Unidad 4 Lección 4.2. Ceros Complejos y Funciones Racionales

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Francisco José Cruz Molina
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1 Unidad 4 Lección 4. Ceros Complejos y Funciones Racionales 0//07 de 9

2 Actividades 4. Referencias: Sección 4. Ceros Complejos; Vea Ejemplo, y 4: Problemas impares 5 7, 5-; 5, 7, 49, 50, 55 y 57. Sección 4.4 Funciones Racionales, vea Ejemplos, 4 y 5 : Impares 7-0, 5-8, - 6, 9, 47, 7, 75 y 79 Referencias del Web: o Zona Virtual Funciones Racionales o Purple Math - Graphing Rational Functions 0//07 de 9

3 Multiplicidad del cero de un polinomio Si r es un factor de un polinomio m totalmente factorizado, entonces r se llama un cero con multiplicidad m. Si f ( ) 7 5 = es un cero con multiplicidad de. = - 7 es un cero con multiplicidad de = / es un cero con multiplicidad de 5. 0//07 de 9

4 Propiedad de la multiplicidad Si r es un cero con multiplicidad par el signo de f () no cambia de un lado al otro de r. Por tanto, la gráfica toca el eje de en r. Si r es un cero con multiplicidad impar el signo de f () cambia de un lado al otro de r. Por tanto, la gráfica cruza el eje de en r. 0//07 4 de 9

5 Ejemplo Para la función f = + ( 5)( + 4), use la multiplicidad de los ceros y el grado para bosquejar su gráfica: = 4 es un cero de multiplicidad. Cruza el eje de en (-4,0). = es un cero de multiplicidad. Toca el eje de en (-,0). = 5 es un cero de multiplicidad. Cruza el eje de en (5,0). Observe que la función es de grado 4, por tanto par. 0//07 5 de 9

6 Teorema Fundamental del Álgebra Todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene un cero complejo Teorema de la Factorización: Todo polinomio de grado n con coeficientes complejos se puede factorizar como el product de n factores lineales. Entonces,. Si tiene n raices r, r,, r n que pueden ser números reales o complejos que se repiten o no.. La función se puede escribir como: f = a n r r r n 0//07 6 de 9

7 Ejemplo Determine los ceros de la función f = + y eprése la función de forma factorizada como un producto de factores lineales con coeficientes reales o complejos. Solución: Factorizando f = = 0 = 4 Los ceros de la función son: = ± 4 = ±i 0, i, i Su forma factorizada como un producto de factores lineales con coeficientes reales o complejos es: f = + i i 0//07 7 de 9

8 Ejemplo Si - es un cero de f = , encuentre todos los ceros restantes y eprese la función como un producto de factores lineales con coeficientes reales o complejos: Solución: Si - es cero, los otros ce se encuentran buscando la función g() tal que: f ( ) ( ) g( ) = g() + Usando la división sintética encontramos que = + 4 f ( ) ( )( 4) Por tanto, los ceros son,i y i Y la factorización como producto de factores lineales es: f ( ) ( )( i)( i) 0//07 8 de 9

9 Teorema de ceros racionales Sea f una función polinómica con coeficientes enteros f n n ( ) an an... a a a0 entonces todos sus ceros racionales serán de la forma p tal que: q o p es un factor del término constante a 0 o q es un factor del coeficiente del término que determina el grado del polinomio a n 0//07 9 de 9

10 Ejemplo 4 Encuentre los ceros racionales de: Solución: f ( ) Si p q es un cero racional de f, entonces p p, q, q Probar cada valor f () () () 4 f () () () 0 f ( ) ( ) ( ) 0 f ( ) ( ) ( ) 4 Los ceros son -, 0//07 0 de 9

11 Funciones racionales Una función racional es una función de la forma:f = p() q() donde p(), q() son funciones polinómicas. El dominio consiste de todos los números reales ecepto aquellos para los cuales el denominador q es 0. (a) R( ) 8 6 Dominio son los números reales ecepto -6, -. (b) R( ) Dominio son los números reales ecepto 4 y -4 (c) R( ) 5 9 Dominio son todos los números reales (, ) (, 6) ( 6, ) (, ) (, 4) ( 4,4) (4, ) 0//07 de 9

12 Asíntotas Verticales y y Mientras c = c = c R() c c = c es una asíntota vertical R() R() 0//07 de 9

13 Teorema (Asíntota verticales) Sea R() una función racional epresada en la forma mas simple. Entonces R() tendrá una asíntota vertical en = r, si ( r) es un factor del denominador. (a) R( ) ( )( ) (b) R( ) Asíntota vertical en : = -, = 5 No hay asíntotas verticales 0//07 de 9

14 Ejemplo 4 Encuentre las asíntotas verticales: R( ) 8 6 Las asíntotas verticales son: = - 6, = - R( ) R() tiene que estar epresada en forma reducida! ( )( 4) 4 La asíntota vertical es: = - 4 0//07 4 de 9

15 Asintotas horizontales Mientras R( ) L y y = R() y = L y Mientras y = L R( ) L y = R() 0//07 5 de 9

16 Considera la función racional: Donde n, m son los grados de los polinomios p, q respectivamente. Entonces:. Si n < m, entonces y = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de R. Ejemplo 5: Teorema (Asíntota horizontal) 0 0 ) ( ) ( ) ( b b b b a a a a q p R m m m m n n n n 0// ) ( R 0 y 6 de 9

17 Teorema (Asíntota horizontal) - Ejemplos 6, 7. Si n = m, entonces y = a n / b m es una asíntota horizontal de la gráfica de R. Ejemplo 6:. Si n > m no tiene asíntota horizontal. Ejemplo 7: 0//07 y 5 ) ( 5 6 R 5 ) ( R 5 4 ) ( R 7 de 9

18 Problemas 5-: Escriba los ceros de cada polinomio e identifique su multiplicidad y el grado del polinomio. Ejercicios del Teto Problemas 5-7: Factorice cada polinomio de dos maneras: A producto de factores lineales o cuadráticos con coeficientes reales y B producto de factores lineales con coeficientes complejos. Problemas 5 7: Eprese P() como un producto de factores lineales Problemas -8: Encuentre el polinomio con el grado menor con coeficiente lineal que tenga los ceros indicados. Eprese P() como el producto de factores lineales. Odemtoqie si grado. Problemas 49 y 50: Encuentre todos los ceros racionales, irracionales o imaginarios de cada polinomio: Problemas 55 y 57: Eprese P() como un producto de factores lineales 0//07 8 de 9

19 Problemas 7-0: Paree las gráficas con una de las siguientes funciones. Ejercicios del Teto Problemas 5-8: Encuentre el dominio e interceptos en. Problemas -6: Encuentre las asíntotas verticales y horizontales. Problemas 9-5: Bosqueje las gráficas. 0//07 9 de 9

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