el deerminne no vrí si un fil se le res or; puede scrse fcor común de los elemenos de un fil. Luego: c c c d e f d e f d e f d g e h f i g h i g h i ) Se plicn ls propieddes: si se inercmin enre sí dos fils, el vlor del deerminne es el mismo cmido de signo; puede scrse fcor de un column. Luego: g h i c c d e f d e f d e f c g h i g h i c) Se plicn ls rnsformciones que se indicn: c c d e d f d d e f g h g ig g h i c ( ) d e f ( ) g h i José Mrí Mrínez Medino

8 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes José Mrí Mrínez Medino. álculo prácico de deerminnes L plicción de ls propieddes neriores fcili el cálculo del deerminne de un mriz. omo se hrá oservdo en los ejemplos visos, un uen esregi es plicr ls rnsformciones de Guss pr conseguir en lgun fil o column el mor número de ceros. Pr ello es conveniene "pivor" sore lgún elemeno fácil de muliplicr ( o son cómodos). Ejemplos: ) 9 ( ) 9 Se h desrrolldo por l ª column. Si se reier el méodo, se iene: ) ( 9. ) Si l plicr ess rnsformciones se oserv lgun cominción linel enre fils columns, el deerminne vldrá. 9 9, pues como fácilmene puede oservrse,. c) (Propueso en Selecividd vris veces). lcul el siguiene deerminne. H vris esregis. Un de ells puede ser resr l fil ª ls demás: desrrollndo por l cur column: ) ( ) ( Un procedimieno más elegne, unque inicilmene nd sencillo, consise en: ) sumr l primer column ls ors res; ) resr l primer fil oenid ods ls demás; ) hllr el deerminne resulne (que es digonl):

9 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes. mplición de l definición de rngo de un mriz H res definiciones (equivlenes) de rngo de un mriz: ) Es el número de vecores fil linelmene independienes de es mriz. (El rngo de un mriz es el número de fils no nuls que iene dich mriz.) ) Es el número de vecores column linelmene independienes de es mriz. ) Es el orden del mor menor no nulo de es mriz. Un menor es el deerminne de culquier sumriz cudrd de un mriz dd. Los elemenos de l mriz son menores de orden. Ls susmrices son menores de orden... En cd cso, los elemenos de ls fils o columns de un menor deen proceder de l mism fil de l mism column de l mriz originl. Ejemplo: L mriz iene menores de orden ; sólo uno de ellos es nulo, el correspondiene l elemeno. Tiene snes (excmene ) menores de orden. Por ejemplo o ; mos son no nulos: el primero vle ; el segundo,. Eso segur que el rngo de l mriz es mor o igul : rngo (). L mism mriz iene menores de orden, que se oienen l suprimir cd vez un de ls columns: ; ; ;. Todos esos menores son nulos (su vlor es ). En consecuenci, el rngo de es. álculo prácico del rngo El rngo puede clculrse emplendo culquier de ls definiciones neriores, pero, pr mor fcilidd, conviene mezclrls seguir un proceso similr l que se indic coninución: ) Eliminr fils o columns proporcionles o que dependn linelmene de ors, si es que se deecn. ) Hcer el máximo número de ceros en lgun fil o column. sí se descuren más fácilmene ls posiles dependencis lineles enre fils o columns. ) uscr un menor disino de cero del mor orden posile. Ejemplos: ) En l mriz del ejemplo nerior,, puede oservrse que ;, unque resul más difícil, que. Por no, ls columns ª ª podrín eliminrse. L mriz inicil quedrí con dos columns: su rngo es. Si no se h oservdo nd de lo nerior (esmos lgo despisdos), se ps l puno ): hcer ceros; por ejemplo por fils: José Mrí Mrínez Medino

10 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes José Mrí Mrínez Medino Hrí que "ver" que. Se suprime qued un mriz de rngo, pues el menor. ) Tmién el rngo de l mriz es. (nes de seguir, el lecor puede inenr ver cominciones lineles enre sus fils columns: "cd cminne, sig su cmino"). Pr eliminr ls fils o/ columns sornes se hcen ceros en l primer column: omo rngo () H fils linelmene independienes. c) lgun vez (Selecividd, Murci) se proponen ejercicios como el siguiene: Deermin el rngo de según los vlores del prámero. Inicilmene no se ven cominciones lineles enre fils o columns: l prición del prámero lo complic. Si se dese, es fcile, puede convenir rnsformr l mriz dd. quí se res l column ª ls demás, como se indic. Ovimene h menores de orden que son disinos de cero. Por ejemplo. Menores de orden : 9, que es nulo si ; 9, que vle si Por no, el rngo de siempre será, pues pr culquier vlor de siempre v exisir un menor de orden disino de. (Si, el º menor es disino de cero; si, el primer menor es disino de cero; si ±, mos menores son no nulos).

