4.2. Procedimiento para elaborar tablas de verdad

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1 4.1. Qué es una tabla de verdad? Usamos tablas de verdad, en el apartado 2.1 de la unidad II, para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta. En este apartado explicaremos más detenidamente qué son las tablas de verdad, cómo elaborarlas y emplearlas para evaluar la validez de un argumento. función de verdad. Tabla de verdad Es un que permite determinar los posibles valores de verdad de una proposición compuesta, a partir de las combinaciones de los valores de verdad de sus proposiciones simples componentes Procedimiento para elaborar tablas de verdad columnas se anotan las literales que corresponden a las proposiciones simples y la proposición compuesta a resolver. En los renglones la combinación de posibles valores de verdad (verdadero o falso).

2 Veamos ahora los pasos que se siguen para construir una tabla de verdad. Hacer tantas columnas como proposiciones simples se tengan y tantos renglones como combinaciones de valores de verdad correspondan según la fórmula 2 n, en donde n= número de proposiciones. Por ejemplo: Tabla para una sola proposición. 2 1 = 2 combinaciones Ejemplo: p 1 2 p Tabla para dos proposiciones 2 2 = 4 combinaciones. Ejemplo: p q; p p q Tabla para tres proposiciones. 2 3 = 8 combinaciones. Ejemplo: (p q) s p q r Una tabla de verdad para cuatro proposiciones, sería 2 4 = 16 combinaciones, y una de cinco proposiciones, sería de 2 5 = 32 combinaciones.

3 Anotar los posibles valores de verdad de las proposiciones simples empezando por la última columna, anotando alternadamente primero un valor verdadero (V) y luego otro falso (F). En la siguiente columna, a la izquierda, de la anotada, se duplica la escritura de cada valor de manera alternada y así sucesivamente, si existen más columnas a la izquierda, hasta llenar la tabla. Por ejemplo: Combinaciones para una tabla de una sóla proposición. p 1 V 2 F Combinaciones para una tabla de dos proposiciones. p q 1 V 2 F 3 V 4 F p q 1 V V 2 V F 3 F V 4 F F Combinaciones para una tabla de tres proposiciones. p q r V F V F V F V F p q r V V V F F V F F V V V F F V F F p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F

4 Resolución de la tabla de verdad. Antes de empezar a resolver, la proposición compuesta deberá estar bien formada, distinguiendo la conectiva principal del resto de conectivas. La conectiva principal une a dos partes como un todo, pero, estas partes a su vez, pueden tener también partes simples o compuestas. Se empieza a calcular el valor de verdad de las partes, porque el todo depende de las partes. El orden de resolución de los valores de las conectivas. - tivos símbolos. 2º. Se calculan los valores de verdad de las proposiciones compuestas: primero lo que está entre paréntesis, posteriormente lo que está entre corchetes, luego las llaves fuera o de la parte al todo. Veamos un ejemplo que muestre paso por paso cómo se determinan los valores de verdad de una proposición compuesta, sea: (p Determinar columnas y renglones según el número de variables, tres en este caso (p, q y r), y el número de renglones según la fórmula 2 n = 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8 p q r( p q) r 1 V V V 2 V V F 3 V F V 4 V F F 5 F V V 6 F V F 7 F F V 8 F F F

5 Empezar a resolver los valores de las proposiciones compuestas. 1º. Transferir los valores de verdad a sus respectivas variables. p q r( p q) r V V V V V V V V F V V F V F V V F V V F F V F F F V V F V V F V F F V F F F V F F V F F F F F F º. Calcular los valores de verdad de las conectivas de las proposiciones compuestas que están unidas por paréntesis y anotarlos debajo del símbolo de la conectiva. En este caso, la conectiva de la columna cinco, usaremos (C5) en lo sucesivo para abreviar, que se determina aplicando la tabla de verdad de la a los valores de verdad de (C4) y (C6). p q r( p q) r V V V V V V V V V F V F V F V F V V V F V V F F V V F F F V V F V V V F V F F V V F F F V F V F V F F F F V F F y 6 2 3

