B: DINAMICA. & r, y la

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1 10 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B: DINAMICA B.1.-Un bloque B de asa desliza con roce despreciable por el interior de un tubo, el cual a su vez ira en la dirección indicada por la flecha, con velocidad anular constante ω o alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por uno de sus extreos (O). El bloque B está unido ediante una cuerda inextensible a un bloque P tabién de asa.calcule la fuerza que el tubo ejerce sobre el bloque B, en función de su distancia al eje O y del ánulo φ, si en el instante que uestra la fiura el bloque P está subiendo con una rapidez O P (Prob. B.1) (Prob. B.2) B.2.- Considere dos anillos de asa cada uno, que deslizan sin roce, uno por una barra vertical y el otro por una barra horizontal, coo se uestra en la fiura. os anillos están unidos entre sí por una cuerda inextensible de laro. Suponiendo que el sistea se libera desde el reposo, con la cuerda forando un ánulo θ = 30 con la horizontal (ver fiura), deterine: a) la ecuación de oviiento para el ánulo θ. b) la tensión de la cuerda en función de θ. c) la velocidad de la partícula que desliza por la barra horizontal cuando olpea la barra vertical. B.3.- Una partícula de asa desliza sin roce por una superficie sei-esférica de radio partiendo desde el punto ás elevado con una velocidad inicial a) deterine el ánulo θ ο en el cual la partícula se despea de la superficie. b) deterine a que distancia de la base de la sei-esfera la partícula cae sobre la superficie horizontal, y con qué velocidad. Φ θ B ω o 1 θ θ 2 (Prob. B.3) (Prob. B.4) B.4.- Un anillo de de asa 1 desliza con roce despreciable a lo laro de una barra horizontal, unido ediante una cuerda inextensible de laro a una una partícula de asa 2. En un cierto instante, cuando el sistea se encuentra en reposo, se le da una velocidad inicial al anillo. Encuentre una expresión para la tensión de la cuerda en función del ánulo θ (que fora la cuerda con la vertical) y de sus derivadas respecto al tiepo, coo únicas variables. B.5.- Una partícula de asa desliza con roce despreciable por el interior de una superficie cónica de eje vertical y ánulo θ (ver fiura). En el instante inicial la partícula se ueve con una velocidad sobre la superficie del cono en una dirección perpendicular a su eje, a una distancia r o del vértice. Encontrar r & & r, y la fuerza noral que ejerce la superficie del cono sobre la partícula en función de su distancia r al vértice del cono.

2 11 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. x θ r o a (Prob. B.5) (Prob. B.6) B.6.- Un cubo de lado a y asa que se encuentra suerido en un líquido, eere a la superficie con una rapidez = (6a) 1/2, donde es la aceleracion de ravedad. El líquido ejerce hacia arriba una fuerza denoinada epuje (ε). Cuando la cara superior del cubo sobresale una altura x sobre la superficie del líquido, el epuje está dado por la expresión siuiente: 4 a ε (x) = ( a x) Calcule: a) la rapidez del bloque en el instante que eere totalente del aua. b) la altura áxia sobre la superficie del líquido que alcanza la cara superior del bloque. B.7.-Una partícula se ueve con roce despreciable entre dos cilindros concéntricos, de odo que su distancia al eje de los cilindros es o. a partícula se lanza con velocidad a una altura h de la base y en un ánulo con la horizontal. Cuántas vueltas da la partícula antes de tocar el suelo? o B h h A (Prob. B.7) (Prob. B.8) B.8.- Pruebe, sin utilizar conceptos de enería, que si la partícula de la fiura adjunta desliza con roce despreciable a lo laro de una superficie de fora arbitraria, desde una situación de reposo en el punto B localizado a una altura h, la rapidez de lleada al punto A es iual a la rapidez que alcanzaría en una caída libre de h etros. B.9.- Una cuerda elástica cuyo laro es cuando no está estirada y cuya constante elástica es k se encuentra atada a un punto fijo A (ver fiura) sujeta una partícula de asa que desliza con roce despreciable sobre una superficie horizontal. Se da a la partícuña una velocidad a lo laro del eje x, desde la posición indicada en la fiura. Deterine: a) rapidez de la partícula en el instante en que la cuerda recupera su laro noral. b) distancia ínia que alcanza la partícula al punto A.

