Análisis de Datos en Física de Partículas

Transcripción

1 Análisis de Datos en Física de Partículas Sección de Posgrado Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Ingeniería C. Javier Solano Página del curso: curso-analisis-estadistico-de-datos-en-fisica-de-particulas-mf708/ Capítulo 3 página 1

2 Análisis de Datos en Física de Partículas: Capítulo Teorema de Probabilidad de Bayes, Variables aleatorias, y pdfs Funciones de r.v.s, Valores de expectación, propagación de errores Catálogo de pdfs El método de Monte Carlo Test estadísticos: conceptos generales Test statistics, métodos multivariantes Tests Bondad de ajuste (goodness-of-fit) Parámetros de estimación, maximum likelihood Mas de maximum likelihood Método de mínimos cuadrados (least squares) Intervalo de estimación, establecimiento de límites Parámetros molestos (nuisance), incertidumbres sistemáticas Ejemplos de aproximación Bayesiana Capítulo 3 página 2

3 Algunas distribuciones Distribución/pdf Binomial Multinomial Poisson Uniforme Exponencial Gaussian Chi-square Cauchy Landau Beta Gamma Student s t Ejemplo de uso en HEP Branching ratio Histograma con N fijo Número de eventos hallados Método Monte Carlo Tiempo de decaimiento Error (incertidumbre) en la medida Goodness-of-fit (Bondad-de-ajuste) Masa de una resonancia Pérdida de energía por ionización pdf a priori para eficiencia Suma de variables exponenciales Función de resolución con colas ajustables Capítulo 3 página 3

4 Distribución Binomial Considerar N experimentos independientes (ensayos de Bernoulli): El resultado de cada uno es suceso o fracaso, probabilidad de suceso en cualquier ensayo es p. Definir la r.v. discreta n = número de sucesos (0 n N). Probabilidad de un resultado específico (en orden), ej. ssfsf es Pero el orden no es importante; hay formas (permutaciones) para obtener n sucesos en N tentativas, la probabilidad total para n es la suma de las probabilidades de cada permutación. Capítulo 3 página 4

5 Distribución Binomial (2) La distribución binomial es por lo tanto random variable parámetros Para el valor de expectación y variancia encontramos: Capítulo 3 página 5

6 Distribución Binomial (3) Distribución Binomial para varios valores de los parámetros: Ejemplo: observe N decaimientos de W±, el número n en el que son W µν es una binomial r.v., p = branching ratio. Capítulo 3 página 6

7 Distribución Multinomial Como la binomial pero con m salidas en vez de dos, probabilidades son Para N tentativas queremos la probabilidad de obtener: n1 de salida 1, n2 de salida 2, nm de salida m. Esta es la distribución multinomial para Capítulo 3 página 7

8 Distribución Multinomial (2) Ahora considere salida i como suceso, el resto como falla. todas las ni son individualmente binomiales con parámetros N, pi para todo i Se puede hallar también que la covariancia será Ejemplo: representa un histograma con m bins, N entradas totales, todas las entradas independientes Capítulo 3 página 8

9 Distribución de Poisson Considerar la distribución binomial n en el límite n sigue la distribución de Poisson: Ejemplo: número de eventos de scattering n con sección transversal σ hallados para una luminosidad integrada fija, con Capítulo 3 página 9

10 Distribución Exponencial El pdf exponencial para la r.v. x continua es definido por: Ejemplo: tiempo propio de decaimiento t de una partícula inestable (τ = mean lifetime) Falta de memoria (solo para exponencial): Capítulo 3 página 10

11 Distribución Uniforme Considerar una r.v. x continua con < x <. Su pdf uniforme es: N.B. Para cualquier r.v. x con distribución acumulativa F(x), y = F(x) es uniform en [0,1]. Ejemplo: para π0 γγ, Eγ es uniforme en [Emin, Emax], con: Capítulo 3 página 11

12 Distribución Gaussiana La pdf Gaussiana (normal) para r.v. x continua es definida por: (N.B. frecuentemente µ, σ2 denota media, variancia de cualquier r.v., no solo Gaussiana.) Caso especial: µ = 0, σ2 = 1 ( Gaussiana estándar ): Si y ~ Gaussiana con µ, σ2, entonces x = (y µ) /σ sigue ϕ (x). Capítulo 3 página 12