11 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes. álculo de l invers de un mriz usndo deerminnes Un mriz es invers de or mriz cudrd si I, siendo I l mriz idenidd del mismo orden. L mriz invers de l mriz se clcul plicndo l siguiene fórmul: ( ) ij, siendo ( ) ij l mriz de los djunos de ( ) i j ij ij. Los elemenos de l mriz djun son ij ( ) M, donde M ij es el menor complemenrio del elemeno ij. Un mriz cudrd es inversile si, sólo si, su deerminnes es disino de : undo un mriz cudrd no iene invers se dice que es singulr. undo l mriz iene invers se dice que es no singulr o regulr. Ejemplos: ) Pr l mriz se iene que ; en consecuenci, exise. Los djunos son: ; ; ; ; ; ; L mriz djun es: ( ij ) Luego: ( ij ) Puede comprorse que I : ) Pr l mriz, cuo deerminne vle, sus djunos:, ( ), ( ) mriz djun: ( ij ).. / / Su invers es ( ij ).. José Mrí Mrínez Medino

12 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes José Mrí Mrínez Medino c) Pr l mriz, se cumple: ) ; ) ( ) 9 ij ( ) 9 ij. ompruéese como ejercicio que I. d) L mriz ) ( D no iene invers pr ningún vlor rel de, como se comprorá coninución. Un mriz no iene invers cundo su deerminne vle. Por no, hrá que ver que ) ( D. En efeco, plicndo ls propieddes de los deerminnes: ) ( D, pues iene dos fils igules.. lger de mrices (III) El uso de deerminnes l mriz invers permie resolver lgunos prolems de lger de mrices que en el em nerior resuln más complejos. Vemos lgunos ejercicios. Ejercicio Dds ls mrices,, esudi si exise un mriz X l que X, en cso firmivo clcúll. Solución: L mriz X se oiene despejndo en X. Se despej muliplicndo por, por l izquierd, por por l derech. Pr que es operción se posile es necesrio que ms mrices sen inversiles. sí es, pues. Por no: X ( ) X ( ) ( ) X X. álculos: Invers de : ; djun ( ) ij / / Invers de : ; djun ( ) ij Por no: / / X / X / X

13 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes 9 Ejercicio. (Propueso en Selecividd en, en leres) ) ompror que si es un mriz cudrd l que I, donde I es l mriz idenidd, enonces es inverile. uál es l expresión de? ) Uilizr el prdo ) pr clculr l invers de l mriz. Solución: ) Si I I I I I ( I ). Por no, exise un mriz, I, que muliplicd por d l idenidd. Es mriz es l invers de : I. Pr segurrse que posee invers h que compror que su deerminne es disino de. En efeco: I I I ( I ) ( I ). ( ) ) Si se quiere uilizr el prdo ) hrá que compror que I. Por un pre: 9. Por or: 9 I. Efecivmene I. Por no, I. Luego, Ejercicio. (Propueso en Selecividd en, UNED) Se un mriz cudrd de orden que verific que I, siendo I l mriz idenidd de orden. omprue que es inversile deermin su invers en función de de I. Solución: L mriz es inversile si. De I ( I ) I. Hciendo el deerminne de ls mrices de mos miemros: ( I ) I I Por no,. (Si el produco nerior vldrí ). Si en ( I ) I se muliplicn mos miemros por, por l izquierd, se iene: I I ( I ) I ( ) I José Mrí Mrínez Medino

14 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes José Mrí Mrínez Medino Ejercicio. (Propueso en Selecividd en, en ndlucí) Se l mriz ) Pr qué vlores del prámero no exise l mriz invers de l mriz? Jusific l respues. ) Pr, resuelve l ecución mricil ( ) I X, donde I deno l mriz idenidd Solución: l mriz rspues de. ) L mriz no iene invers si su deerminne vle cero:. ( ) / L mriz no iene invers si /. ) Pr l mriz iene invers, luego: ( ) I X ( ) I X ( ) I X I X álculo de ( ) de djun : ; ( ) dj on eso: I X Ejercicio. (Propueso en Selecividd en, UNED) Ddos los números disinos, deermin si l mriz posee invers en función de los vlores de. Solución: En primer lugr se res l primer column ls ors dos; después, de l segund column se exre el fcor ) (, de l ercer column, el fcor ) ( : ) )( ( Hciendo el deerminne: ) )( )( ( )] ( )[ )( ( omo l invers exise siempre que, enonces es necesrio que mos disinos de.

