GUION DE ANALISIS MATEMATICO I Números reales. Funciones reales.

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1 GUION DE ANALISIS MATEMATICO I Números reles. Fucioes reles.. Números reles: opercioes lgebrics E R hy dos opercioes, sum y producto, respecto de ls cules es u cuerpo comuttivo. Esto sigific que si, b, c R, R. Propiedd socitiv de l sum: ( + b) + c = + (b + c). R2. Propiedd comuttiv de l sum: + b = b +. R3. Existeci de elemeto eutro (cero) pr l sum: Hy u úmero rel, que deotmos por 0, tl que 0 + = + 0 =. R4. Existeci de elemeto opuesto pr l sum: Hy u úmero rel (y solo uo), que deotmos por, tl que ( ) + = + ( ) = 0. R5. Propiedd socitiv del producto: ( b) c = (b c). R6. Propiedd comuttiv del producto: b = b. R7. Existeci de elemeto eutro (idetidd) pr el producto: Hy u úmero rel distito de 0, que deotmos por, tl que = =. R8. Existeci de iverso pr el producto: Si 0, hy u úmero rel (y solo uo) que deotmos por o /, tl que = =. R9. Propiedd distributiv del producto respecto de l sum: (b + c) = b + c. 2. Ordeció de los úmeros reles E R hy u relció de orde cuys primers propieddes so ls misms que ls de l ordeció de los úmeros rcioles. Ddos, b, c R, R0. (reflexiv):. R. (tisimétric): b y b = = b. R2. (trsitiv): b y b c = c. R3. (orde totl): b ó b. R4. (relció co l sum): b = + c b + c. R5. (relció co el producto): Si c 0, b = c b c. 3. Vlor bsoluto de u úmero rel. Desigulddes básics El vlor bsoluto de u úmero rel es el úmero rel o egtivo {, si 0; =, si 0. Defiició 3. (distci etre úmeros reles). Ddos, b R, llmremos distci etre y b l úmero rel o egtivo b. Si, b, t R, t 0, se verific: b < t b t < < b + t. 3. > t > t ó < t 4. b = b. 5. desiguldd trigulr + b + b. 6. desiguldd trigulr ivers : b b b 2 b y 2 = b 2 = b.

2 2 4. Supremo, ífimo, máximo, míimo de u cojuto Ddo u subcojuto S de R, si pr lgú úmero rel es s pr todo s S, diremos que es u cot iferior de S y que S está cotdo iferiormete (por ). Si pr lgú úmero rel b fuese b s pr todo s S, diremos que b es u cot superior de S y que S está cotdo superiormete (por b). Cudo S está cotdo l vez superior e iferiormete, se dice que S está cotdo. U úmero rel m es míimo de u cojuto S si perteece l cojuto y es u cot iferior del mismo. Es decir, si m S y m s pr todo s S. Podremos etoces m = mí S. U úmero rel M es máximo de u cojuto S si perteece l cojuto y es u cot superior del mismo. Es decir, si M S y M s pr todo s S. Podremos etoces M = máx S. U úmero rel es ífimo de u cojuto S si es l myor cot iferior del S. Es decir, si s pr todo s S y cd > o es cot iferior de S, de modo que se tedrá > s pr lgú s S. Podremos etoces = if S. U úmero rel b es supremo de u cojuto S si es l meor cot superior del S. Es decir, si b s pr todo s S y cd b < b o es cot superior de S, de modo que se tedrá b < s pr lgú s S. Podremos etoces b = sup S 5. Axiom del supremo (xiom de completitud de R pr el orde) R6. Completitud de R:. Todo subcojuto o vcío de R cotdo superiormete tiee supremo. 2. Todo subcojuto o vcío de R cotdo iferiormete tiee ífimo. 6. Propiedd rquimedi de R: cosecuecis Teorem 6. (propiedd rquimedi de R). Ddos dos úmeros reles, b, co > 0, existe lgú úmero turl tl que > b. Teorem 6.2 (desidd de Q e R). Ddos dos úmeros reles, b, co < b, existe lgú úmero rciol r tl que < r < b. Teorem 6.3 (desidd de R \ Q e R). Ddos dos úmeros reles, b, co < b, existe lgú úmero irrciol x tl que < x < b. 7. Itervlos e R Recibe el ombre de itervlos los subcojutos de R defiidos del siguiete modo (, b so úmeros reles culesquier): (, b) = {x R : < x < b} (itervlo bierto cotdo de extremos, b) [, b) = {x R : x < b} (itervlo semibierto por l derech de extremos, b) (, b] = {x R : < x b} (itervlo semibierto por l izquierd de extremos, b) [, b] = {x R : x b} (itervlo cerrdo cotdo de extremos, b) (, + ) = {x R : x > } (itervlo bierto o cotdo de orige ) [, + ) = {x R : x } (itervlo cerrdo o cotdo de orige ) (, b) = {x R : x < b} (itervlo bierto o cotdo de extremo b) (, b] = {x R : x b} (itervlo cerrdo o cotdo de extremo b) (, + ) = R. Nótese que si > b, (, b) =, de modo que el cojuto vcío es u itervlo.