3 12 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. 2a 4/3 A x (Prob. B.9) (Prob. B.10) B.10.- Una pelota de asa está atada a un poste de radio a ediante una cuerda inextensible de laro. Considere que el radio del poste es ucho enor que el laro de la cuerda. Si inicialente se da a la pelota una velocidad horizontal perpendicular a la cuerda, deterine su velocidad justo cuando la cuerda se ha enrollado 4 veces alrededor del poste. Considere que el roce entre la pelota y la superficie horizontal es despreciable. B.11.- a bolita B 1 de asa 1 describe un círculo deslizando con velocidad constante sobre la cara externa de una superficie cónica fija, de eje vertical y ánulo θ. a bolita se encuentra unida al extreo de una cuerda inextensible que pasa por un aujero en la cúspide del cono. Del otro extreo de la cuerda cuela una esfera B 2 de asa 2. a distancia entre B 1 y la cúspide del cono es. Todos los roces son despreciables. Deterine la rapidez de la bolita B 1 y la condición que deben satisfacer 1 y 2 para que este oviiento sea posible. θ µ e B B 2 (Prob. B.11) (Prob. B.12) B.12.- Una niña, cuya asa es M, se encuentra sentada sobre una platafora circular, a una distancia del centro. Si la platafora epieza a irar partiendo desde el reposo de odo que la rapidez de la niña auenta con una tasa unifore de a /s 2, calcular la velocidad anular de la platafora en el oento cuando la niña epieza a deslizar. El coeficiente de roce estático entre la platafora y la niña es µ e B.13.-as partículas A y B, abas de asa, se apoyan en el interior del cilindro hueco de radio interno que ira alrededor de su eje colocado en posición horizontal. El coeficiente de roce estático entre las partículas y el cilindro es µ e. En el instante considerado en la fiura, la aceleración y la velocidad anular del disco son y ω respectivaente. Deterine el valor ínio que debe tener el coeficiente de roce estático para que en ese instante ninuna de las dos partículas se ueva respecto al cilindro.

4 13 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B ω A (Prob. B.13) (Prob. B.14) B.14.- Un anillo de asa desliza a lo laro de un tubo circular de radio colocado en un plano horizontal. El coeficiente de roce cinético entre el anillo y el tubo es µ c. Si se ipulsa el anillo con una velocidad inicial, deterine la distancia que recorre hasta que se detiene. B.15.- Una partícula de asa describe un círculo de radio apoyada sobre una superficie horizontal y sujeta por una cuerda inextensible, en la fora coo se indica en la fiura adjunta. El coeficiente de roce cinético entre la partícula y la superficie es µ c. El extreo fijo de la cuerda se encuentra a una altura h de la superficie. Si la rapidez inicial de la partícula es la itad de la rapidez áxia que le perite antenerse en contacto con la superficie horizontal y se desprecia el roce viscoso con el aire, deterine: a) el tiepo que tarda la partícula en detenerse. b) el núero de vueltas que da la partícula hasta que se detiene. h µ c O A Ω (Prob. B.15) (Prob. B.16) B.16.- Un disco de radio ira con velocidad anular Ω constante en un plano horizontal, tal coo se uestra en la fiura. Un insecto de asa caina a lo laro del radio OA con rapidez constante relativa al disco, partiendo de un punto localizado a una distancia r o de su centro. Calcule el coeficiente de roce estático µ e entre el insecto y la superficie si justo cuando llea al borde del disco coienza a resbalar. B.17.- Se lanza en el aire una partícula de asa con una velocidad inicial que fora un ánulo θ con la horizontal. a anitud del roce viscoso entre la partícula y el aire es iual a kv, donde v es la rapidez de la partícula y k es una constante conocida. Cuánto tiepo transcurre antes que la trayectoria (o la velocidad de la partícula) vuelve a forar un ánulo θ con la horizontal? B 1 B 2 θ θ (Prob. B.17) (Prob. B.18)

