RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

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1 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(7,, ) y tiene la dirección del vector k. ACTIVIDADES x 7 y z Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto medio del segmento de extremos A(,, ) y B(7,,). x 9/ y z 9 6 Existe algún valor de m para el cual A(, m, 0), B(m,, ) y C(, 8, ) estén alineados? m Están los puntos A(, 4, ), B(,, 0) y C(, 6, ) alineados? Si es así, calcula la ecuación continua de la recta que los contiene. los puntos están alineados. La recta es: x y z Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a la siguiente recta: s: x y z (x, y, z) (,, ), Determina las ecuaciones de los planos OXY y OYZ. Plano OXY: z 0; plano OYZ: x 0 Da la ecuación general del plano que pasa por A(, 0, 0), B(0,, 0) y C(0, 0, ). x y 6z 6 0 Halla la ecuación vectorial de una recta que pasa por P(,, ) y es perpendicular al plano x y z 0 0. (x, y, z) (,, ) (,, ), Copia y completa la tabla siguiente. rg(m) rg(m*) Tipo de sistema Posición de los planos Secantes Determina los valores de m y n para que el plano 9x my z 0 0 y el plano x y nz m 0 sean paralelos. m, n 4 Incompatible Determina las posiciones relativas de cada uno de los siguientes pares de planos. a) :x y z 4 : y z b) : x y z :x y z 4 0 c) : x y z :x y z 9 0 a) Planos secantes. b) Planos paralelos. c) Planos coincidentes. Calcula la ecuación de un plano que pasa por el punto P(,, ) y es paralelo al plano de ecuación x 4y z 0. x 4y z 9 0 Halla la ecuación vectorial de la recta solución de corte de estos dos planos: x y z 0 y x y z. (x, y, z) (/, 0, /) (0,, ), 4 Determina las ecuaciones de dos planos que se corten en esta recta: r: x y z 6 : x y y :x z 7 Copia y completa la tabla siguiente. rg(m) rg(m*) Tipo de sistema Posición de los planos Incompatible Compatible indeterminado Incompatible Planos secantes en un punto Planos coincidentes Determina la posición relativa de cada una de las siguientes ternas de planos. a) :x y z : x y z = :x y 6z 7 b) :x y z 4 : x y z = 7 :x y z 0 a) Se cortan en el punto P(,, ). b) Son secantes dos a dos. c) Se cortan en una recta. :x y z : x y z :x y z c). Rectas y planos en el espacio

2 Copia y completa la tabla siguiente en tu cuaderno. rg(m) rg(m*) Tipo de sistema Posición de las rectas Incompatible Discute la posición relativa de las rectas r y s en función del valor del parámetro k: x 4y z k r: s: x y z Si k 6, las rectas se cruzan. Rectas secantes Incompatible Rectas coincidentes A partir de los siguientes pares de rectas, determina su posición relativa. a) x y 4, r: z x y z 0 s: 4x 4y 7z 0 b) x r: y 4 z x y z 7 0 s: x y z 8 0 c) r: x y z x y 4z x 4y z s: x 6y z 0 a) Las rectas se cruzan. b) Las rectas se cortan en el punto P(0,, ). c) Las rectas se cruzan. y z 6 y z k Si k 6, las rectas se cortan en el punto P(,, 4). rg(m) Copia y completa la siguiente tabla. rg(m*) Tipo de sistema Incompatible Posición de la recta y el plano Recta contenida en el plano Determina las posiciones relativas de cada uno de los siguientes pares de recta y plano. a) x y 4, y el plano : x y 7z 4 0 r:z b) r: x y z 0 y el plano : x y x y z x c) r: x y z 0 y el plano : : y 7,, x y z z a) La recta y el plano se cortan en el punto P, 7 8 8,. b) La recta y el plano son paralelos. c) La recta está contenida en el plano. Halla el valor del parámetro p para que la recta x y z y el plano x y z sean: p a) Paralelos