UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES

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1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO PREPARATORIA AGRÍCOLA ÁREA DE MATEMÁTICAS CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES f : R R ( ) h p AUTOR Vícor Rafael Valdovios Chávez Ooño de

2 AUTOR Vícor Rafael Valdovios Chávez Diseño de porada: María Yei Gaosso López Diseño de ieriores: Vícor Rafael Valdovios Chávez Primera edició: Sepiembre de ISBN: DR UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO km 8.5 carreera Méico-Tecoco Chapigo, Tecoco, Esado de Méico, CP 56 Tel: (595) 95 5 e. 54 Impreso e Méico

3 DIRECTORIO DR. CARLOS ALBERTO VILLASEÑOR PEREA RECTOR DR. RAMÓN VALDIVIA ALCALÁ DIRECTOR GENERAL ACADÉMICO DR. J. REYES ALTAMIRANO CÁRDENAS DIRECTOR GENERAL DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO ING. J. GUADALUPE GAYTÁN RUELAS DIRECTOR GENERAL DE ADMINISTRACIÓN M.C. DOMINGO MONTALVO HERNÁNDEZ DIRECTOR GENERAL DE PATRONATO UNIVERSITARIO BIOL. MARÍA DE LOURDES RODRÍGUEZ RAMÍREZ DIRECTORA GENERAL DE DIFUSIÓN CULTURAL Y SERVICIO LIC. ROCÍO GUZMÁN BENÍTEZ JEFA DEL DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

4 4 AGRADECIMIENTOS A mi alma maer, la Uiversidad Auóoma Chapigo (UACh), por las esplédidas facilidades que me ha oorgado, primero para mi formació profesioal luego para rabajar e la docecia la ivesigació. A los colegas revisores: Ariel Ulloa Gozález, Eduardo Oropeza Solórzao, J. Jesús Flores Carmoa Oscar Galido Tijeria, por el iempo dedicado a la revisió, por sus aiadas sugerecias por horarme co su amisad. Al M.C. José María Coreras Casillo, Direcor de la DICEA al Dr. Marcos Porillo Vázquez, Coordiador del Posgrado de la DICEA, por el apoo ecoómico para publicar esa obra. A mis alumos del Posgrado de la DICEA, por sus observacioes, aeció paciecia. A mi esposa Rocío uesros hijos Eradi, Yuue Vícor, por su compresió su geeroso apoo. A las desafiaes e iagoables maemáicas, que se ha coverido e la pasió de mi quehacer uiversiario.

5 5 CONTENIDO T e m a Págia PRÓLOGO GENERAL CÁLCULO MULTIVARIADO T e m a Págia. FUNCIONES Sisemas Coordeados Fucioes Mulivariadas Curvas de Nivel LÍMITES Y CONTINUIDAD Límie de ua f : R R Coiuidad de ua f : R R DERIVADAS PARCIALES Defiició Cálculo Derivada Direccioal Diferecial Toal Derivada Toal (regla de la cadea) Derivadas Implícias Repaso de Cocepos Aplicacioes Fucioes de Producció Homogéeas Isocuaas ÓPTIMOS Ópimos Libres Ópimos Resrigidos Ierpreació Ecoómica de λ

6 6 5. INTEGRALES ITERADAS Defiició Cálculo Aplicació e Esadísica BIBLIOGRAFÍA ECUACIONES DIFERENCIALES (ED) T e m a Págia. CONCEPTOS BÁSICOS Defiicioes ED Lieales ED LINEALES DE PRIMER ORDEN Caso Auóomo Caso o Auóomo Homogéeo Caso o Auóomo o Homogéeo ED LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Caso Auóomo Homogéeo Caso Auóomo co Térmio Cosae Caso Auóomo co Térmio Variable ED o LINEALES DE PRIMER ORDEN Variables Separables Ecuació de Beroulli DIAGRAMAS DE FASES INDUCCIÓN, SUCESIONES Y SERIES T e m a Págia. INDUCCIÓN MATEMÁTICA SUCESIONES Y SERIES Cocepos Básicos

7 7. Sucesioes Series Ariméicas Sucesioes Series Geoméricas Series Geoméricas Ifiias APROXIMACIÓN POLINÓMICA Iroducció Poliomios de Talor Maclauri El Reso e u Poliomio de Talor SERIES DE POTENCIAS REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES SOLUCIÓN DE ED MEDIANTE SERIES T e m a ECUACIONES EN DIFERENCIAS (E e D) Págia. CONCEPTOS BÁSICOS E e D DE PRIMER ORDEN..... Méodo Ieraivo..... Méodo Geeral..... ESTABILIDAD DINÁMICA El Papel de b El Papel de A E e D DE SEGUNDO ORDEN Deermiació de.... p 4. Deermiació de.... h 4. Covergecia de la Traecoria BIBLIOGRAFÍA.... 6

8 8 PRÓLOGO GENERAL La obra cosa de res libros uiversiarios se ha escrio co la ieció de abordar alguos emas eseciales de las maemáicas que se esudia e res iveles de la eseñaza formal: el bachillerao, la liceciaura el posgrado. De maera más específica, se raa de u breve repaso de los cocepos, méodos aplicacioes de maemáicas para el Propedéuico de Preparaoria las Liceciauras la Maesría de la DICEA. E el libro de Preparaoria se iclue emas del Cálculo de ua Variable el Álgebra Lieal: álgebra de R, fucioes, límies, derivadas, aplicacioes de la derivada, primiivas, méodos de iegració, iegral defiida, aplicacioes de la iegral, álgebra maricial, deermiaes, solució de sisemas lieales, uso de marices espacios vecoriales. E el libro de Liceciaura se aborda emas del Cálculo Mulivariado, las Ecuacioes Difereciales las Ecuacioes e Diferecias: fucioes, límies, derivadas parciales, ópimos libres resrigidos, iegrales ieradas, ecuacioes difereciales lieales (EDL) de primer orde, EDL de segudo orde, ED o lieales, iducció maemáica, sucesioes series, aproimació poliómica, series de poecias, ecuacioes e diferecias (E e D) de primer orde E e D de segudo orde. Y e el libro de Maesría se iclue emas de Cálculo de Variacioes Corol Ópimo: coveidad, problema básico del cálculo de variacioes, codicioes ecesarias, codicioes fiales, codicioes suficiees, problema básico de corol ópimo, pricipio del máimo, codicioes suficiees, codicioes fiales, programació diámica aplicacioes. Para cada ema ha ejemplos resuelos varios ejercicios sugeridos. Se puso especial cuidado e seis aspecos fudameales de las maemáicas: los cocepos, los méodos (de solució), las aplicacioes, la oació, la secuecia el ivel de complejidad. Se iclue ambié ua bibliografía míima. Por supueso, el úico resposable de posibles errores deficiecias es el auor, so bieveidas odas las sugerecias que permia su mejora. Ojalá su esudio resule agradable úil. Vícor Valdovios

9 9 CÁLCULO MULTIVARIADO A fi de cueas, el ser humao es K lo que so sus sueños. - Jefe idio. FUNCIONES. Sisemas Coordeados Eise varios sisemas coordeados: a) E R (ua dimesió) { el recagular (caresiao) b) E R (dos dimesioes) el recagular el polar c) E R (res dimesioes) el el el recagular cilídrico esférico E las presees oas se usará, pricipalmee, las coordeadas recagulares. Para la pregua, qué represea la ecuació?, ha disias respuesas, depediedo del coeo de referecia (dimesió o espacio): ) E R (ua dimesió), es u puo e ua reca (real) ) E R (dos dimesioes), es ua reca verical e u plao (caresiao)

10 ) E R (res dimesioes), es u plao e u espacio ridimesioal M ) E R ( dimesioes), es u hiperplao e u espacio -dimesioal

11 . Fucioes Mulivariadas E geeral, se cosidera que eise cuaro maeras de especificar ua fució: ) La verbal; que cosise e ua descripció oral específica ) La abular; referida a ua abla de valores ) La gráfica; mediae u diagrama específico 4) La aalíica; a ravés de ua ecuació. Como podrá cosaarse e lo sucesivo, predomia las represeacioes aalíicas gráficas. Las fucioes que depede de varias variables aparece de maera aural e diferees ramas de la ciecia. Por ejemplo:. E Geomería, el volume V de u coo circular reco es V π r h Dode r es el radio de la base h la alura del coo.. E Química, el volume V de u gas ideal es T V k P Aquí T P represea emperaura presió, respecivamee, k es ua cosae.. E Ecoomía, la fució de producció P Cobb-Douglas es P AK L α α Dode K L so capial mao de obra, respecivamee, A α so cosaes. 4. E Ecoomía Agrícola, ua fució de producció P es P f ( uriees, humedad, luz, ec.)

