Econométricas. Máster Universitario. Técnicas Cuantitativas en Gestión Empresarial

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1 Técnicas Econométricas Máster Universitario Técnicas Cuantitativas en Gestión Empresarial Román Salmerón Gómez Granada, 2013

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3 Técnicas Econométricas: breve descripción de contenidos Román Salmerón Gómez A continuación se comenta brevemente la parte de la asignatura Técnicas Econométricas impartida por el Prof. Román Salmerón en el máster en Técnicas Cuantitativas para la Gestión Empresarial. Es conveniente hacer hincapié al estudiante de la necesidad de repasar conocimientos adquiridos en el grado (cálculo diferencial, álgebra matricial, inferencia estadística, etc) ya que serán usados de forma constante durante el discurrir de la asignatura. La asignatura comienza con una introducción al alumno al concepto de Econometría y econométrico. Con tal objetivo se realiza un breve bosquejo histórico de la Econometría, además de proporcionar una definición de la misma. A continuación se define qué se entiende por econométrico y se describen las fases a realizar en todo análisis econométrico (especificación, estimación, validación y explotación del ). Finalmente, se explica la naturaleza de la información utilizada. Tras conocer qué es un econométrico se presenta su formulación matemática así como las hipótesis básicas que debe verificar. Este último aspecto es importante destacarlo, ya que el alumno debe saber que toda estimación y validación del queda supeditada a que se verifiquen dichas hipótesis (es más, los últimos temas de la asignatura - segunda parte - se dedican a esta cuestión). A continuación se estimarán, por el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios, las cantidades desconocidas del (coeficientes de los regresores y varianza de la perturbación aleatoria) y se analizarán sus propiedades. Finalmente, se comenzará con la fase de validación del econométrico presentando una primera herramienta para medir la bondad del ajuste realizado: el coeficiente de determinación y coeficiente de determinación corregido. A continuación se introduce en el la suposición de que la perturbación aleatoria se distribuye según una normal. A partir de este momento, el econométrico toma una nueva dimensión ya que esta suposición permitirá calcular intervalos de confianza y contrastes de hipótesis para los parámetros desconocidos del. Así, en primer lugar se presentarán las distribuciones en el muestreo de los estimadores obtenidos en el tema anterior por el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), las cuales permitirán contrastar un conjunto de hipótesis lineales. Como casos particulares se destacan los contrastes de significación individual y se realiza una breve reseña a los Mínimos Cuadrados Restringidos. Además, constituyen también el punto de partida que permitirá introducir el análisis de la varianza (análisis ANOVA). En este punto es interesante mostrar su relación con el coeficiente de determinación, ya que permite obtener un valor a partir del cual éste último es significativo y, por tanto, valida el. En la última fase, se explotará el a partir de la predicción puntual óptima y por intervalo, así como a través del contraste de permanencia estructural. Finalmente, se destacará que todas las conclusiones obtenidas no tienen validez si antes no se comprueba que la perturbación aleatoria sigue una distribución normal. Todos estos contenidos serán abordados tanto desde un aspecto teórico/práctico como (muy especialmente) desde un aspecto computacional, más concretamente, con el software econométrico Gretl.

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5 GUIA DOCENTE DE LA ASIGNATURA TÉCNICAS ECONOMÉTRICAS MÓDULO ASIGNATURA CURS O SEMESTR E CRÉDITOS CARÁCTER 1 TÉCNICAS ECONOMÉTRICAS OPTATIVA PROFESOR(ES) JORGE CHICA OLMO ROMÁN SALMERÓN GÓMEZ DIRECCIÓN COMPLETA DE CONTACTO PARA TUTORÍAS (Dirección postal, teléfono, correo electrónico, etc.) Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales. Campus de Cartuja s/n Granada. Teléfono Fax Prof. Chica Olmo: Despacho C-223. Tfno Prof. Salmerón Gómez: Despacho B-00. Tfno HORARIO DE TUTORÍAS El horario actualizado de tutorías puede consultarse en el siguiente enlace: ncia MÁSTER EN EL QUE SE IMPARTE OTROS MÁSTERES A LOS QUE SE PODRÍA OFERTAR Técnicas Cuantitativas en Gestión Empresarial PRERREQUISITOS Y/O RECOMENDACIONES (si procede) Conocimientos básicos de técnicas cuantitativas y ordenador. Página 1