3 8. Fucioes reles de u vrible rel. Geerliddes Defiició 8.. U fució (rel de vrible rel) es u plicció f : A B co A, B R. Notció ) El úico elemeto de B que l plicció soci u elemeto x A se deot por f(x) b) El cojuto G f = {(x, f(x)) x A} recibe el ombre de gráfic de l fució f. c) A recibe el ombre de domiio de defiició y se deot A = dom f; d) f(a) = {f(x) x A} recibe el ombre de cojuto imge o rgo de f. Defiició 8.2. Se f : A B fució. ) f se dice iyectiv si ddos x, y A, co x y se sigue f(x) f(y) b) f se dice supryectiv si f(a) = B c) f se dice biyectiv si es simultáemete iyectiv y supryectiv. d) Si f es iyectiv, llmremos fució ivers de f l fució f : f(a) A tl que f (y) = x si y solo si f(x) = y. Defiició 8.3. U fució f se dice moóto o creciete si ddos culesquier x, y dom f co x < y, es f(x) f(y). U fució f se dice moóto o decreciete si ddos culesquier x, y dom f co x < y, es f(x) f(y). U fució f se dice moóto estrictmete creciete si ddos culesquier x, y dom f co x < y, es f(x) < f(y). U fució f se dice moóto estrictmete decreciete si ddos culesquier x, y dom f co x < y, es f(x) > f(y). U fució moóto es u fució de uo culquier de los tipos teriores. Defiició 8.4. U fució f está cotd superiormete si su cojuto imge está cotdo superiormete. Es decir, si existe M R tl que f(x) M pr todo x dom f. M se recibe el ombre de cot superior de f. U fució f está cotd iferiormete si su cojuto imge está cotdo iferiormete. Es decir, si existe m R tl que f(x) m pr todo x dom f. m se recibe el ombre de cot iferior de f. U fució está cotd si lo está superior e iferiormete, equivletemete, f está cotd si y solo si existe u K R tl que f(x) K pr todo x dom f. Defiició 8.5. Se f u fució defiid e R. Diremos que f es ) pr si pr cd x R se cumple f( x) = f(x) (su gráfic es etoces simétric respecto del eje de ordeds); b) impr si pr cd x R se cumple f( x) = f(x) (su gráfic es etoces simétric respecto del orige de coordeds); c) periódic de periodo T (T R \ {0}) si pr cd x R se cumple f(x + T ) = f(x) (su gráfic puede obteerse etoces por trslció reiterd de l gráfic e culquier itervlo de logitud T ). Defiició 8.6. (Opercioes co fucioes) Se f, g : A B fucioes. Se defie, f + g : A B como (f + g)(x) = f(x) + g(x). f g : A B como (f g)(x) = f(x) g(x). Si demás g(x) 0 e A, se defie f g : A B como ( f f(x) g )(x) = g(x) Defiició 8.7. (Composició de fucioes) Se f : A B y g : A B co f(a) A. Se defie l composició de f y g como l fució g f : A B, dd por (g f)(x) = g (f(x)) 3

4 4 9. Sucesioes de úmeros reles Defiició 9.. U sucesió de úmeros reles es u fució rel co domiio N, o se, u plicció s : N R. El vlor que u sucesió s tom e cd N se deot por s. Nos referiremos s co el ombre de térmio -ésimo. Por comodidd deotremos ls sucesioes por (s ) Defiició 9.2. U sucesió (s ) es covergete si existe u úmero rel tl que pr cd ε > 0 se puede ecotrr u úmero turl N = N(ε) de modo que siempre que > N se verifique s < ε. Se dice que el úmero es límite de l sucesió (s ) o que (s ) coverge y se escribe = lím s ó s. Proposició 9.3 (uicidd del límite de u sucesió). Se (s ) u sucesió covergete. Etoces existe u úico vlor R l que coverge. Defiició 9.4. Diremos que u sucesió (s ) diverge +, y escribiremos lím s = + ó s +, si pr todo M R existe N N tl que si > N se tiee s > M. Diremos que u sucesió (s ) diverge, y escribiremos lím s = ó s, si pr todo M R existe N N tl que si > N se tiee s < M. U sucesió divergete es u sucesió que diverge + o. Ls sucesioes que o so covergetes i divergetes se deomi sucesioes osciltes. Proposició 9.5. Tod sucesió covergete está cotd. Defiició 9.6. U sucesió (s ) se dice ) moóto o decreciete si y solo si pr todo N se verific s s +. b) moóto o creciete si y solo si pr todo N se verific s s +. c) estrictmete creciete si y solo si pr todo N se verific s < s +. d) estrictmete decreciete si y solo si pr todo N se verific s > s +. e) moóto si es de lguo de los tipos teriores. Proposició 9.7. Se (s ) u sucesió. ) Si (s ) es moóto o decreciete. Etoces lím s = sup{s : N} R {+ } b) Si (s ) es moóto o creciete. Etoces lím s = if{s : N} R { } c) Ls sucesioes moótos o so osciltes. Proposició 9.8 (Límite de sucesioes y opercioes). Dd u sucesió (s ) co límite (fiito o ifiito) y u sucesió (t ) co límite b (fiito o ifiito), se tiee: ) si + b está defiido (e R {± }), (s + t ) tiee límite + b. b) si b está defiido (e R {± }), (s t ) tiee límite b. c) si b está defiido (e R {± }), (s t ) tiee límite b. d) si /b está defiido (e R {± }), (s /t ) tiee límite /b. Co los coveios ddos por el cudro djuto. Proposició 9.9 (Límite de sucesioes y orde). Se (s ), (t ) sucesioes. ) Si s R {± }, t b R {± } y s t etoces b. Co el coveio +, R. b) (Regl del sdwich). Si s, t R y (u ) es tl que s u t etoces u. c) Si s + y (t ) cumple s t etoces t +. d) Si t y (s ) cumple s t etoces s. Proposició 9.0. Se (s ), (t ) sucesioes. ) Si (s ) es cotd y t 0, l sucesió s t 0. b) Si (s ) está cotd iferiormete y t +, etoces s + t +. c) Si (s ) está cotd superiormete y t, etoces s + t.

5 5 Órdees de ifiitud: Se tiee el siguiete orde de ifiitud, dode, p > 0 y b > : (log ) p << << b <<! << s Aquí, s << t sigific que lím = 0 t Equivlecis: Se s 0. Etoces, ( + ). se(s ) s log( + s ) s tg(s ) s cos(s ) s 2 /2 e s s u dode u r sigific que lím =. r Teorem 9. (de Ctor de los itervlos ecjdos). Pr cd N, se I = [, b ] u sucesió de itervles cerrdos que cumple I + I y que demás lím (b ) = 0. Etoces N I = {x}, dode x = lím = lím b. Defiició 9.2. Dd u sucesió (s ), diremos que u sucesió (t ) es u subsucesió de (s ) si existe u fució ϕ : N N estrictmete creciete, es decir, de mer que pr todo N es t = s ϕ(). ϕ() < ϕ(2) < ϕ(3) < < ϕ() < ϕ( + ) < Proposició 9.3. Se (s ) sucesió. ) Si s R {± }, etoces pr tod subsucesió (s ϕ() ) se tiee s ϕ(). b) Si s 2 y s 2, etoces s. Proposició 9.4. Tod sucesió posee u subsucesió moóto. Teorem 9.5 (Bolzo-Weierstrss). Tod sucesió cotd posee u subsucesió covergete. Defiició 9.6. U sucesió (s ) se dice que es de Cuchy si pr cd ε > 0 existe lgú N N (que puede depeder de ε) de modo que, m N = s s m < ε. Proposició 9.7. Tod sucesió de Cuchy está cotd. Proposició 9.8. U sucesió es covergete si y solo si es de Cuchy. 9.. Límite superior y límite iferior de u sucesió. Límites de oscilció. Defiició 9.9. Se (s ) u sucesió. Se defie, ( ) ) - lím sup s := if sup s k = lím (sup s k k k ( ) ( ) - lím if s := sup if s k = lím if s k k k Proposició Se (s ) sucesió. (s ) tiee límite (fiito o o) si y solo si lím if s = lím sup s. Y e este cso, el límite es igul l límite superior y l límite iferior. (s ) es oscilte si y solo si lím if s < lím sup s. Defiició 9.2. Diremos que R {± } es u límite de oscilció de u sucesió (s ) si es límite de lgu subsucesió de (s ). Proposició Se (s ) sucesió. El límite superior (s ) es el máximo (e R {± }) de sus límites de oscilció. El límite iferior de (s ) es el míimo (e R {± }) de sus límites de oscilció.

