Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I

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1 Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I Licenciado en Administración Módulo II: ESTADÍSTICA INFERENCIAL Contenidos Módulo II Unidad 4. Probabilidad Conceptos básicos de probabilidad: experimento aleatorio, espacio muestral y evento. Probabilidad. Definición. Enfoques de la probabilidad: clásico, de la frecuencia relativa y subjetivo. Probabilidad simple. Cálculo de probabilidades: regla de la adición y de la multiplicación. Conceptos de exclusión e independencia. Probabilidad condicional. Teorema de Bayes. Unidad 5. Variables Aleatorias Variables aleatorias discretas y continuas. Función de probabilidades. Indicadores de posición y dispersión. Esperanza matemática. Varianza y desviación estándar. Interpretación y aplicaciones de la esperanza y la desviación estándar. Unidad 6. Algunas distribuciones de probabilidad especiales Distribuciones discretas. Ensayos Bernoulli. Distribución Binomial, hipergeométrica y Poisson Distribuciones continuas.. Distribución estandarizada. Aproximación Normal de las distribuciones Binomial y Poisson. Distribución t de Student, Chi-cuadrado y F de Fisher. Aplicaciones. Unidad 7. Muestreo y Estimación Nociones básicas de muestreo. Distribuciones muestrales en poblaciones infinitas y finitas. Teorema central del límite. Estimación y estimador. Estimación puntual. Propiedades deseables de los estimadores. Principales estimadores puntuales. Estimación por intervalos. Intervalos de confianza para la media, proporción y varianza. Cálculo del tamaño muestral. Aplicaciones. Unidad 8. Prueba de hipótesis Conceptos básicos. Hipótesis estadística. Hipótesis nula y alternativa. Estadígrafo de contraste. Región crítica y región de aceptación. Error de Tipo I y de Tipo II. Nivel de significación y potencia. Tipo de contraste. p-valor. Contrastes de hipótesis referentes a media, proporción y varianza poblacional. Aplicaciones. Mag. María del Carmen Romero 1

2 Distribuciones discretas y continuas Contenidos Distribuciones discretas. Ensayos Bernoulli. Distribución Binomial, hipergeométrica y Poisson Distribuciones continuas.. Distribución estandarizada. Aproximación Normal de las distribuciones Binomial y Poisson. Distribución t de Student, Chi-cuadrado y F de Fisher. Aplicaciones. Algunas distribuciones de probabilidad Mag. María del Carmen Romero 2

3 Algunas distribuciones de probabilidad Leyes o modelos de probabilidad Modelo Matemático Expresión matemática que se utiliza para representar una variable de interés. Permite calcular la probabilidad de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado específico para la variable aleatoria Distribuciones discretas Mag. María del Carmen Romero 3

4 Distribución Bernoulli Distribución Bernoulli Si un experimento tiene sólo dos resultados: éxito y fracaso con probabilidades p y 1-p, entonces la cantidad de éxitos (0 o 1) tiene una distribución de Bernoulli: O bien f( x; p) = x p (1 p) 1 x para x= 0,1 Llamando a (1-p)=q E ( X) = p y var( X) = pq Distribución Binomial Distribución Binomial Si X 1,..., X n son n variables aleatorias idénticamente distribuidas con la distribución de Bernoulli con probabilidad de éxito p, entonces la variable aleatoria X = X X n presenta una Distribución Binomial de probabilidad. Se usa cuando la variable aleatoria discreta de interés es la cantidad de éxitos en una determinada cantidad (n) de pruebas. Mag. María del Carmen Romero 4

5 Distribución Binomial Condiciones El número de repeticiones (n) del experimento debe ser finito. En cada repetición del experimento pueden ocurrir solamente dos resultados, que llamaremos éxito (E) y fracaso (F). Los resultados deben ser independientes. Las probabilidades de éxito (p) y de fracaso (q) permanecen constantes prueba a prueba. Ejemplos Distribución Binomial El 60% de los estadounidenses leen su contrato de trabajo incluyendo las letras pequeñas. La cantidad de empleados que leen cada una de las palabras de su contrato puede modelarse usando la distribución binomial. Un examen de opción múltiple tiene 10 preguntas con 2 opciones cada una. La cantidad de preguntas respondidas correctamente (si se respondieron de manera aleatoria) sigue una distribución binomial. La probabilidad de que un cliente exceda su límite de crédito en un negocio es de La cantidad de clientes que exceden el límite es una variable aleatoria binomial. Mag. María del Carmen Romero 5