6 BREVE DESCRIPCIÓN DE CONTENIDOS (SEGÚN MEMORIA DE VERIFICACIÓN DEL MÁSTER) REGRESIÓN 1. El de Regresión Lineal. Supuestos e Hipótesis. 2. El Procedimiento de Estimación Mínimo Cuadrático. Estimación Máximo Verosímil. 3. Explotación de los Resultados de Estimación. Análisis de la Varianza (ANOVA). Medidas de Ajuste y Diagnosis del Modelo. 4. Caso Práctico de Aplicación INFERENCIA EN EL MODELO LINEAL 5. El Papel de Supuesto de Normalidad de las Perturbaciones. 6. Distribución de los Estimadores de los Parámetros en el Muestreo. 7. Inferencia en le Modelo de Regresión y Contraste de Hipótesis. Estimación por Intervalo. Intervalos de Confianza. 8. Caso Práctico de Aplicación (Continuación) TEMAS COMPLEMENTARIOS 9. Cambio Estructural y Estabilidad de los Parámetros 10. Estimación del Modelo Generalizado. 11. Problemas con los Datos: Multicolinealidad y Errores de Especificación. COMPETENCIAS GENERALES Y ESPECÍFICAS DEL MÓDULO Competencias Generales - * CG0: Hablar bien en público. - CG1: Que los estudiantes adquieran la capacidad de trabajar en entornos internacionales. - CG2: Que los estudiantes adquieran la capacidad de crítica y autocrítica. - * CG3: Que los estudiantes sean capaces de buscar y recopilar información de un tema de interés proveniente de fuentes diversas, especialmente a partir de las nuevas tecnologías. - * CG4: Que los estudiantes sean competentes para analizar, sintetizar y gestionar la información y documentos disponibles de forma eficaz, incluyendo la capacidad de interpretar, evaluar y emitir un juicio razonado. - * CG5: Que los estudiantes adquieran la capacidad de trabajar en equipo, fomentando el intercambio de ideas, compartiendo el conocimiento y generando nuevas metas y s de trabajo colaborativo. - CG6: Que los estudiantes tengan la capacidad de trabajar en equipos multidisciplinares. - * CG7: Que los estudiantes tengan la capacidad de organización y planificación. Página 2

7 Competencias Específicas - * CE1: Aplicar las herramientas cuantitativas a la resolución de problemas en el ámbito empresarial planteados con datos procedentes de muestras de la población objetivo en estudio. - * CE2: Aplicar las nuevas aportaciones en técnicas cuantitativas al ámbito empresarial así como la resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos. - * CE3: Capacidad de utilizar técnicas cuantitativas actuales que le permitan incorporarse a tareas de investigación en el contexto de la gestión empresarial. - * CE4: Comprender el valor y los límites del método científico así como fomentar el interés por una investigación rigurosa propia del área de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa. - * CE5: Capacidad de acceder a las bases de datos y fuentes documentales existentes para conocer las nuevas aportaciones en el campo de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa. - CE6: Desarrollar una visión amplia y multidisciplinar de las aplicaciones de las principales técnicas cuantitativas. - CE7: Adquirir conocimientos altamente especializados, alguno de ellos a la vanguardia en un campo de trabajo o estudio concreto, que sienten las bases de un pensamiento o investigación originales en el área de conocimiento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa, así como ampliar sus conocimientos y atender las exigencias del mundo académico y profesional. - CE8: Adquirir conciencia crítica de cuestiones de conocimiento en un tema concreto de las técnicas cuantitativas para emitir informes o juicios profesionales. - * CE9: Capacidad de seleccionar las técnicas cuantitativas más idóneas para un correcto análisis o estudio. - CE11: Plantear y construir s de series temporales que expliquen la evolución de una variable a lo largo del tiempo y a predecir sus valores futuros. - * CE12: Capacidad de cuantificar relaciones de comportamiento entre variables económicas, verificar hipótesis sobre los parámetros de dichas relaciones y efectuar predicciones sobre las variables de interés. * Con asterisco se indican las competencias de esta asignatura. OBJETIVOS (EXPRESADOS COMO RESULTADOS ESPERABLES DE LA ENSEÑANZA) El alumno sabrá/comprenderá: - Conocimientos sobre aspectos principales de la terminología económica, de la naturaleza de la economía y el entorno económico inmediato, nacional e internacional. - Conocimientos sobre los principales s y técnicas de representación y análisis de la realidad económica. - Las instituciones económicas como resultado y aplicación de representaciones teóricas o formales acerca de cómo funciona la economía. - Las principales técnicas instrumentales aplicadas al ámbito económico. El alumno será capaz de: - Interpretar datos económicos, proporcionar información relevante útil para todo tipo de usuarios. - Aplicar al análisis de los problemas criterios profesionales basados en el manejo de instrumentos técnicos. - Emitir informes de asesoramiento sobre situaciones concretas de la economía (internacional, nacional o regional) o de sectores de la misma. - Desarrollar habilidades de aprendizaje para emprender estudios posteriores en el ámbito de la economía con un alto grado de autonomía. Página 3