b) Secantes a) p. b) p. Determina, sin realizar ninguna operación, la posición relativa de las rectas r: (x, y, z) (,, ) (,, ), x y z y s: 0 con respecto al plano cuyas ecuaciones paramétricas son: x : y, z Las rectas son paralelas al plano. Ejercicios y problemas Determinación de rectas y planos 4 Halla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela x y z a la de ecuación: que pasa por el pun- to (0,, 4). x y, z Dada la recta r: (x, y, z) (,, ) (,, ), determina si los puntos A(,, ), B(, 0, ), C(,, ) y D(, 4, ) pertenecen a ella. Todos pertenecen a ella, a excepción del punto C. Determina la ecuación vectorial de la recta r que pasa por el punto P(,, ) y por el origen de coordenadas. (x, y, z) (,, ), Halla la ecuación continua de una recta que pasa por el punto medio del segmento determinado por los puntos A(,, ) y B(,, ) y que tiene un vector director perpendicular a los vectores: u (,, ) y v = (,, ). x y z 7 4 Dados los puntos A(,, ), B(0, 0, ) y C(,, ), deduce la ecuación de la recta que pasa por C y es paralela a la recta determinada por los puntos A y B. x y z Dados los puntos A(, 6, ) y B(,, ), determina los puntos en que la recta que pasa por A y B corta a los planos coordenados. P (0,, ), P (4, 0, ), P (,, 0). Determina la ecuación de un plano que pasa por el punto P(,, ) y cuya dirección la determinan los vectores v (,, ) y v (,, 0). x y z 8 0 Calcula la ecuación general de un plano determinado por el punto P(,, ) y los vectores u (,, 0) y v (,0,). x 4y z 90 Calcula la ecuación vectorial del plano que contiene a la recta de ecuación: (x, y, z) (,, ) (,, ), y al punto A(,, ). (x, y, z) (,, ) (,, ) (, 4, ) Geometría

3 4 6 7 Halla la ecuación general del plano determinado por las rectas: x y z x y z x 9y z 0 Halla las ecuaciones vectorial, paramétrica y general del plano que pasa por el punto P(,, ), que es perpendicular al plano OXY y que tiene un vector director perpendicular a los vectores u (,, ) y v (,, 0). Ecuación vectorial: (x, y, z) (,, ) (0, 0, ) (,, ) Ecuaciones paramétricas: x y z Ecuación general: x y 0, Calcula las ecuaciones paramétricas de un plano paralelo al eje OZ cuya intersección con el plano OXY es la recta (x, y, z) (,, 0),. x : y,, z Calcula las ecuaciones paramétricas de un plano que pasa por los puntos P(,, ) y Q(,, 4) y que tiene a v (, 0, ) como uno de sus vectores directores. x : y 4, z 6 Utilizando la ecuación segmentaria o canónica, representa el plano de ecuación x y z 4. (0, 8, 0) Z O (0, 0, ), Y Determina la ecuación general de este plano: X x y z 6 0 Z O Encuentra la ecuación del plano que contiene los puntos P(,,),Q(,, ), y a S como intersección de la x recta r: y, y el plano : x y z 0. z x y 0. Determina la ecuación de la recta perpendicular al plano : x y z 0 que pasa por el punto (,, a) del plano. (x, y, z) (,, ) (,, ), 4 Consideramos el plano : x y z 6 y la recta r: x y z. Halla su intersección. 4 P(,, ). Considera las rectas r: x y z y s: x y 7 z y el punto P(,, ), halla la ecuación de la recta que pasa por P y corta a r y s. a) Halla la ecuación general del plano que contiene a la recta r y al punto P. b) Halla el punto M de intersección de la recta s y el plano. c) Halla la ecuación de la recta que pasa por P y M. d) Comprueba que la recta hallada en el apartado anterior es la recta buscada. a) y z 0 Y 8 X (4, 0, 0) Escribe las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua y general de la recta intersección del plano x z 6 con