5 14 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B.18.- os bloques B 1 y B 2 de asa 1 y 2 respectivaente deslizan por efecto de la ravedad sobre un plano inclinado que fora un ánulo θ con la horizontal. os bloques están apoyados entre si (no peados). os coeficientes de roce cinético entre el bloque B 1 y el plano es µ 1 y entre el bloque B 2 y el plano es µ 2. a) deterine la aceleración de abos bloques. b) deterine la fuerza que ejerce B 2 sobre B 1 c) analice los oviientos posibles del conjunto y las condiciones que se deben cuplir para que la fuerza de interacción entre abos bloques no sea nula. B.19.- Un pequeño bloque de asa descansa sobre un tabor cilíndrico de fondo horizontal y de radio. En un cierto instante el bloque se ueve con rapidez apoyado contra el fondo y la pared del tabor. El coeficiente de roce cinético entre el bloque y la pared y entre el bloque y el fondo del cilindro es µ c. a) deterine el núero de vueltas que da el bloque desde el instante inicial hasta que se detiene. b) calcule lo iso que en a) si el roce entre el bloque y el fondo del cilindro es despreciable. φ B θ (prob. B.19) (prob. B.20) B.20.- Una caja de asa M desliza hacia abajo por una superficie plana que fora un ánulo θ con la horizontal. El coeficiente de roce cinético entre la caja y la superficie es µ c. a bolita B de asa está atada a un extreo de una cuerda inextensible de laro cuyo otro extreo está fijo al techo de la caja (ver fiura). Supona que la bolita se encuentra en reposo respecto a la caja, con la cuerda forando un cierto ánulo φ con la vertical, a edida que la caja desliza. a) calcule la tensión de la cuerda b) deterine el ánulo φ que fora la cuerda con la vertical. B.21.- a partícula B de asa está describiendo una circunferencia en un plano vertical, deslizando sobre el interior de un cilindro de radio. El coeficiente de roce cinético entre la partícula y la superficie interior del cilindro es µ c. a partícula se desplaza bajo la acción de una fuerza F que es siepre tanente a la circunferencia, partiendo desde el reposo en la posición en que φ = 0. Si la aceleración tanencial que experienta la partícula es constante e iual a /4 a) deuestre que la partícula nunca pierde contacto con el cilindro. b) encuentre en que posición la anitud de F es ínia y deterine su valor en dicha posición. r 2 F φ φ ω o µ e (Prob. B.21) (Prob. B.22)

6 15 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B.22.- El bloque pequeño de asa indicado en la fiura descansa sobre la superficie de una platafora horizontal, con la cual tiene un coeficiente de roce estático µ e. a platafora ira con velocidad anular ω ο constante en torno de su eje vertical, y a una distancia r 2 del iso existe una pared vertical. El bloque se encuentra unido al extreo de un resorte ideal de constante elástica k cuyo otro extreo está fijo en el centro de la platafora. Cuando la distancia r del bloque al eje es r 1 el resorte no está deforado. En relación a una serie de experientos realizados para evaluar la posición de equilibrio relativo del bloque para distintas velocidades de rotación ω deterine : a) los valores líites de ω que periten que el bloque peranezca en reposo respecto a la platafora a una distancia r del eje, coprendida entre r 1 y r 2. b) para r=r 2 encuentre una expresión para la fuerza que el borde de la platafora ejerce sobre el bloque en función de ω ο. B.23.- El bloque B 1 de asa 1 está apoyado sobre una superficie horizontal fija y el bloque B 2 está apoyado sobre B 1. os bloques se encuentran unidos a los extreos de una cuerda inextensible, que pasa por una polea fija, en la fora indicada en la fiura. os coeficientes de roce cinético existentes entre B 1 y B 2 y entre B 1 y la superficie horizontal son todos iuales a µ c. Todos los deás roces son despreciables. Si se observa que el bloque B 1 desliza con velocidad constante hacia la izquierda, deterine la anitud de la fuerza horizontal F que está actuando sobre el. B 2 B 1 O φ (Prob. B.23) (Prob. B.24) B.24.- a partícula P de asa se ueve sobre un plano inclinado que fora un ánulo con la horizontal, y con el cual tiene un coeficiente de roce cinético µ c. a partícula se encuentra unida al extreo de una barra de laro y asa despreciable cuyo otro extreo puede rotar con roce despreciable en torno al punto fijo O. Deterine la rapidez inicial que hay que dar a la partícula cuando se encuentra en reposo en el punto donde φ = 0 para que de una vuelta copleta en torno a O. B.25.- Supona que la fuerza de roce viscoso que ejerce el aire sobre una partícula en oviiento es: r = bv v F r 2, donde es la asa de la partícula, b es una constante positiva, v es la rapidez y v es un vector unitario en la dirección de la velocidad. Deuestre que si se lanza la partícula hacia arriba, con velocidad inicial, la altura áxia que alcanza la partícula no está acotada pero si el tiepo que deora en (sin iportar cuan rande sea la anitud de ). Copare los tiepos de subida y de bajada de la partícula. (Nota: asua que la aceleración ravitacional es constante, e iual a ) B.26.- Un bloque de asa M está unido a un extreo de un resorte ideal de laro natural o y constante elástica k. El otro extreo del resorte se encuentra fijo a una platafora, tabién de asa M, sobre la cual descansa el bloque. a platafora se encuentra sobre la superficie horizontal. Todas las fuerzas de roce son despreciables. Inicialente el conjunto se encuentra en reposo con el resorte sin deforar. Si bajo la acción de una fuerza externa F la platafora adquiere una aceleración a o constante, encuentre una expresión para F en función del tiepo. k, o M C D J M (Prob. B.26) a o (Prob. B.27)