12 Se iee diferees maeras de simbolizar ua fució, que permie mosrar sus caracerísicas pariculares: a) De maera eplícia. Cuado ua variable esá despejada z f () f (, ) M f (,, L, ) b) De maera implícia. Si igua variable esá despejada f (, ) f (,, z) M f (,, L,, ) c) De maera geeral. Si especifica el úmero de variables idepediees f : R R (fució de ua variable) f f : R R (fució de dos variables) : R R (fució de res variables) M f : R R (fució de variables)

13 Esudio de fucioes de dos variables Defiició. Ua fució de dos variables es ua relació ere u cojuo llamado domiio oro cojuo llamado coradomiio, a ravés de ua regla que asocia cada elemeo del domiio (, ) (pareja ordeada), co uo sólo u elemeo z del coradomiio, epresada como z f (, ) Dode so las variables idepediees z es la variable depediee. E geeral, ua fució de dos variables f : R R, represea ua superficie e R Ejercicios Graficar, e R, las fucioes siguiees: ) z ) z ) z 4) 5) z * Corroborar las gráficas co el DERIVE z Curvas de Nivel Si ua fució de dos variables z f (, ), es ua superficie e R, las curvas f (, ) c que resula de la iersecció ere z f (, ) z c, se deomia curvas de ivel o curvas de cooro. Por ejemplo, e carografía se cosrue los deomiados mapas de relieve, que represea curvas co igual ivel e ua colia cualquiera. Ejemplo Alguas curvas de ivel de la fució z, se represea e la figura siguiee, para disios valores de c e c

14 4 Si c, las curvas so hipérbolas si c, so dos recas que se cora e el orige. E w w c 4 R, u espacio de cuaro dimesioes, la iersecció ere f (,, z) esaría represeada por superficies de ivel.

15 5. LÍMITES Y CONTINUIDAD. Límie de ua f : R R a) Noció iuiiva de límie Para f (), ua fució de ua variable, el lim f ( ) L, sigifica que cuado iede al valor a ( a), por la izquierda por la derecha, f () se aproima al valor real L. a Sea z f (, ), ua fució de dos variables, el lim f (, ) L, sigifica que si (, ) ( a, b) (, ) iede al valor ( a, b), por odas las raecorias posibles, eoces f (, ) iede al valor L.

16 6 Epresado de maera egaiva, si f (, ) o se aproima al valor L por algua de las raecorias posibles e las que (, ) se puede acercar al valor ( a, b), eoces el lim (, ) ( a, b) f (, ) o eise. Ejemplos. Probar que lim (, ) (,) o eise La fució esá defiida para cualquier valor real diferee de (, ). Dos formas e que la fució se puede acercar a (, ) so: por el eje ( ) por el eje ( ). a) Por, lim lim (,) (,) (,) (,) b) Por, lim (, ) (,) lim (, ) (,) Por lo ao, el límie o eise ( ).. Probar que lim (, ) (,) o eise a) Por, lim lim (,) (,) (,) (,) b) Por, lim lim (, ) (,) (, ) (,) k b) Por k, lim (, k) (,) k Se observa, que el valor al que iede f (, ) depede de k, la pediee de la reca. Así, para k, f (, ) iede a si k, f (, ) iede a, por lo ao, al límie o 5 eise.

17 7. Probar que lim (, ) (,) 6 o eise Se puede probar (verificarlo) que para,, k k el límie de f (, ) vale cero, pero para al límie o eise e (, ). 6 el lim, 6 (, ) (,) por lo cual, se coclue que 4. Desde luego, lim (, ) (,) () 5 b) Defiició formal de límie El lim f (, ) L ε > δ >, (, ) ( a, b) al que, si < ( a) ( b) < δ f (, ) L < ε. Coiuidad de ua f : R R El cocepo de coiuidad de ua fució de dos variables es similar al esablecido para ua fució de ua variable. Defiició. La fució f (, ) es coiua e ( a, b) si lim f (, ) f ( a, b) (, ) ( a, b) Y será coiua e ua regió del plao (domiio) si es coiua e cada (, ) de dicha regió. E especial, la suma o el produco de dos fucioes coiuas so ambié fucioes coiuas. El cociee es coiuo sólo e los puos e los que el deomiador es diferee de cero. Ejemplos. f (, ), es coiua para odo par (, )

18 8. f (, ), es coiua para odo par (, ) dode Ejercicios Idagar la coiuidad de las fucioes dadas e los puos que se idica. f (, ), e (, ) (, ). f (, ), e (, )., si (, ) (, ) f (, ), e (, ), si (, ) (, ) 4. f (, ), e (, )

19 9. DERIVADAS PARCIALES E las aplicacioes de las fucioes mulivariadas es esecial precisar como afeca a la fució cada ua de sus variables. Tal proceso se cooce como derivació parcial cosise e derivar la fució co respeco a ua variable, maeiedo cosaes a las demás.. Defiició Cálculo Si, () f eoces f f lim d d ) ( ) ( Si, ), ( f z eoces f f lim z ), ( ), ( f f lim z ), ( ), ( * Se sugiere hacer las gráficas de ambas derivadas parciales Noacioes diferees para ua derivada parcial Si, ), ( f z eoces ), ( f f f f z z ), ( f f f f z z Si, ),,, ( f L eoces f f f f f f,, L

20 De forma similar, las derivadas de segudo orde so f f z z ) ( f f z z ) ( f f z z ) ( Ejemplo Para, ), ( f deermiar f ) ( ) ( () ) ( f 4 ) ( )] ( [ () ) ( f ) ( ) ( 4 ) ( Ejercicios Para la fució del ejemplo aerior: ) comprobar que ) (, ), ( f f ) deermiar f ) comprobar que ) (, ), ( f f ) corroborar que ) (, ), ( f f * Revisar el eorema de Clairau (Schwarz o Youg)

21 . Derivada Direccioal Defiició. Si f (, ) z es ua fució difereciable e, ) u [ a, b] ( es u vecor uiario, eoces la derivada de z e la direcció de u (derivada direccioal) esá dada por f (, u ) lim h f ( ha, hb) h f (, ) f a f b (eorema) f cosθ f seθ [ f, f ] [ a b] (produco puo), f u ( f gradiee de f ) Noa. Si v es u vecor al que v, eoces el vecor uiario e la direcció de v es u v v v v * revisar Sewar, J. (999) (.6 Las derivadas direccioales el vecor gradiee). Diferecial Toal E fucioes de ua variable se sabe que Si f ( ) d, eoces la diferecial de la fució es d f '( ) d Y como f ( ) f ( ), se puede cocluir que si es pequeño, eoces d De maera similar, e fucioes de dos variables, se iee que Si z f (, ) d d eoces