el plano coordenado OXZ. Ecuación vectorial: Ecuaciones paramétricas: Ecuación continua: (x, y, z) (, 0, 0) (, 0, ) x y 0 z x y z b) M(,, ) c) x y 4 z Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto x y z 0 P(0,, 0) y es paralela a r: x y z (x, y, z) (0,, 0) (0,, ) Determina las coordenadas de los extremos de un segmento AB donde A pertenece al plano x y z 0, x y z el punto B pertenece a la recta y el punto medio del segmento es (0, 0, 0). A, 8, y B, 8, Ecuación general: x z 6 y 0. Rectas y planos en el espacio

4 46 Determina la ecuación del plano perpendicular a x y z r: que pasa por el origen de coordenadas. x y x y z 0 Consideramos los puntos P(, a, ), Q(0, a, a) y R(,, 6 6a): a) Halla el valor de a para que P, Q y R estén alineados. b) Cuando los tres puntos están alineados, cuál es la ecuación de la recta que los contiene? a) a b) (x, y, z) (0,, ) (,, ) Determina la ecuación de la recta contenida en : x y 6z 0 que corta a los ejes OY y OZ. (x, y, z) (0,,0) 0,, 49 Una recta r es paralela a s: x y z, corta en el punto A a la recta t: x y z y en el punto B a la recta l: x y z. a) Halla la ecuación del plano determinado por r y t. b) Calcula el punto de intersección del plano anterior con la recta l y halla el punto B. c) Halla la ecuación de la recta r y el punto A. a) x y z 0. b) B(,, 0). c) x y z A(, 0 ) Considera r: x y z 0 y P(0,, ). Determina la ecuación del plano que pasa por P y corta perpendicu- larmente a r. La ecuación del plano es: x y z Sean y los planos determinados por las ecuaciones x y z 0 y x y z, respectivamente. Qué expresión tiene la recta que pasa por P(0,, ) y es paralela a la recta de intersección de y? x y z Considera el punto P(,, 9) y la siguiente recta: x r: y z 6 a) Halla la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por P. b) Calcula la proyección ortogonal de P sobre r. a) s: x y 4 z 6 6 b) P 0 (, 4, 6) Sea el plano de ecuación : x y 4 0. Averigua si P(0, 4, 0) pertenece a la recta perpendicular al plano que pasa por el punto A(,, ). P no pertenece a la recta. 4 Considera los puntos en el espacio A(,, ), B(0,, ) y C(k,, ): a) Encuentra la ecuación de la recta r que pasa por A y B. Escríbela en forma vectorial y paramétrica. b) Para qué valores de k los puntos A, B y C determinan un triángulo? c) Halla la ecuación del plano perpendicular a la recta r que pasa por el origen de coordenadas. a) (x, y, z) (,,) (,0,) b) Cualquier valor k 4. c) La ecuación del plano es: x z 0 Determina la ecuación del plano que contiene a la y recta r: x z y pasa por (0,0,0) x y z 0 x y z Considera los puntos del espacio A(0,0,0),B(,,) y C(0,, ): a) Determina la ecuación del plano ABC. b) Si D es el punto de coordenadas (k, 0, 0), qué valor debe tomar k para que los cuatro puntos A, B, C y D sean coplanarios? c) Halla el punto de intersección del plano ABC con la recta que pasa por P(,, ) y tiene la dirección del vector v (,, 0). a) x y z 0 b) k 0. c) La recta y el plano no se cortan nunca. Comprueba que la recta que pasa por los puntos A(4, 0, 0) y B(0,, ) es paralela al plano de ecuación : x y z, y calcula el plano que la contiene y es perpendicular a. 8x y z Encuentra la ecuación general del plano que pasa por P(,, 0) y es perpendicular a la recta intersección de estos planos: : x y z 0 y :x y z 0 El vector director de la recta es: 4x y z 4 0. Posiciones relativas 9 60 Determina los valores de m y n para que los planos 9x my z 0 0 y x y nz m 0 sean paralelos. m y n 4 Halla m, n y k para que los planos: a) Sean paralelos. b) Coincidan. c) Sean secantes. a) n y m b) n, m y k 4 : x ny z 4 0 : x y mz k 0 c) n, m y k, o bien, m, n y k 4 Geometría