7 16 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B.27.- Un cajón C de asa y un Jeep J de asa M se encuentran sobre la superficie horizontal de un lao conelado, unidos por una cuerda inextensible el jeep puede enrollar. Supona que todos los roces son despreciables. Inicialente C y J se encuentran en reposo cuando el laro de la cuerda que une C y J es iual a D o. El jeep epieza a enrollar la cuerda de odo tal que D& = ao, donde a o es una constante positiva. Deterine: a) tensión de la cuerda; b) aceleración del cajón y del jeep respecto al suelo; c) tiepo que transcurre hasta que el cajón choca con el jeep. B.28.- Una partícula P de asa está unida al extreo de un resorte ideal de laro o y constante elástica k cuyo otro extreo se encuentra fijo con en un punto O. Se observa que cuando P describe un oviiento circunferencial unifore en un plano horizontal a una altura h por debajo del punto O, el periodo de rotación es iual a N veces el período de oscilación de P al oscilar verticalente por debajo de O. a) deuestre que h debe ser ayor que el laro del resorte cuando P se encuentra en reposo por debajo de O b) deuestre que N debe ser ayor que 1. Deterine el cuociente entre el laro del resorte, cuando P describe el oviiento circunferencial descrito, y su laro cuando P está en reposo debajo de O. Calcule este cuociente en el caso en que h= 0 y N=2. O h A r o P 1 P 2 D P (Prob. B.28) (Prob. B.29) B.29.- as partículas P 1 y P 2, cuyas asas son 1 y 2, respectivaente, están unidas por una cuerda de laro D y descansan sobre una superficie horizontal, con la cual tienen un roce despreciable. a cuerda desliza por un aro A fijo a la esa. En el instante inicial, cuando la posición de las partículas es la indicada en la fiura, se le da un ipulso a la partícula P 2 en dirección perpendicular a la cuerda. Encuentre una expresión para la rapidez de la partícula P 2 en función de su distancia r al aro A. B.30.- Una partícula P de asa se desplaza con roce despreciable sobre una superficie horizontal, atada a una cuerda inextensible que pasa por un aujero, tal coo se indica en la fiura. En el extreo inferior de la cuerda se aplica hacia abajo una fuerza F. Inicialente el bloque está describiendo un círculo de radio para lo cual es necesario aplicar una fuerza F o sobre la cuerda. a) calcule la velocidad del bloque en las condiciones descritas. b) si la anitud de F disinuye bruscaente a un valor constante iual a 1/3 F o, la distancia de P al centro epieza a auentar, ientras la partícula describe una espiral hasta llear a una nueva trayectoria de equilibrio. Calcular la velocidad de la partícula en el instante cuando su distancia al centro es 1.2. o d µ F (Prob. B.30) (Prob. B.31)

8 17 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B.31.- Considere un bloque de asa colocado sobre una superficie horizontal y sujeto por un resorte de laro natural o y constante elástica k, en la fora coo se indica en la fiura. Supona que el coeficiente de roce estático y cinético entre el bloque y la superficie es µ. El bloque se libera desde el reposo con el resorte estirado en una distancia d. Deterine: a) la copresión áxia que experienta el resorte. b) el núero de oscilaciones que da el bloque antes de detenerse. B.32.- a partícula P de asa desliza sobre una superficie horizontal fija, unida al extreo de un elástico de laro natural y constante elástica k, que pasa por el aujero O. El otro extreo del elástico está fijo en el punto A, localizado a una distancia verticalente por debajo de O. Todas las fuerzas de roce son despreciables. Cuando el elástico está estirado éste ejerce una fuerza F que es directaente proporcional a su deforación. En el instante inicial el laro del elástico es 2 y la velocidad de la partícula es en una dirección perpendicular al iso. Deterine: a) ecuación de la trayectoria de la partícula en coordenadas cartesianas b) áxia deforación que experienta el elástico. b) tiepo que deora la partícula en copletar una vuelta en torno a O. O P k Α 2 (Prob. B.32) (Prob. B.33) B.33.- Un bloque de asa se encuentra sobre la parte ás alta de un seicilindro, atado a un resorte de constante elástica k, coo se indica en la fiura. En el instante que el bloque se suelta el resorte está copriido en una distancia d. El bloque desliza a lo laro de la superficie curva hasta eventualente alcanzar la base. Derive una relación entre, k y d para que la asa no se despeue de la superficie antes de alcanzar la base. B.34.- El tubo doblado en ánulo recto que se indica en la fiura, está irando en torno a un eje vertical con velocidad anular constante ω ο. a partícula P 1 de asa y la partícula P 2 de asa 2 están unidas por una cuerda inextensible. Todos los roces son despreciables. Si P 1 se suelta a partir del reposo en la posición x=0, deterine su rapidez con respecto al tubo al llear al punto en que la tensión de la cuerda se anula. x P 1 P 2 ω o ω ο (Prob. B.34) (Prob. B.35)