13 pdf Gaussiana y el Teorema Central del Límite (CLT) La pdf Gaussiana es muy útil porque casi cualquier variable aleatoria que es suma de un gran número de pequeñas contribuciones la sigue. Esto se deduce del Teorema Central del Límite: Para n r.v.s xi independientes con variancias finitas σi2, por otro lado con pdfs arbitrarias, considerar la suma En el límite n, y es una r.v. Gaussiana con Errores de Medida frecuentemente son la suma de muchas contribuciones, por lo que frecuentemente valores medidos pueden ser tratados como r.v.s Gaussianas Capítulo 3 página 13

14 Teorema Central del Límite (2) El CLT puede ser provado usando funciones características (transformadas de Fourier) Para n finito, el teorema es aproximadamente válido en la medida en que la fluctuación de la suma no está dominada por un (o unos pocos) términos. cuidado con errores de medición c/colas no gaussianas. Buen ejemplo: componente de velocidad vx de moléculas del aire. Ejemplo OK: deflección total debido a multiples scattering Coulomb (Raro: grandes ángulos de deflección dado colas no-gaussianas.) Mal ejemplo: perdida de energía de partículas cargadas atravesando capas delgadas de gas. (colisiones raras con una fracción grande de perdida de energía, cf. pdf de Landau.) Capítulo 3 página 14

15 Distribución Gaussiana Multivariante Pdf Gaussiana Multivariante para el vector son vectores columna, son vectores transpuesta (filas), Para n = 2 esto es donde ρ = cov[x1, x2]/(σ1σ2) es el coeficiente de correlación Capítulo 3 página 15

16 Distribución Chi-square (χ2) La pdf chi-square para la r.v. continua z (z 0) es definida por n = 1, 2,... = número de grados de libertad (dof) Para r.v. Gaussiana independiente xi, i = 1,..., n, media µi, variancia σi2, sigue pdf χ2 con n dof. Ejemplo: variable de prueba de bondad de ajuste (goodness-of-fit), especialmente en conjunción con el método de los mínimos cuadrados. Capítulo 3 página 16

17 Distribución de Cauchy (Breit-Wigner) La pdf Breit-Wigner para la r.v. continua x está definida por (Γ = 2, x0 = 0 es la pdf de Cauchy) E[x] no bien definido, V[x]. x0 = modo (valor mas probable) Γ = ancho a la mitad del máximo Ejemplo: masa de partículas de resonancias, ej. ρ, K*, φ0,... Γ = tasa de decaimiento (inversa del tiempo de vida media) Capítulo 3 página 17

18 Distribución de Landau Para una partícula cargada, con β = v /c, atravesando una capa de materia de espesor d, la perdida de energía sigue la pdf de Landau: β d L. Landau, J. Phys. USSR 8 (1944) 201; ver también W. Allison and J. Cobb, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 30 (1980) 253. Capítulo 3 página 18

19 Distribución de Landau (2) Cola de Landau larga todos los momentos Modo (valor mas probable) sensible a β, i.d. partículas Capítulo 3 página 19

20 Distribución Beta Usado frecuentemente para representar pdfs de r.v. continuo diferente de cero solo dentro de los límites finitos Capítulo 3 página 20

21 Distribución Gamma Usado frecuentemente para representar pdfs de r.v. continuo diferente de cero solo dentro de [0, ]. También, por ejemplo, suma de n rvs exponenciales, o tiempo hasta evento n, en procesos de Poisson ~ Gamma Capítulo 3 página 21

22 Distribución t Student ν = número de grados de libertad (no necesariamente entero) ν = 1 da Cauchy, ν da Gaussiana Capítulo 3 página 22

23 Distribución t Student (2) Si x ~ Gausiana con µ = 0, σ2 = 1, y z ~ χ2 con n grados de libertad, entonces t = x / (z/n)1/2 sigue t Student con ν = n. Esto surge en problemas donde se forma la relación de una media muestral a la desviación estándar muestral de rvs Gausianas. t Student proporciona una pdf en forma de campana con colas ajustables, que van desde los de una gaussiana, que cae muy rapidamente, (ν, en la práctica ya es tipo Gaussiana para ν = dos docenas), a la cola larga de Cauchy (ν = 1). Desarrollado en 1908 por William Gosset, que trabajó bajo el seudónimo de "Student" para la fábrica de cerveza Guinness Capítulo 3 página 23

24 Terminando Capítulo 3 Hemos visto un número importante de distribuciones: Binomial, Multinomial, Poisson, Uniform, Exponencial Gaussiana, Chi-square, Cauchy, Landau, Beta, Gamma, t Student y hemos visto el importante Teorema Central del Límite: explica porqué r.v.s Gaussianas se ven frecuentemente Para un catálogo mas completo ver ej. el handbook on statistical distributions por Christian Walck de Capítulo 3 página 24