Métodos de Integración

Transcripción

1 CAPÍTULO Métodos de Integrción. Integrción or cmbio de vrible Un vez resentdo el conceto de diferencil de un función, odemos introcir el método de integrción llmdo cmbio de vrible. Lo hremos rimermente r integrles indefinids y osteriormente r integrles definids... Cmbio de vrible en integrles indefinids L regl de l Cden r derivr funciones comuests estblece que si u f./ & y g.u/ gœf./, entonces: L diferencil corresondiente es Tomndo en cuent que u f./ f./, entonces: d.gœf.// g Œf./f./: (. d.gœf.// g Œf./f./ : (. dœg.u/ g.u/ : (. Como y hemos señldo, tod fórmul de derivción se convierte en un fórmul de integrción, y l que corresonde (. o su equivlente (. es g Œf./f./ gœf./ C C: (. Tmbién odemos decir de mner más simle que g.u/ g.u/ C C: (.. cnek.zc.um.m: / / 7

2 Cálculo integrl Podrímos combinr (. y (. de mner que se ued recir lo que se hce en este método: g Œf./f./ g.u/ g.u/ C C gœf./ C C: (.6 u f./i f./ : Ls igulddes (.6 describen esquemáticmente este método de sustitución o cmbio de vrible; en l integrl originl se debe encontrr un función u f./ y su diferencil f./, de mner que, l sustituir f./ or u, f./ or, el integrndo se brevi y simlific; cundo se clcul l integrl indefinid, obtenemos como resultdo un función de u, se termin escribiendo f./ en lugr de u r regresr ls vribles originles. Vemos continución lgunos ejemlos. Z Ejemlo.. Clculr l integrl. C /. Observndo el integrndo, se uede ver que si escribimos u C, entonces, que es el fctor que multilic. C /, sí que l integrl con este cmbio de vrible qued:. C / u : u C I : Est nuev integrl en l vrible u es muy fácil de clculr: u u C C: Ahor, r terminr el roceso escribimos C en lugr de u en el último resultdo r concluir que. C / Z Ejemlo.. Clculr l integrl C. C 7/. u u C C. C / C C: En este cso, l derivd de l eresión entre réntesis es el numerdor del integrndo, or lo que odemos hcer el siguiente cmbio de vrible: u C 7 &. C /. Así l integrl se simlific: C. C 7/ ā u u I u C 7I. C / : Est últim integrl se clcul fácilmente y un vez hecho esto regresmos l vrible originl oniendo C 7 en lugr de u: u u C C. C 7/ C C. C 7/ C C;

3 . Integrción or cmbio de vrible de modo que C. C 7/. C 7/ C C: Pr utilizr con éito el método que estmos viendo, se debe identificr un rte del integrndo como l función que llmremos u, y demás un fctor del integrndo deberá ser su diferencil,. En lgunos csos est diferencil uede fltrle un fctor constnte, el cul odemos oerr grcis l linelidd de l integrl. Z Ejemlo.. Clculr l integrl C C. En vist de los ejemlos nteriores, rece buen ide tomr como u l eresión dentro del rdicl: u C. Pero entonces su diferencil es. C 6/ y no lo que tenemos en el numerdor del integrndo; sin embrgo odemos notr que si fctorizmos result. C /, de donde. C /, sí que odemos sustituir y obtener:. C / C œ u C I. C / : u u u C C u C C: Ahor, l retomr l vrible originl, result:. C / C C C C: Z Ejemlo.. Clculr l integrl Œ C 6. C /. Con el cmbio de vrible u C 6. C 6 6/. C / : En el integrndo no rece. C / sino. C / ; ero si escribimos. C / se resuelve l integrl como sigue:. C 6/. C / u u C 6I. C / : Z Ejemlo.. Clculr l integrl Œ. C /. C 6/ C C: 7. C / C. u u C C

