Nom i Cognoms: Grup: Data:

Transcripción

1 Generalitat de Catalunya Departaent d Educació Institut d Educació Secundària Jaue Bales Departaent de Mateàtiques n BATX MA Àlgebra i vectors No i Cognos: Grup: Data: 1) Discutiu i resoleu en els casos de copatibilitat el sistea d'equacions seguent. ATENCIÓ: cal fer-ho utilitzant deterinants, la regla de Cràer i cal donar les solucions siplificades al àxi: x z = 4x ( + y ) 6 z = 10 + x y = 0 (4,5 punts) ) Donada la atriu A=, a) Per a quins valors de és inversible? b) Calculeu la seva inversa per = 1 (1,5 punts) 3) Donats els vectors u =(1, 1,4), v =(,1,3) i w =(1,0,0). a) Deterineu si són vectors linealent dependents o independents b) Calculeu la relació que hi ha d'haver entre els valors de a i b per tal que el vector (a,1,b) sigui cobinació lineal de v i w. (1 punt) 4) Donat els vectors u =(,1, ), v =(0,3,4) en un base ortonoral. a) Calculeu l'angle que foren els dos vectors u i v b) Calculeu la projeccció ortogonal del vector u sobre el vector v (0,5+1,5= punts) 5) Donats els vectors u =(a,,6), v =(1,1,b) calculeu els valors de a i b per tal que siguin Linealent Dependents (0,5 punts) 6) Digueu quins dels següents conjunts de vector són base del vectors lliures de l'espai V 3. Cal que justifiqueu les respostes. A={(1,,0), (0,1,1),(,5,1)} B={(1,,0), (0,1,1),(0,3,)} C={(1,,3), (4,5,6),(7,8,9),(0,1,)} D={(0,1,1),(0,0,1)} (0,5 punts)

2 Generalitat de Catalunya Departaent d Educació Institut d Educació Secundària Jaue Bales Departaent de Mateàtiques n BATX MA Àlgebra i vectors No i Cognos: Grup: Data: 1) Discutiu i resoleu en els casos de copatibilitat el sistea d'equacions seguent. ATENCIÓ: cal fer-ho utilitzant deterinants, la regla de Cràer i cal donar les solucions siplificades al àxi: x z = 4x ( + y ) 6 z = 10 + x y = 0 (4,5 punts) Co la atriu del sistea és quadrada calcule prier el deterinant de la atriu del sistea: 1 0 det (A) = ( ) = + + = + = 0 = + = ( + 1) per tant det(a)=0 = 0o = 1. Així doncs teni tres casos: CAS-I) 0, 1 resulta que rang (A)=rang(Apl)=nú incògnites= 3 SCD i la solució si la calcule per Cràer és: ( + 4) x = = = = A ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 4) ( + 4) y = = = = = A ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( ) z = = = = = A ( + 1) ( + 1) ( + 1) 3( + ) = ( + 1) CAS II) = 1 Aleshores sabe que el Rang (A)<3. El sistea és:

3 M = = 1 0 Rang (A) i co ja sabe que Rang (A)<3 Rang A= 4 1 Mirant el enor d'ordre dos forat per F1, F, C1 i C teni que Ara per calcular el Ran (Apl) orle aquest M ab la F3 i la coluna de teres independents: = Rang (Apl)= Així doncs co Ran (A) Rang (Apl) S.I. CAS III) = 0 Aleshores sabe que el Rang (A)<3. El sistea és: Mirant el enor d'ordre dos forat per F1, F, C1 i C teni que M 1 = 0 = 0 4 Rang (A) i co ja sabe que Rang (A)<3 Rang A= Ara per calcular el Ran (Apl) orle aquest M ab la F3 i la coluna de teres independents: = 0 i co no hi ha cap altres orlat de M Rang (Apl)=. 0 0 Així doncs co Ran (A)= Rang (Apl)= i el nú d'incògnites=3 S.C.I. ab un grau de llibertat. Co teni el M = 0 pode eliinar la F3 i agafar co a paràetre la 3a incògnita z. Així doncs el sistea és: z i les seves solucions són: z=λ x=0 1 0 λ R λ 5 ( + 3λ) y = = = 5 3λ ) Donada la atriu A=, 4 3 5

4 a) Per a quins valors de és inversible? La atriu A és inversible per als valors del paràetre que fan que det(a) C3 C det( A) = = 0 = 1 = ( + ) ± ± 3 = 1 així doncs det(a)=0 = = = = Per tant la atriu A és inversible si 1 i (0,5 punts) b) Calculeu la seva inversa per = 1 Si = 1 aleshores fent els càlculs teni que A = A = 1, i per la inversa és adjunt( A) = i ( adjunt( A) ) T = i finalent la inversa és A = 0 0 = ( adjunta A) ( ) T 1 A = A (1 punt) 3) Donats els vectors u =(1, 1,4), v =(,1,3) i w =(1,0,0). a) Deterineu si són vectors linealent dependents o independents Noés cal estudiar el rang de la atriu que té els 3 vectors co a colunes. Per ferho calcule el seu deterinant = 1 = 3 4= 7 0 per tant els 3 vectors són linealent independents.

5 b) Calculeu la relació que hi ha d'haver entre els valors de a i b per tal que el vector (a,1,b) sigui cobinació lineal de v i w i. Els vectors v i w 1 no són proporcionals = 1 0 són L.I. Així doncs 1 0 noés cal que el rang de la atriu que té els 3 vectors co a colunes sigui. Per fer-ho noés cal que ipose que el seu deterinant valgui zero a = 3 b = 0 per tant cal que b=3 i a pot tenir qualsevol valor. b 3 0 (0,5 =1 punt) 4) Donat els vectors u =(,1, ), v =(0,3,4) en un base ortonoral. a) Calculeu l'angle que foren els dos vectors u i v uv cos( α) = = = = uv α = arccos = 109, 47º 3 b) Calculeu la projeccció ortogonal del vector u sobre el vector v Anoe w al vector resultant teni que uvv (,,) w = = (,,) 034 = = (,,) 034 = 0,, v v v ow = u cos( α) v (0,5+1,5= punts) 5) Donats els vectors u =(a,,6), v =(1,1,b) calculeu els valors de a i b per tal que siguin Linealent Dependents Noés cal iposar que són proporcionals a 6 = = a= i b=3 1 1 b

6 6) Digueu quins dels següents conjunts de vector són base del vectors lliures de l'espai V 3. Cal que justifiqueu les respostes. A={(1,,0), (0,1,1),(1,3,)} B={(1,,0), (0,1,1),(0,3,)} C={(1,,3), (4,5,6),(7,8,9),(0,1,)} D={(0,1,1),(0,0,1)} C no ja que són 4 vectors i 4 vectors de V 3 són L.D. D no ja que són noés vectors i vectors de V 3 no poden generat V 3 Els altres dos casos tenen 3 vectors, per tant noés cal irar si són L.I. o no. per ferho calcule el deterinant de la atriu forada pels 3 vectors. 1 0 A: 1 5 = = 0 són L.D. i per tant NO són base de V B: = = 3= 1 0 són L.I. i per tant SÍ són base de V