Alonso Fernández Galián

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1 Alonso Fernández Galián TEMA 3: ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Para representar gráficamente una función deben estudiarse los siguientes aspectos: i) Dominio. ii) Puntos de corte con los ejes de coordenadas. iii) Asíntotas. iv) Crecimiento y decrecimiento. Etremos relativos. v) Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. También pueden ser útiles otras propiedades, como las simetrías o la periodicidad. i) Dominio El dominio de una función es el subconjunto de números reales para los que la función está definida. Ejemplo: Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) Una función racional está definida en todos los números reales ecepto en aquellos para los que se anula el denominador: Por tanto, R. b) Una función irracional con raíces cuadradas está definida para aquellos valores reales para los que el radicando es mayor o igual que cero. -Puntos en los que se anula el radicando: -Signo del radicando: Por tanto,. Veamos las gráficas de las dos funciones: - 1 -

2 Matemáticas II ii) Puntos de corte con los ejes de coordenadas Los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas se calculan haciendo la coordenada correspondiente igual a 0. Con el eje de abscisas (eje ): Con el eje de ordenadas (eje y): La gráfica de una función puede cortar varias veces al eje de abscisas. La gráfica de una función puede cortar, como mucho, una vez al eje de ordenadas. Ejemplo: Calcula los puntos de corte con los ejes de la siguiente función: Con el eje de abscisas: La gráfica corta al eje en los puntos y. Con el eje de ordenadas: La gráfica corta al eje y en el punto. iii) Asíntotas Una asíntota es una recta a la que va ciñéndose la gráfica de la función. - -

3 Tema 3: Estudio y representación de funciones Asíntotas verticales: Hay que buscar los valores de para los que la función tiende a. lim f ( ) 0 0 es una asíntota vertical Asíntotas horizontales: Son igual a los límites en el infinito de la función, siempre que estos sean finitos. lim f ( ) k, finito y k es una asíntota horizontal cuando lim f ( ) k, finito y k es una asíntota horizontal cuando Asíntotas oblicuas: Solo puede haber asíntotas oblicuas si no hay asíntotas horizontales. m lim n lim f ( ), finito f ( ) m y m n es una asíntota oblicua Ejemplo: Estudia las asíntotas de las siguientes funciones: a). Verticales:. La recta es una asíntota vertical. Horizontales:. La recta es una asíntota horizontal cuando.. La recta es una asíntota horizontal cuando. Oblicuas: Como la función tiene asíntotas horizontales, no tiene asíntotas oblicuas. b). Verticales:. La recta es una asíntota vertical. Horizontales:. La función no tiene asíntotas horizontales. Oblicuas: - 3 -

4 Matemáticas II [ ] La recta es una asíntota oblicua. c). Verticales: para cualquier valor de. La función no tiene asíntotas verticales. Horizontales:. La recta es una asíntota horizontal cuando.. La recta es una asíntota horizontal cuando. Oblicuas: Como la función tiene asíntotas horizontales, no tiene asíntotas oblicuas. iv) Monotonía y etremos relativos El crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos deben estudiarse simultáneamente. Condición necesaria de etremo relativo: f tiene un etremo relativo en 0 f ( 0 ) 0 ( 0 es un punto crítico) Crecimiento y decrecimiento: f 0 f creciente f 0 f decreciente Criterio de la primera derivada para etremos relativos: Sea 0 un punto crítico de la función f, es decir, un punto en el que se anula la derivada: f ( 0 ) 0. f pasa de creciente a decreciente en 0 ( ) Máimo relativo en 0 f pasa de decreciente a creciente en 0 ( ) Mínimo relativo en 0-4 -

5 Tema 3: Estudio y representación de funciones Nota: Para determinar si en un punto crítico 0 hay un máimo o un mínimo relativo también podemos utilizar el criterio de la segunda derivada. Dado 0 tal que f ( 0 ) 0, f ( 0 ) 0 f tiene un mínimo relativo en 0. f ( 0 ) 0 f tiene un máimo relativo en 0. Ejemplo: Determina la monotonía y los etremos relativos de las siguientes funciones: 3 a) f ( ) 3 Calculamos los puntos críticos de f, que son los candidatos a máimos y mínimos. -Derivamos la función: f ( ) Igualamos a cero: f ( ) Decidamos el signo de f. Por tanto, la función es: -Creciente en, 1 1, -Decreciente en 1,1. Además tiene un máimo relativo en 1 y un mínimo relativo en 1. f ( 1) 4 Ma 1, 4 b) f ( 1) 0 Min 1, 1 f ( ) D f R 0 0. Calculamos los puntos críticos de f. (1 ) ( ) -Derivamos la función: f ( ) Igualamos a cero: f ( ) Decidamos el signo de f. Se debe marcar en la recta, además del punto crítico 1, el punto de discontinuidad 0. Por tanto, la función es: -Creciente en, 0 1, -Decreciente en 0,1. [ ] - 5 -

