Relaciones importantes para la entropía.

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1 rmodinámica II 2I Rlacions importants para la ntropía. Entropía Formalmnt la ntropía s d n a partir d la dsigualdad d Clausius I 0 () n dond:! H indica qu la intgral s va a ralizar n todas las parts d la frontra y durant todo l ciclo.! El suíndic indica qu l intgrando s valua n la frontra dl sistma qu raliza l cíclo. La c () s pud xprsar n forma quivalnt como I dond, n principio, rprsnta la roustz d la dsigualdad = (2) = no hay irrvrsiilidads n l sistma hay irrvrsiilidads n l sistma imposil Dado qu la intgral cícilica d cualquir propidad s cro y qu una cantidad cuya intgral cíclica s cro dpnd solo dl stado y no d la trayctoria, d modo qu s una propidad, ntoncs s posil d nir la propidad trmodinámica, dnominada ntropía a partir d la c (2) con = 0 como ds = (3) Si s intgra la c 3 s pud stalcr l camio d ntropía d un sistma durant un procso ntr los stados y 2 S = S 2 S = (4) Balanc d ntropía. Podmos imaginar un ciclo como l mostrado n la Fig., constituido por dos procsos, uno aritrario d!2 y otro rvrsil d 2!. D la c (2), tndrmos A + pro la sgunda intgral dl lado izquirdo s la d nición d Z 2 S = S 2 S = = (5) S, d modo qu sta cuacion da lugar a A + (6) Esta cuación s la xprsión para l alanc d ntropía n sistmas crrados. Esta cuación dl camio n la ntropía para un procso aritrario, incluy, como caso particular, a un procso rvrsil para l cual = 0 y n 2R A 2R dond =.

2 :jpg Ciclo útil para dsarrollar l alanc d ntropía. R = procso rvrsil. A = procso aritrario. El principio dl incrmnto d la ntropía. Sa un sistma xtndido qu consist n un sistma y la part d los alrddors qu s v afctada cuando l sistma xprimnta un procso. Como todas las transfrncias d nrgía y masa prsnts ocurrn dntro d la frontra dl sistma xtndido, ést s un sistma aislado. El alanc d nrgía para l sistma aislado (sistma xtndido) s: E] aislado = 0 (7) Como no hay transfrncia d masa y dado qu la nrgía s una propidad xtnsiva, su valor para l sistma aislado s la suma d sus valors corrspondints para l sistma y sus alrddors, la c. (7) pud xprsars como: E] sistma + E] alrd = 0 (8) El principio d la consrvación d la nrgía impon una rstricción al procso. Sin margo, no todos los procsos para los cuals sta rstricción s cumpl ocurrn n los hchos. Los procsos dn, admás, satisfacr la sgunda ly. Un alanc d ntropía para un sistma aislado toma la siguint forma S] aislado = como s trata d un sistma aislado = 0, y la c toma la forma + aislado (9) S] aislado = aislado (0) dond aislado s la cantidad total d ntropía producida n l sistma y sus alrddors (sistma xtndido). Dado qu n todo procso ral s gnra ntropía, los únicos procsos qu pudn ocurrir son aqullos para los cuals la ntropía dl sistma crrado aumnta. Esto s conoc como l principio dl incrmnto d la ntropía. Est principio s a vcs considrado un nunciado altrnativo para la sgunda ly. Ahora in, como la ntropía s una propidad xtnsiva, su valor para l sistma aislado s la suma d sus valors para l sistma y sus alrddors, así la c (0) toma la forma S] sistma + S] alrd = aislado () Es muy important rcalcar, dado qu 0 para todo procso ral, qu la c () no implica qu l camio d la ntropía sa positivo tanto para l sistma como para los alrddors, sino solamnt qu la suma d los camios sa positivo. El principio dl incrmnto d la ntropía sñala la dircción n qu procd un procso: los procsos ocurrn sólo n la dircción n qu la ntropía total dl sistma y los alrddors s incrmnta. Datos d ntropía Hay distintas manas d otnr valors d ntropía para sustancias puras: talas, grá cas, cuacions y algunos programas d cómputo. 2

3 # Datos para vapor En la rgión d sorcalntaminto d las talas para agua y rfrigrants, la ntropía spcí ca,s, stá taulada junto con v, u y h contra prsión y tmpratura. # Datos para saturación Para los stados d saturación, los valors d s f y s g stán taulados como función tanto d la prsión d saturación como d la tmpratura d saturación. La ntropía spcí ca d una mzcla d dos fass d líquido y vapor s calcula usando la calidad x s = ( x)s f xs g (2) = s f + x(s g s f ) # Datos para líquido Hay talas para líquido comprimido, n llas s stá taulada contra tmpratura y prsión. En ausncia d datos para líquido comprimido, los valors para la ntropía spcí ca pudn stimars d la misma manra como s stiman v y u para stados n la fas líquida, mdiant l uso dl valor dl líquido saturado a la tmpratura dada s(; p) s f ( ) (3) Las cuacions ds Aunqu l camio n la ntropía ntr dos stados pud cuanti cars mdiant la c (4), s muy usual mplar las cuacions ds para st tipo d cálculo. Las cuacions ds prmitn valuar los camios n la ntropía a partir d otras propidads más fácils d dtrminar. Para dsarrollar las cuacions ds, s considrará un sistma puro, comprsil simpl qu xprimnta un procso intrnamnt rvrsil. Si no hay moviminto dl sistma como un todo y s ignoran los fctos d la gravdad, l alanc d nrgía n forma difrncial s Por d nición d sistma simpl comprsil, l traajo s y d la c (3) rprsntada n otra forma Si s sustituyn las cs (5) y (6), la primra cuación ds s () = du + (W ) (4) (W ) = pdv (5) () = ds (6) ds = du + pdv (7) La sgunda cuación ds s otin d la c (7) y d H = U + pv, al xprsar la difrncial ordnando los términos s tin dh = du + d(pv ) = du + pdv + V dp du + pdv = dh V dp Al sustituir sta xprsión n la c (7) s otin la sgunda cuación ds Las cuacions ds pudn scriirs con as n la masa como ds = dh V dp (8) ds = du + pdv ds = dh vdp (9) Camio d ntropía d una sustancia incomprsil. 3

