Cap. Distribuciones de. probabilidad. discreta. Distribuciones de probabilidad. discreta Pearson Prentice Hall. All rights reserved

Transcripción

1 Cap 6 36 Distribuciones de Distribuciones de probabilidad discreta probabilidad discreta

2 Variables aleatorias Una variable aleatoria (v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento aleatorio Su valor se determina al azar. Variables aleatorias de denotan como X. 6-2

3 EJEMPLO Variables aleatorias Supongamos un experimento aleatorio consiste en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento los siguientes serían variables aleatorias: 1. Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde X puede tomar valores x= 2, 3, 4,..., Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y puede tomar los valores y = 0, 1, Sea Z la v.a número de impares en los dados donde Z puede tomar los valores z=0,1,2. 6-3

4 Variables aleatorias discretas Una variable aleatoria discreta tiene una cantidad finita de valores o el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable es un conjunto numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo. Los valores de una variable aleatoria discreta se pueden representar en una recta numérica como puntos separados por un espacio. 6-4

5 Variables aleatorias continuas Una variable aleatoria continua tiene un número infinito de valores. Puede tomar todos los valores de un intervalo. Suelen estar asociados al resultado de medir. Los valores de una variable aleatoria continua se pueden representar en una recta numérica de una manera ininterrumpida. 6-5

6 EJEMPLO contínuas Distinguir entre variables aleatorias discretas y Determinar si las siguientes variables aleatorias son discretas o continuas. Nombrar los posibles valores para la variable aleatoria. a) El número de bombillas que se funden en una habitación de 10 bombillas de luz durante el próximo año. b) nº de preguntas en una clase de una hora. c) El tiempo transcurrido entre llamadas al 911. d) cantidad de agua consumida en un mes 6-6

7 Variables aleatorias - ejemplo Variable aleatoria: Y = nº de caras al lanzar tres veces una moneda Posibles valores de Y: 0, 1, 2, 3 Si se lanza una moneda 3 veces los posibles resultados son: E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX} La variable aleatoria Y: - Toma valor 0 cuando ocurre el suceso XXX - Toma valor 1 cuando ocurre XXC,XCX ó CXX - Toma valor 2 cuando ocurr CCX,CXC ó XCC - Toma valor 3 cuando CCC 6-7

8 Distribuciones de probabilidad Una distribución de probabilidad proporciona los valores posibles de la variable aleatoria X y sus correspondientes probabilidades. Una distribución de probabilidad se puede dar en forma de una tabla, como gráfica o fórmula matemática. 6-8

9 EJEMPLO Una distribución de probabilidad discreta La tabla a la derecha muestra la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, donde X representa el número de DVDs que una persona alquila de una tienda de videos en una sola visita. x P(x)

10 EJEMPLO Identificar una distribución de probabilidad Presenta la siguiente tabla una distribución de probabilidad? Justifique su respuesta. x P(x)

11 EJEMPLO Identificar una distribución de probabilidad Presenta la siguiente tabla una distribución de probabilidad? Justifique su respuesta. x P(x)

12 EXAMPLE Identifying Probability Distributions Presenta la siguiente tabla una distribución de probabilidad? Justifique su respuesta. X P(x)

13 Histograma de probabilidades Un histograma de probabilidades es un histograma en el que el eje horizontal corresponde a los valores de la variable aleatoria y el eje vertical representa la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria. 6-13

14 EJEMPLO Dibujar un histograma de probabilidades Dibuje una distribución del histograma de probabilidades del experimento de la derecha, que representa el número de DVDs que una persona alquila en una sola visita a una tienda de videos. x P(x)

15 EJEMPLO Dibujar un histograma de probabilidades Dibuje una distribución del histograma de probabilidades del experimento lanzar una moneda 3 veces. S ={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX} X = nº de caras al lanzar una moneda tres veces x P(x) 1 8 = = = =

16 Media de una variable aleatoria discreta La media de una variable aleatoria discreta está dado por la siguiente fórmula μ x = x P x donde x es el valor de la variable aleatoria y P(x) es la probabilidad de observar el valor x. 6-16