8 TEMARIO DETALLADO DE LA ASIGNATURA REGRESIÓN 1. El de Regresión Lineal. Supuestos e Hipótesis. 2. El Procedimiento de Estimación Mínimo Cuadrático. Estimación Máximo Verosímil. 3. Explotación de los Resultados de Estimación. Análisis de la Varianza (ANOVA). Medidas de Ajuste y Diagnosis del Modelo. 4. Casos prácticos desarrollados con software libre econométrico. INFERENCIA EN EL MODELO LINEAL 5. El Papel de Supuesto de Normalidad de la las Perturbaciones. 6. Distribución de los Estimadores de los Parámetros en el Muestreo. 7. Inferencia en le Modelo de Regresión y Contraste de Hipótesis. Estimación por Intervalo. Intervalos de Confianza. 8. Casos prácticos desarrollados con software libre econométrico (Continuación) TEMAS COMPLEMENTARIOS 9. Cambio Estructural y Estabilidad de los Parámetros. Test de Chow. 10. Incumplimiento de las hipótesis básicas del. Contraste de normalidad en las perturbaciones. 11. Estimación del Modelo Generalizado. Heterocedasticiad y autocorrelación. 13. Problemas con los Datos. Multicolinealidad. Errores de Especificación. Datos espaciales. 14. Casos prácticos desarrollados con software libre econométrico (Continuación) BIBLIOGRAFÍA ALONSO, A.; FERNÁNDEZ, J. y GALLASTEGUI, I. (2005).- Econometría. Ed. Prentice Hall GUJARATI, D. (2010).- Econometría.- Ed. McGraw Hill MATILLA, M, PÉREZ, P y SANZ, B. (2013) Econometría y predicción. Ed. McGraw Hill SÁNCHEZ, C. (1999) Métodos Econométricos. Ariel Economía. Barcelona. STOCK, J.H. y WATSON, M.M. (2012) a la Econometría, 3ª ed. Pearson WOOLDRIDGE, J.M. (2010).- a la Econometría. Un enfoque moderno. 2ª Edic. Thomson ENLACES RECOMENDADOS Web del Dpto. de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa. Instituto nacional de Estadística. Instituto de estadística andaluz. Banco de España. Página 4

