Teoría de Grafos. Herramientas de programación para procesamiento de señales
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- Ramón Murillo Sosa
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1 Teoría de Grafos Herramientas de programación para procesamiento de señales
2 Indice Nociones básicas: Definiciones Ejemplos Propiedades Nociones avanzadas: Grafos planares Árboles Representación en computadora Algoritmos clásicos: Búsqueda en profundidad Búsqueda en anchura Prim y Kruskal Algoritmos de ordenamiento: Mergesort Heapsort Bubblesort Estructuras de datos: Abstractas: Lists Maps Queues Arboles Concretas: Heap Complejidad Estimación NP-hard Problemas clásicos Árboles generadores Del viajante De Euler Caminos mínimos Grafos Herramientas de programación 2
3 Conceptos básicos Conceptos Avanzados Problemas Clásicos Contenido Grafos Herramientas de programación 3
4 Definiciones (1) Definición: Conjunto no vacío V: vértices Conjunto E: aristas Representación gráfica Definiciones: Vértices adyacentes: existe e, tal que e=(a,b) a y e son incidentes Vértices independientes: no existe e Aristas adyacentes/independientes: vértice en común Grado de un vértice: no. de aristas indicentes en a Orden: V, grado de conexión E No se permiten aristas paralelas o autoconexiones Grafos Herramientas de programación 4
5 Definiciones (2) Grafo dirigido: par ordenado (a,b)!=(b,a) Ejemplos: Calles (dirigido) Red de computadoras (no-dirigido) Grafos Herramientas de programación 5
6 Definiciones (3) Grafo ponderado: Valor asignado a rama: w(e) O a un vértice: u(v) Estático o dinámico ejemplo: Distancias entre ciudades Redes de computadoras (retardo) Grafos Herramientas de programación 6
7 Definiciones (4) Recordatorio: Los grafos son abstractos Isomorfismo: Relación 1 a 1 entre vértices Grafos Herramientas de programación 7
8 Definiciones (5) Camino: Secuencia: v 1...v n v i y v i+1 adyacentes Cada nodo aparece una sola vez Ciclo: Camino cerrado Grafos Herramientas de programación 8
9 Definiciones (6) Grafo conexos: Para todo: v 1...v n existe un camino que los une Subgrafo: Subconjunto de vértices y aristas Componente conexo: Subgrafo conexo Grafos Herramientas de programación 9
10 Tipos de grafos: Completo: E =n(n-1)/2 Bipartito (completo): E =n Planares: cota superior Definiciones (7) Grafos Herramientas de programación 10
11 Conceptos básicos Conceptos Avanzados Problemas Clásicos Contenido Grafos Herramientas de programación 11
12 Grafo conexo sin ciclos: N nodos, N-1 aristas Raíz: cualquiera Árboles (1) Grafos Herramientas de programación 12
13 Árboles (2) dirigido: Cada nodo tiene un único padre Raíz: única Grafos Herramientas de programación 13
14 Árboles (3) Algoritmos básicos: BFS: 2 DFS: 2 Objetivo: 3 recorrer todos los nodos Buscar uno en particular Motivación: resolución de laberintos (C. Trémaux, S. XIX) Usos: recorrer Árboles Recorrer grafos Árbol generador Derivados: Prim y Kruskal: árbol generador mínimo Grafos Herramientas de programación 14
15 Árboles (4) Estado: conjunto de nodos procesados Ejecución: DFS: 5, 8, 7, 2, 3, 4, 6, 1 BFS: 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7, 8 Complejidad: E Peor caso, denso: E ~ V ^2 Grafos Herramientas de programación 15
16 Representación en computadora (1) Matriz de adyacencia: Convención 1/0 conectado/no conectado Simple Útil para grafos densos Dirigido: arbitraria No dirigido: simétrica Almacenamiento: n^2 Grafos Herramientas de programación 16
17 Representación en computadora (2) Ejemplo: Cálculo de grado =2 Grafos Herramientas de programación 17
18 Representación en computadora (3) Lista de adyacencia Cada nodo tiene su lista de vecinos Almacenamiento: k.n (promedio) Más complejo Eficiente para grafos ralos Abstracta Implementación Linked list: eficiente memoria Engorroso programación Array Ineficiente memoria Fácil programación C++: std::vector Grafos Herramientas de programación 18
19 Representación en computadora (4) Árbol: Mínimo: parent Comodidad: first_child, next_sibiling tree int n node* root node[] nodes node int id node* parent node* first_child node* next_sibling 4: *t root = 0x n = 7 nodes = 0x *(().root) id = 6 id = 4 parent = 0x0 *(().first_child) parent = 0x *(().first_child) first_child = 0x6062d0 first_child = 0x next_sibling = 0x0 next_sibling = 0x6062f0 id = 0 parent = 0x6062d0 first_child = 0x0 next_sibling = 0x *(().next_sibling) *(().next_sibling) id = 1 parent = 0x6062d0 first_child = 0x0 next_sibling = 0x0 id = 5 parent = 0x first_child = 0x next_sibling = 0x0 *(().first_child) id = 2 parent = 0x6062f0 first_child = 0x0 next_sibling = 0x6062b0 *(().next_sibling) id = 3 parent = 0x6062f0 first_child = 0x0 next_sibling = 0x0 Grafos Herramientas de programación 19
20 Conceptos básicos Conceptos Avanzados Problemas Clásicos Contenido Grafos Herramientas de programación 20
21 Problemas clásicos (1) Recorrido: Secuencia de nodos Cada nodo puede estar más de una vez Cada rama aparece sólo una vez Circuito: recorrido cerrado Circuito euleriano Todas las ramas de un grafo Visita los nodos al menos una vez Los 7 puentes de Könisberg Euler 1735 Condición necesaria: Cada vez que entramos, salimos Grado par o nulo Grafos Herramientas de programación 21
22 Problemas clásicos (2) Circuito Hamiltoneano Visita los nodos exactamente una vez Problema del viajante: Travelling Salesman Problem (TSP): 1930 NP-hard: grafo completo n vértices (n-1)! ciclos Mapa de ciudades importantes de Francia Grafos Herramientas de programación 22
23 Problemas clásicos (3) Camínos mínimos Camino de costo mínimo entre dos nodos E. Dijkstra 1959 Grafos Herramientas de programación 23
24 Algoritmo de Dijsktra (1) Ingredientes: Conjunto T de nodos para los cuales ya se calculó la distancia Lista dist(v) de distancias de cada nodo v al nodo inicial a Lista prev(v) de nodos previos: prev(v) es el nodo anterior a v en el camino (mínimo) que va de a a v Grafos Herramientas de programación 24
25 Algoritmo de Dijsktra (2) Inicialización: T vacío dist(v)=inf, para todo v!=a dist(a)=0 prev(v)=null, para todo v Nodo actual u=a Iteración: Sea u de V-T tal que u=argmin(dist(v)) Agrego u a T Sean t los vecinos de v: Ver si u es un atajo para llegar a t: d=dist(u)+w(u,t)<dist(t) Si es cierto, actualizo dist(t)=d, y prev(t)=u Grafos Herramientas de programación 25
26 Algoritmo de Dijsktra (3) Propiedades: greedy Óptimo global Complejidad: Ejecución: Array: O( V ^2+ E ) = O( V ^2) Heap: O(( E + V ) log V ) Óptimo: O( V log V ), si E ~ V Peor caso si es denso: 0( V )^2), si E ~ V ^2 Almacenamiento: Matriz: V ^2 Heap: V Aux: 3*N Total: O(N^2) Grafos Herramientas de programación 26
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