6 6 0. Límites y cotiuidd de fucioes. Defiició 0.. Se A R, R {± }. Diremos que es u puto de cumulció de A si existe u sucesió (s ) A \ {} tl que s. Defiició 0.2. Se A R, f : A R fució y R {± } puto de cumulció de A. Se b R {± }. Diremos que el límite de f cudo x tiede es b, y se escribe lím f(x) = b, x si pr tod sucesió (s ) de putos de A \ {} tl que lím s = se verific lím f(s ) = b. Defiició 0.3 (Defiicioes equivletes). Se A R, f : A R,, b R. ) lím f(x) = b si pr cd ε > 0 existe lgú δ > 0 tl que todos los x A co 0 < x < δ x cumple f(x) b < ε. b) lím f(x) = + si pr cd M R existe lgú δ > 0 tl que todos los x A co x 0 < x < δ cumple f(x) > M. c) lím f(x) = si pr cd M R existe lgú δ > 0 tl que todos los x A co x 0 < x < δ cumple f(x) < M. d) lím f(x) = b si pr cd ε > 0 existe lgú K R tl que todos los x A co x > K x + cumple f(x) b < ε. f(x) = + si pr cd M R existe lgú K R tl que todos los x A co e) lím x + x > K cumple f(x) > M. f(x) = si pr cd M R existe lgú K R tl que todos los x A co f) lím x + x > K cumple f(x) < M. f(x) = b si pr cd ε > 0 existe lgú K R tl que todos los x A co x < K g) lím x cumple f(x) b < ε. f(x) = + si pr cd M R existe lgú K R tl que todos los x A co h) lím x x < K cumple f(x) > M. f(x) = si pr cd M R existe lgú K R tl que todos los x A co i) lím x x < K cumple f(x) < M. Proposició 0.4 (uicidd del límite). Se A R, f : A R, R {± } puto de cumulció de A. Si existe lím x f(x) := b R {± } etoces ese límite es úico. Proposició 0.5 (Límite y opercioes). Se A R, R {± } u puto de cumulció de A, c R y f, g : A R. Se tiee: ) lím (f(x) + g(x)) = lím f(x) + lím g(x), si estos últimos límites existe y su sum está defiid e R {± }. x x x b) lím f(x)g(x) = lím f(x) lím g(x), si estos últimos existe y su producto está defiido e x x x R {± }. f(x) lím f(x) c) lím x g(x) = x, si estos últimos límites existe y su cociete está defiido e R lím g(x) {± }. x Proposició 0.6. Se A R, R {± } u puto de cumulció de A, y f, g : A R. Si ) f está cotd y lím g(x) = 0, etoces lím f(x) g(x) = 0. x x b) Si f está cotd iferiormete y lím g(x) = +, etoces lím f(x) + g(x) = +. x x c) Si f está cotd superiormete y lím g(x) =, etoces lím f(x) + g(x) =. x x

7 Proposició 0.7. Se A R, R {± } u puto de cumulció de A y f : A R, g : A R, h : A R fucioes. ) (regl del sdwich). Si f(x) g(x) h(x), x A y lím f(x) = lím h(x) = b R, x x etoces lím g(x) = b. x b) Si f(x) g(x), x A y lím f(x) = +, etoces tmbié se tiee lím g(x) = +. x x c) Si f(x) g(x), x A ylím g(x) =, etoces tmbié se tiee lím f(x) =. x x Defiició 0.8 (Límites lterles). Se A R, f : A R y b R {± }. ) Si R es de cumulció de A = A (, ), etoces diremos que el límite de f cudo x tiede por l izquierd es b, y se escribe lím f(x) = b, si pr tod sucesió x (s ) de putos de A tl que lím s = se verific lím f(s ) = b. b) Si R es de cumulció de A + = A (, + ), etoces diremos que el límite de f cudo x tiede por l derech es b, y se escribe lím f(x) = b, si pr tod sucesió x + (s ) de putos de A + tl que lím s = se verific lím f(s ) = b. Proposició 0.9. Se A R, f : A R y b R {± }. Se R de cumulció de A y de A +. Etoces lím f(x) = b si y solo si lím f(x) = lím f(x) = b x x x Cotiuidd de fucioes. Defiició 0.0. Se f : A R R, A. f es cotiu e el puto si pr tod sucesió (s ) de putos de A covergete l puto, se tiee que (f(s )) coverge f(). Defiició 0. (Defiició equivlete). Se f : A R R, A. f es cotiu e el puto si pr todo ε > 0 existe δ > 0 tl que pr culquier x A co x < δ es f(x) f() < ε. Defiició 0.2. Se f : A R R, S A. Diremos que f es cotiu e el cojuto S si f es cotiu e todos los putos de S. Si S = A, diremos simplemete que f es cotiu. Proposició 0.3. Se f : A R R, A. Se tiee: ) si es u puto isldo de A, etoces f es cotiu e. b) si es u puto de cumulció de A etoces f es cotiu e si y solo si existe lím x f(x) y es igul f(). Ejemplos. Ls fucioes elemetles so cotius e sus domiios de defiició. Defiició 0.4 (tipos de discotiuiddes). Se f : A R, c A. ) Diremos que f tiee e c u discotiuidd evitble si existe lím f(x) R pero el x c límite o coicide co f(c) b) Diremos que f tiee e c u discotiuidd de slto si existe lím f(x) y lím f(x), x c x c + pero so distitos. Proposició 0.5 (Cotiuidd y opercioes). Se f, g : A R R, A y supogmos que f y g so cotius e. Se tiee: ) f + g es cotiu e. b) f g es cotiu e. c) si g() 0, f/g es cotiu e. Proposició 0.6 (Cotiuidd y composició). Se f : A R R, g : B R R, A, y supogmos que f(a) B. Si f es cotiu e y g es cotiu e f(), etoces l composició g f es cotiu e. Teorem 0.7 (Cotiuidd de l fució ivers). Se f u fució cotiu e iyectiv e u itervlo I. Etoces f es estrictmete creciete o estrictmete decreciete, y l ivers f : f(i) R es simismo estrictmete moóto (del mismo tipo) y cotiu. 7