9 Bolsa de Madrid. Anuario Económico de La Caixa. Eurostat, Descarga gratuita del programa Gretl: Guía multimedia para la elaboración de un econométrico. Página personal de Román Salmerón: METODOLOGÍA DOCENTE La metodología que se llevará a cabo es la siguiente: 1. Tutorías personalizadas para buscar información reciente en diversas fuentes bibliográficas, plantear cuestiones de investigación, etc. 2. Realización de trabajos individuales o en grupo para la resolución de problemas en el ámbito empresarial. 3. Lectura e interpretación de la bibliografía especializada, incluyendo artículos de actualidad, propuesta en el programa de la materia. 4. Diseño, elaboración y exposición de un trabajo individual o en grupo de aplicación de los conocimientos teórico-práctico adquiridos. 5. Resolución de problemas relacionados con la materia y aplicados al ámbito empresarial. 6. Aplicaciones con ordenador. En dicha metodología es importante: 1. Desarrollo de clases teóricas en las que se expondrán los distintos contenidos con ayuda de material didáctico diverso. 2. Desarrollo de clases prácticas en las que se resolverán problemas relacionados con la materia y aplicados en el ámbito empresarial. Asimismo se fomentará la participación de los alumnos. 3. Realización de lecturas relacionadas con la materia, sobre las que se formularán preguntas o se solicitará un resumen crítico. 4. Realización de sesiones de discusión del material bibliográfico previas a las lecciones magistrales fomentando la participación del alumno. 5. Asistencia a seminarios teórico-prácticos que puedan desarrollarse durante el desarrollo de la materia y que incluyan foros de discusión. 6. Realización de prácticas en el aula de informática. 7. Charlas/coloquios que refuercen los conocimientos de la materia y fomenten la participación activa del alumno. Página 5

10 EVALUACIÓN (INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN, CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y PORCENTAJE SOBRE LA CALIFICACIÓN FINAL, ETC.) 1. Prueba escrita: exámenes de ensayo, pruebas objetivas, resolución de problemas, casos o supuestos, pruebas de respuesta breve, informes y diarios de clase. (Ponderación: 0.6) 2. Prueba oral: exposiciones de trabajos orales en clase, individuales o en grupo, sobre contenidos de la materia (seminario) y sobre ejecución de tareas prácticas correspondientes a competencias concretas. (Ponderación: 0.3) 3. Técnicas basadas en la asistencia y participación activa del alumno en clase, seminarios y tutorías: trabajos en grupos reducidos sobre supuestos prácticos propuestos. (Ponderación: 0.1) El sistema de evaluación será preferentemente continua, entendiendo por tal la evaluación diversificada que se establece en este apartado. No obstante, se podrá realizar una evaluación única final a la que podrán acogerse aquellos estudiantes que no puedan cumplir con el método de evaluación continua por motivos laborales, estado de salud, discapacidad o cualquier otra causa debidamente justificada que les impida seguir el régimen de evaluación continua. INFORMACIÓN ADICIONAL La asignatura se desarrollará con la ayuda de ordenador. Página 6

11 a la Econometría El de regresión lineal múltiple Román Salmerón Gómez Universidad de Granada Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 1 / 68 Estimación del Validación del Explotación del Estimación del Validación del Explotación del Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 2 / 68

12 Definición de Econometría Modelo económico y econométrico Fases del método econométrico Componentes de un econométrico Naturaleza de la información utilizada en Econometría Estimación del Validación del Explotación del Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 3 / 68 Econometría Definición de Econometría Modelo económico y econométrico Fases del método econométrico Componentes de un econométrico Naturaleza de la información utilizada en Econometría Estimación del Validación del La Estadística juega un papel importante en cualquier ciencia empírica a la hora de estimular la formulación de s y contrastarlos. En la ciencia económica este papel se hace especialmente importante hasta el punto de que la necesidad de extender la Estadística ha dado lugar al nacimiento de una disciplina nueva que hoy goza de una gran vitalidad: la Econometría. La Econometría es una rama de la Economía que aglutina a la Teoría Económica, las Matemáticas, la Estadística y la Informática para estudiar y analizar fenómenos económicos. Puede decirse que constituye en sí misma una disciplina dentro de la Economía y a la vez una potente herramienta que tanto los economistas como otros muchos investigadores sociales utilizan para el estudio de sus problemas concretos. El principal propósito de la Econometría es proporcionar un sustrato empírico a la Teoría Económica. Explotación del Una breve descripción de la historia econométrica la puedes encontrar en las lecturas recomendadas. Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 4 / 68

