CLAVE DE EXAMEN Matemática para computación 1 código de curso: 960

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1 universidad de san carlos Facultad de Ingeniería Escuela de Ciencias Departamento de Matemática clave m CLAVE DE EXAMEN Matemática para computación 1 código de curso: 960 Datos de la clave Elaborada por: Glenda Liliana Gómez Revisada por: Lic. Carlos Morales Datos del examen primer parcial Segundo semestre, 2012 Jornada matutina 26 de octubre de 2012

2 TEMARIO DEL EXAMEN TEMA Utilice las equivalencias lógicas para escribir el conectivo Nand usando exclusivamente el conectivo NOR. 1.2 Construya la tabla de verdad de ((p q) r) (s r). TEMA Justificando cada paso, demuestre por el método de demostración directa: Si m y n son enteros pares entonces m + n es par. 2.2 Demuestre la proposición de 2.1 por reducción al absurdo. 2.3 Utilice el método de demostración por contradicción por contradicción para demostrar: 3 es irracional. TEMA 3 Negar las siguientes proposiciones: 3.1 y R x R, 4x + y = X no es primo si y sólo si X es par. TEMA Dé un ejemplo de un argumento con proposiciones p, q y r que No sea válido. 4.2 Utilice reglas de inferencia y equivalencias lógicas para demostrar que el siguiente argumento es válido: p q q r r p

3 SOLUCIONES TEMA Utilice las equivalencias lógicas para escribir el conectivo Nand usando exclusivamente el conectivo NOR. Recordemos que el conectivo NOR, denotado por, se puede definir mediante la siguiente equivalencia lógica: (p q) (p q) y el conectivo NAND, denotado por, se define mediante: (p q) (p q). Además, sabemos la siguiente equivalencia: (a a) a (Indempotencia) En la siguiente tabla se definen los pasos para escribir el conectivo NAND usando exclusivamente el conectivo NOR: Equivalencia Razón (p q) p q) Ley de De Morgan (p q) (p p) (q q) Idempotencia (p q) (p p) (q q) Definición NOR (p q) [(p p) (q q)] Doble negación (p q) [(p p) (q q)] Definición NOR (p q) [(p p) (q q)] [(p p) (q q)] Definición NOR El resultado es el siguiente: [(p p) (q q)] [(p p) (q q)]

4 1.2 Construya la tabla de verdad de ((p q) r) (s r). p q r s p q (p q) r s r (s r) [(p q) r] (s r) TEMA Justificando cada paso, demuestre por el método de demostración directa: Si m y n son enteros pares entonces m + n es par. Sean m, n enteros pares. Existen enteros x, y tales que: m = 2x, n = 2y Si m + n = 2x + 2y entonces m + n = 2(x + y) Por definición de entero par, m + n es par. Ya que x + y es entero por la cerradura de la suma. 2.2 Demuestre la proposición de 2.1 por reducción al absurdo. Supongamos m + n es impar se puede escribir m + n = 2k + 1, donde k Z. Sabemos que n es par entonces n = 2q, donde q Z. Si restamos un número par de un impar obtenemos un impar, a continuación se muestra: m + n n = 2k + 1 2q

5 m = 2(k q) + 1 donde k q es un entero por la cerradura de la resta. Esto contradice el hecho que m es par, así que la proposición 2.1 debe ser cierta. 2.3 Utilice el método de demostración por contradicción por contradicción para demostrar: 3 es irracional. Suponemos que 3 es racional. Existen a, b Z, b 0 tales que Si elevamos al cuadrado a 3 =, m.c.d(a, b) = 1 b 3 = a2 b 2 b2 = a2 3 Z a 2 es divisible por 3 entonces a es divisible por 3. Si a = 3k, k Z b 2 = (3k)2 3 Por álgebra k 2 = b2 3 Z entonces b2 es divisible por 3 por lo que b también es divisible por 3. Pero m.c.d(a, b) = 1 y a, b son divisibles por 3. CONTRADICCIÓN Por lo tanto 3 es irracional. TEMA 3 Negar las siguientes proposiciones: 3.1 y R x R, 4x + y = 0. y R, ( x R, 4x + y = 0) 3.2 X no es primo si y sólo si X es par. y R, x R, 4x + y 0) X no es primo o exclusivo X es par.

6 TEMA Dé un ejemplo de un argumento con proposiciones p, q y r que No sea válido. Hay que aclarar que este inciso tiene múltiples formas de resolverse. La que muestra a continación: p q r p Para verificar que no es válido:tomemos p falso, q verdadero, r verdadero. Entonces las premisas p, q son verdad pero la tesis r p es falsa, así que el argumento no es válido. 4.2 Utilice reglas de inferencia y equivalencias lógicas para demostrar que el siguiente argumento es válido: p q q r r p Al igual que en el inciso anterior no existe una única solución. Paso Razón 1) p q Hipótesis 2) q r Hipótesis 3) p r Silogismo hipotético (1) y (2) 4) r p Contrapositiva (3) 5) r Hipótesis p Modus ponens (5) y (4)