17 EJEMPLO Calcular la media de una variable discreta aleatoria Calcular la media de la distribución de probabilidad a la derecha, que representa el número de películas que una persona alquila en una tienda de vídeo durante una sola visita. X x P( x) x P(x) (0.06) 1(0.58) 2(0.22) 3(0.10) 4(0.03) 5(0.01)

18 Interpretación de la media de una variable aleatoria discreta Sea X una variable aleatoria discreta y x 1, x 2,, x n los valores de X para n experimentos. Entonces, x = x 1+x 2 + +x n n la diferencia entre x y μ se aproxima a 0 a medida que n aumenta. y 6-18

19 Los siguientes datos representan el número de DVDs alquilados por 100 clientes seleccionados al azar en una sola visita. Calcule la media del número de DVDs alquilados. 6-19

20 X x x... x

21 A medida que el número de repeticiones del experimento aumentan, la media del número de alquileres se aproxima a la media de la distribución de probabilidad. Media aumentando el número de repeticiones Repeticiones 6-21

22 Valor esperado Debido a que la media de una variable aleatoria discreta representa lo que esperamos que ocurra a largo plazo, también se llama el valor esperado, E (X), de la variable aleatoria. La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta será: k x k k i i i 1 E( x) m x p x p... x p x p 6-22

23 EJEMPLO Calcular el valor esperado para una variable aleatora discreta Una póliza de seguro de vida a término pagará al beneficiario una suma determinada de dinero en caso de fallecimiento del titular de la póliza. Estas pólizas tienen primas que se deben pagar anualmente. Supongamos que una compañía de seguros de vida vende un año de póliza de seguro de vida por $250,000 a una mujer de 49 años de edad por $ 530. Según el Instituto Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28, la probabilidad de que la mujer va a sobrevivir el año es de Calcule el valor esperado de esta póliza a la compañía de seguros x P(x) Sobrevive No sobrevive E(X) = 6-23

24 Varianza y desviación estándar para v.a. La varianza de una variable aleatoria discreta está dada por la fórmula: La desviación estándar : 6-24

25 EJEMPLO Calcular σ y σ 2 para una variable aleatoria discreta Calcular la varianza y la desviación estándar de la distribución de probabilidad a la derecha, que representa el número de películas que una persona alquila en una tienda de vídeo durante una sola visita. x P(x) x P(x) x X x 2 X x 2 P( x) X

26 Sección 6.2 La distribución de probabilidad para una variable aleatoria binomial 6-26

27 Criterios para un experimento de probabilidad binomial Un experimento se dice que es un experimento binomial si 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. Cada repetición del experimento se llama un ensayo. 2. Los ensayos son independientes. Esto significa que el resultado de un ensayo no afectará a los resultados de los otros ensayos. 3. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes (o disjuntos), el éxito o el fracaso. 4. La probabilidad de éxito es fijo para cada ensayo del experimento. 6-27

28 Notación usada en la distribución de probabilidad binomial Número de ensayos independientes del experimento se denota n Nombramos p la probabilidad de éxito en el experimento y 1 p, la probabilidad de fracaso. Si X es una variable aleatoria binomial que denota el número de éxitos en n pruebas independientes de un experimento binomial, entonces 0 < x < n. 6-28

29 EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no (a) Un jugador tira un dado justo de seis caras 10 veces. X es el número de veces que sale el 7. Solución: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento. 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. 2. Los ensayos son independientes. 3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento 4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante. 6-29

30 EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no (b) En una clase de 30 estudiantes, 55% son mujeres. El instructor selecciona al azar a 4 estudiantes. Se registra el número X de mujeres que fueron seleccionadas. Solución: 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. 2. Los ensayos son independientes. 3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento. 4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante. 6-30

31 EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no (c) Tomando en cuenta las 11 líneas aéreas más grandes en Estados Unidos, se determina que existe una probabilidad de 84.7% de que un vuelo salga a tiempo. Para determinar las razones para atrasos, un oficial de la FAA elige vuelos aleatoriamente hasta que encuentra 10 vuelos que NO estuvieron a tiempo. X representa el número total de vuelos que tuvo que seleccionar. Solución: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento. 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. 2. Los ensayos son independientes. 3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento. 4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante. 6-31