9 18 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B.35.- Considere dos partículas de asa cada uno que deslizan por el interior de dos tubos, uno de las cuales se encuentra en posición vertical y el otro forando un ánulo con el priero, tal coo se indica en la fiura. El conjunto rota con velocidad anular constante ω ο alrededor de la barra vertical. as dos partículas están unida entre si por una cuerda inextensible de laro. a partícula que desliza por el tubo inclinado se encuentra inicialente a una distancia d del vértice superior. Supona adeás que los coeficientes de roce estático y cinético entre las partícuñas y la superficie interior de los tubos valen µ, y son tales que si el sistea no rota, la partícula en el tubo vertical desliza hacia abajo. a) deterine los valores posible de velocidad anular ω ο para los cuales es la partícula colocada en el tubo inclinado la que cae. b) deterine los valores posible de para los cuales es la partícula que se ueve en el tubo vertical la que cae. B.36.- Un bloque pequeño de asa se encuentra apoyado en la superficie interna de un cilindro de radio, con la cual tiene un coeficiente estático de roce µ e. El eje del cilindro es horizontal y el conjunto se encuentra inicialente en reposo, con el bloque colocado en la parte as baja del cilindro.en un cierto instante el cilindro se pone a irar sobre su eje con una aceleración anular constante. a) deterine el valor ínio de µ e para que el bloque no deslice. b) deuestre que si el bloque no resbala sobre la superficie del cilindro en ese instante, entonces ira solidariaente con el sin nunca resbalar. ω o µ (Prob. B.36) (Prob. B.37) B.37.- Considere una superficie horizontal sobre la cual desliza con roce despreciable una partícula de asa, oviéndose con una velocidad constante. En un punto de su trayectoria la partícula se epieza a over a lo laro de la parte cóncava de una pared seicircular, con la cual tienen un coeficiente de roce cinético µ c Calcule la velocidad de la partícula al llear al otro extreo de la pared y el tiepo que deora en hacerlo. B.38.- Dos anillos iuales, de asa cada uno, se encuentran en una barra horizontal con la cual tienen un coeficiente de roce estático µ e. os anillos están unidos entre si por un hilo de laro 2D, del cual cuela un cuerpo de asa. Encuentre la áxia separación entre los anillos que perite que el sistea peranezca en equilibrio estático. y D µ D h x (Prob. B.38) (Prob. B.39)

10 19 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B.39.- Considere un anillo de asa que desliza sin roce por un alabre cuya fora está dada por la ecuación y=a x 2, donde x e y indican las direcciones horizontal y vertical, respectivaente. El anillo se deja caer con velocidad inicial nula desde una altura h. a) deterine, sin utilizar conceptos de enería, la velocidad de la partícula en el punto ás bajo de su trayectoria. b) calcule la anitud de la fuerza que el alabre ejerce sobre la partícula en ese punto. B.40.- Considere una cinta transportadora que se ueve horizontalente con velocidad constante. En un cierto instante se lanza desde el borde de la cinta y en dirección perpendicular a ella una partícula de asa con velocidad v 1. os coeficientes de roce estático y cinético entre la partícula y la superficie de la cinta son iuales a µ. Deterine: a) vector de posición, velocidad y aceleración de la partícula con respecto a un sistea de coordenadas que se desplaza con la cinta. b) ecuación de la trayectoria de la partícula con respecto a un sistea fijo, colocado fuera de la cinta. A o, k v 1 µ o (Prob. B.40) (Prob. B.41) B.41.- Considere que el sistea de freno de un avión de asa que aterriza sobre un portaviones está constituido por dos resortes iuales de laro natural o y constante elástica k. El avión hace contacto con el punto A de la pista y debe detenerse a una distancia D. Suponiendo que el avión se detiene sólo por la acción de los resortes, deterine: a) constante elástica que deben tener los resortes. b) aceleración áxia que experienta el piloto durante el aterrizaje. B.42.- En el interior de un cono invertido, que ira con velocidad anular constante ω o con respecto a su eje de sietría puesto en posicón vertical, coo se uestra en la fiura, se encuentra una partícula de asa, en reposo relativo al cono y a una distancia d de su vértice. El coeficiente de roce estático entre la partícula y la superficie es µ. Este no es suficiente para antener la partícula en la posición indicada en la fiura si la superficie deja de irar. Deterine el intervalo de valores posibles de ω o para los cuales la partícula se antiene en reposo relativo? µ ω 0 d M (Prob. B.42) (Prob. B.43)