5 6 6 Calcula A, B y D para que Ax By z D 0 sea paralelo al plano x y z 0 0 y pase por el punto P(,, ). A6, B4, D 6 Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(,, 0) y pasa por la recta: x y z r: x y z y z 0. Comprueba si la recta r: x y 6 z está 4 contenida en el plano : x y z 0 0. La recta y el plano se cortan en el punto: P 7 4,, 4 x y z 64 Dadas estas rectas r: y x y z x z s: y halla la ecuación del plano que 4 contiene a r y es paralelo a s. : x 6y 4z 0 6 Comprueba que los planos x ay az 0 y x ay az 0 se cortan en una recta r que pasa por el origen, cualquiera que sea el valor de a 0. Calcula la posición relativa de r con el plano x (a )y z 0 para los diferentes valores de a 0. Si a 0 y a, la recta corta el plano. Si a, la recta está contenida en el plano. 66 Encuentra la ecuación del plano determinado por la x y z 0 recta r: y el punto P(,,). x y z : x 0 Calcula la ecuación del plano que pasa por P(0,, ) y es paralelo al plano : x y z 0. x y z 0 x y z Dada la recta r: y el plano x y z : kx y z 4, determina la posición relativa de r y en función del valor del parámetro k. Si k, la recta y el plano se cortan en un punto. Si k, la recta y el plano son paralelos. Calcula la ecuación del plano que pasa por (, 0, ), es perpendicular a : x y z 0 y es paralelo a: x y 0 r: z 0 x y 4z 0 70 Calcula el valor de a para que sean paralelos la recta r y el plano de ecuaciones: x y z r: y : ax y z x y z Existe algún valor de a tal que r y sean perpendiculares? No pueden ser perpendiculares. 7 Halla el valor de m que hace que contenga a r: x y z r: y : mx 0y 4z x y z m 7. 7 Discute en función de k la posición de la recta x y z y el plano cuya ecuación es x y kz 0. Haz una interpretación geométrica. Si k, la recta y el plano son paralelos. Si k, la recta y el plano se cortan en el punto:,, k k k 7 Halla la ecuación del plano que contiene a la recta: x y z 0 r: y al punto P(,, ). x y z 4 0 7x 7y z Se consideran los planos, y : : x ky z k : x y kz (k ) : kx y z k a) Determina, según los valores de k,las posiciones relativas de los planos, y. b) Halla la intersección, y en el caso k. a) Si k, los tres planos son paralelos. Si k, los tres planos se cortan en una recta. Si k y k, los tres planos se cortan en un punto. b),, 0 7 Halla la posición relativa de las rectas: x y z 4x y z x y z 4 x 7y z r: y s: El sistema es compatible determinado y las dos rectas se cortan en un punto: P 9, 4, 76 Se consideran las rectas de ecuaciones: x y z 0 y z r: y s: x x z 0 n a) Halla n para que r y s sean paralelas. b) Para el valor de n obtenido, determina la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. a) n. b) : xy6z80 77 Determina la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(, 0, ) y es perpendicular al plano determinado por el origen de coordenadas y la recta: x z s: y z r: x y z 78 Determina los valores de a y b para que las siguientes rectas se corten ortogonalmente: x y 0 x by r: y s: ax z 0 y z b, a. 79 Determina la posición relativa de : x y z 4 y la recta: r: x y 4 z La recta y el plano se cortan en el punto: P 9, 4,. Rectas y planos en el espacio