22 dz f d f d es la diferecial oal de la fució z Y como z f (, ) f (, ), si so pequeños, eoces el z dz Ejercicios ) Para z, hallar z, dz z dz, si (, ) cambia de (, ) a (.,.7) ) Para z 5, deermiar z, dz z dz, si (, ) cambia de (, ) a (.,.) ) Hallar dz para las fucioes z se (4) r s z r s.4 Derivada Toal (regla de la cadea) E fucioes de ua variable, se sabe que si f ( u) u f ( ), eoces d d d du du d Para fucioes de dos variables, se iee que a) Si z f (, ) es ua fució difereciable e (, ) g ( ) h ( ), eoces dz d z d d z d d b) Si z f (, ) es ua fució difereciable e (, ) g ( s, ) h( s, ), eoces z z z s s s z z z

23 Los diagramas respecivos so los siguiees: Ejemplo Para z, se( ) e, hallar dz cuado d dz d (cos) ( ) e (fórmula a) e se( )cos( ) ( se ( ) e ) e (susiució) dz ( ) e d e se() cos() ( se () e ) ( ) ( ) Ejercicio Hallar z s z, si z, s s

24 4.5 Derivadas Implícias Para ua fució implícia de ua variable a) Si F (, ) f ( ), eoces F d d F d d (diferecial oal) d F, co F d F (despejado) De forma similar, e ua fució implícia de dos variables b) Si F (,, z) z f (, ), eoces F F F z z (diferecial oal) Pero como, se iee z F F z, co F z Co u procedimieo similar se obiee z F F z, co F z Ejercicios ) Para, hallar d d d d ) Para z, hallar z, z z ) Para z cos( z), hallar z

25 5.6 Repaso de Cocepos Aplicacioes Cocepos: fució derivada fució margial. Si f () es ua fució maemáica a) Qué represea la? b) Qué sigifica f '()? a) represea la variable idepediee b) sigifica que la asa de cambio de la fució e es de. Si f () es ua fució de producció a) Qué represea la? b) Qué sigifica f '(9) 5? a) represea los iveles de uso del facor de producció b) sigifica que la uidad del facor de producció, icremea la producció e aproimadamee 5 uidades.. Si z f (, ) es ua fució maemáica a) Qué represea? b) Qué sigifica f ( 9, 7)? a) represea las variables idepediees b) sigifica que la asa de cambio de la fució e el puo (, ) (9, 7) e la direcció del eje es de. 4. Si z f (, ) es ua fució de igreso a) Qué represea? b) Qué sigifica f ( 8, 6) 5?

26 6 a) represea los iveles de vea de los producos b) sigifica que si la vea del produco se fija e 8 uidades, la vea de la uidad 7 del produco icremea el igreso e aproimadamee 5 uidades. Aplicacioes. Si el coso cojuo de producir los biees esá dado por C l( ) a) Calcular C C e (5, ) b) Cómo se ierprea? a) C l( ) C (5, ) l() C C 5 (5, ).9 b) Si la producció de se fija e uidades, eoces la producció de la uidad 6 de icremea el coso e aproimadamee 5.65 Y si el produco se fija e 5 uidades, la producció de la uidad 4 de icremea el coso e aproimadamee.9 uidades. Si z f (, ) es ua fució de producció, eoces z represea la producció margial del facor z la producció margial de. Normalmee, la producció margial de cualesquiera de los facores (isumos) es posiiva pero decreciee (le de los redimieos decreciees).. Deermiar la moooía de z para z 4 5, e la direcció de. z F F z 8 6 z z La superficie es creciee si >, z como z siempre es posiiva, resula que si 6 4 > z 6 4 > o >

27 7 6 4 Así mismo, será decreciee si <. z Es decir, si 6 4 < o < Y será esacioaria dode 6 4 o.7 Fucioes de Producció Homogéeas Defiició. z f (, ) es ua fució homogéea de grado si f (, ) f (, ), para cosae. Cosidérese los ejemplos siguiees Ejemplos. f (, ), es ua fució homogéea de grado cero, a que f (, ) ( ) f (, ) α β. Q ( K, L) AK L, co α β, es homogéea de grado uo, pueso que α β α β α β α β Q ( K, L) A( K) ( L) AK L ( AK L ) Q( K, L) Ejercicios Probar lo que se afirma e los ejercicios siguiees:. z, es homogéea de grado dos. z 4, o es homogéea. Noa. De maera prácica, ua fució poliomial es homogéea de grado si odos sus érmios so de grado.

28 8 Teorema de Euler El cocepo de fució homogéea puede ser empleado e combiació co las derivadas parciales, como se epoe a coiuació. Si z f (, ) es ua fució de producció homogéea de grado eise las derivadas parciales f, eoces f f f f (, ) E especial, si z es homogéea de grado uo, eoces f f f (, ) Es decir, el valor de la producció que geera el facor, más el valor de la producció que geera el facor es igual al valor de la producció oal. El eorema de Euler juega u papel imporae e la eoría de la disribució. Ua hipóesis básica e esa eoría esablece que, si cada facor se paga de acuerdo a su producció margial, el valor de la suma de la producció de los facores será siempre igual al valor de la producció oal. Por lo ao, para ua fució de producció homogéea de grado, el valor de la producció oal ecederá al pago de los facores si > será meor que al pago si <..8 Isocuaas Las fucioes de producció co frecuecia se esudia cosiderado la familia de curvas f (, ) c (para c cosae), e el plao (, ). Tales curvas se deomia isocuaas, cada isocuaa represea la combiació de facores, que produce u ivel específico de producció. Ya se epuso aes que f (, ) c ambié se cooce como curvas de ivel.

29 9 La (co sigo egaivo) e u puo cualquiera de la isocuaa, se cooce como la asa de susiució écica, represea la asa a la que se puede susiuir el facor por el facor, para maeer u ivel específico de producció. 4 Ejemplo. Para Q ( K, L) 6K L a) Deermiar la homogeeidad de Q b) Hallar la curva de ivel (isocuaa) para Q 6 c) Calcular e ierprear Q Q e (8, 6) d) Obeer la asa de susiució écica a) Homogeeidad 4 K L K L para Q 6, e (, ) Q ( K, L) 6( K) ( L) 6 K L (6K L ) Q( K, L) Por lo ao, la fució es homogéea de grado uo b) Curva de ivel para Q ( K, L) 6

30 c) Tasas de cambio Q Q 4 K L 4 Q K 6K 4 4 L L 4 Q L 6 K 4 (8, 6) (8, 6) Si se esá usado 6 uidades de mao de obra, icremear el capial de 8 a 8 (ua uidad), icremea la producció e aproimadamee 4.4 uidades. La ierpreació para Q L es similar. d) La curva de ivel es 4 K L, por lo cual 4 K L Q Q L K ( 4 ( 4 K K 4 ) L ) L Evaluado e el puo (, ) K L (, ) () 4 () 4 Lo cual implica que, e el puo (, ) se puede iercambiar u de K por cada u de L si cambiar de curva de ivel. E oras palabras, la pediee de la curva de ivel Q 6, e el puo (, ), es de