4 Cálculo integrl Aunque serí fácil evlur l integrl, desués de relizr uns cunts oerciones lgebrics, es ún más fácil hcer l sustitución u C &, con lo cul obtenemos: Œ. C / 7. C / C.u 7u C / u 7 u C u C C u C I : Z Ejemlo..6 Clculr l integrl t t C.6t 9/ dt.. C / 7. C / C. C / C C: Con el cmbio de vrible u t t C.t / dt no se coincide con el fctor del integrndo.6t 9/ dt; sin embrgo odemos fctorizr este último y obtener.6t 9/ dt.t / dt, con lo que l integrl se resuelve como sigue: t t t C.6t 9/ dt t C./.t u / dt u t.t t C I / dt: u u C C ( u C C.t t C / C C: En los ejemlos nteriores cbe mencionr que se fctoriz l diferencil r desués, or linelidd de l integrl, oner el fctor constnte que l multilic fuer de l integrl. e ningun mner se uede oner fuer de l integrl un fctor que involucre l vrible de integrción. Por ejemlo serí comletmente equivocdo hcer lo siguiente:. C /. C / u C I. C / : u u : L rimer iguldd es correct (unque no muy útil, ero l segund es un error. Z Ejemlo..7 Clculr l integrl e e C. Tomndo en cuent que l derivd de un función eonencil result en términos de ell mism, inferimos que un cmbio de vrible decudo odrí ser u e C. Pr u e C se tiene que e./ e, de donde e. Por lo nterior, e e e C e C u u ln juj C C ln je C j C C ln.e C / C C ln e C C C:

5 . Integrción or cmbio de vrible Z Ejemlo..8 Clculr l integrl cos sen C. Recordndo que l derivd de l función seno es l función coseno, odemos considerr como un cmbio de vrible decudo y sen C. Pr y sen C, dy.cos /./ dy cos, de donde dy cos. Por lo tnto, cos cos sen C.sen C / dy y y dy y C C./ y C C sen C C C: Z Ejemlo..9 Clculr l integrl. cos C sen /. Alicndo el cmbio de vrible d d ; de donde d. Por esto,. cos C sen /. cos C sen / d. cos C sen / d [ ] cos d C sen d Œ.sen / C. cos / C C sen cos C C: Z ln Ejemlo.. Clculr l integrl. Primero sermos en dos integrles: ln ln.ln / : Luego considermos un cmbio de vrible w ln dw. Entonces: ln.ln / w dw.ln /.ln / C C ln ln C C: dw w w C C e tn C Ejemlo.. Clculr l integrl cos. Primero considerremos que ( cos sec. cos Luego licmos el cmbio de vrible u tn.

6 6 Cálculo integrl Con u tn, sec & sec. Por lo que, e tn C cos [e tn C ] ( cos Œe tn C sec.e u C /.e u C / Œeu C u C C etn C tn C C: Ejemlo.. Clculr l integrl rctn C. Si considermos el cmbio de vrible y rctn : dy./ dy C. / C C dy: Luego entonces, rctn (rctn C C ( y C C ( y dy ( rctn C C: y dy Ejemlo.. Clculr l integrl e rcsen e e. Considerndo el cmbio de vrible t rcsen e : dt d.rcsen e /.e /.e / e e dt e e : Luego, e rcsen e e.rcsen e / e e t dt t C C.rcsen e / C C: Ejemlo.. Clculr l integrl e rctn C C C. e rctn C C e rctn C C C e rctn ( C C C C C C e rctn C ln ( C C rctn C C: C C A continución, licremos cmbios de vribles r clculr ls integrles de ls funciones: tngente, cotngente, secnte y cosecnte. Tmbién vmos clculr integrles cuyos resultdos son ls funciones rcoseno, rcotngente y rcosecnte. 6

7 . Integrción or cmbio de vrible 7 emostrr que tn d ln.cos / C C ln.sec / C C. sen Considerndo que tn d d, si usmos cos cos sen tn d cos d sen d ln C C ln.cos / C C cos Por lo tnto:. /ln.cos / C C ln.cos / C C ln ( cos tn d ln.cos / C C ln.sec / C C: sen d, entonces: C C ln.sec / C C: emostrr que cot d ln.sen / C C lncsc C C. Considerndo que cot d Por lo tnto: cos cot d sen d ( ln csc cos d, si usmos hor sen cos d, sen ln C C ln.sen / C C C C ln./ ln.csc / lncsc C C: cot d ln.sen / C C ln csc C C: emostrr que sec d ln.sec C tn / C C. Primero multilicmos y dividimos l integrndo or.sec C tn /..sec /.sec C tn / sec C sec tn sec d d d:.sec C tn / sec C tn Luego licmos el cmbio de vrible u sec C tn. Entonces: Por lo tnto, u sec C tn d sec tn C sec &.sec C sec tn /d: sec C sec tn sec d d sec C tn u sec d ln.sec C tn / C C: ln.u/ C C ln.sec C tn / C C: emostrr csc d ln.csc cot / C C. Primero multilicmos y dividimos l integrndo or.csc cot /..csc /.csc cot / csc csc cot csc d d d:.csc cot / csc cot 7