4 El modlo d sustancia incomprsil supon dos cosas:! l volumn spcí co (dnsidad) s constant! la nrgía intrna spcí ca dpnd sólo d la tmpratura Co dichas suposicions, du = c( )d;n dond c( ) rprsnta l calor spcí co, d modo qu d la sgunda c (9) s tin c( )d ds = al intgrar, l camio n la ntropía spcí ca s s 2 s = Z 2 c( )d Cuando l calor spcí co s constant, la xprsión antrior toma la forma Camio d ntropía d un gas idal s 2 s = c ln 2 (sustancia incomprsil y c ct.) (20) Para valuar l camio n la ntropía ntr dos stados d un gas idal, s pudn usar las cs (9). Para llo s convnint xprsar dichas cuacions n la sigint forma Para un gas idal ds = du + p dv (2) ds = dh v dp (22) du = c v ( )d dh = c p ( )d pv = R con R = 8;34 kj kmolk =M Con las rlacions antriors, las cs (2) y (22) s pudn xprsar como ds = c v ( ) d + R dv v y ds = c p ( ) d R dp p (23) Intgrando las cs (23), s tin s( 2 ; v 2 ) s( ; v ) = s( 2 ; p 2 ) s( ; p ) = Z 2 c v ( ) Z 2 c p ( ) d + R ln v 2 v (24) d R ln p 2 p (25) Como c v y c p son funcions d la tmpratura, s ncsario conocr xplícitamnt sta rlación funcional ants d intgrar. Admás, para un gas idal los calors spcí cos stán rlacionados por d modo qu asta conocr sólo uno d llos. # Uso d talas para gas idal c p ( ) = c v ( ) + R 4

5 Dl mismo modo qu para los camios d la nrgía intrna y la ntalpía d gass idals, la cuanti cación d los camios d ntropía para gass idals pud simpli cars mdiant la taulación d datos. D namos la varial s ( ) como s ( ) = Z c p ( ) d dond / s una tmpratura d rfrncia aritraria. La intgral d la c (25) s pud xprsar n términos d s ( ) como Z 2 c p ( ) d = Z 2 d modo qu la c (25) s pud scriir como # Calors spcí cos constants c p ( ) d Z c p ( ) d = s ( 2 ) s ( ) s( 2 ; p 2 ) s( ; p ) = s ( 2 ) s ( ) R ln p 2 p (27) Cuando los calors spcí cos c v y c p s considran constants, las cs (24) y (25) s rducn a s( 2 ; v 2 ) s( ; v ) = c v ln 2 + R ln v 2 v s( 2 ; p 2 ) s( ; p ) = c p ln 2 R ln p 2 p Balanc d ntropía y d ujo d ntropía para sistmas crrados # Balanc d ntropía El alanc d ntropía para sistmas crrados stá dado por la c (6) S = S 2 S = + En forma difrncial, l alanc d ntropía para sistma crrados s ds = + (28) # Balanc d ujo d ntropía El alanc d ujo d ntropía stá dado por la xprsión (26) ds dt = j _ j j + _ (29) Balanc d ujo d ntropía para volúmns d control El alanc d ujo d ntropía para volúmns d control s pud drivar d la c (29) si s incorpora la transfrncia d ntropía por transport d masa. El rsultado s ds vc dt = j _ j + j _m s s _m s s s + _ vc (30) dond dsvc dt rprsnta l camio nto n l ujo d ntropía n l volumn d control; _m s y _m s cuanti can la ntropía transfrida por l ujo d masa qu ntra y qu sal, rspctivamnt. El término _ j rprsnta l ujo d calor n l sitio d la frontra dond la tmpratura s j. Así l cocint j cuanti ca l ujo d ntropía acompañado por transfrncia d calor. El término _ vc dnota la rapidz con la qu s gnra la ntropía dido a irrvrsiilidads dntro dl volumn d control. _ j 5

6 # Flujo n stado stacionario Es important hacr un rcunto dl ujo n stado stacionario y l fcto sor la masa, la nrgía y la ntropía para sta condición. En stado stacionario, l principio d consrvacion d masa adopta la forma _m s = _m s s s s El ujo d nrgía n stado stacionario s 0 = _ vc _W vc + _m h + V gz Finalmnt, l ujo d ntropía n stado stacionario s _m s h s + V s gz s 0 = j _ j j + _m s s _m s s s + _ vc (3) - Una ntrada y una salida n volúmns d control n ujo stacionario. La c (3) cuando l volumn d control tin sólo una ntrada y una salida s rduc a 0 = j _ j j + _m(s s s ) + _ vc (32) O si s divid por l ujo d masa y s ordna apropiadamnt 0 s s s _ j A + _ vc _m j j _m (33) En l caso spcial n l qu no hay transfrncia d ntropía acompañada por calor, la c (33) s rduc a s s s = _ vc _m Así, cuando hay irrvrsiilidads prsnts dntro dl volumn d control, la ntropía d una masa unitaria aumnta al ir d la ntrada a la salida. (34) 6

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