Estimación de una tendencia determinista y un componente estacional
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- Andrea Barbero Zúñiga
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1 y un componente estacional Práctica N o 1 Técnicas en Predicción Administración y Dirección de Empresas Departamento de Estadísitica Universidad Carlos III 18 de Marzo, 2009
2 Objetivos de la práctica Descomposición de series económicas: Método Clásico. Modelar los siguientes fénomenos: 1 Descomposición de una serie a través del método clásico o tradicional. 2 Tendencias derterministas. 3 Tendencias derterministas segmentadas. 4 Estacionalidad derterminista. 5 Estacionalidad derterminista segmentada.
3 Descomposición de series económicas: Método Clásico. El Análisis Clásico de Series Temporales Proporciona estimaciones aproximadas de los componentes tendencial, estacional, cíclico e irregular. Parte de una representación de una serie temporal y t formada por cuatro componentes, tendencia T t, ciclo C t, estacional E t, y errores I t. Tipos: 1 Modelo de componentes aditivos y t = T t + C t + E t + I t 2 Modelo de componentes multiplicativos y t = T t C t E t I t 3 Modelo de componentes mixto y t = T t C t E t + I t Un supuesto fundamental del análisis clásico es la independencia de las variaciones residuales respecto de los demás componentes.
4 Descomposición de series económicas: Método Clásico. Descomposición de una serie en sus factores no observables con Eviews Descomposición aditiva de una serie temporal y t = T t + S }{{} t + C t + r }{{} t No Estacionaria Estacionaria Agregando, los componentes más oscilantes mientras que el componente de tendencia. y t = Senda de Evolutividad + ω t ω t Desviaciones respecto a la SE. La única incertidumbre asociada a este modelo es var(ω t ) = γ 0
5 Descomposición de series económicas: Método Clásico. Serie de Pasajeros de líneas Aéreas: 1949:01 a 1960:12 La serie muestra: Tendencia, estacionalidad y principio de proporcionalidad.
6 Pasos a seguir: Descomposición de series económicas: Método Clásico. 1 Obtención de componente estacional aplicando un proceso de desestacionalización x t S t = T t + C t + r t 2 Aplicamos el filtro de Hodrick-Prescott sobre la serie desestacionalizada para obtener el componente de tendencia. 3 Generamos una nueva serie libre de tendencia y estacionalidad por diferencia entre la serie desestacionalizada y la tendencia. x t S t T t = C t + r t. 4 Obtenemos el componente cíclico utilizando una media móvil de orden 4 (@MOVAV(nombre, orden)). 5 Obtenemos la parte irregular de la serie como diferencia de la serie generada en el paso 3 menos la serie generada en el paso 4.
7 Serie Desestacionalizada Descomposición de series económicas: Método Clásico.
8 Descomposición de series económicas: Método Clásico. Comparativa de la serie desestacionalizada y la original
9 Componente estacional Descomposición de series económicas: Método Clásico.
10 Componente de tendencia Descomposición de series económicas: Método Clásico.
11 Comparativa Introducción Descomposición de series económicas: Método Clásico.
12 Descomposición de series económicas: Método Clásico. X t S t T t = C t + r t
13 Componente cíclico Descomposición de series económicas: Método Clásico.
14 Componente irregular Descomposición de series económicas: Método Clásico.
15 Comparativa Introducción Descomposición de series económicas: Método Clásico.
16 Componentes de una serie temporal Descomposición de series económicas: Método Clásico.
17 Descomposición de series económicas: Método Clásico. La descomposición tradicional requiere imponer fuertes restricciones en la caracterización de T t, C t y r t. En particular, que tales componentes son independientes. Hoy en día no existe consenso sobre que sea factible la especificación y estimación de T t, C t y r t con restricciones de aceptación general. La idea de que las series económicas tienen tendencia, ciclos y fluctuaciones residuales resulta muy útil para expresar las características básicas de los datos económicos.