13 Definición de Econometría Definición de Econometría Modelo económico y econométrico Fases del método econométrico Componentes de un econométrico Naturaleza de la información utilizada en Econometría Estimación del Validación del Explotación del De entre las muchas definiciones existentes sobre la Econometría destacaría la siguiente: La Econometría, usando la Teoría Económica, las Matemáticas y la Inferencia Estadística como fundamentos analíticos, y los datos económicos como la base informativa, proporciona una base para: 1. Modificar, refinar o posiblemente refutar las conclusiones en el cuerpo de conocimientos conocido como Teoría Económica. 2. Conseguir signos, magnitudes y afirmaciones de calidad para los coeficientes de las variables en las relaciones económicas, de modo que esta información puede usarse como base para la elección y toma de decisiones. Judge y otros (1985) Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 5 / 68 Modelo económico y econométrico Definición de Econometría Modelo económico y econométrico Fases del método econométrico Componentes de un econométrico Naturaleza de la información utilizada en Econometría Estimación del Validación del Explotación del Modelo económico: Un económico es una representación simplificada de la realidad económica mediante la expresión matemática de una determinada teoría económica. Modelo econométrico: Un econométrico es aquel económico que contiene todos los elementos necesarios para ser estudiado desde un punto de vista empírico. Es decir, un económico en el que se ha especificado el tipo de relación entre variables (en este curso lineal), el número de variables, introducción de la perturbación aleatoria (para recoger el efecto de las variables no incluidas fundamentalmente), etc. Así, por ejemplo, un económico es aquel en el que se especifica que el consumo es una función de la renta: Consumo = f(renta). Mientras el econométrico será aquel en el que se establece que la relación es lineal y se introduce la perturbación aleatoria u t : Consumo t = β 1 + β 2 Renta t + u t. Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 6 / 68

14 Fases del método econométrico Definición de Econometría Modelo económico y econométrico Fases del método econométrico Componentes de un econométrico Naturaleza de la información utilizada en Econometría Estimación del Validación del Explotación del La elaboración de un econométrico se puede dividir en las siguientes fases: Especificación: En esta fase se propone la forma matemática de la relación que liga las variables presentes en el y la perturbación aleatoria. También debe decidirse el número de ecuaciones y variables que forman el. Todo ello se realizará partiendo de la Teoría Económica. Estimación: Esta fase consiste en la obtención de valores numéricos de las cantidades constantes del econométrico. Por tanto, será necesario disponer de información empírica sobre el fenómeno (datos) y haber decidido el método de estimación a usar. Validación: En esta fase se evalúan los resultados obtenidos en la etapa anterior para decidir si los mismos son o no aceptables tanto desde el punto de vista de la teoría económica (magnitudes, signos, etc) como desde el punto de vista estadístico (validez del ). Explotación: Si el es aceptado, este puede ser usado para la predicción y contrastar la permanencia de la estructura estimada. Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 7 / 68 Componentes de un econométrico Definición de Econometría Modelo económico y econométrico Fases del método econométrico Componentes de un econométrico Naturaleza de la información utilizada en Econometría Estimación del Validación del Las principales componentes de un econométrico son: Variables: Dentro de las variables podemos distinguir entre las variables observables (aquellas de las que se disponen datos) y no observables (la perturbación aleatoria). Y dentro de las primeras tenemos a las variables dependientes, explicadas o endógenas (aquellas que están influidas por otras variables) y variables independientes, explicativas o exógenas (aquellas que no están influidas por otras). Parámetros: Los parámetros son las cantidades fijas o constantes del econométrico que se desean estimar (los coeficientes de las variables y la varianza de la perturbación aleatoria). Ecuaciones: Las relaciones entre las distintas variables se explicitará mediante una o más ecuaciones. Explotación del Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 8 / 68