6 Distribución Binomial Función masa de probabilidad P( x; n, p) = P( X = x) = C x x n x np q siendo: n: número de pruebas x: número de éxitos (entre 0 y n) p: probabilidad de éxito en una prueba q: probabilidad de fracaso en una prueba / p+q=1 n y p: parámetros de la distribución binomial C nx : combinatorio Esperanza y varianza E [ X] = np V [ X] = npq Ejemplo Distribución Binomial Por ejemplo, la distribución binomial se puede usar para calcular la probabilidad de sacar 5 caras y 7 cruces en 12 lanzamientos de una moneda Mag. María del Carmen Romero 6

7 Distribución Hipergeométrica Distribución Hipergeométrica La variable aleatoria discreta de interés es la cantidad de éxitos en una determinada cantidad (n) de pruebas. Condiciones: Mismas condiciones para la distribución binomial, excepto que los resultados de cada prueba deben ser dependientes. Ejemplos Distribución Hipergeométrica Un auditor selecciona una muestra de 6 declaraciones de impuestos de personas de una profesión particular de un total de 50. Si 2 o más de ellas indican deducciones no autorizadas, se auditará a todo el grupo. La cantidad de declaraciones con deducciones no autorizadas sigue una distribución hipergeométrica. El director de una facultad desea formar un grupo de 6 profesores exclusivos. El total es de 50 profesores, de los cuales 35 pertenecen al área de ingeniería. La cantidad de profesores del área ingeniería seleccionados es una variable aleatoria hipergeométrica. Mag. María del Carmen Romero 7

8 Función masa de probabilidad Distribución Hipergeométrica C P( x; n,...) = C x n x m1 N m1 n CN donde: N: total de la población n: tamaño de la muestra m 1 : elementos con una determinada característica (éxito) x: número de éxitos N, n y m 1 : parámetros Esperanza y varianza E [ X] = np N n V[ X] = npq N 1 Distribución Poisson Distribución de Poisson La variable aleatoria discreta de interés es la cantidad de veces que se presenta una evento en un área de oportunidad dada. El área de oportunidad es una unidad continua o intervalo de tiempo, volumen, o área en la cual puede presentarse más de un evento. Mag. María del Carmen Romero 8

9 Distribución Poisson Características La probabilidad de que un evento se presente en un área de oportunidad dada es igual para todas las áreas de oportunidad. La cantidad de eventos que ocurren en un área de oportunidad es independiente de la cantidad que se presenta en cualquier otra área. La probabilidad de que 2 o más eventos se presenten en un área de oportunidad tiende a cero conforme esa área se vuelve menor. Distribución Poisson Ejemplos: Cantidad de llamadas por quejas por productos comprados en una determinada empresa. Cantidad de defectos en la superficie de una heladera. Cantidad de fallas de la red en un día. Cantidad de clientes que llegan a un banco ubicado en la zona central de negocios de una gran ciudad durante la hora del almuerzo. Mag. María del Carmen Romero 9

10 Distribución Poisson Función masa de probabilidad Una variable aleatoria discreta X tiene una distribución de Poisson (y se la conoce como variable aleatoria de Poisson) si y sólo si su distribución de probabilidades está dada por: x λ λ e p(x; λ ) = parax= 0,1,2,... x! donde: λ: cantidad de eventos esperado por unidad e: constante matemática aprox. igual a x: número de éxitos λ : parámetro µ = σ 2 = λ Distribución Poisson Mag. María del Carmen Romero 10

11 Distribución Uniforme Distribución Uniforme Discreta Ejemplos Distribución Uniforme Discreta Lanzar un dado f(x)=1/6 x=1,...,6 Lanzar una moneda (balanceada) f(x)=1/2, x=1,2 Extraer una carta de un mazo de 52 cartas Mag. María del Carmen Romero 11

12 Distribuciones continuas Ley Normal (de Gauss o Gaussiana) Características Distribución unimodal simétrica con forma de campana. Media = mediana = moda. La variable asociada es una variable continua que toma valores entre - y. Es la distribución más común. Está caracterizada sólo por la media y la varianza. Mag. María del Carmen Romero 12

13 Gráfico de la Función de Densidad Gráfico de la Función de Densidad Acumulada Importancia Muchas variables continuas comunes tienen distribuciones que se asemejan a la distribución normal. Sirve como aproximación a diversas distribuciones de probabilidad discreta (Binomial y Poisson). Proporciona la base para la estadística inferencial clásica. Mag. María del Carmen Romero 13