31 4. ÓPTIMOS 4. Ópimos Libres a) Crierio de primer orde (codició ecesaria) Si z f (, ) iee u ópimo e (, ) ( a, b), eoces f ( a, b) o o eise. La proposició iversa o siempre es verdadera. Es decir, los valores del domiio de la fució e los que el gradiee vale cero o o esá defiido so sólo cadidaos a eremos. b) Crierio de segudo orde (codició suficiee) f ( a, b) d f ( a, b) f ( a, b) f ( a, b) Sea [ ] ) Si d > f ( a, b) <, eoces f iee u máimo relaivo e ( a, b) ) Si d > f ( a, b) >, eoces f iee u míimo relaivo e ( a, b) ) Si < d eoces [(, b), f ( a, b) ] a es u puo de silla 4) Si d, eoces el crierio o es cocluee, se requiere iformació adicioal. Noa. A la epresió d se le cooce como discrimiae El crierio de segudo orde ambié se puede epresar mediae el deermiae siguiee, deomiado Hessiao H f f ( a, b) ( a, b) f f ( a, b) ( a, b) ) Si H > f ( a, b) < f iee u máimo ) Si H > f ( a, b) > f iee u míimo ) Si H < f iee u puo de silla Ejemplo Deermiar los eremos de z

32 Solució Las parciales primeras so z z Por lo ao, el úico puo críico (cadidao a ópimo) es el orige (, ) Las parciales segudas queda z, z z Así, d f (, ) f (, ) [ f (, )] () 4 Por lo ao, dado que d 4 > (, ) >, la fució iee u míimo relaivo e el f orige. Ejercicios Hallar los valores de (, ) que opimiza z el ópimo de z (máimo o míimo). z. z 6 5 Aplicacioes. Ua empresa fabrica los producos I II, que vede a $ $9, respecivamee. El coso de producir uidades del produco I uidades del produco II es C 4.( Hallar los valores de de que maimiza la gaacia. * El ópimo esa e 8 )

33 . E u almacé se vede dos ipos de jugo: ua marca local que se compra a por laa ua marca acioal que se compra a 4 por laa. El geree de veas ha esimado que si la marca local se vede a ceavos por laa la acioal a ceavos por laa, se puede veder, diariamee, las caidades siguiees: Q L (demada de laa local) Q N (demada de laa acioal) Hallar el precio que se debe fijar a cada marca de jugo, a fi de maimizar la gaacia oal derivada de su vea. Solució La iformació relevae se epoe e el cuadro siguiee: Marca Coso Vea Gaacia Local Nacioal 4 4 G G Q G Q T L L N N G ( )(7 5 4) ( 4)(8 6 7 ) G G Y como G, G 4 G De se obiee 5 55

34 4 Así mismo, H Se coclue que, como H > G <, la gaacia se maimiza e ( 5, 55) 4. Ópimos Resrigidos Cosidérese el caso de u cosumidor cua fució de uilidad esá dada por U Si al cosumidor dispoe de u presupueso de $6 los precios de mercado de los producos so de 4, respecivamee. Cuáas uidades de cada produco debe comprar a fi de maimizar la uilidad, sujea al presupueso dispoible? La fució de presupueso (resricció) es 4 6 Y el problema implica maimizar U sujea a dicha resricció. Solució E ese caso, se puede despejar cualquiera de las variables de la resricció al susiuirla e U, la coviere e ua fució de ua variable. Despejado susiuedo e U, se iee U ( ) U ' 4 8 U '' 4 < Por lo ao, ha u máimo e ( 8, 4) su uilidad máima es de 8 Así, la combiació de producos que maimiza la uilidad del cosumidor, sujea a u presupueso de $6 es 8 4

35 5 La pricipal complicació que se iee al iear aplicar ese procedimieo, cosise e que o siempre se puede despejar algua de las variables de la resricció, para luego susiuirla e la fució objeivo. Por ello, oras razoes, so mu imporaes los muliplicadores de Lagrage, λ * Revisar Zill, D. (987), secció 6. Fució de Lagrage Defiició. Dada z f (, ), sujea a g (, ) b, se defie la fució de Lagrage de la maera siguiee: [ b g(, )] L(,, λ ) f (, ) λ Dode, f es la fució objeivo g es la resricció. a) Crierio de primer orde (codició ecesaria) ) L f λ g ) L f λ g ) b g(, ) L λ ) ) implica f λ g ) es la resricció. b) Crierio de segudo orde (codició suficiee) La codició de segudo orde, para ua fució e dos variables, se puede epresar mediae u deermiae hessiao aumeado (orlado o delimiado) Hˆ L L L λ L L L λ L L L λ λ λλ Si H, Hˆ <, L, Hˆ, eoces Ĥ es defiida posiiva se iee u míimo. ˆ < <

36 6 Si H >, Hˆ <,, ˆ L eoces Ĥ es defiida egaiva se iee u máimo. i,, L, es el orde de la mariz hessiaa que se delimia. * Revisar Dowlig, E. (98) capíulo E el ejemplo esudiado, se iee L λ (6 4 ) ) 4λ L ) λ L ) 6 4 L λ De ) λ, susiuedo e ) resolviedo co ), se obiee 8, 4 λ 4 L L Lλλ L L L L λ Lλ λ Lλ 4 ˆ H 4 4 Desarrollado por la fila

37 7 ˆ H > Por lo ao, ha u máimo e ( 8, 4) co u valor de 8 Ejemplo Deermiar los eremos de z 4 6, sujea a la resricció 56 Solució L 4 6 λ (56 ) ) 8 λ L ) λ L ) 56 L λ Igualado ) ) simplificado, resula 5 9 Resolviedo co ) se obiee 6, λ 48 L λλ 8, L L L L L L λ Lλ λ Lλ ˆ H 8

38 8 Desarrollado por la fila ˆ H < Por lo ao, ha u míimo e ( 6, ) co u valor de Resume para el crierio de segudo orde ( variables) Eremos libres Eremos resrigidos Si H, H >, L, H, eoces Si H, Hˆ <, L, Hˆ, eoces > > ˆ < < H es defiida posiiva se iee u míimo. Ĥ es defiida posiiva se iee u míimo. Si H <, H >,, eoces H es Si H >, Hˆ <,, L ˆ L eoces Ĥ es defiida egaiva se iee u máimo. defiida egaiva se iee u máimo. Nóese que, para eremos resrigidos, el crierio iicia co Hˆ i Hˆ siedo i el orde de la mariz hessiaa que se delimia. * E el caso de ópimos libres, el sigo de la hessiaa ambié se puede deermiar uilizado sus valores propios. Si embargo, para ópimos resrigidos sólo es aplicable el crierio de los meores pricipales. Aplicació E ua fábrica se produce dos ipos de maquiaria pesada, e las caidades. Si la fució de coso cojuo es C

39 9 Cuaas máquias de cada ipo se debe producir para miimizar el coso si el oal debe ser de 8 uidades? E ese caso la resricció es 8, por lo ao L λ (8 ) Resolviedo, se obiee 5, λ 7 Por lo ao, e ( 5, ) ha u míimo co u valor de 8 Le Ecoómica Si so valores ópimos, eoces f f (, (, ) ) p p Así, e la fució de uilidad U, sujea a la resricció 4 6, se ecoró u máimo e (, ) (8, 4) U U U (8, 4) 4 6 U ( 8, 4) 8 Dado que p 4 p U p 6 4 Se iee,, U p 8 4. Ierpreació Ecoómica de λ Si * f es el valor ópimo (máimo o míimo) de f (, ), z sujea a la resricció df * g (, ) b, eoces λ db

40 4 Es decir, λ es aproimadamee igual al cambio e * f debido a u cambio uiario e b. Ejemplo E el ejemplo aerior (uilidad) si b se icremea e ua uidad (6 6) L λ (6 4 ) ) 4λ L ) λ L ) 6 4 L λ De ) λ, susiuedo e ) simplificado, se obiee Al resolver co ) 4 4, se obiee Susiuedo e U, resula U *. * Por lo ao, U U λ * Ua uidad moearia adicioal e el presupueso, icremea la uilidad ópima e, aproimadamee, 4 uidades. Tasas de cambio (recueo de cocepos) Las preguas: qué es (epresa o represea)? a) la derivada de ua fució, b) el valor margial de ua fució, c) u muliplicador de Lagrage

41 4 Se puede respoder de la maera siguiee: a) el cambio eaco (isaáeo) de f e cada valor de la variable b) el cambio aproimado de f ae u cambio uiario de la variable c) el cambio aproimado de f * (e su valor ópimo) ae u cambio uiario del facor * Si la asa de cambio es posiiva, implica gaacia al aumear el valor de la variable pérdida al dismiuirlo. Y si es egaiva, implica pérdida al aumearlo gaacia al dismiuirlo. Ejercicios Ierprear las epresioes siguiees:. f ( 8, ) 5, si f e ua fució maemáica.. f ( 9, 7), si f es ua fució ecoómica. *. f λ (, ) 6, si f es ua fució ecoómica.