6 80 8 Calcula la ecuación de la recta que pasa por (,, ) y es paralela a : x y z y : x y z. El vector director de la recta es: v r (,, ) (,, ) (,, 4) x y r:z 4 Dado, sea la recta r que pasa por P(,,) y cuyo vector director es v (, 4, 6): a) Escribe las ecuaciones de las rectas obtenidas, respectivamente, para los valores 0 y. b) Prueba que todas las rectas obtenidas como se ha descrito, variando en, están contenidas en un plano y determina la ecuación general de dicho plano. a) Para 0: x y 4 r:z 6 Para : x y 6 r:z b) : 8x y z 0 8 Dadas las siguientes rectas, determina si existen y halla lo que se pide en cada apartado: y x y / z x x z 8 84 r: y s: a) El plano paralelo a la recta s que contenga a la recta r. b) El plano perpendicular a s que contenga a r. c) La recta de dirección perpendicular a ambas que pasa por el origen. Sí que existen a) : x y z 0 b) No existe c) x y z Calcula el valor del parámetro a para que las siguientes rectas sean coplanarias: x t y t x y z 0 r: s: z t x ay z a=0 La recta r y el plano tienen en común el punto P(,, ). Además, r corta perpendicularmente a. Se sabe también que el punto Q(,, ) está en y que el vector v (0, 0, ) es un vector con origen en un punto de y extremo en otro punto de. Encuentra la ecuación de r. x y r:z 8 Dadas las rectas: r: x y z y s: x y z y el punto A(,, ), calcula la ecuación de la recta que pasa por A y corta a r y s. 9 x 0 y z En el espacio ( ) se consideran los tres planos de ecuaciones : x y z, : px y pz y : px y z, donde p es un parámetro real: a) Determina para qué valores de p los tres planos se cortan en un único punto, A. Halla este punto cuando p. b) Existe algún valor de p que haga que la intersección común sea una recta, r? Si es así, escribe la ecuación vectorial de dicha recta. c) Halla la posición relativa de los tres planos si p /. a) p / y p. Si p, se cortan en (,0,0) b) Si p, (x, y, z),, 0 (, 0, ), c) Cuando p /, no hay intersección común de los tres planos. Discute el sistema x y z x py z 0 px 6y z en función del valor del parámetro p. Realiza la interpretación geométrica en cada caso y resuélvelo cuando sea compatible. Si p 4 y p, rg(a), el sistema es compatible determinado. x, y 0,z p p p Si p 4, el sistema es compatible indeterminado. x=, z 8 y Si p, el sistema es incompatible. Considera las siguientes rectas: x y 0 y r: s: 0 x z 0 x z 0 a) Halla un punto y un vector director de cada una de ellas. b) Determina si existe cada uno de los objetos siguientes y, en caso afirmativo, calcula su ecuación: El plano paralelo a la recta s que contiene a r. El plano perpendicular a s que contiene a la recta r. La recta perpendicular a r y s que pasa por (0,0,0). a) La recta r pasa por el punto P(, 4, 4) y un vector director es: v (,,);la recta s pasa por el punto B(, /, 0) y un vector director es: w (,0,). b) x yz / el plano perpendicular a s que contiene a r. x y, z 6 Geometría

7 89 y z Dado este x y z sistema:( m)x (m )z m discútelo según los valores de m y en cada uno de los casos de la discusión haz una interpretación geométrica del sistema. Si m, los tres planos se cortan en un punto. Si m, los tres planos se cortan en una recta. Problemas de aplicación Determina qué representa cada una de las ecuaciones siguientes siendo, y e : a) x d) x y y z z b) c) x y z x y z e) f) a) Recta que pasa por P(0,, 0) y cuyo vector director es v (, 0, ). b) Punto de coordenadas (,,). c) Recta que pasa por P(, 0, ) y cuyo vector director es v (0,,0). d) Plano que pasa por el origen y cuyos vectores directores son u (,,0) y v (,0,). e) Plano que pasa por P(,,) y cuyosvectores directores son u (,,) y v (,,). f) Representa el espacio tridimensional. Sea el tetraedro de vértices A(0, 0, 0), B(,, ), C(, 0, 0) y D(0,,0). a) Calcula la ecuación del plano que contiene a la cara BCD y la del plano que contiene a la cara ACD. b) Calcula las ecuaciones de dos de las alturas del tetraedro, la que pasa por el vértice A y la que pasa por el vértice B. (La altura de un tetraedro es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular a la cara opuesta). c) Comprueba que las dos alturas anteriores se cortan en un punto P. a) La ecuación del plano que contiene a la cara BCD es: x y z 0 La ecuación del plano que contiene la cara ACD es: z 0 x x y y z z x y z x y z b) r A : r B : c) Buscando el punto de intersección de las dos rectas anteriores, se obtiene P(,, ). Halla la ecuación general del plano limitado por los puntos A(,, ), B(, 0, ) y C(,, 0). Calcula el volu-men del tetraedro que limita con los planos cartesianos. V u 8 0 Se suponen cinco puntos del plano: P (,, ), P (,, ), P (,, ), P 4 (,, 0) y P (, 4, ). Contesta razonadamente si forman parte del mismo plano. No pertenecen a un mismo plano Sean A, B y C los puntos de la recta: x y 6 z 6 que están sobre los planos coordenados x 0, y 0 y z 0, respectivamente. a) Determina razonadamente cuál de los tres puntos se encuentra entre los otros dos. b) Siendo D un punto exterior a la recta, indica, razonadamente, cuál de los triángulos DAB, DBC o DAC tiene mayor área. a) C está entre A y B. b) El triángulo DAB será el de mayor área. Construye un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que represente en el espacio: a) Un punto. b) Una recta. c) Un plano. Repite el ejercicio anterior en el caso en el que el sistema tenga dos ecuaciones. Qué condición deberán cumplir las ecuaciones de 4 planos en forma general para que estos determinen un tetraedro? Determina si estos planos forman un tetraedro. : x y z : x y z : x y z 4 : x y z Para que los planos determinen un tetraedro, el rango de la matriz ampliada del sistema deberá ser 4. Los planos forman un tetraedro. Los vértices son: V (,, ) V (,, ) V (,, ) V 4 (,, ) Sea r una recta cuyo vector director es v r (v, v, v ). Es posible encontrar un plano cuyo vector normal sea paralelo al vector director de r y que no contenga puntos de r? Si la contestación es negativa, razona por qué. Si la contestación es positiva, encuentra la ecuación del plano en el caso particular en que v r (,, ) y sabiendo que la recta pasa por (0, 0, 0). No es posible. Se considera el plano : x y z 8 0 y el punto P(,, ). Da las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P y es perpendicular a. Encuentra la ecuación general del plano simétrico del plano respecto de P. Sea Q un punto cualquiera de y Q el punto de corte de la recta QP con tal que P es el punto medio del segmento QQ. Razona si existe alguna relación entre Q y Q. x y r:z : x y z 0 0 Q y Q coinciden. Determina la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y toca a las rectas: r: (x, y, z) (,, ), 0x 7y 0 y 4z 0 s: x y z x z 4. Rectas y planos en el espacio 7