6 Matemáticas II [ ] Además tiene un mínimo relativo en. (En tiene una asíntota vertical). Un problema de optimización Determinar la superficie máima que puede tener un rectángulo de 36 metros de perímetro. Sean e y la base y la altura del rectángulo. La superficie es. El problema consiste en maimizar esta epresión. Como depende de dos variables, debemos usar la condición que nos dan para escribir una de ellas en función de la otra: Podemos epresar entonces la superficie en función de como: Representamos gráficamente la función para determinar sus etremos. Se trata de una función cuadrática, por lo que su gráfica es una parábola Calculamos los puntos críticos: Determinamos la monotonía y los etremos relativos mediante el signo de. Hay un máimo relativo en. La gráfica de la función es: [ ] - 6 -

7 Tema 3: Estudio y representación de funciones [ ] La superficie máima que puede tener el rectángulo es, por tanto, 81 m ; que se alcanza cuando e (es decir, cuando el rectángulo es, de hecho, un cuadrado). v) Curvatura y puntos de infleión Una función derivable es cóncava () si la recta tangente queda por encima de la gráfica de la función, y convea () si queda por debajo. Los puntos donde la función pasa de ser cóncava a ser convea o, al revés, se denominan puntos de infleión. Condición necesaria de punto de infleión: Conveidad y concavidad: f 0 f convea f 0 f cóncava f tiene un punto de infleión en f ) 0 0 ( 0 Ejemplo: Estudia la curvatura y los puntos de infleión de. Calculamos los puntos en los que la derivada segunda vale 0. -Calculamos la derivada segunda:,. -Igualamos a cero:. Decidamos el signo de. Por tanto, la función es: -Cóncava en. -Decreciente en. Además tiene un punto de infleión en. [ ] - 7 -

8 Matemáticas II [ ] La gráfica de la función es: vi) Otras cuestiones: Periodicidad y simetrías Veamos finalmente otras propiedades interesantes que puede tener una función. Periodicidad: Se dice que una función f es periódica de periodo T si su gráfica se repite a intervalos de longitud T. Es decir: f es periódica de periodo T f ( T ) f ( ), para cualquier valor Ejemplo: Las funciones trigonométricas son periódicas. Por ejemplo, la función seno es periódica de periodo : Simetrías. La gráfica de una función puede presentar las siguientes simetrías: -Se dice que una función f es par si es simétrica respecto al eje de ordenadas. Analíticamente: f es par f ( ) f ( ), para cualquier valor de -Se dice que una función f es impar si es simétrica respecto al origen. Analíticamente: f es impar f ( ) f ( ), para cualquier valor de Ejemplo: es par. Ejemplo: es impar. Analíticamente: Analíticamente: - 8 -

9 Tema 3: Estudio y representación de funciones Aneo: Gráfica de las funciones elementales. Algebraicas Racionales Polinómicas Fraccionarias. Lineales. Cuadráticas. Funciones elementales Trascendentes Irracionales (con raíces). Eponenciales. Logarítmicas. Trigonométricas. Funciones polinómicas. Su dominio son todos los números reales. Funciones con la en el denominador. Su dominio son todos los números ecepto aquellos para los que se anula el denominador

10 Matemáticas II Funciones con raíces cuadradas. Su dominio son todos los números reales para los que el radicando es mayor o igual que 0. Funciones eponenciales. Su dominio son todos los números reales. Funciones logarítmicas. Su dominio son todos los números reales para los que el argumento del logaritmo es positivo. Funciones trigonométricas directas. El dominio del seno y del coseno son todos los números reales. El dominio de la tangente son todos los números reales ecepto los múltiplos impares de /. Funciones trigonométricas inversas. El dominio del arcoseno y del arcocoseno es [ 1,1]. El dominio del arcotangente son todos los números reales