8 8 Teorem 0.8 (de Weierstrss). Se f u fució cotiu e u itervlo cerrdo y cotdo [, b], (dode, b R, < b). Etoces: ) f está cotd; b) f lcz u vlor míimo y u vlor máximo, es decir, existe putos r, s [, b] (o ecesrimete úicos) tles que pr todo x [, b] es f(r) f(x) f(s). Teorem 0.9 (de los ceros, de Bolzo). Se f : [, b] R u fució cotiu (, b R, < b). Supogmos que f()f(b) < 0. Etoces existe c (, b) co f(c) = 0. Teorem 0.20 (teorem de los vlores itermedios o propiedd de Drboux). Se I u itervlo, f : I R cotiu. Etoces f tiee l propiedd de los vlores itermedios: si < b y λ está etre f() y f(b), es decir, f() < λ < f(b) o f() > λ > f(b), etoces existe l meos u x (, b) tl que f(x) = λ. Corolrio 0.2. Se I u itervlo, f : I R cotiu. Etoces f(i) es u itervlo. Defiició 0.22 (Cotiuidd uiforme). Se f : A R R. Etoces f es uiformemete cotiu e A si pr cd pr de sucesioes (s ), (t ) A co s t 0, se tiee f(s ) f(t ) 0. Defiició 0.23 (Defiició equivlete). Se f : A R R. Etoces f es uiformemete cotiu e A si pr cd ε > 0 existe δ > 0 tl que pr culesquier x, y A co x y < δ es f(x) f(y) < ε. Teorem 0.24 (de Heie). Si f es cotiu e u itervlo cerrdo y cotdo [, b], etoces f es uiformemete cotiu e [, b].

9 . Derivbilidd de fucioes. E el cpítulo, I R deotrá siempre u itervlo. Defiició.. Se f : I R y I. Diremos que f es derivble e si existe (e R) el límite f(x) f() lím. x x El vlor del límite terior recibe el ombre de derivd de f e y suele deotrse por f (). Not. Aálogmete se defie, usdo los límites lterles correspodietes, ls derivds por l derech y por l izquierd de f e y se deot f +() y f (). Defiició.2. Se f : I R R. Si S es el subcojuto de putos de I e los que f es derivble etoces l fució f : S R que cd x S soci vlor f (x), recibe el ombre de fució derivd de f. Proposició.3. Se f : I R y I. Si f es derivble, etoces f es cotiu e. Teorem.4 (Derivds y opercioes). Se f, g : I R fucioes derivbles e I y c R. Se tiee: ) f + g es derivble e, co derivd (f + g) () = f () + g (). b) c f es derivble e, co derivd (c f) () = c f (). c) f g es derivble e, co derivd (f g) () = f () g() + f() g (). d) si g() 0, etoces f/g es derivble e, co derivd (f/g) () = f () g() f() g () g() 2. Teorem.5 (derivció y composició: l regl de l cde). Se f : I R y g : J R tles que f(i) J. Si f es derivble e u puto I y g es derivble e f(), etoces l fució compuest g f es derivble e y su derivd e este puto viee dd por l regl de l cde: (g f) () = g (f()) f (). Teorem.6 (derivció y fució ivers). Se f : I R cotiu e iyectiv e I. Si f es derivble e I y f () 0, etoces f es derivble e b = f() co derivd ( f ) (b) = f (). Defiició.7. Se f : I R y c I. Diremos que f tiee u máximo reltivo e c si existe u δ > 0 tl que pr todo x I co x c < δ es f(x) f(c) (tmbié se dice que f tiee u máximo locl e c). Diremos que f tiee u míimo reltivo e c si existe u δ > 0 tl que pr todo x I co x c < δ es f(x) f(c) (tmbié se dice que f tiee u míimo locl e c). Que f tiee u extremo reltivo e c sigific que tiee u máximo reltivo o u míimo reltivo. Proposició.8. Se f : I R y c u puto iterior de I. Si f es derivble e c y tiee e c u extremo reltivo, etoces f (c) = 0. Defiició.9. Se f : I R y c I. Diremos que c es u puto crítico de f si f es derivble e c y f (c) = 0. Teorem.0 (de Rolle). Se f : [, b] R u fució cotiu e [, b] y derivble e el itervlo bierto (, b) y supogmos que f() = f(b). Etoces existe l meos u x (, b) tl que f (x) = 0. Teorem. (del vlor medio o de los icremetos fiitos). Se f : [, b] R u fució cotiu e [, b] y derivble e el itervlo bierto (, b). Etoces existe l meos u x (, b) tl que f(b) f() = f (x) (b ). 9

10 0 Corolrio.2. Se f : I R u fució cotiu e I y derivble e todos los putos iteriores del itervlo. ) Si f (x) = 0 e cd x iterior I, etoces f es costte e I. b) Si f (x) = g (x) e cd x iterior I, etoces hy u costte c R tl que f(x) = g(x) + c e todo puto de I. Corolrio.3. Se f : I R u fució cotiu e I y derivble e todos los putos iteriores del itervlo. Se tiee: ) si f (x) > 0 e todo puto iterior de I, etoces f es estrictmete creciete e I. b) si f (x) < 0 e todo puto iterior de I, etoces f es estrictmete decreciete e I. c) f (x) 0 e todo puto iterior de I f es moóto o decreciete e I. d) f (x) 0 e todo puto iterior de I f es moóto o creciete e I. Proposició.4 (regl de L Hospitl). Se I u itervlo, f, g : I R y R {± } u puto de cumulció de I. Deotemos medite s uo de los símbolos, +,. Supogmos que: ) f y g so derivbles e I \ {} y g (x) 0 e cd x I \ {}. b) se verific lgu de ls tres codicioes siguietes: lím f(x) = lím g(x) = 0. x s x s lím g(x) = +. x s lím g(x) =. x s f (x) c) existe lím x s g (x) = L R {± }. Etoces, existe el límite de f(x)/g(x) y es igul L: f(x) lím x s g(x) = lím f (x) x s g (x) = L... Desrrollos poliómicos. Teorem de Tylor-Youg. Defiició.5 (derivds de orde superior). Se f u fució derivble e I. Ddo c I, si l fució derivd f es derivble e c diremos que f es dos veces derivble e c, y l derivd de f e c, que deotremos por f (c), l llmremos derivd segud de f e c. Reiterdo, se defie pr cd N l derivd de orde e u puto, que se escribe f () (c). Teorem.6 (de Tylor-Youg). Se f : I R y c I. Supogmos que f es derivble e todos los putos hst el orde ( ) y que existe f () (c). Etoces [ ] lím x c (x c) f(x) f(c) f (c)(x c) f (c) (x c) 2 f () (c) (x c) = 0. 2! Defiició.7. Dd u fució f derivble veces e u puto c, se llm poliomio de Tylor e c de orde l poliomio P,c,f (x) = f(c) + f (c)(x c) + f (c) (x c) f () (c) (x c) 2! (ótese que se trt de u poliomio de grdo meor o igul que ). Defiició.8. Si f y g so dos fucioes, se dice que f(x) = o(g(x)) cudo x c si f(x) lím x c g(x) = 0. f(x) h(x) Así, f(x) = h(x) + o(g(x)) sigific f(x) h(x) = o(g(x)), es decir, lím = 0. x c g(x) Co esto, l fórmul del teorem de Tylor-Youg es f(x) = P,c,f (x) + o((x c) ), x c.