15 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes José Mrí Mrínez Medino Prolems propuesos lculo de deerminnes. Hll el vlor de los siguienes deerminnes: ) ) c). Hll el vlor del prámero pr que cd deerminne ome el vlor que se indic: ) m ) c). Sen. lcul,,,.. Sen. ) lcul,,,. ) omprue que,. Se cumple mién que?. Hll el vlor de los siguienes deerminnes (pregúne si es necesrio desrrollrlos): ) ) c). Hll, desrrollándolo por l fil ª por l column ª, el vlor del deerminne de l mriz. omprue que el resuldo es el mismo. Uso de ls propieddes de los deerminnes. Uilizndo ls propieddes de los deerminnes, clcul x x x x x x x x x.

16 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes. Uilizndo rsformciones de Guss, hll el vlor del deerminne de l mriz 9. lcul el vlor.. omprue que ( )( c )( c ) c. plicndo el resuldo nerior clcul el vlor de c. 9.. Demuesr, sin desrrollrlos, pero hciendo ls rnsformciones de Guss necesris, que el vlor de cd uno de los siguienes deerminnes es cero. c ) 9 ) c c c). Sen mrices cudrds de orden les que. Hll cundo se posile el vlor de los siguienes deerminnes:,,,,,,,,.. (Propueso en Selecividd, sill L Mnch) Semos que el deerminne de un mriz cudrd vle que el deerminne de l mriz vle. uál es el orden de l mriz?. (Propueso en Selecividd, leres) Si es l mriz invers de de(), cuáno vle de(), el deerminne de?. Supueso que ) c c ), clcul el vlor de los siguienes deerminnes: c José Mrí Mrínez Medino

17 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes José Mrí Mrínez Medino Rngo de un mriz. Deermin, por menores, el rngo de ls siguienes mrices: ) ) c). Deermin el rngo de ls siguienes mrices en función del prámero. ) ) c) d) D 9. Deermin el rngo de ls siguienes mrices en función del prámero. ) ) c). (Propueso en Selecividd, sill L Mnch) lcul el rngo de l mriz 9. Mriz invers. plicndo l fórmul ( ) ij clcul l invers de ls siguienes mrices, si exise. ) ) c). plicndo l fórmul ( ) ij clcul l invers de ls siguienes mrices, si exise. ) ) c). Dd l mriz, hll: ) Los vlores de pr los que l mriz pose invers. ) L invers de pr.

18 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes. (Propueso en Selecividd, sill L Mnch) ) Despej l mriz X en función de e I en l ecución ( X ) X X I X mrices cudrds de orden dos, e I l mriz idenidd de orden dos. ) Resuelve l ecución X I, si., siendo. Dd l mriz ) Hll los vlores del prámero pr los que iene invers. X. ) Pr, clcul l mriz X que verific ( ). Dds ls mrices, encuenr un mriz siméric P no singulr l que P P.. (Propueso en Selecividd, leres) x x x Se consider l mriz x x x ) Resuelve l ecución de(). ) En qué csos dmie invers l mriz?. (Propueso en Selecividd, Pís Vsco) Dd l mriz : α α ) ones rzondmene l siguiene pregun exise lgún vlor de α R l que no eng invers pr ese vlor? ) lcul, en cso de que se posile, l mriz invers de pr α. 9. Se l mriz ) Hll su rngo en función del vlor de. ) lcul su invers pr el vlor o vlores de pr los que el deerminne de es miz vle.. Se considern ls mrices I, donde es un consne e I es l mriz idenidd de orden. José Mrí Mrínez Medino

19 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes ) Deermin los vlores de pr los que no iene invers. ) lcul pr. λ. Se considern ls mrices λ, donde λ es un número rel. Encuenr los vlores de λ pr los que l mriz iene invers.. Un mriz es orogonl cundo I. Demuesr que el deerminne de un mriz orogonl vle ó.. Dd l mriz ) lcul, de( ) ( ) -. ) Ls mrices ( ) - neriores son simérics. Es eso un coincidenci? Soluciones. ). ). c).. ) m. ). c) ±.. ; ; ;... ) ; ; ;.. ). ) 9. c) ; ; ; ; ; ; ;. no puede serse ) /. ).. ). ). c).. ) si ; si. ) si ; si.c) Siempre es. d) si ±; si ±. 9. ),, rngo. Si, o, rngo. ), rngo ; Si, rngo. c), rngo() ;, rngo()... / /. ). ). c) No es inverile. / / / / /. ). ) / / /. c) No iene invers. / / / José Mrí Mrínez Medino

20 Memáics II (chillero de iencis). Álger: Deerminnes. ). ). ) X. ) X.. ) ±. ) X ( ). P,.. ) x ó x /. ) Si x x /.. ) No. ) ; ( ). 9. ) Si, rngo. Si o, el rngo es. ). /. ) o. ).. λ λ /. / 9 / 9. ) ; 9 ( ) / 9 / 9 ) No es un coincidenci; siempre se cumple. José Mrí Mrínez Medino