15 Naturaleza de la información utilizada en Econometría Definición de Econometría Modelo económico y econométrico Fases del método econométrico Componentes de un econométrico Naturaleza de la información utilizada en Econometría Estimación del Validación del Explotación del Los datos económicos suelen ser de clases muy variadas, siendo los tipos más importantes los siguientes: Datos de corte transversal: son un conjunto de datos formada por unidades (individuos, empresas, regiones, etc) observadas en un momento determinado (día, mes, trimestre, año, etc). Por ejemplo, el consumo de varias familias en un mes en concreto. Datos de series temporales: son un conjunto de datos formado por observaciones de una misma variable a lo largo del tiempo. Por ejemplo, el consumo mensual de una familia a lo largo de todo un año. Datos de panel o longitudinales: son un conjunto de datos que combinan una dimensión temporal con otra transversal. Por ejemplo, el consumo mensual de un conjunto de familias a lo largo de todo un año. Habrá que atender al tipo de datos que se analicen ya que dependiendo de su naturaleza se podrán aplicar unos u otros métodos econométricos. Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 9 / 68 Modelo lineal uniecuacional múltiple Hipótesis del Estimación del Validación del Explotación del Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 10 / 68

16 Modelo lineal uniecuacional múltiple Modelo lineal uniecuacional múltiple Hipótesis del Estimación del Validación del Explotación del El lineal uniecuacional múltiple analiza la relación lineal entre una variable dependiente, Y, y más de una variable independiente, X i, i = 1,..., k, k > 1, más un término aleatorio, u. Así, a partir de n observaciones para cada variable, el puede ser expresado como: Y t = β 1 + β 2 X t2 + β 3 X t3 + + β k X tk + u t, t = 1,..., n, (1) donde se ha considerado que hay término constante, es decir, X 1t = 1, t. El objetivo será estimar (es decir, obtener una aproximación numérica) aquellas cantidades constantes presentes en el (1), así como la bondad de la estimación realizada. En primer lugar, se escribe dicho para todas y cada una de las observaciones: Y 1 = β 1 + β 2 X 12 + β 3 X β k X 1k + u 1 Y 2 = β 1 + β 2 X 22 + β 3 X β k X 2k + u 2.. Y n = β 1 + β 2 X n2 + β 3 X n3 + + β k X nk + u n Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 11 / 68 Modelo lineal uniecuacional múltiple Modelo lineal uniecuacional múltiple Hipótesis del Estimación del Validación del Explotación del Que nos conduce a la siguiente forma matricial: donde: y n 1 = Y 1 Y 2. Y n y n 1 = X n k β k 1 + u n 1, (2), β k 1 = X n k = β 1 β 2. β k, u n 1 = 1 X X 1k 1 X X 2k X n2... X nk. u 1 u 2. u n, Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 12 / 68

17 Hipótesis del Modelo lineal uniecuacional múltiple Hipótesis del Estimación del Validación del Explotación del Consideraremos las siguientes hipótesis básicas en el lineal uniecuacional múltiple: El vector y se puede expresar como combinación lineal de las variables explicativas más un vector de perturbación. La perturbación aleatoria está centrada (E[u t ] = 0, t = 1,..., n), es homocedástica ( V ar(u t ) = E[u 2 t ] = σ 2, t = 1,..., n ) e incorrelada (Cov(u t, u s ) = E[u t u s ] = 0, t s, t, s = 1,..., n). En tal caso se dice que las perturbaciones son esféricas y se verifica que E[u] = 0 n 1 y V ar(u) = E[u u t ] = σ 2 I n n. La matriz X es no estocástica y de rango completo por columnas, es decir, rg(x) = k (como consecuencia n > k y las columnas de X, es decir, X i, i = 1,..., n, son linealmente independientes). No hay relación entre variables independientes y la perturbación aleatoria: Cov(u n 1, X i ) = E [ (u E[u]) (X i E[X i ]) t] = E [ u (X i X i ) t] = E[u n n ] = 0 n n. Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 13 / 68 Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Estimación del Validación del Explotación del Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 14 / 68