11 20 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B.43.- Considere una cuña de asa M colocada sobre una superficie horizontal. El laro de la superficie inclinada así coo el ánulo que fora con la horizontal son conocidos. En el punto as alto de la cuña se coloca una partícula de asa. El sistea se libera desde el reposo. Considerando que todos los roces son despreciables, deterine: a) velocidades de la cuña y del bloque en el oento que éste llea a la superficie horizontal. b) tiepo transcurrido hasta que esto ocurre. c) aceleración de abas cuñas, si el coeficiente de roce cinético entre el bloque y la cuña es µ 1 y entre la cuña y la superficie es µ 2 (y asuiendo adeás que los roces estáticos no son suficientes para antener el sistea en reposo) B.44.- Considere un alabre cuya fora en el plano vertical está dada por la ecuación ρ() θ 2 p = 1 senθ Por el alabre desliza con roce despreciable un anillo de asa, el cual se encuentra atado al orien del sistea de coordenadas polares ediante un resorte de constante elástica k y laro natural 0 =2p, tal coo se uestra en la fiura adjunta. En el instante inicial el anillo se libera desde el reposo a una distancia 4p del orien. Deterine: a) rapidez de la partícula en función de θ b) altura z o a la cual se debe colocar inicialente la partícula para que lleue con velocidad nula al punto A. o, k θ r (Prob. B.44) (Prob. B.45) B.45.- Una partícula de asa desliza con roce despreciable por la superficie interior de un cono invertido, con su eje colocado en posición vertical, coo se indica en la fiura. a) escriba las ecuaciones de oviiento de la partícula en un sistea de coordenadas esféricas. b) deterine la distancia radial r ο en la cual la partícula se puede antener en oviiento circular horizontal con rapidez. c) perturbe lieraente el oviiento anterior en la dirección de la eneratriz del cono y deterine el periodo de las pequeñas oscilaciones que se eneran en la distancia al vértice del cono. B.46.- Considere un bloque rectanular cuya diensión vertical es. Una partícula de asa, colocada inicialente en el borde superior del bloque, se libera desde el reposo en el iso oento que éste es forzado a desplazarse hacia la derecha con una aceleración uniforeente creciente a= t, donde es una constante positiva conocida. El coeficiente de roce cinético entre la partícula y el bloque es µ c. Deterine el valor ínio de µ c para que la partícula se detena, relativa al bloque, antes que lleue a su borde inferior.

12 21 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. k θ 0 a (Prob. 46) (Prob. 47) B.47.- Una partícula de asa se ueve en un abiente sin ravedad por el interior de un casquete esférico de radio. En un cierto instante se lanza la partícula a lo laro de la superficie interior, con una velocidad perpendicular a la dirección k indicada en la fiura, en una posición donde el radio vector fora un ánulo θ ο con el eje k. a) deuestre que el oento anular de la partícula con respecto al centro de la esfera se conserva. b) describa la órbita que siue la partícula. c) si la órbita de la partícula es cerrada calcule el tiepo que deora en volver al punto inicial. B.48.- En un abiente sin ravedad se lanza una partícula de asa por el interior de una superficie cónica de apertura, con la cual tiene un roce despreciable. En el instante inicial la partícula se encuentra a una distancia r o del vértice del cono y su velocidad es en una dirección perpendicular a su eje. a) escriba las ecuaciones de oviiento en coordenadas esféricas b) a partir de la solución de las ecuaciones de oviiento, describa el oviiento resultante. 2 1 o, k vo r o µ (Prob. B.48) (Prob. B.49) B.49.- Dos bloques de asa 1 y 2 se encuentran en reposo sobre una superficie horizontal con la cual tienen un coeficiente de roce estático y cinético iual a µ. os bloques están unidos entre si por un resorte ideal de laro natural o y constante elástica k. Inicialente el resorte no se encuentra deforado.si el bloque 2 es ipulsado con una velocidad alejándose del otro bloque en la dirección del resorte, encuentre el áxio valor de para que el bloque 1 peranezca en reposo. B.50.- Considere un bloque de asa M y laro, colocado sobre una superficie horizontal con la cual tiene un roce despreciable. Sobre el bloque, y en uno de sus extreos se encuentra una partícula de asa. os coeficientes de roce estático y dináico entre la partícula y el bloque son iuales a µ. Α partir de un cierto instante se aplica una fuerza horizontal F o sobre el bloque de odo que su anitud crece linealente con el tiepo (F 0 =kt). Deterine : a) el tiepo que transcurre hasta que la partícula epieza a deslizar sobre el bloque. b) distancia absoluta que recorre la partícula desde el oento que epieza a deslizar hasta que cae del bloque.

