C alculo Octubre 2010

Transcripción

1 Cálculo Octubre 2010

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3 Derivada. Introducción Recordemos la definición de pendiente de una recta: α y 1 y0 x 0 x 1 Pendiente= m = tanα = y 1 y 0 x 1 x 0 Y ahora consideremos las pendientes de las rectas secantes a una función, lo que, en el límite, será la definición de derivada: α f (x) f (x 0 ) α f (x 0 + h) f (x 0 ) x 0 x x 0 x 0 + h x x 0 h 0 tanα = f (x 1) f (x 0 ) tanα = f (x 0 + h) f (x 0 ) x 1 x 0 h c Dpto. de Matemáticas UDC

4 Definición de derivada Sea f : (a,b) IR Definición Se dice que f es derivable en el punto x 0 (a,b) si existe el siguiente límite: f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) lím = lím x x 0 x x 0 h 0 h en cuyo caso dicho límite se representa por f (x 0 ).

5 Definición de derivada. Observaciones 1. Vemos la utilidad de no incluir el punto x 0 (en este caso, el punto h = 0) f (x 0 + h) f (x 0 ) en la definición de límite. En la expresión lím no h 0 h podemos hacer nada si h = 0, ya que tendríamos una división entre El cociente f (x) f (x 0) x x 0 mide la variación de la función respecto a la variación de la variable. Por ese motivo a f (x 0 ) se le denomina, en ocasiones, coeficiente de variación de f, o razón de cambio de la función f, en el punto x Ahora ya podemos calcular la ecuación de la recta tangente utilizando la fórmula punto-pendiente, y y 0 = m(x x 0 ) = y = y 0 + m(x x 0 ). En este caso, (x 0,y 0 ) = (x 0,f (x 0 )), m = f (x 0 ). Y la recta tangente, y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ).

6 Fig Newton sequence approaching a solution of an equation c Dpto. de Matemáticas UDC to y = f(x) atp 1 and if it intersects the x-axis at (x 2, 0), then consider the Aproximación corresponding depoint raíces. P 2 =(x 2 Método,f(x 2 )). Thisde process Newton Raphson can be repeated a number of times. Often, it will rapidly bring us near to the point of intersection of the curve y = f(x) andthex-axis, that is, to the solution of f(x) =0.In effect, each time we replace the curve by the tangent line approximation and utilize the fact that linear equations can be solved. It is clear, however, that the procedure will fail if at some point, the tangent is parallel to the x-axis. Partiendo de una aproximación x 0 de una raíz de f, construimos x 1 intersecando el eje de abscisas con la recta tangente a la gráfica de f en (x 0,f (x 0 )): y P 0 P 1 P 2 r x 2 x 1 x 0 x

7 Aproximación de raíces. Método de Newton Raphson La ecuación de la recta tangente a y = f (x) en el punto (x 0,f (x 0 )) es y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) El punto de corte de esta recta con el eje de abscisas y = 0 es Para k = 1,2,... x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ) x k+1 = x k f (x k) f (x k ) Nota El proceso se repite hasta que x k aproxima satisfactoriamente una raíz α.

8 Derivadas laterales Definición Sea f : (a,b) R, x 0 (a,b). Definimos derivada por la izquierda de f en x 0 como f (x0 f (x 0 + h) f (x 0 ) ) := lím, h 0 h derivada por la derecha de f en x 0 como f (x 0 + f (x 0 + h) f (x 0 ) ) := lím. h 0 + h Propiedad Sea f : (a,b) R, x 0 (a,b). f es derivable en x 0 si y sólo si es derivable por la izquierda y por la derecha en x 0 y ambas derivadas coinciden.

9 Derivable continua Propiedad Si f es derivable en x 0, entonces f es continua en x 0. El recíproco no siempre es cierto. Consecuencia: Si f no es continua en x 0 entonces f no puede ser derivable en x 0. Recuerda: Derivable en x 0 continua en x 0 No continua en x 0 no derivable en x 0

10 Derivadas elementales d dx xn = nx n 1, d dx lnx = 1 x, d dx ex = e x, d d sinx = cosx, dx d dx tanx = 1 cos 2 x, d dx log a x = 1 x log a e, d dx ax = a x lna, cosx = sinx, dx d dx arcsinx = 1 1, arccosx =, 1 x 2 1 x 2 d dx arctanx = x 2. c Dpto. de Matemáticas UDC