11 Tema 3: Estudio y representación de funciones Asíntotas EJERCICIOS DEL TEMA 3 1. Calcula las asíntotas de la función 3 f ( ). 3. Calcula las asíntotas de la función definida para f 4 f ( ) D R {0} por la siguiente epresión: Calcula las asíntotas de la función 3 1 f ( ). 4. Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de la función f ( ). 5. Se sabe que la recta y 9 es una asíntota horizontal de la función valor del parámetro ar. f ( ). Calcula el a 4 a b 6. De la función f ( ), con a, br, sabemos que pasa por el punto ( 1, ), y que tiene a una asíntota oblicua cuya pendiente es 6. a) Determina los valores a y b de la función. b) Determina, si eisten, las asíntotas verticales de dicha función. Monotonía y etremos relativos 7. Determina la monotonía y los etremos relativos de siguiente función: 4 f ( ) Determina la monotonía y los etremos relativos de siguiente función: f ( ) 9. Determina los etremos relativos de la función f ( ). 10. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de la función f ( ) e. 11. Determina los valores de los parámetros a, br para que la función f ( ) a be tenga un etremo relativo en el punto de abscisa 3 y además pase por el punto ( 1, 1/ e). 1. Determina los valores a, b, cr de forma que la función f ( ) a b c pase por el punto de coordenadas 3,10 y tenga un etremo relativo en el punto de coordenadas 1,

12 Matemáticas II 13. Determina el valor del parámetro ar para que la función f ( ) ae tenga un mínimo relativo en 0. Después razona que, de hecho, se trata de un mínimo absoluto Determina los valores a, b, cr para que la función f ( ) a b c pase por el punto de coordenadas, 8, tenga un mínimo relativo 3 / 3 y además la recta tangente en el punto de abscisa 1 tenga pendiente Razona que la función f ( ) 1/ ln es monótona decreciente en su dominio. Curvatura y puntos de infleión 16. Determina la curvatura y los puntos de infleión de la función f ( ) Determina los puntos de infleión de la función f ( ) 1 e. 18. Determina el dominio y los posibles puntos de infleión de las siguientes funciones: a) f ( ) ln 1 b) g( ) ln Calcula el valor de los parámetros a, br para que la función f ) a e b un punto de infleión en 0 y un mínimo relativo en Estudia el crecimiento y la concavidad de la función f : 0, Problemas de optimización ln f ( ). ( tenga R definida por: 0. Entre todos los pares de números positivos cuyo producto es 100, encuentra cuál tiene suma mínima. 1. De entre todos los rectángulos cuyo perímetro mide 0 cm, determina cuál tiene la diagonal menor.. Un depósito cilíndrico sin tapa superior tiene una capacidad de 7 m 3. Determina cuánto miden el radio de su base y su altura sabiendo que se ha construido de manera que su superficie sea mínima. 3. Halla las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 1000 metros cúbicos de capacidad que tenga un revestimiento interior de coste mínimo. 4. Calcula el punto de la parábola y 1 cuya distancia al origen de coordenadas, O (0, 0), es mínima. 5. Considera un triángulo isósceles de 8 cm de base y 4 cm de altura. Calcula el área máima que puede tener un rectángulo inscrito en dicho triángulo Encuentra el punto de la gráfica de la función f ( ) 1 en el que la pendiente de la recta tangente sea mínima

13 Tema 3: Estudio y representación de funciones Representación gráfica de funciones 7. Dada la curva y 1, se pide: 1 a) Dominio de definición de la función y puntos de corte con los ejes, si los hay. b) Asíntotas, si las hay. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos, si los hay Dada la función f ( ), estudia: a) Asíntotas. b) Máimos y mínimos. c) Intervalos de concavidad y conveidad. d) Haz un dibujo aproimado de la gráfica aprovechando los apartados anteriores. 9. Para la función f ( ) ( ) e se pide: a) Estudia su dominio y continuidad. b) Determina sus puntos de corte con los ejes. c) Obtén las coordenadas de los máimos y mínimos relativos. d) Determina las coordenadas de los puntos de infleión. (Recuerda que: e 0 R). Selección de Ejercicios de PAEG Junio Reserva I Junio

14 Matemáticas II Reserva II Junio Septiembre Reserva I Septiembre Septiembre Junio