8 8 Cálculo integrl Luego licmos el cmbio de vrible y csc cot : y csc cot dy d csc cot. csc / csc cot C csc & dy.csc csc cot /d: Y hor: csc csc cot csc d d csc cot dy y ln y C C ln.csc cot / C C: Por lo tnto, csc d ln.csc cot / C C: emostrr ( u u rcsen Considerndo que C C ; con >. rcsen C C, otmos or el desrrollo siguiente. Y que, u ( u u jj u ( u : Entonces, u ( u ( u : Ahor licmos un cmbio de vrible, donde desejmos l vrible originl u en términos de l nuev vrible : u u & : Luego, u ( u rcsen C C rcsen u C C: Por lo tnto, u rcsen u C C: emostrr Considerndo C u ( u rctn C C. rctn C C, decidimos resentr el siguiente desrrollo: C C u ( C u C ( u : 8

9 . Integrción or cmbio de vrible 9 Alicmos hor un cmbio de vrible, donde (de nuevo desejmos l vrible originl u en función de l nuev vrible u u & : Luego, C u C ( u C rctn C C ( u rctn C C: C Por lo tnto, emostrr u u ( u rcsec Considerndo u C u ( u rctn C C: C C ; con >. rcsec C C, otmos or el siguiente rocedimiento: ( u u jj u (u I entonces, u u ( u u ( : u u Alicmos de nuevo el mismo cmbio de vrible y el mismo rocedimiento que en ls dos últims demostrciones. u u & : Luego, u u ( u u rcsec C C ( u rcsec C C: Por lo tnto, u u rcsec ( u C C: Observción. En ls tres últims demostrciones, no rocedimos como en los ejemlos nteriores. Al relizr el cmbio de vrible u no rocedimos l cálculo de l derivd sino que nuestro rocedimiento fue diferente: desejmos l vrible originl u en términos de l nuev vrible, r luego clculr l derivd y l diferencil. Finlmente, desués de ls sustituciones ertinentes, clculmos l integrl. Este rocedimiento nos ermite clculr integrles que de l otr mner no serí osible. Vemos lgunos ejemlos. Ejemlo.. Clculr l integrl. 9

10 Cálculo integrl Alicmos el cmbio de vrible y, de donde desejmos l vrible originl en función de l nuev vrible y. Esto es, y y y C : Ahor clculmos l derivd dy y & l diferencil y dy. Luego sustituimos y clculmos,.y C /y ( y dy (y C y dy (y 6 C y [ y 7 ] dy 7 C y C C 7 y7 C y C C ( 7 ( C C C 7 7. / 7 C. / C C: Ejemlo..6 Clculr l integrl. Considerndo el cmbio de vrible w, desejmos l vrible originl en función de l nuev vrible w. Esto es, w w w C : Ahor clculmos l derivd w & l diferencil w dw. Luego sustituimos y clculmos, dw (w C (w w.w dw/ C 6w C 9 w dw (w 6 C 6w C 9w [ w 7 dw 7 C 6 w C 9 ] w C C ( 7 ( ( C C 6 C C 7 7. / 7 C. / C 6. / C C: Ejemlo..7 Clculr l integrl ( C. Alicmos el cmbio de vrible función de l nuev vrible u. Esto es, ( C u, de donde desejmos l vrible originl en ( C u C u u ( u ( u : Ahor clculmos l derivd & l diferencil. ( u ( u 6 ( u u 6 ( u u :

11 . Integrción or cmbio de vrible Luego sustituimos y clculmos. ( [ C (u ].u/6 ( u u (u (u 8 6 ( C 6u ( u (u 6 u u [ ] 6 9 u9 u C C 9 ( C C C ( 9 ( C C C C: Ejemlo..8 Clculr l integrl. Considermos el cmbio de vrible t, de donde desejmos l vrible originl./ en términos de l nuev vrible t. Esto es, t t t ( t t : Ahor clculmos l derivd dt & l diferencil. Al sustituir, obtenemos: dt ( t t. t/. t / & t dt t : ( t dt t t t ( t t dt (t t dt t t C C ( t t dt t ( t t dt [ t t ] C C ( ( C C: Ejercicios.. Cmbio de vrible. Soluciones en l ágin 9 Alicndo l técnic integrción or cmbio de vrible, clculr ls siguientes integrles indefinids:.. / C... / 9... C / C /.