8 x z 0 Determina si las rectas r: y y x s: se cruzan y, si es así, determina la ecua- y z 6 ción de su recta perpendicular común. Las rectas se cruzan. 8 Geometría t: (x, y, z) (, 0, ) (,, ), Dados los puntos A(,, 0), B(0,, ) y C(,, ), que forman parte de un conjunto de soluciones de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: a) Están alineados estos puntos? b) Se puede conocer el rango de la matriz del sistema de ecuaciones? a) No están alineados,. b) Si, el rango será. Determina la posición relativa de: x y z y 4, y s: x r:z 6 En caso de que sean secantes encuentra el punto de intersección; y si se cruzan, determina la ecuación de la recta perpendicular común. Las rectas se cruzan. t: (x, y, z) (, 4, 6) (0,, ), Considera los planos : x y z y : ax (a )y z 4: a) Existe algún valor del parámetro a para el que la intersección de los planos y no sea una recta? b) Calcula un vector de la recta que se obtiene cuando se hace la intersección de y para el valor del parámetro a 0. a) Si a, los planos son paralelos. b) u (,, ) Calcula la proyección ortogonal de P(,0,) sobre la siguiente recta: x y 0 z P 0,,0 Halla la proyección ortogonal del punto P(0,,) sobre : x y z 6. P 0 (,, 6) x 07 Calcula la proyección de y, sobre el plano : x y z. z x / r 0 : y / z 09 Halla el simétrico de P(, 0, ) respecto del punto A(,, ), P. P (4, 4, 9) Dado el punto P(,, ) y la recta r: el simétrico de P respecto de r. P, 4 x y 0, halla z 0, Actividades tipo test Escoge y razona la respuesta correcta en cada caso: 0 La ecuación del plano que contiene la recta x t y 4 t y el punto P(,, ) es: z t a) x 9y z 0 b) x 9y z 40 c) x 9y z d) x 9y z 4 La respuesta correcta es la b). La ecuación de la recta que pasa por el punto P(7, 4, 9) y es paralela a los planos : 7x z 0 y : x y z 7 es: a) (x, y, z) (7, 4, 9) (,8,7), b) x 7 y 4 z c) 8x y 7 8x y 7 d) 6x y z 7 La respuesta correcta es la a). Dados los planos : x by az 9 y : x y 7 0: a) Son paralelos si a 0 y b 6 y son perpendiculares si b / para cualquier valor de a. b) Son paralelos si a 4 y b 6 y son perpendiculares si b (7a )/ para cualquier valor de b. c) Son perpendiculares si a 0 y b 6 y son paralelos si b / para cualquier valor de a. d) Son paralelos si a 0 y b 6 y son perpendiculares si b / para cualquier valor de a. La respuesta correcta es la a). La posición relativa del plano xy z y la recta x y z x y z 0 es: a) Son paralelos. b) La recta está contenida en el plano. c) Son secantes. d) El sistema no es compatible, no hay solución. La respuesta correcta es la c). 4 La ecuación de la paralela a la recta que pasa por A(,, ) y B(9,, 7) y que pasa por (, 0, 0) es: a) x y z b) x y z c) x y z x y d) 8 z 8 La respuesta correcta es la c). El punto A(,, ) es el simétrico de B respecto del plano x 4y z 9. El punto B es: a) (,, ) b) (, 4, ) c) (,, 8) d) (4, 9, ) La respuesta correcta es la c).

9 Evaluación. Escribe las ecuaciones vectorial, continua y paramétricas de una recta que pasa por el punto medio del segmento de extremos los puntos A(,, ) y B(,, ), y que es paralela a la recta de ecuación: x r: y, z 4 Vectorial: (x, y, z) (,, ) (,, ), con Continua: x y z x Paramétricas: y, r:z x. Escribe la ecuación general de un plano que pasa por el punto A(,, ) y contiene a la recta: y, r:z 4 : x y z 0. Determina el valor de a para que los siguientes planos se corten dos a dos: :x y z 0 :x y z : x y az 6 a 7 4. Determina la posición relativa de las rectas: r: x y z x s: y z 4 Las rectas se cruzan.. Determina una ecuación del plano que contiene a la recta r: x y z y pasa por el punto P(,, ). 4 r: 7x 4y 4z Determina el punto intersección del plano que pasa por el punto P(,, 0) y contiene a la recta: r: x y 4 z x con la recta y, s:z 6 -,, x 7. Calcula la recta simétrica a: y, respecto del plano : x y z 7 0. s:z Sol : s : (x, y, z) (, 0, ) (,, ), con. Rectas y planos en el espacio 9