Hacia la universidad Álgebra lineal

Transcripción

1 Hi l universi Álger linel OPCIÓN A Soluionrio. Un mtriz ur A se llm ntisimétri uno su trspuest es igul su opuest. Otén l form generl e un mtriz A e oren que se ntisimétri. Clul A, A y A. Consieremos l mtriz ntisimétri A: A A I A A A I Por tnto, A A A I. Estui pr qué vlores e, l mtriz A 7 tiene invers. Hll l mtriz A pr. Pr que A teng mtriz invers, tiene que ourrir que A A 7 ( ) ( 7); A 7 Si y 7, entones A y, por tnto, A tiene invers. Cálulo e A pr A 7, A ( ) ( 7), Aj A 7 A (Aj A) t A Un iniviuo invirtió reprtios en tres empress y otuvo e enefiios. Clul l inversión reliz en empres, sieno que en l empres A hizo el ole e inversión que en l B y C junts y que los enefiios e ls empress fueron el % en l empres A, % en l B y % en l C. El sistem resultnte es: A B C A B C,A,B,C A, B, C En l empres A invierte, en l B invierte y en l C invierte. 88 Soluionrio

2 Soluionrio. Disute, según los vlores e los prámetros y, el sistem e euiones lineles: x y z x y z x z ormmos ls mtries M y M* e oefiientes y mpli, respetivmente. M M* Clulmos M y otenemos : M ( ) e one: y si ó si M M Si se tiene: Si ; rg(m) rg(m*), el sistem es omptile inetermino, tiene infinits soluiones (iprmétrio). Si ; rg(m) rg(m*), el sistem es inomptile, no tiene soluión. Si, se tiene:. Si ; rg(m) rg(m*), el sistem es omptile inetermino, tiene infinits soluiones (iprmétrio). Si ; rg(m) rg(m*), el sistem es inomptile, no tiene soluión. Si y ; rg(m) rg(m*), el sistem es omptile etermino, tiene un úni soluión.. Hll l mtriz, one e son os mtries el sistem: 7 8 restno miemro miemro, result: Análogmente: restno miemro miemro, result: A ontinuión hllmos:

3 Soluionrio. ) Despej l mtriz en funión e A e I en l euión ( ) A A I, sieno y A mtries urs e oren os, e I l mtriz ienti e oren os. ) Resuelve l euión, B B I, si B e I l mtriz ienti e oren os. ) Pr espejr l esrrollmos el inomio y simplifimos: ( ) A A I A A A A I A A I A I A Se multipli término por A por l izquier: ( ) A A A I A A I A AA A A ) De form nálog, espejmos l y opermos on l mtriz B: B B I B B B, B, Aj B B (AjB) t B 7. ) Se onsier l mtriz A one, y son tres números reles ritrrios. Enuentr A n pr too número rel nturl n. ) Se B un mtriz x ritrri. Ini, justifino l respuest, si son ierts o flss ls firmiones siguientes: i) Si el rngo e B es, entones el rngo e B tmién es. ii) Si el rngo e B es, entones el rngo e B³ tmién es. ) Hllmos A y A³: A, A³. Es ovio que A n pr n. ) L firmión i) es fls, y que si elegimos l mtriz B y hllmos B se otiene: B B e form que rg(b) ; rg(b). ii) es verer y que si rg(b) B, entones rg(b³) y que B³ : B³ B B B. 8. Un fári proue os moelos e lvors, A y B, en tres terminiones: N, L y S. Proue el moelo A: unies en l terminión N; unies en l terminión L; y unies en l terminión S. Proue el moelo B: unies en l terminión N; unies en l terminión L; y unies en l terminión S. L terminión N llev hors e tller y hor e ministrión. L terminión L llev hors e tller y, hors e ministrión. l terminión S llev hors e tller y, hors e ministrión. ) Represent l informión en os mtries. ) Hll un mtriz que exprese ls hors e tller y e ministrión emples pr uno e los moelos. ) Informión en form mtriil: Mtriz e prouión: Mtriz e oste en hors: - ils: Moelos A, B. - ils: Terminiones: N, L, S - Columns: Terminiones: N, L, S. - Columns: Coste en hors: T, A M N,, ) Mtriz que expres ls hors e tller y e ministrión pr uno e los moelos: MN, 7 7, Soluionrio