12 Cálculo integrl e C / e. cos.sen / d. sec.tn C / d.. /. C /.. / C. C. cos C sen sen cos d. e C e C. sec tn C d. rcsen. rctn C. ln. rcsec. ln. e sen sen d. e e e C e. ln. e rctn C. e tn e cos e. e e tne cos e ( ln C C. C. / 9... C / C.. C.. C /..e C / 8 e. 6 cos.sen / d. sec.tn C / d. 8. C /. C C /. 9. / C. C C C. cos C sen sen cos d. e e C. sec tn C d. rcsen.. rctn C 9. ln rcsec 9. ln. e. C e / e. e e. e C e ln. e rctn C. e tn e. cos e e e tne. cos e e C e. C e dt. t.t / C y dy.. C /..t / 6 t dt. r r.r / dr. t C 6t.t C / dt. y dy. y C w C C w C dw. C C C. sen r k cos k d. cos r k sen k d.

13 . Integrción or cmbio de vrible tn r k sec k d. cot r k csc k d sec r k tnk d. csc r k cotk d... Cmbio de vrible en integrles definids Pr resolver integrles definids que requiern de integrción or cmbio de vrible se uede roceder de dos mners, que son equivlentes. Suongmos que desemos clculr l integrl definid: b f Œg./g./ : Est integrl se uede evlur de ls forms siguientes: Z. Clculr rimero l integrl indefinid f Œg./g./ or cmbio de vrible, y un vez que se eres el resultdo en términos de l vrible originl se evlú en los límites de integrción, b.. Al hcer el cmbio de vrible u g./ & g./, los límites de integrción tmbién deben cmbir, ues hor l vrible de integrción es u, que v desde g./ hst g.b/, sí que b f Œg./g./ u g./i g./ : g.b/ g./ f.u/ : (.7 Z Ejemlo..9 Evlur l integrl. C /. /.. Clculmos rimero clculr l integrl indefinid:. C /. / u u C C. C / C C: u. C I / : Continundo de est mner, tenemos: [.. C / C /. / 8. / ] C. C / 7:. 8 C /. Si licmos l segund form (.7:. C /. / u. C I / I u./ & u./ 8: 8 u u 8 8. / 7:

14 Cálculo integrl Observe que en el segundo rocedimiento (.7, l cmbir los límites de integrción, se simlific l evlución. Al emler este método se debe tener cuiddo con el intervlo de integrción, ues l función integrndo debe ser continu en dicho intervlo ntes y desués del cmbio de vrible. Pr muestr vemos el siguiente ejemlo. Z Ejemlo.. Evlur t t C 6.t / dt.. Clculmos rimero l integrl indefinid: t t C 6.t / dt u u C C.t t C 6/ C C: u t.t t C 6I / dt: el resultdo nterior se obtiene: t t C 6.t / dt.t t C 6/. C 6/. C 6/ :. Si clculmos l integrl definid hciendo l sustitución y cmbindo los etremos del intervlo de cuerdo con dich sustitución, result: t t C 6.t / dt u : u t.t t C 6I / dti u./ & u./ : El resultdo del cálculo se reci formlmente en est últim evlución, sin embrgo hy que enftizr que dicho cálculo tiene un equeño defecto: l función que hemos integrdo no está definid en el intervlo bierto.; /, ues involucr l ríz cudrd de un número negtivo, como uede verse en l figur. u u t t C 6 t Si bien es osible dr sentido lo que se clculó en este ejemlo e interretr el resultdo correctmente, no lo hremos or hor, ues imlic mniulr números comlejos e integrción con ellos, lo cul está fuer de los objetivos de este libro.

15 . Integrción or cmbio de vrible Z Ejemlo.. Evlur l integrl t t C 6.t / dt. Este ejemlo es continución del nterior; usmos el rocedimiento que consiste en cmbir vribles y límites de integrción: t t C 6.t / dt u t.t t C 6I / dti u./ & u./ 6I 6 u u 6 6.6/.6/ 6: En este cso l función del integrndo está bien definid y es continu en el intervlo de integrción Œ; 6. Ejemlo.. Evlur l integrl Z. /. En rinciio uede recer lógico el siguiente cmbio de vrible: u. /. / I. /. / 8 u 8 u u. / 8 Œ8. / :. / I u./ & u./ 8: Sin embrgo, esr de que esto se ve correcto, el cálculo no lo es, ues el integrndo originl no está definido r, ni el de l integrl con el cmbio de vrible r u. El resultdo no es válido. Como referenci futur, enuncimos continución el resultdo que hemos licdo en los últimos ejemlos:.. Fórmul de cmbio de vrible r integrles definids Si g./ & g./ son funciones continus en el intervlo Œ; b, entonces: b f Œg./g./ g.b/ g./ En el entendido de que l integrl del ldo derecho eist. f.u/ : (.8 Ejemlo.. Clculr l integrl definid sen cos.