13 22 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. µ F o (Prob. B.50) (Prob. B.51) B.51.-Una partícula que desliza con roce despreciable sobre una superficie horizontal, entra con velocidad en un edio aseoso donde experienta una desaceleracion que depende de su rapidez v, en la fora a= -kv n (n > 0). Deuestre que si n=1 el caino recorrido por la partícula hasta su detención es acotado independiente de, ientras que si n=2 la partícula se aleja indefinidaente, ientras se encuentre en el edio aseoso. B.52.- Se lanza una partícula hacia arriba por la cara interior de una superficie cilíndrica de eje vertical y de radio, de odo que el vector velocidad inicial fora un ánulo π/4 con la vertical. Deterine: a) el esfuerzo que la superficie del cilindro ejerce sobre la partícula cuando ésta alcanza el punto ás alto de la trayectoria? b) la anitud de la velocidad inicial para que la partícula rerese justo al punto de partida después de dar 2 vueltas? (Prob. B.52) B.53.- Se lanza en el aire, verticalente hacia arriba, una partícula de asa, con velocidad. a fuerza de roce viscoso con el aire es proporcional a la rapidez de la partícula (F roce = - cv). Deterine: a) la altura áxia que alcanza la partícula b) el tiepo que deora en alcanzar el punto ás alto. B.54.- Supona que la anitud de la fuerza de roce viscoso que ejerce el aire sobre una partícula de asa es proporcional al cuadrado de su rapidez v (F roce = a v 2, donde a es una constante). En estas condiciones deuestre que si se lanza la partícula verticalente hacia arriba con una velocidad, el tiepo que deora en alcanzar la altura áxia es acotado, sin iportar la anitud de, pero la altura áxia no está acotada. Copare los tiepos de subida y de bajada de la partícula. B.55.- Un tubo en fora de ira con una velocidad anular constante ω o alrededor de un eje que coincide con su brazo vertical. Por el interior del brazo horizontal se desplaza con roce despreciable una partícula de asa que se ueve con rapidez constante relativa al tuvo por la acción de una cuerda que es traccionada desde la base del brazo vertical. Inicialente la partícula se encuentra a una distancia ρ o del eje de rotación.

14 23 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. a) deterine la velocidad y aceleración absolutas de la partícula en función de su distancia ρ al eje de rotación. b) calcule el radio de curvatura c de la trayectoria de la partícula, en función de su distancia ρ al eje de rotación c) deterine en función de ρ la tensión de la cuerda y la fuerza que la pared del tubo ejerce sobre la partícula. ω o O φ (Prob. B.55) (Prob. B.56) B.56.- Una partícula de asa se ueve sobre un plano inclinado ruoso, atada al extreo de una cuerda de laro. El otro extreo de la cuerda ese encuentra fijo en un punto O del plano inclinado. a partícula se suelta desde el reposo, con la cuerda extendida, forando un ánulo θ = π/2 con la línea de áxia pendiente. El roce estático no es suficiente para antener la partícula en reposo. Deterine el valor del coeficiente de roce cinético entre la superficie y la partícula, de odo que ésta se detena justo en el punto donde φ = 0. B.57.- Dos partículas P 1 y P 2 de asa cada una están colocadas sobre un plano horizontal y unidas entre si por una cuerda inextensible de laro. a cuerda pasa por un anillo fijo a la superficie, de odo que en el instante inicial la partícula P 1 se encuentra a una distancia ρ 0 de el. a partícula P 1 no tiene roce con la superficie, ientras que la otra tiene un coeficiente de roce estático y cinético iuales a µ. Si se iprie una velocidad a la partícula P 1 en dirección perpendicular a la cuerda deterine: a) valor áxio de para que P 2 no se ueva. b) suponiendo que la velocidad inicial es suficienteente rande para que la partícula P 2 deslice, deterine la tensión de la cuerda en el instante inicial. B A µ e P 1 P 2 ρ ο (Prob. B.57) (Prob. B.58) B.58.- Dos bloques A y B de asa y 3 respectivaente, se encuentran atados entre si por una cuerda inextensible de laro en la fora indicada en la fiura. El bloque B descansa sobre una superficie horizontal con la que tiene un coeficiente de roce estático µ ε. Si se suelta el bloque A desde el reposo, deterine: a) uerza de tracción que ejerce la cuerda en el oento inicial. b) valor ínio del coeficiente de roce estático para que el bloque B no se desplace. c) fuerza áxia que en ese caso ejerce la cuerda sobre el bloque B, antes que el bloque A olpee la pared vertical d) si el coeficiente de roce estático es la itad del calculado en b), deterine el ánulo que la cuerda fora con la horizontal en el oento que el bloque B coienza a deslizar.