42 4 5. INTEGRALES ITERADAS 5. Defiició Cálculo a) E ua iegral ordiaria d Si se ( ) cos ( ) d d Y si cos ( ) cos ( ) d se ( ) c d b) E ua iegral parcial Si z z z Y si z () d h( ) De forma similar Si z z z Y si z d g ( ) c) Evaluació de ua iegral defiida simple π cos ( ) d se( ) π d) Evaluació de ua iegral defiida doble (ierada) ( ) dd d 9 d (4) d

43 4 8 Evaluado e el orde iverso ( ) dd d 9 9 d e) Regioes (R) e el plao h ( ) h ( ) g ( ) d g ( ) c a b Regió vericalmee simple Regió horizoalmee simple Teorema de Fubii i) Si z f (, ) es coiua e ua regió vericalmee simple R, eoces f (, ) da b R a g ( ) g ( ) f (, ) dd ii) Si z f (, ) es coiua e ua regió horizoalmee simple R, eoces

44 44 f (, ) da d R c h ( ) h( ) f (, ) dd E érmios de sumaorias: f (, ) da lim R m, i j m f (, ij ) A ij E érmios geoméricos, así como b a f ( ) d represea u área bajo ua curva, ) R f (, da represea u volume bajo ua superficie. E paricular, si f (, ), eoces da es u área e el plao. Coicide co b a f ( ) d. R Ejemplo Hallar el área de la regió limiada por las curvas Ierseccioes de las curvas:,, ( ) Por lo ao, los puos de core so: (, ) (, )

45 45 Ha cuaro maeras de obeer el área: a) co recágulos vericales (como se muesra e la gráfica) A ( ) d u b) co recágulos horizoales A ( ) d u c) mediae ua regió vericalmee simple dd u d) mediae ua regió horizoalmee simple dd u Ejercicios. Hallar el área deermiada por. Hallar el área ere. Obeer el cociee de Gii 5. Aplicació e Esadísica E ua fució desidad de probabilidad (f. d. p) de ua variable aleaoria coiua, se cumple las propiedades siguiees:. f ( ). f ( ) d

46 46 p( a < < b) f ( ) d b a De forma similar, e ua f. d. p cojua de dos variables aleaorias coiuas (, ), ambié se cumple dos propiedades:. f (, ). f (, ) dd b p( a < < b, c < < d) f (, ) dd a c d Aplicació E ua empresa se produce rodillos (cilídricos) cuo diámero, iee ua µ 4 cm ua σ. cm, e ao que la logiud, iee ua µ 6 cm ua σ. cm. Si so idepediees se disribue de maera ormal: a) Epresar graficar la f. d. p. cojua b) Hallar la probabilidad de que el diámero la logiud de u rodillo, elegido al azar, Solució: difiera de la media e más de. cm. a) Fució gráfica Las fucioes desidad de probabilidad idividuales so f ( ) e σ π ( µ ) / σ. ( 4) /. e π f ( ) σ π e ( µ ) / σ

47 47. ( 6) /. e π Y la fució desidad de probabilidad cojua es f (, ) f ( ) f ( ).π e ( 4) /. ( 6) /. e 5 5 π e [( 4) ( 6) ] * hacer la gráfica co DERIVE usado los iervalos siguiees: (.9 < < 4., ( 5.9 < < 6.,.).) ( 5 < z < 5, ) b) Probabilidad eigida 4. p (.98 < < 4., 5.98 < < 6.) f (, ) dd 5 π e 5 [( 4) ( 6) ] dd Resolviedo co DERIVE, se obiee ua p. 9 Por lo ao, la probabilidad de que el diámero () la logiud () de u rodillo, elegido al azar, difiera de su media e más de. cm es de.9.9 9%

48 48 6. BIBLIOGRAFÍA. Aleksadrov, A. e al. (98). La maemáica: su coeido, méodos sigificado. Tomo I. Aliaza Ediorial. España.. Bermúdez Lluís, e al. (995). Opimizació. Edicioes Media. España.. Dowlig, E. (98). Maemáicas para ecoomisas. Ediorial McGraw-Hill. Méico. 4. Hughes-Halle, D. e al. (995). Cálculo. Ediorial CECSA. Méico. 5. Larso, R. e al. (996). Cálculo (Volume Volume ), 5 a edició. Ediorial McGraw-Hill. España. 6. Purcell, E. D. Varberg (987). Cálculo co geomería aalíica. Ediorial Preice Hall. Méico. 7. Sewar, J. (999). Cálculo cocepos coeos. Ediorial Thomso. Méico. 8. Sdsaeer, K. P. Hammod (996). Maemáicas para el aálisis ecoómico. Ediorial Preice Hall. España. 9. Zill, D. (987). Cálculo co geomería aalíica. Ediorial Iberoamérica. Méico.

49 49 ECUACIONES DIFERENCIALES (ED) Auque haga muchos eperimeos mi hipóesis o queda cofirmada, pero basa uo solo para cofirmar mi error. - A. Eisei. CONCEPTOS BÁSICOS. Defiicioes Ua Ecuació Diferecial (ED) es ua ecuació que coiee ua o más derivadas de ua fució (descoocida). Si la fució es de ua variable, la ED se deomia ordiaria si es de dos o más variables se deomia parcial. El orde de ua ED lo da el orde de la derivada más ala e la ecuació. Cosidérese el diagrama siguiee: T i p o G r a d o O r d e Primer orde Segudo orde Lieales Ordiarias M EDs eésimo orde No lieales Parciales Cosidérese los casos siguiees:

50 5 Ecuació Tipo Grado Orde ( ) e & Ordiaria No lieal u u Parcial Lieal ''' 4 Ordiaria Lieal E geeral, se ideifica res efoques o méodos e el esudio de las solucioes de ua ED: el aalíico, el cualiaivo el umérico. La opció aalíica implica deermiar fórmulas eplícias que describa el comporamieo de la solució; la opció cualiaiva implica usar la geomería para esudiar el comporamieo de la solució; e la opció umérica se usa la compuadora para aproimar la solució buscada. E las presees oas se aborda, pricipalmee, el méodo aalíico de solució. Ua fució f () es ua solució de ua ED si la ecuació se verifica al susiuir e ella a f () las derivadas implicadas. Así, geeral. e es ua solució de & mieras que Ce, co C R, es la solució Comprobació a) Si e, eoces & e E cosecuecia, al susiuir e la ecuació origial, se iee & e ( e ) Y, dado que se verifica la igualdad, e es ua solució de & b) Si, & eoces