16 6 Cálculo integrl Considerndo que d.sen / cos, rocedemos de l siguiente mner. sen cos y sen dy cos I y sen I [ ] y dy y [ y ] y sen : : Ejemlo.. Clculr l integrl 8 tn sec. Al relizr el cmbio de vrible w tn : 8 tn sec Ÿ w tn dw.sec /I w tn I 8 w tn : w ( dw w dw w [ ] Œ : ( [ ] w Ejemlo.. Clculr l integrl e ln. Considerndo que ln ln y que d.ln /, rocedemos de l siguiente mner: e ln e ln e.ln / š u ln I u ln I e u ln e : [ u u ] [ ]./ : Ejemlo..6 Clculr l integrl 6 9 C.

17 . Integrción or cmbio de vrible 7 Aquí conviene eliminr medinte un cmbio de vrible y eresr en términos de l nuev vrible: C 9 u u I u u I u I 9 u 9 : u u C.u/ u u u C ( u C u C [ ] [ ].u / C u C.u / C ln.u C / [. / C ln. C / ] [. / C ln. C / ] C ln./ ln./ C ln [ ] : En l iguldd se relizron imlícitmente dos cmbios de vrible r clculr ls integrles involucrds. Ejemlo..7 Clculr l integrl ln e. C e /. Considerndo que d ( C e e, rocedemos de l mner siguiente: ln e. C e / œ ln ( C e e ( y dy y dy y C e dy e I y C e C I ln y C e ln C e ln : [ y ] [ ] [ y ] [ ] [ ] : Ejemlo..8 Clculr l integrl 9 C y dy. 7

18 8 Cálculo integrl Aquí conviene considerr C y como un nuev vrible, es decir, C y; luego eresr y como función de dich vrible r clculr dy. 9 C y dy œ q C y C y I y. / dy. / I q y C I q y 9 C 9 : [ [. / 8 C ] [ ] [(. / ( ] ( 9 7 ( 8 ]. / : Ejercicios.. Cmbio de vrible. Soluciones en l ágin Alicndo l técnic de integrción or cmbio de vrible, clculr ls siguientes integrles definids e ln. tn. cos. jj C. dy y ( C y e ln cos C sen. rctn C. C ln. e C e. sec C tn C 9. sen cos d. cos sen d. tn sec d. y y C dy. 6. r dr r C w w dw. 7. rcsen.. 9 C.. C C C. 8

19 . Integrción or cmbio de vrible 9 Ejercicios.. Cmbio de vrible. Pregunts, ágin... / C C. 7. / C C. 7. ln j j C C.. ` C 9 C C. 9. ln ` C C C. 6. C C C e C / 6 C C. 8. sen C C. 9. C C. tn C. ` C C C.. q` C C C.. ln j C j C C.. ln jsen cos j C C.. ln je C j C C.. ln jtn C j C C. 6..rcsen / C C. 7..rctn / C C. 8. ln C C. 9..rcsec / C C.. ln jln j C C.. e sen C C.. ln.e C e / C C...ln / C C.. e rctn C C...tn e / C C. 6. e tn e C C. 7. h ln C C i C C. 8.. / C C. 9. C C C.. ln j C j C C.. ` C C. 9

20 Cálculo integrl. ln C C C.. C C C.. `e C 9 C C. 8..sen / C C tn C C C. ` C C C C q` C C C. 9. ln ` C C C C.. ln jsen cos j C C.. ln je C j C C.. ln jtn C j C C...rcsen / C C.. ln C C.. 6.rctn / C C. 6. ln C C. 7..rcsec / C C. 8. ln jln j C C. 9. 6ln C e 6 C C.. ln e C e C C.. ln6 C C.. erctn C C.. tn e C C.. etn e C C.. ln ` C e C rctn e C C. q 6. 6 t C q C C. t ` ` 7. C y C y C C / 7 C. / C. / C C. «9. t 8 C t 7 «C C. 8 7

21 . Integrción or cmbio de vrible r /.r / C C. t C `t C C C. ` 6. y C 6 ` y C C ln j y C j C C. 6. C w C C C w C 6ln C w C C C. 6. C C C C C ln C C C C. 6. k.r C / senrc k C C. 66. k.r C / cosrc k C C. 67. k.r C / tnrc k C C. 68. k.r C / cotrc k C C. 69. kr secr k C C. 7. kr cscr k C C. Ejercicios.. Cmbio de vrible. Pregunts, ágin ln ln /... «. C ln.