6 3º. Determinar el valor de verdad de la, y anotarlos debajo del símbolo de la conectiva. En este caso la (C7) es resultado de aplicar la tabla de verdad de la a (C5) y (C8). p q r( p q) r V V V V V V V V V V F V V V F F V F V V F F V V V F F V F F V F F V V F F V V V F V F F F V V F F F V F F F V V F F F F F F V F y y 8 3 Otra forma de calcular los valores de las conectivas y de ahorrarnos un paso es no trasportar los valores de las variables simples y calcularlos directamente a partir de las proposiciones simples. Analicemos un ejemplo que tome en cuenta este procedimiento, sea: [p p. Determinar columnas y renglones según el número de variables, tres en este caso (p, q y r), y el número de renglones según la fórmula 2 n = 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8 p q r [ p (q r)] p 1 V V V 2 V V F 3 V F V 4 V F F 5 F V V 6 F V F 7 F F V 8 F F F

7 Empezar a resolver los valores de las proposiciones compuestas. 1º. Determinar los valores de verdad de las conectivas de las proposiciones compuestas, que están unidas por, en este caso, la condicional (C7), cuyos valores se obtienen al aplicar la tabla de verdad de la condicional a (C2) y (C3). p q r [ p (q r)] p V V V V V V F F V F V V V F F V F V V V F V F F F F V V F F F V y 3 2º. Determinar los valores de verdad de las conectivas de las proposiciones compuestas, que están unidas por, en este caso, la conjunción (C5), cuyos valores se obtienen al aplicar la tabla de verdad de la conjunción a la (C4) y a (C7). p q r [ p (q r)] p V V V V V V V V F V F F V F V V V V V F F V V V F V V F F F F V F F F F F F V F F V F F F F F V y 7 2 y 3

8 3º. Por último, se determina el valor de verdad de la, en este caso, la (C9), la cual resulta de aplicar la tabla de de verdad la conjunción a los valores de la (C5) y los de (C10). p q r [ p (q r)] p V V V V V V V V V V F V F F V V V F V V V V V V V F F V V V V V F V V F F V F F F V F F F F F F F F V F F V F F F F F F F V F F y 7 1 y 2 5 y 10 1

9 Ejercicio 4.1. Actividades de aprendizaje Instrucciones: Practica la construcción de tablas de verdad con las siguientes proposiciones compuestas. Después responde lo que se te pregunta. 3. [(p q) p) (p p) 4. Qué valores de verdad obtuviste como resultado de la primera estructura? 5. Qué valores de verdad obtuviste como resultado de la segunda estructura? 6. Qué valores de verdad obtuviste como resultado de la tercera estructura?

10 4.3. Verdad formal: tautología y contradicción de una función de verdad. Una proposición compuesta es una, si la verdad del compuesto está determinada por el valor de verdad de las proposiciones simples que la integran y si su conectiva lógica es veritativo-funcional. Asimismo, la conectiva lógica es veritativofuncional si su expresión representa una función de verdad. Pero, qué tipo de verdad es la que determina una tabla de verdad? El concepto de verdad se utiliza en dos sentidos, el de verdad empírica y el de verdad formal. Recordemos que la lógica sólo toma en cuenta a las oraciones si éstas son expresión de un portador de verdad. Sin embargo, a la lógica no le corresponde investigar la verdad empírica de las proposiciones; esto le corresponde las ciencias. La de una proposición simple depende de su correspondencia con la experiencia y la fundamentación en los hechos o datos a que hace referencia. Las tablas no determinan el valor de verdad real de las proposiciones compuestas, de hecho, ni siquiera toman en cuenta valores de verdad empíricos, solamente los suponen y hacen un cálculo de las posibles situaciones de verdad o falsedad en que una proposición puede presentarse. Entonces, para qué aprender a hacer tablas de verdad? Las tablas de verdad son un método lógico que permite saber si una proposición compuesta es una verdad formal o verdad lógica. Esto será útil más adelante para determinar si la estructura de un argumento es válida, ya que la validez de un argumento depende de su forma lógica o de las relaciones entre premisas y conclusión. La verdad formal depende de la pura forma lógica o del modo en que se relacionan o refutar este tipo de verdades. El análisis de una proposición compuesta mediante una tabla de verdad, puede revelar si esa función de verdad, es una verdad formal o no lo es. Si es una verdad formal entonces es una verdad que se puede determinar por métodos lógicos, y si esto no es así, por métodos empíricos. Las proposiciones compuestas que son verdades formales o verdades lógicas son las tautologías y las contradicciones.