51 5 d d d d (separació de variables) l( ) c (iegració) e ( c) e e c Ce Por lo ao, Ce es la solució geeral de & Se puede probar que la solució geeral de ua ecuació de orde usualmee coiee cosaes idefiidas (parámeros). Ua solució paricular es la solució que se puede obeer a parir de codicioes iiciales. Por ejemplo, la ecuació diferecial de orde dos s ''( ), co solució geeral s ( ) 6 C C, que represea la le de movimieo de u objeo e caída libre, podría eer las codicioes iiciales siguiees: s ( ) 8 s '() 64. Co la solució paricular s ( ) Ejercicio Para ', corroborar que C es la solució geeral hallar la solució paricular si ( ) 4.. ED Lieales Ua ED Lieal (EDL) de orde es ua ecuació de la forma ( ) ( ) a ( ) a ( ) L a ( ) && a( ) & a ( ) g( )

52 5 La liealidad implica dos codicioes: que la variable sus derivadas sea de primer grado, que los coeficiees sólo depeda de la variable. Si la ecuació o ivolucra eplíciamee la variable se deomia auóoma si g ( ) se deomia homogéea. Cosidérese el diagrama siguiee: Homogéea Auóoma No Homogéea EDL Homogéea No auóoma No Homogéea Así, por ejemplo:. &, es lieal, de er orde, auóoma homogéea. & &, es lieal, de o orde, auóoma o homogéea. &, es o lieal, de er orde, o auóoma homogéea E geeral, las EDL verifica la proposició siguiee: Proposició Dada ua EDL, si h () es la solució geeral de la ecuació homogéea asociada p () es cualquier solució paricular de la ecuació o homogéea, eoces solució de la ecuació. () h es la p

53 5. ED LINEALES DE PRIMER ORDEN. Caso Auóomo La ecuació diferecial lieal (EDL) auóoma más secilla es de la forma & a b Al resolver el caso homogéeo & a, por separació de variables, se obiee que a h ( ) Ce. Para el caso o homogéeo se puede cosiderar la solució más simple, ua cosae ( ) k, que implica &, que al susiuir e & a b da Es decir, la solució geeral de la ecuació plaeada es a b ( ) h p Ce, co a a p b ( ). a El valor de C se puede obeer si se cooce u valor iicial, por ejemplo ( ). Si a la ecuació & a b se reduce a & b, que se resuelve por iegració. Aplicacioes. E. D. Domar propuso u modelo macroecoómico secillo e el que se relacioa el igreso, el ahorro la iversió. Sea Y igreso, S ahorro, I iversió s v dos cosaes posiivas meores que. Supógase que el ahorro la iversió so proporcioes fijas del igreso de su asa de cambio, respecivamee, de maera que se cumple las relacioes siguiees: S sy I vy& E equilibrio S I, por lo que se iee

54 54 v Y& s sy, o bie Y & Y v Que es ua ED auóoma homogéea, cua solució geeral es Y ( ) Y e s ( ) v Así, dadas las hipóesis del problema, se coclue que el igreso crece de maera s epoecial, a la asa. Siedo s la propesió margial a ahorrar v el coeficiee de v iversió.. Modelo de ajuse del precio Evas posuló que, e compeecia perfeca, la asa de cambio del precio es proporcioal al eceso de demada. Así, dadas Q d a bp (demada) Q o c dp (ofera), se iee dp d k ( Q k d Q ) o (( a c) ( b d) P) Pero e equilibrio Q Q, es decir d o a bpˆ c dpˆ a c ( b d) Pˆ Dode Pˆ es el precio de equilibrio. Al susiuir, se iee dp k ( b d) ( Pˆ P) d Haciedo α k ( b d )

55 55 dp α ( Pˆ P) d Separado variables cambiado sigo dp αd P Pˆ Resolviedo despejado, se obiee P( ) Pˆ Ce k ( b d ) Si P ( ) P, eoces C P Pˆ P( ) Pˆ ( P Pˆ e k ( b d ) ) Y de aquí, es claro que si P Pˆ, P. Es decir, desde cualesquier P el precio regresará a su ivel de equilibrio Pˆ.. Caso o Auóomo Homogéeo El caso o auóomo se presea cuado los coeficiees o so cosaes. Es decir, se raa del caso a ) & a ( ) g( ), que se puede epresar e la deomiada forma ( caóica & p( ) q( ) El caso o auóomo homogéeo se resuelve por iegració. Si & a( ) Separado variables e iegrado se llega al resulado ( ) Ce a( ) d

56 56 Ejemplo Resolver & Se raa de hallar la solució geeral de d d Que se puede epresar como d d Iegrado e ambos lados l ( ) C Se obiee, fialmee ( ) Ce. Caso o Auóomo o Homogéeo El caso o auóomo o homogéeo es u poco más complicado. Para resolverlo es ecesario deermiar u facor µ (), al que, al muliplicarlo por el lado izquierdo de la forma caóica, lo coviera e la derivada del produco d d ( µ ( ) ) µ ( ) µ ( ) p( ) & µ (), Al desarrollar la derivada, despejar µ () hacer C se obiee µ ( ) e d d p( ) d Es decir, ( ( ) ) q( ) ( ) µ La solució geeral es µ qµ d C µ

57 57 ( ) d ( ) e q( ) e p p( ) d d C Más que memorizar esa fórmula, se recomieda recordar que la muliplicació por µ () coviere el lado izquierdo de la forma caóica e la derivada del produco µ (). Ejemplo Hallar la solució geeral de la ecuació & a( ) La ecuació a se ecuera e la forma caóica. E esa ecuació p ( ) a( ) a( ) d l[cos( )] Por ao, µ ( ) e e cos( ) Formado la derivada del produco, se iee d d [ cos( )] cos( ) Que al iegrar se coviere e cos( ) cos( ) d se ( ) C Y, despejado se( ) C cos( ) cos( ) Fialmee, se iee Ejercicio ( ) a( ) C sec( ) Resolver la ecuació &

58 58. ED LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Ua EDL de segudo orde es ua ecuació de la forma a ) & a ( ) & a ( ) g( ). ( E esas oas sólo se abordará el caso auóomo, co las variaes homogéeo érmio cosae el caso o auóomo co érmio variable. Para las ecuacioes auóomas, al igual que para las ecuacioes de primer orde, la solució es casi imediaa, ua vez resuelo el caso homogéeo.. Caso Auóomo Homogéeo La forma geeral de la ecuació homogéea es & a& b E la proposició siguiee se esablece el procedimieo para ecorar su solució. Proposició Si so solucioes liealmee idepediees de la ecuació & a& b, eoces la solució geeral es () C C, siedo C C cosaes. La auraleza de la ecuació & a& b, co coeficiees cosaes, sugiere que las solucioes debe ser de la forma r e ( r e es ua fució cuas derivadas sucesivas so múliplos ere sí). Si ese es el caso, eoces resula && a& b r e r e are r ( r r be r ar b) r & re & r e r. Y susiuedo,

59 59 Como r e o puede ser cero, r ar b r e es ua solució si, solo si, Esa ecuació se cooce como ecuació auiliar o caracerísica de & a& b. Nóese que se puede deducir a parir de la ED, susiuedo & & por && a& b r ar b r, & por r por. E geeral, pueso que las raíces de la ecuació cuadráica r ar b puede ser: reales diferees, reales e iguales o complejas, las solucioes de & a& b será de res ipos: Si r r, eoces Si r r, eoces r r ( ) Ce Ce r r ( ) Ce Ce α α Si r α β i r α β i, eoces ) C e cos( β ) C e se( β ) Ejemplo Hallar la solució geeral de & & 4 La ecuació auiliar es r 4 Que iee las raíces r r Por ao, la solució geeral es ( ( ) C e C e Ejercicios. Resolver & 4 & 4, sujea a las codicioes iiciales ( ) & (). Hallar la solució geeral de & 6 &