18 Tendencias Deterministas y t = µ t + a t µ t = f(t,β) µ t Nivel de la serie y a t innovación a t N(0,σa 2) Predicción ŷ t (k) = µ T+k = f(t + k,β)
19 Tendencias Deterministas Modelo de nivel constante o sin tendencia y t = µ + a t Modelo con tendencia lineal µ t = β 0 + β 1 t ŷ T (k) = β 0 + β 1 (T + k) Modelo con tendencia polinómica µ t = β 0 + β 1 t β r t r
20 Tendencias Deterministas Tendencias La naturaleza agregada de muchas variables económicas presentan una pauta creciente a lo largo del tiempo que no permite observar aspectos de interés que ocurren a corto plazo, como el caso del IPI. Este pauta la denominamos tendencia. Como la tendencia se desconoce es preciso estimarla previamente y, para ello, es preciso a su vez especificar un determinado modelo de tendencia.
21 Tendencias Introducción Tipos Deterministas. Estocásticas. Características básicas Se perpetúan en el futuro. Evolucionan de forma acíclica. Factores causantes de la tendencia Aumentos en la población. Inflación mantenida en el tiempo. Cambios tecnológicos. Cambios en preferencias, hábitos, regulaciones sociales.
22 Tendencias Deterministas Se dice que una tendencia es determinista si conociendo sus valores pasados se puede determinar sin error sus valores futuros. Con tendencias deterministas no hay incertidumbre sobre ellas. Tendencias Deterministas en Eviews
23 Métodos de ajuste de la Tendencia 1 Método de ajuste análitico Realizamos un ajuste por regresión de los valores de la serie a una función del tiempo que sea sencilla y recoja de manera satisfactoria la marcha general del fenómeno representado por la serie temporal. 2 Método de Medias Móviles Analiza la tendencia de una serie temporal a partir de los datos iniciales mediante determinadas medias. 3 Método de diferencias Consiste en derivar de la serie original y t una nueva serie z t obtenida como la diferencia entre el valor de la variable en el momento actual y el valor en el momento inmediatamente anterior z t = y t y t 1 = y t
24 Estimación de Modelos de Tendencia Regresión por MCO Para ajustar los diversos modelos de tendencia a los datos de una serie temporal se usa MCO. ˆβ = argmín θ T [y t T t (θ)] 2 t=1 donde β es el conjunto de parámetros a estimar.
25 El índice de producción industrial La serie IPI muestra una clara tendencia y estructura estacional, es decir, su valor esperado no es constante. E(z t ) = E(z t+s ), con una estacionalidad de período s. En el caso del IPI se produce un brusco descenso todo los meses de agosto debido al período vacacional que se compensa de forma específica en cada uno de los restantes meses del año.
26 Tomando logaritmos
27 Estimando la tendencia lineal para IPI T t = a + bt; t TIEMPO = (1, 2, 3,..T)
28 Estimando la tendencia parabólica para IPI T t = a + bt + ct 2
29 Estimando la tendencia exponencial para IPI T t = ae btiempo Principio de Proporcionalidad
30 Tendencias exponenciales log-lineal T t = T t 1 + T t 1 b b = T t T t 1 T t 1 Aplicando la aproximación de Taylor de primer orden. logt t = logt t logt t 1 = b procediendo recursivamente obtenemos logt t = a + bt siendo a log de la tendencia en el momento cero. T t = e (a+bt) ; x t = exp(a + bt)exp(w t ) Podemos linealizarlo: logx t = a + bt + w t donde b es el factor incremental que entra de forma multiplicativa.
31 Estimando la tendencia log-lineal para IPI logipi = a + bt + w t
32 Gráfico de los residuos del Modelo log-lineal Los residuos muestran una clara estructura estacional que no ha sido captada por el modelo.