11 Proposició.9 (uicidd de l proximció poliómic). Se f : I R, c I y N. Supogmos que existe poliomios P y Q de grdo meor o igul que tles que Etoces P = Q. f(x) P (x) f(x) Q(x) lím x c (x c) = lím x c (x c) = 0 Proposició.20. Se f : I R, c I y N. Supogmos que f es cotiu e I y derivble e I \ {c}. Si etoces f (x) = 0 + (x c) + + (x c) + o ((x c) ), x c, f(x) = f(c) + 0 (x c) + 2 (x c) (x c)+ + o ( (x c) +), x c. Teorem.2 (de Tylor). Se f u fució + veces derivble e u itervlo I. Etoces, ddos c, x I, se cumple f(x) = f(c) + f (c)(x c) + f (c) (x c) f () (c) (x c) + R (x, c) 2! dode R (x, c) es u fució que depede de x y de c y que puede expresrse de ls siguietes forms: ) Resto de Lgrge: Existe u puto s iterior l itervlo de extremos c y x tl que R (x, c) = f (+) (s) ( + )! (x c) +. b) Resto de Cuchy: Existe u puto t iterior l itervlo de extremos c y x tl que R (x, c) = f (+) (t) (x c)(x t).! Teorem.22 (codicioes pr l existeci de extremos reltivos). Se f u fució derivble veces ( > ) e u itervlo bierto I; se I tl que existe f () () y demás f () = f () = = f ( ) () = 0 f () () 0. Etoces: ) pr, f () () > 0 = f tiee e u míimo reltivo estricto; b) pr, f () () < 0 = f tiee e u máximo reltivo estricto; c) impr = f o tiee u extremo reltivo e.

12 2 Defiició.23. Se f : I R, I u itervlo. Se dice que f es covex e I si pr culesquier, b, c I tles que < c < b se tiee f(b) f() f(c) f() + (c ) b (es decir, l gráfic de f está por debjo de tods ls cuerds). Se dice que f es cócv e I si pr culesquier, b, c I tles que < c < b se tiee f(b) f() f(c) f() + (c ) b (es decir, l gráfic de f está por ecim de tods ls cuerds). Teorem.24. Se f u fució derivble e u itervlo I (derivble lterlmete e los extremos si estos perteece l itervlo). So equivletes: ) f es covex e I; b) l gráfic de f está por ecim de sus tgetes : c) f es o decreciete e I. f(b) f() + f ()(b ), b I; Corolrio.25. Se f derivble e u itervlo I (derivble lterlmete e los extremos si estos perteece l itervlo). So equivletes: ) f es cócv e I; b) l gráfic de f está por debjo de sus tgetes : c) f es o creciete e I. f(b) f() + f ()(b ), b I; Corolrio.26. Se f derivble dos veces e u itervlo I. So equivletes: ) f es covex e I; b) f (x) 0 x I. Corolrio.27. Se f derivble dos veces e u itervlo I. So equivletes: ) f es cócv e I; b) f (x) 0 x I. Defiició.28. Se f u fució y se dom f. Se dice que f tiee e u puto de iflexió si existe δ > 0 tl que ( δ, +δ) dom f y o bie f es covex e ( δ, ] y cócv e [, + δ), o bie es cócv e ( δ, ] y covex e [, + δ). Proposició.29. Se f : D R R y u puto iterior de D. Supogmos que f es derivble e u itervlo bierto I D tl que I. Etoces, si f tiee u puto de iflexió e y existe f (), ecesrimete f () = 0. Proposició.30 (codició suficiete pr l existeci de putos de iflexió). Se f u fució derivble veces ( 3) e u itervlo bierto I; se I tl que existe f () () y demás f () = f () = = f ( ) () = 0, f () () 0. Si es impr, etoces f tiee e u puto de iflexió. Corolrio.3. Se f u fució derivble veces ( 3) e u itervlo bierto I; se I tl que existe f () () y demás f () = f () = = f ( ) () = 0, f () () 0. Si es impr, etoces f tiee e u puto de iflexió co tgete horizotl y o u extremo locl.

13 .2. Represetció gráfic de fucioes. ) Geerliddes. ) Determició de su domiio. b) Simplificció del estudio: pridd [f( x) = f(x)] o impridd [f( x) = f(x)]; periodicidd [f(x + p) = f(x)]. Otrs simetrís. Regioes pls si putos de l gráfic. c) Límites de l fució e putos del domiio; cotiuidd. d) Límites de l fució e los putos de cumulció del domiio que o perteezc él. E prticulr, sítots verticles: si pr lgú puto de cumulció del domiio de f se cumple lím f(x) = +, l rect x = es u sítot verticl (lo mismo si x el límite es o si el límite es por l derech). e) Comportmieto e el ifiito: sítots horizotles y oblicus. Si el domiio de f o está cotdo superiormete y pr lgú b R es lím f(x) = x + b, l rect y = b es u sítot horizotl. Si existe, b R tles que lím [f(x) (x + b)] = 0, l rect y = x + b es x + u sítot oblicu. E este cso, f(x) = lím x + x, b = lím [f(x) x]. x + U sítot horizotl es u cso prticulr de sítot oblicu, co = 0. f(x) Si existe R tl que = lím, l rect y = x es u direcció sitótic x + x de l gráfic (u cudo o exist sítot). E este cso, si lím [f(x) x] = x se dice que l gráfic de f tiee u rm prbólic de direcció sitótic y = x. Lo mismo pr x (si el domiio de f o está cotdo iferiormete). f) Crecimieto y decrecimieto. 2) Estudio de l derivd. ) Derivbilidd de l fució. Putos co tgete verticl. b) Sigo de l derivd: crecimieto y decrecimieto; extremos reltivos y bsolutos. c) Crecimieto y decrecimieto de l derivd: covexidd y cocvidd; putos de iflexió. d) Putos críticos o sigulres. 3) Estudio de l derivd segud. ) Existeci de l derivd segud. b) Sigo de l derivd segud: covexidd y cocvidd; putos de iflexió. 4) Otrs cosidercioes: vlores prticulres de l fució o de sus derivds; cortes co los ejes; cortes co ls sítots.