11 Una es una proposición compuesta que en la tabla de verdad resulta, sin importar cual sea el contenido o valor de verdad de sus proposiciones simples componentes. Una es una proposición compuesta que en la tabla de verdad resulta, sin importar cual sea el contenido o el valor de verdad de sus proposiciones simples. Veamos un ejemplo: Verdades formales Tautología p q p (p q) V V V V V V F V V V F V F V V F F F V F Característica esencial: Siempre es verdadera Contradicción p q(p q) ~p V V V F F V F F F F F V F F V F F F F V Característica esencial: Siempre es falsa. Cuando la tabla de verdad de una proposición compuesta resulta verdadera en unos casos y falsa en otros, decimos que el valor de verdad de la proposición compuesta es, y su valor de verdad dependerá de los valores de verdad reales que adopten las proposiciones simples componentes. Veamos un ejemplo: p q p ~q V V V F F V F V V V F V F V F F F F F V

12 Actividades de aprendizaje Ejercicio 4.2. Instrucciones: Utilizando las tablas de verdad, determina cuáles de las siguientes proposiciones son tautológicas, contradictorias o contingentes. Proposiciones compuestas 1. [(p 2. p p 3. (p p) p) (p p) 6. ( p Ejercicio 4.3. Instrucciones: Utilizando las tablas de verdad, determina cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías. Proposiciones compuestas 1. (p p) 2. (p p) 3. [ (p q) (q r)] 4. [ (p q) (q r)] 5. [(p (q q) (p r)] 6. [(p (q q) (p r)] 7. (p p q) 8. (p p q) 9. [ (p (p q) p q) q p)

13 4.4 Evaluación de la validez de un argumento mediante tablas de verdad El método de elaboración de tablas de verdad, que aprendiste en el apartado anterior, es útil para determinar la validez de una argumento, si ésta depende de su forma lógica. Para determinar la validez de un argumento mediante tablas de verdad, se requiere previamente convertir el argumento en una proposición condicional y, posteriormente, aplicar a la fórmula resultante una tabla de verdad. Al procedimiento o método por medio del cual pasamos de una estructura argumental a una proposición condicional se llama. Cómo establecer el condicional asociado de un argumento? A todo argumento es posible asociarle un condicional si consideramos la conjunción de sus premisas como antecedente y a la conclusión como su consecuente. El argumento será válido si el condicional que le asociemos es una tautología, y será inválido si resulta ser una contradicción, y es indeterminado si es contingente. Pasos para demostrar la validez o invalidez de argumentos: 1. Simbolizar el argumento, distinguiendo las premisas de la conclusión. 2. Establecer el condicional asociado del argumento, para ello: Unir las premisas con la conectiva conjunción, y considerar esa conjunción como antecedente y la conclusión como consecuente. 3. Realizar la tabla de verdad, resolviendo, en primer término, la parte del antece- 4. Si el resultado de la tabla de verdad es tautología, el argumento es válido. Si es contradictorio es inválido y si es contingente es indeterminado. Desarrollaremos un ejemplo: 1. Si estoy atento en clases, entonces entiendo o resuelvo los problemas. 2. Ni entiendo ni resuelvo los problemas. Por lo tanto, no estoy atento en clases.

14 Paso 1 A= Estoy atento en clases. E= Entiendo los problemas. R= Resuelvo los problemas. Paso 2 Simbolizar premisas y conclusión Forma lógica P1 P2 C Si estoy atento en clases, entonces entiendo o resuelvo los problemas. Si A entonces E o R Ni entiendo ni resuelvo los problemas. 2. ~ E ~ R Ni E y ni R ~E ~R No estoy atento en clases. No A ~ A La forma lógica resultante del argumento es la siguiente: R R ) ~ A R ) 2. ~E R R) Para pasar de una estructura argumental a la de una condicional aplicamos el método del : Premisa Conclusión a

