3.3. Dispersión del fenómeno e incertidumbre de la medición

Transcripción

1 3.3. Dispersión del fenómeno e incertidumbre de la medición En esta experiencia, nos centraremos en promover la comprensión del sentido físico que tienen, dentro del desarrollo de la actividad experimental, conceptos estadísticos como valor promedio, desviación estándar, desviación típica y porcentual. Especificamente, la información que brinda cada uno de estos conceptos está relacionada con el valor más probable, el rango dentro de cual es más probable encontrar el valor producto de una medición, el número de cifras significativas con las que se puede escribir el resultado de la medición, y la dispersión del fenómeno o la calidad de los datos obtenidos. Y, cómo estos conceptos son una herramienta fundamental en el análisis y estudio de fenómenos aleatorios probabilísticos de comportamiento normal. Figura Planta de Frijoles guandú. Consigna o afirmación que expone la situación a resolver Interés o idea principal de la situación a resolver Identificar la dependencia de dos parámetros que caracterizan un fenómeno aleatorio probabilístico de comportamiento normal, la desviación estándar y el valor promedio, con el tamaño de la muestra n. Si miramos a simple vista, la superficie de una mesa de fórmica nos parece muy lisa. Pero, al mirar una parte de ella a través de una lupa o un microscopio, nos daremos cuenta que hay rugosidades. Igual ocurre

2 82 con la medición de una variable física. Con un instrumento poco preciso, observaremos un valor que no varía, al utilizar uno más preciso aparece una aleatoridad, es decir, valores variables. El análisis y estudio de un fenómeno aleatorio probabilístico parte de un conjunto de n datos. El estudio de este fenómeno requiere que el experimentador maneje, comprenda y diferencie claramente conceptos fundamentales como la dispersión del fenómeno y la incertidumbre de la medición. El primero hace referencia a una característica intrínseca del fenómeno, es decir, una propiedad del fenómeno donde el experimentador no puede interferir. Por ejemplo, el experimentador no puede interferir en el tamaño (ancho y largo) de las hojas de guandú (figura 3.33 y 3.34), para que todas sean iguales, o diferentes, unas más largas que otras, etc. Específicamente, la longitud de la hoja tiene una dispersión natural muy alta (por ello escogimos este fenómeno aleatorio; en general, los fenómenos encontrados no tienen tanta dispersión), dentro de cierto rango, que es intríseca del fenómeno, a esto nos referimos cuando hablamos de dispersión del fenómeno. Pero, al referirnos a la incertidumbre de la medición estamos centrados en lo que antes se llamaba error de la medición. Y ambos conceptos tienen que estar claramente diferenciados, para evitar confusiones. Figura Largo de una hoja de la planta de frijoles guandú.

3 83 Se podría diseñar una experiencia centrada en el análisis y resolución de la consigna planteada? La respuesta es afirmativa. La comprensión de los conceptos estadísticos aquí discutidos implica la Reflexión y el análisis sobre lo que se hace y por qué se hace. En base a esto es que esta experiencia gira alrededor de un conjunto de datos, a los cuales se les hace un análisis estadístico. Dentro de este análisis será prioritario la reflexión sobre el uso, manejo y función de conceptos como: 1. valor promedio; 2. desviación; 3. desviación estándar; 4. desviación típica; 5. incertidumbre relativa. Comprender estos conceptos es comprender el sentido y la razón de hacer un análisis estadístico a un conjunto de datos producto de medición, dentro de la actividad experimental. Qué evidencias se dan o podrían obtener hacia la comprensión y diferenciación de los conceptos dispersión del fenómeno e incertidumbredel método? En esta experiencia la obtención de los datos no es el problema, tal como señalamos arriba, pues, los mismos se proporcionan. En consecuencia, lo importante aquí es promover la comprensión del sentido físico del análisis estadístico de dichos datos. En este proceso hay conceptos medulares, que al analizarlos y reflexionar sobre los mismos podemos promover la adecuada integración del análisis estadístico de datos a la comprensión del fenómeno y a la aplicación de esta herramienta (conceptos estadísticos básicos), a otras situaciones. Se tiene a disposición del experimentador un conjunto de 200 datos, los que deben ser leídos e interpretados. Para lo que el Físico hace uso de herramientas, en este caso, el físico usa una herramienta de la matemática, la estadística. Es por ello, que el análisis de los datos de esta experiencia pasa por ordenarlos en tablas y gráficos. Esta forma de ordenar la información hace más fácil comprender la esencia y el sentido del análisis estadístico de datos. Comenzamos el tratamiento de los datos formando 8 muestras, con el número o cantidad de datos que se le asignó a cada muestra en el enunciado. A cada muestra se le obtuvo el valor promedio, la desviación estándar, la desviación tipica y el error relativo. En el cuadro 3.10 presentamos la información obtenida para cada muestra debido a estos cálculos.