14 4 2. Itegrl de Riem. Defiició 2.. U prtició de u itervlo [, b] es u cojuto fiito de putos de [, b] que icluye los extremos. P = {x i } i=0 { = x 0 < x < x 2 <... < x < x = b}. Defiició 2.2 (sums de Drboux). Se f : [, b] R u fució cotd y se P u prtició P { = x 0 < x < x 2 <... < x < x = b}. Se, pr cd i =,...,, M i = sup{f(x); x [x i, x i ]}; m i = if{f(x); x [x i, x i ]}. L sum iferior de f socid P se defie como S(f, P ) = m i (x i x i ). L sum superior de f socid P se defie como S(f, P ) = i= M i (x i x i ) Lem 2.3. Se f : [, b] R cotd. Si P y Q so prticioes de [, b] y P Q (se dice e tl cso que Q es más fi que P ), etoces y e cosecueci S(f, P ) S(f, Q) S(f, Q) S(f, P ), S(f, Q) S(f, Q) S(f, P ) S(f, P ). Lem 2.4. Se f : [, b] R cotd. Si P y Q so prticioes culesquier de [, b], etoces S(f, P ) S(f, Q). Defiició 2.5. Dd f : [, b] R cotd, se defie su itegrl iferior e [, b] como y su itegrl superior e [, b] como f = sup{s(f, P ); P prtició}, f = if{s(f, P ); P prtició}. Teorem 2.6. Si f : [, b] R cotd, etoces Defiició 2.7. U fució f : [, b] R cotd es itegrble-riem e [, b], o simplemete itegrble, si se cumple que f = E tl cso, l vlor comú de dichs itegrles se le llm l itegrl (de Riem) de f e [, b], y se escribe f. Teorem 2.8 (codició de itegrbilidd de Riem). U fució f : [, b] R cotd es itegrble e dicho itervlo si y sólo si pr cd ε > 0 existe u prtició P = P ε de [, b] tl que S(f, P ) S(f, P ) < ε. Defiició 2.9. Dd u prtició P, su orm P es el máximo de {x i x i ; i =,..., }. Teorem 2.0 (codició de itegrbilidd de Riem). U fució f cotd e [, b] es itegrble si y sólo si pr cd ε > 0 existe u δ > 0 tl que pr tod prtició P de [, b] f. f f i= P < δ implic S(f, P ) S(f, P ) < ε.

15 Teorem 2. (itegrbilidd de ls fucioes moótos). Tod fució moóto e u itervlo [, b] es itegrble. Teorem 2.2 (itegrbilidd de ls fucioes cotius). Tod fució cotiu e u itervlo [, b] es itegrble. Defiició 2.3. Dd u prtició P { = x 0 < x < x 2 <... < x < x = b} y u fució f defiid e [, b], pr cd elecció de vlores s i [x i, x i ] se dice que S = f(s i )(x i x i ) i= es u sum de Riem de f socid P. Teorem 2.4. Se f : [, b] R cotd. Si f es itegrble etoces pr todo ε > 0 se puede ecotrr u δ > 0 de mer que S f < ε pr culquier sum de Riem S de f socid u prtició P de orm P < δ. Corolrio 2.5. Se f u fució itegrble e [, b], (P ) u sucesió de prticioes de [, b] tl que lím P = 0. Si pr cd se cosider u sum de Riem S correspodiete l prtició P y l fució f, etoces lím S = Teorem 2.6. Se f y g fucioes itegrbles e [, b] y se α u úmero rel. Etoces () αf es itegrble y (b) f + g es itegrble y (αf) = α (f + g) = f. f + (c) Si f(x) g(x) pr cd x [, b] etoces (d) f es itegrble e [, b] y f f. (e) l fució producto fg es itegrble e [, b]. g. Teorem 2.7. Se f : [, b] R fució. Ddo c [, b], so equivletes: () f es itegrble e [, b]; (b) f es itegrble e [, c] y e [c, b]. E tl cso se tiee Coveio. Podremos f = c f + f = c b f. f y si = b, f. f g. f = 0. Proposició 2.8. Se g u fució itegrble e [, b], y se f u fució igul g excepto e u cojuto fiito de putos de [, b]. Etoces f es itegrble, y f = g. Defiició 2.9. Fucioes moótos trozos y fucioes cotius trozos. U fució f : [, b] R se dice cotiu trozos si existe u prtició = t 0 < t < t 2 <... < t < t = b tl que f es cotiu e cd itervlo (t i, t i ) y existe y so reles los límites lterles e cd t i. U fució f : [, b] R se dice moóto trozos si existe u prtició = t 0 < t < t 2 <... < t < t = b tl que f es moóto (de culquier clse) e cd itervlo (t i, t i ). Teorem Si f es u fució cotiu trozos o u fució cotd y moóto trozos e [, b], etoces f es itegrble e [, b]. 5