11 Propiedades de la derivada Propiedades aritméticas Sean f,g : (a,b) R, dos funciones derivables en un punto x 0 (a,b) y λ R. Entonces (λf ) (x 0 ) = λf (x 0 ), (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ), (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ), ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) g g(x 0 ) 2, si g(x 0 ) 0. Regla de la cadena Sean f y g dos funciones tales que f es derivable en x 0 y g es derivable en f (x 0 ). Entonces (g f ) es derivable en x 0 y (g f ) (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 )

12 Derivación implícita Una ecuación F(x,y) = 0 define implícitamente una función f en un intervalo (a,b) si: Por ejemplo, la ecuación: F(x,f (x)) = 0 x 2 + y 2 = 4 x (a,b) define la función f (x) = 4 x 2 x ( 2,+2) Propiedad Si f es derivable, entonces F también lo es. Como consecuencia, podemos calcular f a partir de F Para calcular F = df dx, derivaremos los términos en los que aparezcan expresiones de x de forma usual, mientras que para los términos con y tendremos en cuenta la regla de la cadena. c Dpto. de Matemáticas UDC

13 Derivación implícita Dada la ecuación x 2 + 2y 2 3xy = 0, deseamos calcular y. Derivamos aplicando la regla de la cadena: 2x + 4yy 3y 3xy = 0 y = 3y 2x 4y 3x. Dada la ecuación x 1 + 4y 2 = 1, deseamos calcular y. 4 Derivamos aplicando la regla de la cadena: yy = 0 = y = 1 32y.

14 Derivación logarítmica Es un caso particular del tema anterior. Supongamos que queremos calcular la derivada de la función f (x) = x x Sea y = x x. Tomando logaritmos: y derivando: lny = x lnx y y = lnx + x x = 1 + lnx de donde: y = y(1 + lnx) = x x (1 + lnx)

15 Regla de L Hôpital Regla de L Hôpital Sean f,g : (a,b) IR funciones derivables en (x 0 r,x 0 ) (x 0,x 0 + r), con x 0 (a,b) y r > 0. Si f (x) lím f (x) = lím g(x) = 0 y lím x x 0 x x0 x x0 g (x) entonces, f (x) lím x x0 g(x) y f (x) lím x x0 g(x) = lím f (x) x x 0 g (x)

16 Regla de L Hôpital El recíproco no es cierto: f (x) lím x x0 g(x) lím x x0 f (x) g (x) El enunciado del teorema también es válido si: lím f (x) = ± y lím g(x) = ± x x 0 x x0 o cuando calculamos los límites en ± f (x) Si en la expresión lím x x0 g se vuelve a producir una indeterminación (x) del tipo 0 0 ó se puede volver a aplicar L Hôpital (si se verifican las hipótesis) Las indeterminaciones 0,, 0 0, 0 y 1 se pueden reducir a indeterminaciones de tipo L Hôpital c Dpto. de Matemáticas UDC

17 Derivadas sucesivas Definición Sea f : (a,b) IR una función derivable en todos los puntos de (a,b). Definimos la función derivada como: f : (a,b) IR x f (x) Dado x 0 (a,b) se define: f (x 0 ) = (f ) (x 0 ) = lím h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h si este límite existe y es finito. En este caso, se dice que f es derivable dos veces en x 0 En general, una vez que se tiene f (n) : (a,b) IR, se define: ( f (n+1) (x 0 ) = f (n)) (x0 )

18 Definición Diremos que f es de clase n en (a,b), y se representa por: f C n (a,b) si existe la derivada n ésima de f en (a,b) y es continua. Diremos que f C (a,b) si f C n (a,b), n IN Diremos que f C n [a,b], si existe (c,d) [a,b] tal que f C n (c,d)

19 Extremos relativos Definición Sea f : (a,b) IR. Diremos que la función f tiene un mínimo local o relativo en x 0 (a,b) si existe r > 0 tal que: f (x 0 ) f (x), x (x 0 r,x 0 + r)

20 Extremos relativos Definición Sea f : (a,b) IR. Diremos que la función f tiene un máximo local o relativo en x 0 (a,b) si existe r > 0 tal que: f (x 0 ) f (x), x (x 0 r,x 0 + r)

21 Propiedad Sea f : (a,b) IR derivable en x 0 (a,b). Si f tiene en x 0 un extremo relativo, entonces f (x 0 ) = 0. Criterio de la primera derivada Sea f : [a,b] IR una función continua, x 0 (a,b) y existe r > 0 tal que f es derivable en (x 0 r,x 0 ) (x 0,x 0 + r). Si f (x) < 0, x (x 0 r,x 0 ), y f (x) > 0, x (x 0,x 0 + r), entonces f presenta en x 0 un mínimo relativo Si f (x) > 0, x (x 0 r,x 0 ), y f (x) < 0, x (x 0,x 0 + r), entonces f presenta en x 0 un máximo relativo