4 84 Muestra (n) Valor Promedio Desviación Estándar Desviacón Típica Incertidumbre relativa 5 6,48 1,66 0,74 0, ,58 1,18 0,37 0, ,87 1,22 0,24 0, ,40 1,32 0,19 0, ,27 1,17 0,14 0, ,21 1,09 0,11 0, ,10 0,98 0,08 0, ,21 0,95 0,07 0,01 Cuadro 3.10: Análisis estadístico de las muestras. La lectura de la información mostrada en la tabla anterior es simple, por ejemplo, podemos ver que para una muestra formada por diez datos, se tiene un valor promedio de 6,58 cm, una desviación estandar de 1,18 cm, una desviación típica de 0,37 cm y una incertidumbre relativa de 0,06 cm. Y así, sucesivamente, se puede conocer esta información para las distintas muestras. Pero, a la vez nos da información más general. Podemos decir, que para una muestra de 10 datos, el promedio (el valor más probable) es similar que para una muestra de 5 datos. Seguimos leyendo la información de la tabla y nos encontramos que el valor promedio de una muestra de 10 datos comienza a alejarse del valor promedio de una muestra de 50 datos. Es más, la información en la tabla nos permite establecer un rango dentro del cual podemos encontrar el valor más probable. Entre 5,10 cm y 6,58 cm. Pero, podemos ir más lejos, observamos que el valor más probable varía poco, o hay poca diferencia, a partir de una muestra de 50 datos en adelante. Es decir, parece que a partir de 50 datos encontramos poca dispersión entre los valores más probables. Pero, dejemos la lectura de la información en la tabla de datos y comencemos a trabajar con los gráficos. Nota: Observamos que no sólo la variable de estudio: longitud de la hoja de guandú es aleatoria sino que el valor promedio y la desviación estándar son variables aleatorias. Sin embargo, tienden hacia un valor constante. En el gráfico de la figura 3.35 se muestra la relación entre el valor más problable (valor promedio) y n. Al analizar el gráfico, encontramos que el valor más probable tiene menos dispersión a partir de la muestra de 40 datos. En cambio hay mayor dispersión para el valor más probable, con muestras de menor cantidad de datos. Qué significa esto? Que una mues-

5 85 tra con cinco datos no nos proporcionaria información muy fiable, pues, hay mucha dispersión para el valor más probable. Recordemos que el valor más probable en una curva gaussiana es el valor con la altura máxima de dicha curva. Cuánto se aleja o acerca cada medida, lectura o dato del valor más probable se conoce como desviación y la desviación estándar está en función de esta desviación. Figura Curva valor promedio vs muestra (tamaño). Veamos que información nos brinda la gráfica desviación estándar vs n mostrada en la figura En este gráfico es evidente que con muestras menores de 10 datos hay mucha dispersión. Debemos recordar que la desviación estándar nos habla del promedio de las desviaciones de cada medida. Es decir, con la desviación estándar podemos conocer el valor más probable de las desviaciones de cada medida con respecto al valor promedio. Al crecer n encontramos el valor real de la dispersión y podemos, con mayor precisión, establecer el rango dentro del cual podemos encontrar la longitud de una hoja de frijol guandú, conociendo de esta forma la dispersion del fenómeno. Pero, es necesario tener claro que se debe tener un rango fiable, preciso, donde la anchura de banda, a la altura media, este lo más cercana posible al valor real. En esté caso, a partir de una muestra de 10 datos, comenzamos a obtener, con mayor precisión, el valor real de la dispersión. La relación existente entre la desviación tipica y n, a través del gráfico desviación típica vs n, es mostrada en la figura En dicha gráfica, se observa que la σ t disminuye inver-

6 86 samente con n hasta tender asintóticamente a cero (recuerde que σ t es inversamente proporcional a la raíz de n), lo que significa que a medida que n aumenta, obtenemos más precisión en el valor de <x>. Es por ello, que la desviación típica nos dice con cuántas cifras significativas podemos escribir el valor más probable, próximo al valor verdadero. Figura Desviación estándar vs muestra. Figura Desviación típica vs muestra.

7 87 Figura Incertidumbre relativa vs muestra. En este caso, obtuvimos la incertidumbre relativa relacionando la desviación típica con n. Tenemos, nuevamente, una relación fuerte con n. A medida que aumenta n, disminuye la incertidumbre. Esto nos dice que la calidad de nuestra medición es buena. Pero, observamos que a partir de n = 10 no se mejora sustancialmente la incertidumbre relativa, figura Conclusión En el análisis estadístico de los datos, realizado en el desarrollo de esta experiencia, nos encontramos que se puede guiar a los alumnos hacia la comprensión de los conceptos abstractos, que integran este conjunto de habilidades de tipo procedimental. Habilidades estas que hacen a los alumnos más competentes al momento de tomar decisiones respecto a lo que hacen al analizar estadísticamente un conjunto de datos. Por ejemplo, el sentido físico de la incertidumbre relativa de un conjunto de datos, información sobre la calidad de la medición, definitivamente, es un criterio fundamental al momento de regular lo que se hizo, mejorarlo o reestructurar nuevamente el método que se utiliza si la calidad de la medición no es la mejor. En conclusión, no podemos hablar de competencias en el hacer de los alumnos si no promovemos en ellos, a través de actividades de enseñanza dentro de una planificación didáctica que tome en cuenta la importancia de la reflexión y análisis continuo sobre lo que se hace. Podemos resumir diciendo que la desviación estándar mide la dispersión del fenómeno y no es controlable directamente por el experimentador. Se desea conocer con precisión y para ello, es necesario una muestra de tamaño n, número que depende del fenómeno y su interacción con el experimentador. Si esas condiciones no se cambian, aumentar el número de mediciones (n) genera precisión en el conocimiento de las

8 88 propiedades aleatorias de la variable: valor promedio, dispersión, pero no disminuye la dispersión o aleatoriedad del fenómeno. Reflexión En el contexto experimental, el físico, además, de manejar el concepto y/o los modelos a la base del fenómeno que estudia, debe tener claro, entre otras cosas, el potencial que tienen las herramientas que maneja y usa la matemática. En este contexto, por ejemplo, el número por sí sólo pierde relevancia, pues, lo importante y realmente esencial es lograr conocer e interpretar el significado y el sentido físico de ese número, dentro del proceso de búsqueda de solución al problema que se le ha planteado.