33 Correlograma de los residuos
34 Interpretación de los parámetros de la estimación Var. Depend. Var. Indep. Interpret. de β 1 Nivel-Nivel y x y = β 1 x Nivel-Log y log(x) y = (β 1 /100)%x Log-Nivel log(y) x % y = (100β 1 ) x Log-Log log(y) log(x) % y = β 1 % x
35 Interpretación de los parámetros de la estimación En nuestro caso hemos obtenido: logipi = 4,07 + 0,001520TIEMPO + ε t a Valor de la tendencia en el momento anterior al comienzo de la muestra. b Factor incremental, la tendencia crece mensualmente un %.
36 Predicción (in sample) del Modelo Final log-lineal
37 Predicción (in sample) del Modelo Final log-lineal
38 Selección de Modelos Criterios de Información T ECP = t=1 T e 2 t AIC = exp(2k/t) T SIC = T ( k T ) t=1 T Error Cuadrático Medio T e 2 t t=1 T e 2 t Akaike Information Criterion Schwarz Information Criterion Orientación negativa: cuanto menor mejor.
39 La Estacionalidad Pauta o comportamiento estacional que se repite cada año. Esta puede ser exacta, cuando se refiere a estacionalidad determinista o bien, aproximada, si se habla de estacionalidad estocástica. Puede provocar una distorsión del verdadero movimiento de la serie. Al proceso de eliminar el componente estacional se le denomina desestacionalización o ajuste estacional. Destacan los programas X11 y X12 del Bureau of the Census de EEUU para desestacionalizar.
40 La Desestacionalización Métodos de desestacionalización 1 Métodos de desestacionalización del índice estacional. 2 Método de Medias Móviles. 3 Método de diferencias estacionales. 4 Método de variables artificiales. los residuos estimados de la regresión û t = y t ŷ t serán los valores de la serie desestacionalizada.
41 En esta práctica nos ocuparemos de la estacionalidad determinista que vamos a modelar a través de variables dummies. 12 logipi = a + bt + a j S jt + η t donde S jt = { j=1 1 en el mes j. 0 en los demás.
42 Existencia de Multicolinealidad Perfecta
43 Recordatorio Introducción Multicolinealidad ˆβ MCO = (x x) 1 x y (x x) 1 = adj(x x) T 1 Multicolinealidad Exacta (o perfecta) matriz singular x x = 0 ˆβ MCO = x x 2 Multicolinealidad aproximada, inexacta, imperfecta o cuasimulticolinealidad. Var(β MCO ) = σ 2 (x x) 1 mucho mayores de lo normal. Las hipótesis nulas H 0 : β = a tienden a no rechazarse con más frecuencia de lo normal. IC βi = (ˆβ i ± t ˆdt(ˆβ i )) Intervalos amplios.
44 Estimación del Modelo Estacional con tendencia Todos los parámetros han resultado ser significativos. Puede observarse como el coeficiente más bajo corresponde al mes de agosto.
45 Recordatorio: Componentes de un contraste H 0 Hipótesis Nula, que se mantiene como válida mientras no se encuentre evidencia contra ella. H 1 Hipótesis Alternativa, a favor de la que se rechaza la hipótesis nula. EC Estadístico de Contraste, variable aleatoria cuya distribución se conoce bajo la hipótesis nula. RC Región crítica, subconjunto de R. Si EC RC se rechaza H 0. α Nivel de significación, probabilidad de error tipo I (prob. de rechazar H 0 siendo cierta). 1 β Potencia del contraste. 1 P(Error tipo II)
46 Recordatorio: Contrastes de significación individual Contraste para la hipótesis H 0 : β i = ζ t = ˆβ i ζ ˆdt(ˆβ i ) t T k Resolución del contraste Utilizando el valor crítico. Si t T k > t α/2 Rechazo la H 0. Utilizando el p value (o nivel de significación marginal) Si p value < α Rechazo H 0. p value = Pr( t T k > t T k )
47 Residuos Modelo Estacional con tendencia Los residuos muestran como todavía no se ha captado toda la estructura de la serie (un componente cíclico).