16 6 2.. Teorems fudmetles del Cálculo. Teorem 2.2 (regl de Brrow). Se f u fució itegrble e u itervlo [, b] y supogmos que existe otr fució F cotiu e [, b], derivble e (, b) y tl que F (x) = f(x) pr todo x (, b). Etoces, f = F (b) F (). Teorem 2.22 (segudo teorem fudmetl ). Se f u fució itegrble e [, b]. Defimos F : [, b] R medite F (x) = Etoces () F es cotiu e [, b]; (b) si f es cotiu e lgú x 0 [, b], etoces F es derivble e x 0 y x f. F (x 0 ) = f(x 0 ). Corolrio Se f u fució cotiu (y por tto itegrble) e el itervlo cerrdo y cotdo [, b]. Existe etoces l meos u puto x 0 [, b] tl que b f = f(x 0 ). Corolrio Tod fució f cotiu e u itervlo I culquier dmite u primitiv e dicho itervlo. Corolrio Se f u fució defiid e u itervlo I culquier, itegrble e culquier itervlo cerrdo y cotdo coteido e I y se α: J I derivble e x 0 J. Ddo I, se G: J R l fució dd por G(x) = α(x) Si f es cotiu e α(x 0 ), etoces G es derivble e x 0, co f. G (x 0 ) = α (x 0 )f ( α(x 0 ) ). Teorem 2.26 (itegrció por prtes). Si u y v so fucioes cotius e [, b] derivbles e (, b) y sus derivds u y v so itegrbles e [, b], etoces u v = u(b)v(b) u()v() Teorem 2.27 (cmbio de vrible). Se u u fució derivble e u itervlo bierto J tl que u es cotiu y se I u itervlo bierto tl que u(j) I. Si f es cotiu e I, etoces f u es cotiu e J y pr culesquier, b J. f(u(x))u (x) dx = u(b) u() f(t) dt u v.

17 3. Itegrles impropis. Defiició 3.. Se I R itervlo. f : I R es loclmete itegrble e I si f es itegrble Riem e [s, t], s, t R pr todo [s, t] I. Defiició 3.2. Se f : I R loclmete itegrble. Deotr = if I, b = sup I,, b R {± }. Diremos que l itegrl impropi f es covergete si pr lgú c (, b) existe y so s reles los límites lím s b c f y lím c t + t f. E tl cso se escribe, f = lím s b c f + lím t + t E cso cotrrio l itegrl impropi se dice o covergete. s Propieddes. i) El crácter y el vlor de l itegrl impropi f o depede de c. ii) L itegrl impropi f es covergete si y sólo si pr todo c (, b) so covergetes c f y b c f. E tl cso, f = c f + c f iii) Si f es itegrble Riem e [, b],, b R etoces f = lím c t + t f + lím s s b c f. iv) Se f, g, itegrles impropis covergetes. Etoces pr todo α, β R, (αf + βg) es covergete y (αf + βg) = α f + β g. Proposició 3.3. dx i) coverge si y sólo si p >. xp dx ii) coverge si y sólo si p <. xp 0 Proposició 3.4. Se f : I R loclmete itegrble. Si f coverge etoces f tmbié coverge y demás b f f. E tl cso se dice que l itegrl impropi f es bsolutmete covergete. 3.. Criterios de covergeci pr fucioes o egtivs. Not. Euciremos los resultdos pr itervlos de l form [, b), R, b R { }. (Es decir, cudo l rzó de que se impropi l itegrl esté e b). Aálogos resultdos se tiee pr (, b], b R, R { }. Proposició 3.5. Se f u fució loclmete itegrble y o egtiv e [, b). L itegrl impropi f es covergete si y solo si l fució F (x) = x f, x [, b) está cotd. E cso cotrrio, l itegrl diverge +. Proposició 3.6 (criterio de comprció). Se f, g fucioes o egtivs loclmete itegrbles e u itervlo [, b) tles que f(x) g(x), x [, b). Si l itegrl impropi g es covergete, etoces tmbié l itegrl impropi f es covergete. Proposició 3.7 (criterio de comprció por pso l límite). Se f, g fucioes o egtivs loclmete itegrbles e u itervlo [, b). Supogmos que existe c f(x) lím = l [0, + ) {+ }. x b g(x) ) Si l = 0 y g coverge, etoces f tmbié coverge. b) Si l = + y g diverge, etoces f tmbié diverge. c) Si 0 < l <, ls dos itegrles f y g tiee el mismo crácter: o ls dos so covergetes, o ls dos so divergetes. f 7

18 8 4. Series de úmeros reles Defiició 4.. Se ( ) sucesió. U serie es u sucesió (s N ) defiid por s N = N Cd recibe el ombre de térmio -ésimo de l serie. Cd s N recibe el ombre de sum prcil N-ésim de l serie. Si lím s N R, se dice que l serie es covergete y se deot lím s N = N N Si lím N s N = ± se dice que l serie es divergete y se escribe lím N s N = Si lím s N o existe se dice que l serie es oscilte. N El vlor del límite(si existe) recibe el ombre de sum de l serie. Ejemplo (series geométrics). U serie se dice geométric si es de l form sum prcil N-ésim, se tiee ) si r <, l serie s N = + r + + r N = r es covergete y l sum es b) si r, l serie es divergete + ; c) si r =, l serie es oscilte; d) si r <, l serie es oscilte. { r N r si r N si r =. r ; = ±. r. Si s N es su Ejemplo. Se (b ) sucesió de úmeros reles. Etoces l serie (b b + ) (deomid serie telescópic) es covergete si y solo si l sucesió (b ) tiee límite rel, e cuyo cso teemos (b b + ) = b lím b. Proposició 4.2. Se, b series covergetes. Pr culesquier α, β R, l serie (α + βb ) es covergete y se tiee (α + βb ) = α + β b. Proposició 4.3 (codició ecesri pr l covergeci de u serie). Si l serie coverge, ecesrimete Series de úmeros o egtivos. lím = 0. Proposició 4.4. Se u serie tl que 0 pr cd N. Etoces coverge si y solo si l sucesió (s N ) de sus sums prciles está cotd superiormete. E cso cotrrio, l serie diverge +. Teorem 4.5 (criterio de comprció por myorció). Se y b dos series co 0 b. Si b coverge, tmbié coverge. E cosecueci, si diverge, b es simismo divergete.