15 Las premisas serán el antecedente del condicional, por lo cual primeramente, las premisas se unen por una conjunción y, evidentemente, debemos usas corchetes para agrupar. [ Premisa 1 conjunción Premisa 2 ] R) ~E R R)] [~E R] La conclusión será el consecuente por lo cual debemos poner primero las premisas, las proposiciones y separar las premisas de la conclusión por medio de un corchete { }. Nos queda así: { [ Premisa 1 conjunción Premisa 2 ] } condicional conclusión R) E R A )] [ E R] } A R ) ] ( ~E Ahora, para saber si el argumento es válido hacemos una tabla de verdad. Si la tabla resulta ser una tautología, es decir, si en los valores de verdad de la conectiva principal son todos verdaderos, entonces el argumento se considera válido. A E R {[ A ( E R) ] ( E R)} A V V V V V V V V F F V F F V V F V V V F V V V V F F F V F V F V F V V F V V V F V V F V F F F V V F V V F F V F F F F F V F V V F V F V F V V F V V V V F F V F F V V V F F V F F V V F F F F V F V F V V F F F V F V F V V F V F F F V V V F F F F F V F F F F V F V V F V V F y y y y y Resultado Tabla de verdad Tautológica Argumento Válido

16 Ejercicio 4.5. Instrucciones: Analiza y demuestra la validez de los argumentos siguientes: Argumento 1 Actividades de aprendizaje 1. Si el papel tornasol se vuelve rojo, entonces la solución es un óxido. Luego, si el papel se vuelve rojo, entonces o la solución es un óxido o hay algo que anda mal. Forma lógica del Argumento: Condicional asociado: Tabla de verdad: Tabla de verdad: Argumento:

17 Argumento 2 1. Si cumplen las demandas de los terroristas, entonces será vulnerable la legalidad. 2. Si las demandas de los terroristas no se cumplen, entonces serán asesinadas personas inocentes. Así, o bien se vulnera la legalidad o serán asesinadas personas inocentes. Forma lógica del Argumento: Condicional asociado: Tabla de verdad: Tabla de verdad: Tautología Argumento: Válido.

18 Argumento 3 1. Si las leyes son Buenas y su cumplimiento es Estricto, disminuirá el Delito. 2. Si el cumplimiento de la ley es estricto, entonces hace disminuir el delito, luego, nuestro Problema es de carácter práctico. 3. Las leyes son buenas. Entonces, nuestro problema es de carácter práctico. Forma lógica del Argumento: Condicional asociado: Tabla de verdad: Tabla de verdad: Contingente. Argumento: Inválido.

19 Argumento 4 1. Si no estudio lógica, entonces no apruebo el examen. 2. Si estudio lógica, entonces aprendo. En consecuencia: Si estudio lógica, entonces aprendo y apruebo el examen. Forma lógica del Argumento: Condicional asociado: Tabla de verdad: Tabla de verdad: Contingente. Argumento: No valido.

20 Ejercicio 4.4. Actividades de aprendizaje Instrucciones: Pasa estas formas argumentales a la forma del condicional asociado y haz una tabla de verdad para determinar si son válidos (tautologías). Demostración de la validez de estructuras argumentativas 1. Estructuras argumentativas Condicional asociado Es válido? 2. p q p p q 2. p p q 2. q 5.

21 6. 1. p 2. q q p q p q p q p r 11. s 3. q s p r

22 Actividades de aprendizaje Argumento 1 1. Si las personas son totalmente racionales, entonces, o bien todos los actos humanos se pueden predecir con seguridad o el universo es esencialmente determinista. 2. No todas las acciones de las personas se pueden predecir con seguridad. Por lo tanto, el universo no es esencialmente determinista o las personas no son totalmente racionales. Forma lógica del Argumento: Condicional asociado: Tabla de verdad: Tabla de verdad: Argumento:

23 Argumento 2 1. Si se logra la igualdad de oportunidades, entonces las personas que antes tenían desventajas recibirán oportunidades especiales. 2. Si esas personas reciben oportunidades especiales, entonces tendrán un trato preferencial. 3. Si algunas personas reciben un trato preferencial, entonces no se logrará la igualdad de oportunidades. Por lo tanto, la igualdad de oportunidades no se logrará. Forma lógica del Argumento: Condicional asociado: Tabla de verdad: Tabla de verdad: Argumento:

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