18 Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Validación del Explotación del Definiendo los errores o residuos, e, del lineal uniecuacional múltiple como la diferencia entre los verdaderos valores de la variable dependiente y su estimación, esto es e = y ŷ, donde ŷ = X β, y siguiendo la premisa de minimizar la suma de los cuadrados de los residuos e t e = (y X β) t (y X β) = y t y 2 β t X t y + β t X t X β, se obtiene la estimación del parámetro β como β = ( X t X ) 1 X t y. Dicho método recibe el nombre de mínimos cuadrados ordinarios, MCO, por lo que los estimadores obtenidos a partir de dicho método reciben el nombre de estimadores de mínimos cuadrados ordinarios, EMCO. Como consecuencias de dicha estimación se verifica que X t e = 0 k 1, i t e = 0 1 1, i t ŷ = i t y y ŷ t e = donde i t = ( ) 1 n. Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 15 / 68 Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Adviértase que: Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Validación del Explotación del y X t X = n n X t2 t=1. n X tk t=1 n X t2 n Xt2 2 t=1 t=1. n X tk X t2 t=1 X t y = n Y t t=1 n X t2 Y t t=1. n X tk Y t t=1 n X tk t=1 n X t2 X tk t= n Xtk 2 t=1, Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 16 / 68

19 Teorema de Gauss-Markov Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Validación del Teorema 1 (Teorema de Gauss-Markov) Los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios son lineales, insesgados y óptimos (ELIO), es decir, tienen varianza mínima entre la clase de los estimadores lineales e insesgados. En efecto, por la forma de escribirse el estimador es evidente que es lineal. Así, llamando: c 11 c c 1n C k n = ( X t X ) 1 k k Xt k n = c 21 c c 2n c k1 c k2... c kn, Explotación del se tiene que β se expresa como combinación lineal del vector y: c 11 Y 1 + c 12 Y c 1n Y n c 21 Y 1 + c 22 Y c 2n Y n β k 1 = C k n y n 1 =. c k1 Y 1 + c k2 Y c kn Y n. Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 17 / 68 Teorema de Gauss-Markov Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Validación del Explotación del Para que el estimador β de β sea insesgado se ha de cumplir que E[ β] = β. En efecto, sustituyendo y = Xβ + u en β: β = ( X t X ) 1 X t y = ( X t X ) 1 X t (Xβ + u) = β + ( X t X ) 1 X t u β = β + ( X t X ) 1 X t u. Entonces, teniendo en cuenta que E[u] = 0: [ E[ β] = E β + ( X t X ) ] 1 X t u = β + ( X t X ) 1 Xt E[u] = β. Por otro lado, la matriz de varianzas-covarianzas de β: ) [ ) ) ] [ t ) ) ] t V ar ( β = E ( β E[ β] ( β E[ β] = E ( β β ( β β [ (X = E t X ) 1 X t u u t X ( X t X ) ] 1 = ( X t X ) 1 Xt E[u u t ] X ( X t X ) 1 = σ 2 (X t X ) 1 X t X ( X t X ) 1 = σ2 (X t X ) 1, Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 18 / 68

20 Teorema de Gauss-Markov Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Validación del Explotación del donde se ha tenido en cuenta que β es insesgado, β β = (X t X) 1 X t u y V ar(u) = E[u u t ] = σ 2 I n n. Para demostrar que β es de mínima varianza consideraremos ) otro estimador, β, de β lineal e insesgado de forma que V ar ( β < V ar (β ). En efecto, β = D k n y n 1 tal que D X = I k k es lineal e insesgado. Además, V ar (β ) = σ 2 DD t. En tal caso, puesto que podemos escribir D = (X t X) 1 X t + W con W 0 k n, se tiene que DD t = (X t X) 1 + W W t, y en tal caso: V ar (β ) = σ 2 DD t = σ 2 (Xt X ) ) 1 +σ2 W W t = V ar ( β +σ 2 W W t, ) esto es, V ar (β ) V ar ( β = σ 2 W W t. ) Y como W W t es definida positiva: V ar (β ) V ar ( β > 0, y en tal caso: ) V ar (β ) > V ar ( β. Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 19 / 68 Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Validación del Explotación del Además de los coeficientes de las variables independientes, hay en el otra cantidad constante que habrá que estimar: la varianza de la perturbación aleatoria, σ 2. Un estimador insesgado de σ 2 es: σ 2 = et e n k, ya que E[e t e] = (n k) σ 2. Para calcular dicho estimador se dispone de la expresión: σ 2 = yt y β t X t y. n k En consecuencia, la estimación de la matriz de varianzas-covarianzas de β es: ) V ar ( β = σ 2 (X t X ) 1. Máster TCGE a la Econometría: regresión múltiple 20 / 68

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