48 Correlograma de los residuos El correlograma muestra un estructura que debe ser modelada.
49 Predicciones con el Modelo Final:T+E
50 Predicciones con el Modelo Final:T+E
51 Contrastes de normalidad Es un supuesto fundamental en inferencia. Se debe contrastar siempre. Para ello utilizaremos: Histograma de los residuos. Test de Jarque-Bera. El test de Jarque Bera (JB) H 0 : u t N JB = T k ( 6 S (K 3)2) χ 2 2 El JB tiene en cuenta la curtosis (K) y la asimetría (S) k Número de variables estimadas y T Número de observaciones.
52 Histograma del Modelo Final: T+E No se rechaza normalidad en los residuos, por lo tanto, los supuestos del MLG son válidos, y por tanto, la estimación del modelo es correcta (pero el modelo no lo es).
53 Recordatorio Introducción Supuestos del M.L.G. 1 El modelo es lineal o linealizable y esta correctamente especificado. 2 Los parámetros β son constantes. 3 Las variables explicativas o regresores x son deterministas o fijas y linealmente independientes (no hay multicolinealidad). 4 E[u t ] = 0 t donde u errores del modelo. 5 La matriz de varianzas y covarianzas de los errores de un modelo correcto es escalar Var(u) = σ 2 n I No hay autocorrelación. No hay heterocedasticidad.
54 1 La estructura determinística es muchas veces una mala aproximación. 2 Es importante modelizar las desviaciones sobre la tendencia y la estacionalidad.
55 Tendencias Segmentadas Las tendencias segmentadas son tendencias no lineales que tienen la propiedad de ser lineales a tramos o segmentos. Tipos de Segmentación de la tendencia 1 Quiebra de Nivel. 2 Quiebra de crecimiento. 3 Quiebra de Nivel y crecimiento.
56 Tendencia Segmentada
57 Segmentación de la tendencia y t = β 0 + β 1 t + β 01 ϕ 1t + β 11 ξ 1t + ω t Segmentación del nivel ϕ 1t { 0 t < t 1 t t Segmentación del crecimiento ξ 1t { 0 t < t (t t 1 + 1) t t En Eviews: ξ 1t = (@trend + 1 t 1 ) + 1
58 Tendencia Segmentada
59 Tendencia Segmentada
60 Otra forma de modelizar la estacionalidad donde 11 logipi = a + bt + β j Sjt + η t j=1 11 β 1 + β β 12 = 0 ; b 12 = 1 en el mes j. S jt = 0 resto. 1 t Diciembre. En Eviews: enero=(@seas(1)-@seas(12)) j=1 β j
61 Estacionalidad Determinista Segmentada 11 y t = β 0 + β 1 t + β 01 ϕ 1t + β 11 ξ 1t + β j SA jt 11 j=1 j=1 β j SB jt + η t donde 1 en el mes j. SA jt = 0 resto. 1 t Diciembre. Misma estructura para SB jt
62 Nota sobre las predicciones Formas de presentar las predicciones 1 Predicción puntual Es un número fijo. 2 Predicción por intervalos IC βi = (ˆβ i ± t ˆdt(ˆβ i )). Nos da un cierto grado de incertidumbre asociada a la predicción puntual. En predicción los intervalos de confianza lo estándar es obtener los intervalos al 80 % (VC=1.28). 3 Predicción de la función de densidad asociada a cada una de las predicciones. Valores críticos en Eviews 1 SCALAR CRIT=@QNORM(0.975). 2 SCALAR CRIT=@QTDIST(0.9,20)
63 Recordatorio Función de densidad y de distribución (t-student)
64 Recordatorio Función de densidad de las predicciones
65 Ejemplo de estimación de funciones de densidad El gráfico de abanico o fan chart Mitchell y Hall (2005) Las funciones de densidad estimadas proveen de una completa descripción de la incertidumbre asociada con la predicción.
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