4 Soluionrio OPCIÓN B. Enuentr el vlor o vlores el prámetro que he que el sistem t z y x no teng soluión úni. En ese o esos sos, si es posile, lul sus soluiones. Sen M y M* ls mtries e oefiientes y mpli, respetivmente. Pr que el sistem no teng soluión úni ee umplirse que rg(m) rg(m*) < número e inógnits. ( ) Si : M* x y z t x y z t. Tiene infinits soluiones.. Rzon que l mtriz A tiene invers ulquier que se el vlor el prámetro. Clul A en funión e. Resuelve ls euiones mtriiles*: A A ( ) AZ A A. El eterminnte e A es istinto e ero, ulquier que se. Por tnto, siempre existe l mtriz A. Hllmos A : A, Aj (A) A ) (Aj A A t Despejmos : A Despejmos : (, ) A (, ) (, ) Despejno Z: Z A A (* Ests euiones fltn en el enunio originl el liro.)

5 Soluionrio Soluionrio. Hll el rngo e l siguiente mtriz, según los vlores e los prámetros y : A Como result que, si, entones rg(a). Si, entones tenemos l mtriz uyo rngo es os, ulquier que se el vlor e. Si vemos si puee tener rngo. Hemos e onsierr los eterminntes: D ( ) ( ) D ( )( ) D ( ) ( ) D Si,, entones D y rg(a). Si, entones D y rg(a). Si, entones l mtriz A es: Como ( )( ), result que, pr, si, y, entones rg(a). Si, entones rg(a).. Es onmuttivo el prouto e mtries? Si l respuest es firmtiv, emuéstrlo; si es negtiv, un ejemplo que lo pong e mnifiesto. Qué mtries onmutn on l mtriz A? A En generl, el prouto e mtries no es onmuttivo. Ejemplo: sen A y B 7 BA AB AB BA Es ovio que el prouto e mtries no es onmuttivo. Se un mtriz que onmut on. Entones: Igulno los elementos orresponientes e ms mtries Ls mtries uss son e l form

6 . ) Enuentr el número e vetores linelmente inepenientes que hy en el onjunto e vetores: S {(,, ); (,, ); (,, ); (,, )} ) Determin un vetor que, tenieno sus os primers omponentes igul, se pue poner omo ominión linel e los vetores seguno y terero e S. ) Al ser vetores e R³, el máximo número e vetores linelmente inepenientes es. Como, entones los tres primeros vetores son linelmente inepenientes. El urto epene linelmente e los nteriores. ) (,, z) (,, ) (,, ) ; ; z. Se tiene que, ; z Por tnto, el vetor uso es (,, ).. Clul el vlor el siguiente eterminnte: Sumno l terer fil l segun, otenemos: terer son igules. ( ), y que ls fils primer y 7. El ueño e un r h ompro refresos, ervez y vino por importe e (sin impuestos). El vlor el vino es menos que el e los refresos y el e l ervez onjuntmente. Tenieno en uent que por los refresos ee pgr un IVA el %, por l ervez el % y por el vino el %, lo que he que l ftur totl on impuestos se e,, lul l nti inverti en tipo e ei. Sen R en refresos, C en ervez y V en vino ls nties invertis en tipo e ei. R C V R C V El sistem resultnte es: R C V R C V R C V R C V, R ; C ; V ; Soluión: en refresos, en ervezs y en vino. 8. Un mtriz ur M es ortogonl si umple M M I, one I es l mtriz ienti y M es l trspuest e M. Determin si l mtriz siguiente es ortogonl: Si llmmos M l mtriz, tenemos que ompror si M M I M M I Luego l mtriz no es ortogonl. Soluionrio

7 Soluionrio Nots: Soluionrio

8 Nots: Soluionrio