19 Teorem 4.6 (criterio de comprció por pso l límite). Se, b series de térmios o egtivos. Supogmos que existe lím = l [0, + ) {+ }. b ) Si l = 0 y l serie b coverge, etoces l serie tmbié coverge. b) Si l = + y l serie b diverge, etoces l serie tmbié diverge. c) Si 0 < l < +, etoces ls dos series y b tiee el mismo crácter. Proposició 4.7 (criterio itegrl). Se f : [, + ) [0, + ) o creciete. Etoces l itegrl + impropi f es covergete si y solo si l serie f() coverge..- L costte γ de Euler. ( γ = lím k k= es u úmero itroducido por Euler e 734 e el estudio de l fució Γ. ) ( ) x dx = lím k log = 0, k= 2.- El criterio itegrl permite comprobr que l serie s coverge si y solo si s >. L fució ζ(s) = se deomi fució zet de Riem. s, s > 9 Defiició 4.8. U serie se dice bsolutmete covergete si l serie es covergete. Proposició 4.9. Tod serie bsolutmete covergete es covergete y e ese cso,. Proposició 4.0 (criterio de l ríz o de Cuchy). Se u serie tl que existe R = lím ) Si R <, l serie coverge bsolutmete. b) Si R >, etoces 0 y l serie o es covergete. Proposició 4. (criterio del cociete o de D Alembert). Se u serie tl que existe + R = lím ) Si R <, l serie coverge bsolutmete. b) Si R >, etoces 0 y l serie o es covergete. Teorem 4.2 (codició de Cuchy). U serie es covergete si y solo si pr cd ε > 0 existe u N 0 = N 0 (ε) tl que pr culesquier M, N N co M N > N 0 se cumple M < ε. =N Proposició 4.3 (criterio de Leibiz). Se ( )+ co 0. Si ( ) es u sucesió o creciete co límite 0, etoces l serie ( )+ es covergete.

20 20 Reordeció de series. Defiició 4.4. Dd u serie, se dice que otr serie b es u reordeció suy si existe u plicció biyectiv r : N N tl que, pr cd N, b = r(). Lem 4.5. Dd u serie de térmios o egtivos y u reordeció suy b, se tiee: ) si es covergete co sum s, tmbié b es covergete co sum s. b) si es divergete +, tmbié b es divergete +. Proposició 4.6. Si es bsolutmete covergete etoces tod reordeció b coverge y lo hce l mismo vlor. Teorem 4.7 (de Riem). Si u serie es covergete pero o bsolutmete covergete, pr cd l [, + ] existe u reordeció suy co sum l. Series telescópics. (b b + ) = b lím b. Series ritmético-geométrics. Si P es u poliomio, l serie r <. Llmdo S su sum, ( r)s = P (0) + [P () P ( )]r = P (0) + Q()r P () r coverge si y solo si dode Q es u poliomio de grdo meor que P ; reiterdo, se lleg u serie geométric. Series hipergeométrics. So de l form co + = α + β, α > 0. L serie coverge α + γ si y solo si γ > α + β, co sum γ γ α β Series rcioles o de cocietes de poliomios. Series del tipo P (), dode P y Q so Q() poliomios. Cudo coverge, puede hllrse veces su sum descompoiedo P/Q e frccioes simples y clculdo l sum prcil -ésim, relcioádol co sums de series coocids. Puede ser de yud ls siguietes: Serie rmóic H := = log +γ +ε, dode γ es l costte de Euler y lím ε = 0 Fució ζ de Riem: ζ(2) = 2 = π2 6, ζ(4) = 4 = π4 90. Reordeds de l serie rmóic lterd. E lguos csos puede hllrse expresioes simplificds de cierts sums prciles e térmios de H, y deducir sí el comportmieto de l serie. Series que se reduce l expoecil. Prtiedo de que pr todo x R es x! = ex, se puede sumr series de l form P () x, dode P es u poliomio de grdo m, si más que! reescribir P () = 0 ( ) ( m + ) + ( ) ( m + 2) + + m + m pr coeficietes 0,..., m decudos, y observr que si > k, ( ) ( k)! = ( k )!.

21 5. Series de potecis Defiició 5.. Recibe el ombre de serie de potecis tod serie de l form (x c). Defiició 5.2. Dd u serie de potecis (x c), su rdio de covergeci es el vlor (fiito o ifiito) ddo por R = sup{ x c : (x c) coverge}. Lem fudmetl. Si l sucesió ( (x c) ) está cotd, etoces pr cd y R tl que y c < x c, l serie (y c) es bsolutmete covergete. Teorem 5.3. Dd u serie de potecis (x c) co rdio de covergeci R, se tiee: ) Si x c < R, l serie (x c) coverge bsolutmete. b) Si x c > R, l serie o coverge y l sucesió ( (x c) ) o está cotd. 2 Not. El domiio de covergeci de u serie de potecis es siempre u itervlo (fiito o ifiito) que recibe el ombre de itervlo de covergeci. Si R es fiito, o hy resultdos geerles pr l covergeci e los extremos del itervlo c + R y c R y hy que estudirlos e cd cso prticulr. Cálculo del rdio de covergeci. Se (x c) serie de potecis. e l práctic, pr clculr su rdio de covergeci R utilizremos el criterio del cociete (D lembert) o bie el criterio de l ríz -ésim (Cuchy). No obstte, existe u fórmul geerl que permite expresr R e fució de sus coeficietes. Se trt de l fórmul de Cuchy-Hdmrd: R = lím sup.

22 Represetció e serie de potecis. Proposició 5.4. Se f u fució co derivds de todos los órdees e (c R, c + R). Supogmos que exist úmeros reles o egtivos A y B tles que f () (x) B A siempre que x c < R. Etoces, pr todo x (c R, c + R) se verific f () (c) f(x) = (x c).! Lem 5.5. Se series (x c) u serie de potecis co rdio de covergeci R. Etoces ls (x c) y + (x c)+ tmbié tiee rdio de covergeci R. Teorem 5.6 (Cotiuidd de series de potecis). Se f(x) = (x c) u serie de potecis co rdio de covergeci R. Etoces, ) Iterior. f es cotiu e x c < R. b) Froter (Abel). Si l serie coverge e x = R + c, etoces f es cotiu e R + c es decir, f(r + c) = R = lím x (c+r) (x c) = Teorem 5.7 (Itegrció de series de potecis). Se f(x) = potecis co rdio de covergeci R. Etoces, x c f(t) dt = + (x c)+, Teorem 5.8 (Derivció de series de potecis). Se f(x) = lím f(x). x (c+r) (x c) u serie de x c < R (x c) u serie de potecis co rdio de covergeci R. Etoces, f es derivble e x c < R y se tiee f (x) = (x c), x c < R Corolrio 5.9. Se f(x) = (x c) u serie de potecis co rdio de covergeci R. Etoces f tiee derivds de todos los órdees e x c < R, y se cumple f (k) (x) = ( ) ( k + ) (x c) k. =k E cosecueci, = f () (c), de mer que ls sums prciles de l serie so los correspodietes poliomios de Tylor de f e el puto c.! Corolrio 5.0 (Uicidd). Si dos series de potecis (x c) y b (x c) tiee l mism fució sum f e u cierto etoro del puto c, etoces = b pr todo 0.