22 Criterio de la segunda derivada Sea f : (a,b) IR con derivada segunda continua en (a,b). Sea x 0 (a,b) tal que f (x 0 ) = 0. Entonces: si f (x 0 ) < 0, si f (x 0 ) > 0, f presenta en x 0 un máximo relativo, f presenta en x 0 un mínimo relativo. Propiedad Sean f C n (a,b) y x 0 (a,b) tales que f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 y f (n) (x 0 ) 0. Entonces Si n es par y f (n) (x 0 ) < 0, f presenta en x 0 un máximo relativo Si n es par y f (n) (x 0 ) > 0, f presenta en x 0 un mínimo relativo Si n es impar, f no tiene extremos relativos en x 0

23 Teorema (de Rolle) Sea f : [a,b] IR una función continua en [a,b], derivable en (a,b) y tal que f (a) = f (b). Entonces existe al menos un punto x 0 (a,b) tal que f (x 0 ) = 0 Consecuencias: Si f tiene n raíces reales, f tendrá, al menos n 1 raíces reales Si f tiene n raíces reales, f tendrá, a lo sumo n + 1 raíces reales

24 Teorema de Cauchy y de Lagrange Teorema (de Cauchy) Sean f,g : [a,b] IR dos funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Existe x 0 (a,b) tal que [g(b) g(a)] f (x 0 ) = [f (b) f (a)] g (x 0 ) Teorema (del valor medio de Lagrange) Sea f : [a,b] IR una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Existe x 0 (a,b) tal que f (x 0 ) = f (b) f (a) b a

25 Aplicaciones: Sea f derivable en (a,b) 1. Si f (x) 0, x (a,b), f es monótona creciente en el intervalo 2. Si f (x) 0, x (a,b), f es monótona decreciente en el intervalo 3. Si f (x) = 0, x (a,b), f es constante en el intervalo 4. Si f (x) 0, x (a,b), f es inyectiva en el intervalo

26 Concavidad y convexidad Sea f : [a, b] IR una función continua. Definición Decimos que f es convexa en [a,b] si f (x) f (b) f (a) (x a) + f (a), x [a,b] b a Definición Decimos que f es cóncava en [a,b] si ( f ) es convexa en [a,b] Definición f tiene un punto de inflexión en x 0 si cambia de cóncava a convexa (o viceversa) en x 0

27 Concavidad y convexidad Propiedad Sea f : [a,b] IR continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces f es convexa en [a,b] si y sólo si f es creciente en (a,b). Esto equivale a que f 0, si f tiene derivada segunda. Respectivamente, f es cóncava en [a,b] si y sólo si f es decreciente en (a,b) (es decir, si existe derivada segunda, si y sólo si f 0)

28 Polinomio de Taylor Sea f : [a,b] IR una función que admite derivada (n + 1) ésima continua. Para x 0 [a,b], definimos el polinomio de Taylor de grado n relativo a la función f y al punto x 0 como: P n,f,x0 (x) = f (x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+ f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Entonces, para todo x (a,b) existe ξ (x,x 0 ) (ó ξ (x 0,x), depende de cuál de estos dos puntos sea mayor) tal que: f (x) = P n,f,x0 (x) + f (n+1) (ξ ) (n + 1)! (x x 0) (n+1) = P n,f,x0 (x) + R n,f,x0 (x).

29 Polinomio de Taylor. Observaciones Estamos generalizando el teorema del valor medio para el cálculo diferencial (teorema de Lagrange): c (a,b)/f (b) = f (a) + f (c)(b a), que puede entenderse como Taylor para n = 0 con x 0 = a y x = b. Si x 0 = 0, el polinomio se denomina de McLaurin Hay que fijarse bien en que ξ no está determinado (lo único que sabemos es que ξ (x,x 0 ) ó ξ (x 0,x)). P n,f,x0 (x) es una buena aproximación de f (x) cuando x está cerca de x 0. Además, esta aproximación es mejor cuanto mayor sea n (el que x esté lejos de x 0 puede compensarse aumentando n). P n,f,x0 (x) es el único polinomio de grado n tal que en el punto x 0 coinciden él y sus derivadas hasta el orden n con f y sus derivadas.