14 Función de densidad de probabilidad 1 x µ 2 ( ) σ f(x; µσ, ) = e para < x< σ 2π siendo: x: cualquier valor de la variable continua entre - y µ: media σ: desviación estándar µ y σ: parámetros de la distribución normal Ejemplo Se tiene un programa de capacitación para mejorar las habilidades de los supervisores de una línea de producción. El programa es autoaplicable y por eso los supervisores requieren un número de horas para terminarlo. Un estudio de participantes anteriores revela que el tiempo medio dedicado al programa es de 500 horas, con una dispersión de 100 horas y que dicho tiempo (requerido para terminarlo) sigue una distribución aproximadamente normal. a) Cuál es la probabilidad de que un participante elegido de manera aleatoria tarde más de 500 horas en terminar el programa? b) Cuál es la probabilidad de que tarde entre 500 y 650 horas? c) Cuánto tardan como máximo el 10% de los empleados que tardan menos tiempo? Mag. María del Carmen Romero 14

15 Cálculo Prob( X a) = a 1 e σ 2π ( x µ ) 2 2σ 2 dx El área por debajo de la curva entre x y - es la Prob(X x) Ley Normal estandarizada La integral es dificil de resolver. Afortunadamente, toda variable normal puede ser reexpresada como una N(0,1), proceso que se denomina estandarización. De esta forma se computan tablas de probabilidades para N(0,1) que se pueden usar para cualquier variable Normal Mag. María del Carmen Romero 15

16 Ley Normal estandarizada Sea X N µ σ 2 : ( x; X), el proceso de estandarización de la variable implica realizar la siguiente operación z= x µ x σ x Tal que µ y σ z 2 z = 0 = 1 Ley Normal estandarizada Prob( X a) = a 1 e σ 2π ( x µ ) 2 σ 2 2 dx Prob( X a) = a 1 e 2π 2 x 2 dx Mag. María del Carmen Romero 16

17 Tabla de distribución normal estandarizada Propiedades de las variables aleatorias normales La v.a. generada por una suma (finita) de v.a. normales es normal (si X 1,, X n son v.a. Normales, Y=a 1 X 1 + +a n X n es también una v.a. Normal) Por ser una v.a. continua: Prob(z<k) = Prob(z k) Por tener una distribución simétrica: Prob(z -k) = Prob(z k) Mag. María del Carmen Romero 17

18 La distribución normal como aproximación a otras distribuciones de probabilidad Discretas Binomial Hipergeométrica Poisson Continuas Aproximación a binomial Mag. María del Carmen Romero 18

19 Aproximación a binomial Condiciones 1) n. p 5 2) n. (1 - p) 5 Corrección por continuidad para valores concretos P (X = x 1 ) P (z Z z ) Aproximación a binomial Se obtiene una muestra de n = 1600 llantas en un proceso de producción constante, en el que 8% de todas las llantas producidas son defectuosas. Cuál es la probabilidad de que en esa muestra no más de 150 llantas sean defectuosas? Mag. María del Carmen Romero 19

20 Distribución t de Student Distribución t de Student Surge en estadística con el objetivo de hacer inferencias sobre la media cuando no se conoce la varianza y se utiliza una estimación. El cociente de una variable normal estandarizada sobre una variable Chi-cuadrado con n grados de libertad sigue una t de Student con n grados de libertad. A medida que los grados de libertad tienden a infinito, la t de Student converge a una distribución Normal. Distribución t de Student Mag. María del Carmen Romero 20

21 Distribución de probabilidad Función de Densidad: Distribución t de Student donde v son los grados de libertad de la Chi- Cuadrado E[X]=0 para v>1 (sino no está definida) Var(X)= infinitio si sino no está definida Distribución Chi-cuadrado Distribución Chi-cuadrado La suma de N variables aleatorias independientes al cuadrado, donde cada una tienen una distribución normal estándar, sigue una distribución Chi-cuadrado (χ 2 ) con N grados de libertad. N 2 Sean X 1,, X n variables N(0,1) Q= X donde: ( ) Q~ χ( N) Es un caso especial de una distribución más general llamada Gamma. i= 1 i Mag. María del Carmen Romero 21

22 Distribución Chi-cuadrado Gráfico de la Función de Densidad Gráfico de la Función de Densidad Acumulada Distribución de probabilidad Distribución Chi-cuadrado Función de Densidad: E(X) = k Var(X) = 2k Mag. María del Carmen Romero 22

23 Distribución F de Snedecor Distribución F de Snedecor Si X e Y son dos variables aleatorias independientes que siguen una Chi-cuadrado con grados de libertad d 1 y d 2 respectivamente, entonces: F=(X/ d 1 )/(Y/ d 2 ) Sigue una distribución F (o F de Snedecor) Distribución F de Snedecor Gráfico de la Función de Densidad Gráfico de la Función de Densidad Acumulada Mag. María del Carmen Romero 23

24 Distribución de probabilidad Distribución F de Snedecor Función de Densidad: E[X]=d2/(d2-2) para d2>2 Var(X) = para d2>4 Mag. María del Carmen Romero 24