60 6. Caso Auóomo co Térmio Cosae La forma geeral de la ecuació o homogéea es & a& b c Al igual que e las EDL o homogéeas, la solució geeral es la suma de ( ) ( ) h p La solució paricular más simple es ua cosae, ( ) k, de maera que se cumple & &. Eso es posible siempre que b. Si ese es el caso, eoces c p ( ). b Si b pero a, eoces se oma como solució paricular ua fució lieal ( ) k, por lo cual se cumple & &. Resolviedo a & c (por iegració) se obiee c p ( ) C. a Fialmee, si b a, eoces la ecuació origial es & c, cua solució, luego de c iegrar dos veces, es p ( ) C C Ejemplo Para la ecuació & & 4 : Probar que ( ) h C e C e Probar que ( ) Comprobació p Deermiació de h Ecuació auiliar r r Raíces: r r Por ao, ( ) h Ce C e

61 6 Deermiació de p Probado co ( ) k, se iee & & Por ao, la ecuació dada se reduce a 4 Cua solució es ( ) Por ao, ( ) p. Caso o Auóomo co Térmio Variable Si ahora se cosidera ua ecuació o auóoma de la forma & a& b g() Tambié se edrá que la solució geeral es de la forma h p. Si embargo, aquí el problema cosise e ecorar ua p. El méodo de resolució más geeral, coocido como variació de los parámeros, implica que que las cosaes se susiue por variables. Los pasos a seguir e el méodo idicado so los siguiees:. Hallar h C C p iee la misma forma que h, ecepo. Susiuir las cosaes por variables para defiir p u u. Resolver el sisema siguiee para u & u& u& u& & u& u& & g( ) 4. Iegrar para deermiar u u Oro méodo mu usado es el de Coeficiees Ideermiados

62 6 Ejemplo e Resolver la ecuació & &, co > La ecuació auiliar es r r Y sus raíces so r r Por ao, h C e C e E cosecuecia p u e u e Y el sisema a resolver es u& e u& e u& e e u& [ e e ] K K () () Resado () de (), se iee e u& e u& Susiuedo ese valor e (), queda u& e e u& Iegrado para u & u&, se obiee u u l Por ao p e e l

63 6 Y fialmee, la solució geeral es ( ) h p C e C e e e l Ejercicios Resolver las ecuacioes siguiees:. & a(). & & &. & & & se( ) * Por ejemplo, la solució de es ) C C e cos( ) se ( ) (

64 64 4. ED o LINEALES DE PRIMER ORDEN 4. Variables Separables U ipo de ED de primer orde que surge co relaiva frecuecia, so las deomiadas ED separables, que iee la forma siguiee: & q( ) p( ) O de maera aleraiva p ( ) d q( ) d Dode p es ua fució sólo de q es ua fució sólo de. Ua vez separadas las variables, la solució se ecuera por iegració Ejemplo p ( ) d q( ) d Hallar la solució geeral de d 4) d ( Separado variables, se iee d d 4 Iegrado ambos lados Y, fialmee Ejercicio l ( ) l C 4 ( ) C 4 Hallar la solució paricular de d e ( ) d, si ( )

65 65 Aplicació Diámica de Poblacioes co Recursos Limiados (modelo logísico). Si P () represea el amaño de la població e el isae Q es la capacidad de coeció (carga), eoces la variació de la població es proporcioal a su amaño a la sauració relaiva del medio. Eso es dp Q P kp d Q Observacioes al modelo: dp. Si P es pequeña co respeco a Q, eoces kp d dp. Si P > Q, eoces < d P decrece dp. Si < P < Q, eoces > d P crece dp 4. Si P Q, eoces d Solució Aalíica Separado variables dp kd Q P P Q Cambiado el sigo e ambos lados QdP kd P( P Q) Resolviedo por el méodo de fraccioes parciales despejado P P Q Ce k

66 66 Dado que si P P P Q P, P P C, se iee, fialmee P Q P Q) e ( k Es claro que si P Q 4. Ecuació de Beroulli Ua ecuació o lieal, mu coocida, que se reduce a ua lieal co ua susiució apropiada, es la llamada ecuació de Beroulli & p( ) q( ) Esa ecuació es lieal si de variables separables si Supoiedo que, haciedo la susiució w, se iee w& ( ) & ( ) [ q( ) p( ) ] ( )[ q( ) p( ) ( )[ q( ) p( ) w] Fialmee, se llega a la ecuació w& ( ) p( ) w ( ) q( ), que es lieal e w (caóica) puede ser resuela como ua EDL Ejemplo ] Ua variae del modelo logísico, basada e la idea de que a maor població meor asa de crecimieo, es la siguiee dp ap bp d

67 67 Que es ua ecuació o lieal, ipo Beroulli, co Haciedo la susiució w P, se obiee la ecuació e w w & aw b Cua solució es w( ) Ce a b a O bie, e érmios de P a P( ) b Ce a Susiuedo la codició iicial P ( ) P, se obiee, fialmee, P( ) bp ap ( a bp ) e a Ejercicio Hallar la solució geeral de la ecuació * La solució es ( ) C &

68 68 5. DIAGRAMAS DE FASES Dado que, para la maor pare de las ecuacioes difereciales o eise solució aalíica, ormalmee se iee que recurrir a méodos uméricos para deermiar ua solució aproimada. E muchas aplicacioes es ambié imporae saber si ua ecuació diferecial iee esados de equilibrio si ésos so esables. Eso se puede averiguar au si eer solucioes eplícias de la ecuació. E geeral, se dice que el puo a es u esado de equilibrio o esado esacioario de la ecuació & F (), si F ( a). E ese caso, ( ) a,, es ua solució de la ecuació. Para esudiar la esabilidad de los esados de equilibrio de & F (), es úil esudiar su diagrama de fases. Es decir, la gráfica de & F () e el plao &. E la figura siguiee se represea u ejemplo geérico Cualquier solució () de & F () esá asociada a ua derivada & (), de maera que el par [ ( ), & ( )] es u puo e la curva del diagrama de fases. Qué ocurre e ese puo cuado crece? E odo puo de la curva por ecima del eje, & ( ) >, por lo cual () crece cuado crece. Por ao, el puo [ ( ), & ( )] se moverá e la curva de izquierda a derecha. Asimismo, e odo puo de la curva por debajo del eje, & ( ) <, por lo que ()

69 69 decrece cuado crece. Es decir, el puo [ ( ), & ( )] se moverá e la curva de derecha a izquierda. E la figura ha dos esados de equilibrio a a. Cuado se alcaza uo de esos puos se permaece e él. Si embargo, ha ua diferecia imporae ere ambos. Si () esá próimo de a, eoces se acercará a él cuado crece, si () esá próimo de a, eoces se alejará de él cuado crece. Se dice que a es u esado de equilibrio esable que a es u esado de equilibrio iesable. Nóese que la curva & F () iee pediee egaiva e a posiiva e a. Supógase que a es u esado de equilibrio para & F (). Es decir, F ( a). Si F '( a) <, eoces la siuació, e u eoro de a es semejae a lo que ocurre e u eoro de a, por lo cual a es esable. Por ora pare, si F '( a) >, eoces ocurre u caso semejae al de a, a será iesable. Se iee, eoces, el resulado siguiee: Si F ( a) F '( a) <, eoces a es u esado de equilibrio esable. Si F ( a) F '( a) >, eoces a es u esado de equilibrio iesable. Si a es u esado de equilibrio e el que F '( a), eoces la siuació se debe esudiar co más cuidado. Ejercicio Para & 6, cosruir el diagrama de fases deermiar la auraleza de sus esados de equilibrio.