32 EJEMPLO: Construir una distribución de probabilidad para un experimento binomial usando un arbol de decisión 1ER ENSAYO 2ND ENSAYO 3ER ENSAYO 4TO ENSAYO RESULTADO No. de éxitos De acuerdo con el Informe al Consumidor de Air Travel, sus aviones más grandes lograron un 79.0% de vuelos a tiempo en Mayo de Suponer que se seleccionan 4 vuelos al azar en mayo del 2008 y X es el número de vuelos que estuvieron a tiempo. Construya una distribución de probabilidad para la variable aleatoria X usando un diagrama de árbol. 6-32

33 La distribución de probabilidad binomial La probabilidad de obtener x número de éxitos en n ensayos independientes en un experimento de probabilidad binomial es P x = C x p x n 1 p n x donde x=0, 1, 2,, n y p es la probabilidad de éxito. 6-33

34 EJEMPLO Usar la probabilidad binomial Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al menos 3 automóviles. (a)en una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3 autos? n = 20, x = 5, p = 0.35 P x = C x p x n 1 p n x 6-34

35 EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación) Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles. (b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que menos de 4 tienen tres o más coches?? 6-35

36 EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación) Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles. (b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que al menos 4 tienen tres o más coches? 6-36

37 Media y desviación estándar de una variable Un experimento de probabilidad binomial, con n ensayos independientes y una probabilidad de éxito de p, tiene una media y una desviación estándar dada por las siguientes fórmulas μ x = np y σ x = np(1 p). 6-37

38 EJEMPLO Hallar la media y la desviación estándar de una variable aleatorio binomial Según informes de una compañía de automóviles, el 35% de los hogares tienen al menos 3 automóviles. En una muestra aleatoria simple de 400 hogares que tienen autos, determine la media y la desviación estándar de los hogares que tendrán al menos 3 autos. 6-38

39 EXAMPLE Constructing Binomial Probability Histograms (a) Construir un histograma de la probabilidad binomial con n = 8 y p = Para construir un histograma de probabilidad binomial, primero obtenemos la distribuciónón. Luego, construimos el histograma de la probabilidad de la distribución. X P(X)

40 Tablas de distribuciones binomiales

41 EXAMPLE Constructing Binomial Probability Histograms (b) Construir un histograma de la probabilidad binomial con n = 8 y p =

42 EXAMPLE Constructing Binomial Probability Histograms (c) Construir un histograma de la probabilidad binomial con n = 8 y p = 0.8 X P(X) 6-42

43 Construir un histograma de la probabilidad binomial con n = 25 y p =

44 Construir un histograma de la probabilidad binomial con n = 50 y p =

45 La Regla Empírica 3-45

46 La Regla Empírica Para una probabilidad fija de éxito, p, a medida que el número de ensayos, n, aumenta en un experimento binomial, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X se convierte en forma de campana. Como regla general, si np(1 - p)>= 10, entonces la distribución de probabilidad será, aproximadamente, de forma de campana. Este resultado nos permite utilizar la Regla Empírica para identificar observaciones raras. 6-46

47 EJEMPLO El uso de la media, desviación estándar y regla empírica para detectar resultados inusuales en un experimento binomial De acuerdo con el Experian Automotive, el 35% de los hogares con automóviles tienen tres o más coches. Un investigador cree que este porcentaje es mayor que el porcentaje reportado por Experian Automotive. Se tomó una muestra simple aleatoria de 400 hogares con automóviles y se encontró que 162 tenían tres o más coches. Es este resultado inusual? 6-47

48 EJEMPLO Usar la regla empírica para detectar resultados inusuales en un experimento binomial Depakote es un medicamento cuyo propósito es reducir el dolor asociado con los dolores de cabeza de migraña. En ensayos clínicos y estudios prolongados de Depakote, 2% de los pacientes en el estudio experimentaron aumento de peso como efecto secundario. Sería raro observar 16 pacientes que experimenten aumento de peso en una muestra aleatoria de 600 pacientes que toman el medicamento? Por qué? 6-48