30 Teorema de Taylor. Acotación del error Debemos destacar que f (x) = P n,f,x0 (x) + R n,f,x0 (x) f (x) P n,f,x0 (x) = R n,f,x0 (x) f (x) P n,f,x0 (x) = R n,f,x0 (x) f (n+1) (ξ ) = (n + 1)! (x x 0) (n+1). No conocemos cuánto vale ξ, por lo tanto no conocemos cuánto vale R n,f,x0 (x)... pero podemos acotarlo! Como sabemos que ξ está entre x y x 0 (ó entre x 0 y x), f (x) Pn,f,x0 (x) f (n+1) (ξ ) = (n + 1)! (x x 0) (n+1) máx s (x,x 0 ) f (n+1) (s) (n + 1)! x x 0 (n+1).

31 Polinomio de Taylor. Representación gráfica c Dpto. de Matemáticas UDC

32 Interpolación de Lagrange Polinomio de interpolación de Lagrange Dados n + 1 puntos distintos x 0,x 1,...,x n ; n + 1 valores cualesquiera ω 0,ω 1,...,ω n ; existe un único polinomio p n de grado n tal que p n (x i ) = ω i, i = 0,1,2,...,n. Este polinomio p n se denomina polinomio de interpolación de Lagrange en los puntos x 0,x 1,...,x n relativo a los valores ω 0,ω 1,...,ω n. En particular, si ω i = f (x i ), decimos que p n es el polinomio de interpolación de Lagrange de la función f en los puntos x i.

33 Interpolación de Lagrange. Funciones de base Polinomios fundamentales: Para cada i = 0,1,...,n, existe un único polinomio l i de grado n tal que l i (x k ) = δ ik (k = 0,1,...,n): l 0, l 1,..., l n grado n l i (x) = n j=0 j i x x j x i x j se dicen polinomios fundamentales de Lagrange de Fórmula de Lagrange: El polinomio de interpolación de Lagrange en los puntos x 0, x 1,..., x n relativo a los valores ω 0, ω 1,..., ω n es p n (x) = ω 0 l 0 (x) + ω 1 l 1 (x) ω n l n (x)

34 Interpolación de Lagrange. Diferencias divididas Diferencias divididas Diferencias divididas de orden 0: [ω i ] = ω i, i = 0,1,...,n. Diferencias divididas de orden k (k = 1,...,n): Ejemplos [ω i,ω i+1,...,ω i+k ] = [ω i,ω i+1,...,ω i+k 1 ] [ω i+1,...,ω i+k ] x i x i+k, i = 0,1,...,n k. Diferencias divididas de orden 1: [ω i,ω i+1 ] = ω i ω i+1 x i x i+1, i = 0,1,...,n 1. Diferencias divididas de orden 2: [ω i,ω i+1,ω i+2 ] = [ω i,ω i+1 ] [ω i+1,ω i+2 ] x i x i+2, i = 0,1,...,n 2. Nota Si ω i = f (x i ) (i = 0,1,...,n), denotamos f [x i,...,x i+k ] = [f (x i ),...,f (x i+k )]

35 Interpolación de Lagrange. Diferencias divididas Tabla de diferencias divididas En la práctica, el cálculo de las diferencias divididas se dispone como x 0 ω 0 [ω 0,ω 1 ] [ω 0,ω 1,ω 2 ]... [ω 0,ω 1,...,ω n ] x 1 ω 1 [ω 1,ω 2 ] [ω 1,ω 2,ω 3 ]... x 2 ω 2 [ω 2,ω 3 ] [ω 2,ω 3,ω 4 ] x n 1 ω n 1 [ω n 1,ω n ] x n ω n Nota Después de construir la tabla, se puede añadir un dato adicional aprovechando los cálculos ya realizados

36 Interpolación de Lagrange. Diferencias divididas Fórmula de Newton El polinomio de interpolación de Lagrange en los puntos x 0, x 1,..., x n relativo a los valores ω 0, ω 1,..., ω n es p n (x) = [ω 0 ] + [ω 0,ω 1 ](x x 0 ) + [ω 0,ω 1,ω 2 ](x x 0 )(x x 1 ) [ω 0,ω 1,...,ω n ](x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) Nota En la práctica, se pueden calcular p 0, p 1,..., p n sucesivamente como p n (x) = p n 1 (x) + [ω 0,ω 1,...,ω n ](x x 0 )...(x x n 1 )

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