70 7 INDUCCIÓN, SUCESIONES Y SERIES. INDUCCIÓN MATEMÁTICA La iducció maemáica es u procedimieo que permie comprobar cojeuras acerca de los úmeros aurales (Z ). Tal comprobació esá basada e el llamado pricipio de iducció. Pricipio de Iducció U euciado es ciero para odo eero posiivo, si cumple las dos codicioes siguiees: a) El euciado es ciero para b) Si el euciado es ciero para k eoces (se puede demosrar que) es ciero Ejemplos para k. Probar que la suma de los primeros úmeros aurales es S ( ) ( ) S L Demosració: ( ) Codició : S k ( k ) Codició : Si S k L k,

71 7 eoces se debe cumplir S k ( k ) ( k ) S Sk ( ) k k k ( k ) ( k ) k k k k k ( k ) ( k ). Probar que la suma de los primeros úmeros impares es S S 5 L ( ) Demosració: Codició : S Codició : Si S k 5 L (k ) k, eoces se debe cumplir S S k ( k ) (k ) ( k Sk k ) k k ( k )

72 7. Probar que S L () () (4) ( ) Demosració: Codició : S Codició : Si k S k, k eoces S k S k ( k ) ( k ) k k ( k ) ( k ) k ( k ) k k ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) k k 4. Probar que S L Demosració: Codició : S Codició : Si S k, eoces se debe cumplir S k k k S k S k k

73 7 k k k k k k k

74 74. SUCESIONES Y SERIES. Cocepos Básicos Defiició. Ua sucesió, ambié llamada progresió, secuecia o raecoria, es ua fució co domiio e los eeros posiivos. Ejemplos. E la sucesió 5,, 5,, 5, L, su domiio coradomiio so: Domiio {,,, 4, 5, L,, L} Coradomiio { 5,, 5,, 5, L, 5, L} Los elemeos del coradomiio so los érmios de la sucesió. Y el érmio geeral de la sucesió es a f ( ) 5 Así, por ejemplo, a 5() 6. E la sucesió, 4, 8, 6, L,, L, el érmio geeral es a f ( ) Y, por ao, a Ua sucesió fiia es aquella que iee u úmero fiio de érmios. Por ejemplo, la sucesió 5,, 5,, 5 Defiició. Ua serie es la suma de los érmios de ua sucesió. Ejemplos. Sucesió fiia: a, a, a, a4, a5

75 75 Serie fiia: a a a a4 a5. Sucesió ifiia: a a, a, a, a, L, a, L, 4 5 Serie ifiia: a 5 a a a4 a L a L. Epresar los primeros cuaro érmios de la sucesió a la serie correspodiee. Solució:,, 4, Defiició. La suma parcial de ua serie es la suma de sus primeros érmios. Primera suma parcial: S a Seguda suma parcial: S a a Tercera suma parcial: S a a a M -ésima suma parcial: S a a a L a Ejemplo Dada a, hallar la ercera suma parcial. Solució: S a a a

76 Sucesioes Series Ariméicas E ua sucesió ariméica cada érmio después del primero es igual al aerior más ua cosae, d, llamada diferecia comú. d se puede obeer resado cualesquier érmio del érmio que le sigue e la sucesió. Ejemplos. E 7,,, 8, L, d ( ) 5. E 7,,, 8, L, d 7 5 E geeral, el -ésimo érmio es: a a a a d a a d a d d a () d a a d a ) d d a () d 4 ( M a a ( ) d Ejemplos. Deermiar, si a d 4 a

77 77 Solució: a 4 ( ). Hallar el úmero de érmios de la sucesió 5, 8,, L, Solució: Como a 5, d el -ésimo érmio es a 5 ( ) 5 Por ao, la sucesió iee diez érmios. Defiició. Ua serie ariméica es la suma de los érmios de ua sucesió ariméica. Si la serie es fiia, la suma de los primeros érmios es: S a ) ( a d) ( a d) L ( a d) ( a d a... S a a d) ( a d) ( a d) ( a d) ( L a S ( a a ) ( a a ) L ( a a ) ( a a ) (Suma de ) Y como el lado derecho de la ecuació iee érmios de a a ), resula que ( S ( a a ) S ( a a )

78 78 Ejemplos. La suma de los primeros úmeros aurales es S ( ) 4. Si a 4, a S 75, hallar d (4 ) , 4 ( )d 7 9d, d Aplicació Si el salario iicial de Aa es de $5 le promee u aumeo aual de $ e los siguiees ocho años, hallar el salario del ocavo año. Aquí, a 5 d Luego eoces, a 5 (8 ) Sucesioes Series Geoméricas E ua sucesió geomérica cada érmio después del primero es igual al aerior muliplicado por ua cosae, r, llamada razó comú. r se puede obeer dividiedo cualesquier érmio por el érmio que lo precede.

79 79 Ejemplos 9. E,, 9, 7, L, r 8. E 4, 8, 6,, L, r 4 E geeral, el -ésimo érmio es: a a a a r a ( a r ar ar r) a ( a r 4 ar ar r ) M a a r Ejemplos. Deermiar a si a r Solució: a 6, a ( ) 5 a 6 ( ) 96. Si a 4 a5 648, hallar r a Solució: Como a a r, resula 4 a r ()

80 8 648 r 4 a () 4 De () a, susiuedo e () r 4 r ( r ) 4r r a 8 Defiició. Ua serie geomérica es la suma de los érmios de ua sucesió geomérica. Si la serie es fiia, la suma de los primeros érmios es: S a ar ar L ar ar... r S a r ar L ar ar ar S r S a ar (Suma de ) S a ar a( r ), co r r r Ejemplos. Hallar S 8 r 5 si a Solució: S 5 8 5

81 Dadas a, r S 9, hallar el valor de Solució: ( ) 9 5 Por lo ao, 5 Aplicació Jua iviere $ a ierés compueso, co ua asa aual del 8%. Cuál será el moo de su capial al fial del seo año? Solució: a, al iicio del er año a (.8), al iicio del o año a (.8), al iicio del er año Por lo ao, si a r.8, eoces al iicio del sépimo año (luego de seis periodos) el capial se coviere e 6 a 7 (.8) La fórmula geeral de capializació a ierés compueso es V V ( i) f o

82 8 Dode: V f valor fial, V o valor iicial, i asa de i erés periodos de capializació..4 Series Geoméricas Ifiias Cosidérese la sucesió geomérica ifiia siguiee:,,, 4, 8 L,, L Las sumas parciales de la sucesió parece aproimarse al valor. S S S M S L Si e S a ( r ), r <, eoces r cuado r a Por lo ao, S, r co r < Ejemplos. Obeer la suma de la sucesió ifiia,,,, L,, L 4 8

83 8 S. Hallar ua fracció equivalee a.444 L.444 L L (.4)(.) L.444 L.4.4(.).4(.) L (.4)(.) L S , co r. Aplicació. La sucesió de Fiboacci E Leoardo de Pisa, Fiboacci (el más grade maemáico del siglo XIII), publicó su Liber Abaci, e el cual abordaba el problema siguiee: Cuáas parejas de coejos habrá al cabo de meses, si se iicia co ua pareja; los coejos madura al mes cada mes procrea ua ueva pareja? Su solució forma la Sucesió de Fiboacci:,,,, 5, 8,,, 4, 55, L E esa sucesió, cada érmio es la suma de los dos aeriores. Los valores implicados se muesra e el cuadro siguiee: Mes L Parejas Gasapos / / / // /// //// //// /// Maduros / / / // /// //// Adulos / / // /// //// //// /// T o a l 5 8 L

84 84 Ere muchas oras propiedades se cumple, que la sucesió del cociee ere u érmio el que le precede coverge al úmero áureo, ϕ l Es decir, lim a a ϕ Además de su imporacia e la maemáica, es ua sucesió que aparece co frecuecia e muchos feómeos aurales. Su defiició formal es Si a a a a a, para, 4, 5, L

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