15 24 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B.59.- Considere dos bloques de asas 1 y 2 colocados uno junto al otro sobre una superficie horizontal sobre la cual pueden deslizar con roce despreciable. El bloque 1 se encuentra atado al extreo de un resorte de constante k y laro natural o, cuyo otro extreo está fijo. Si el sistea se libera desde el reposo en una posición en la cual el resorte está copriido en una distancia d, calcule: a) tiepo que transcurre hasta que los dos bloques se despean. b) trabajo realizado por la fuerza de interacción de 1 sobre 2 desde el instante inicial hasta que los bloques se separan. c) aplitud de la oscilación resultante del bloque 1 o, k 1 2 ω o (Prob. B.59) (Prob. B.60) B.60.-Un tubo de laro ira con velocidad anular constante ω o con respecto a un eje vertical que pasa por su extreo inferior. El tubo fora un ánulo con la vertical. En un cierto instante se lanza una partícula de asa desde el extreo inferior del tubo, con una velocidad relativa a el. a) deterine el valor ínio de para que la partícula escape por el extreo superior del tubo. b) si es enor que el valor deterinado en a) calcule, en función de, cuanto asciende la partícula por el interior del tubo B.61.- Una esfera de asa tiene un aujero que le perite deslizar con roce despreciable a lo laro de una barra ríida horizontal que rota con una velocidad anular ω o alrededor de un eje vertical que pasa por su extreo. a esfera está unida al eje de rotación ediante un resorte de laro natural o y constante elástica k. El aire ejerce una fuerza de roce viscoso sobre la esfera, cuya coponente a lo laro de la barra es iual a cv, donde v es la velocidad relativa de la esfera con respecto a la barra y c es una constante. Si la esfera se libera en reposo relativo a la barra desde una posición donde el resorte no está deforado, deterine en función del tiepo la velocidad relativa de la esfera y su distancia al eje de rotación. ω o M o, k o, k (Prob. B.61) (Prob. B.62) B.62.- Un bloque de asa M se encuentra sobre un resorte de laro natural o y constante elástica k colocado en posición vertical. El otro extreo del resorte está fijo en un superficie horizontal. Sobre el bloque se coloca una partícula de asa. El sistea se libera con el resorte copriido en una distancia d con respecto de la posición de equilibrio. Calcule la altura áxia sobre la superficie que alcanza la partícula. B.63.- Por la superficie interior de un cono invertido apoyado sobre una superficie horizontal se desplaza una partícula de asa, atada a una cuerda de laro cuyo otro extreo se encuentra fija al vértice del cono. a distancia de la partícula al eje del cono es. Considere que el coeficiente de roce cinético entre la partícula y la pared cónica es µ c. Suponiendo que la velocidad inicial de la partícula es suficiente para antenerla en contacto con la superficie del cono, deterine el tiepo que transcurre antes que la partícula se separe de ella y su velocidad en ese instante.

16 25 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. (Prob. B.63) (Prob. B.64) B.64.- Una partícula de asa se encuentra en oviiento circular unifore sobre la superficie de un cono de ánulo de apertura β, sujeto de una cuerda inextensible de laro que está atada a un punto localizado sobre el vértice del cono. El roce entre la partícula y la superficie del cono es despreciable. Si la cuerda fora un ánulo con la vertical, deterine la fuerza que el cono ejerce sobre la partícula y la tensión de la cuerda. B.65.- Una partícula de asa se lanza hacia arriba a lo laro de la línea de áxia pendiente de un plano inclinado de pendiente, y con el cual tiene un coeficiente de roce cinético µ c. Deterine la razón entre los tiepos de subida y de bajada (suponiendo que la partícula vuelve a su posición de orien). B.66.- Considere dos bloques de asa y M respectivaente. El bloque de asa M se ueve sobre un plano inclinado (de ánulo ) y se encuentra atado al bloque de asa ediante una cuerda inextensible de laro que desliza sin roce por una polea, tal coo se indica en la fiura. El coeficiente de roce cinético entre la partícula de asa M y la superficie del plano inclinado es µ c. Calcule la anitud de la aceleración de las dos partículas y la tensión de la cuerda. Supona que inicialente las dos partículas están en reposo y que la cuerda se encuentra extendida. Considere adeás que relación entre las asas y el coeficiente de roce son tales que es la asa la que desciende. M µ soporte a o µ a a (Prob. B.66) (Prob. B.67) B.67.- Se ha deterinado en fora experiental que si el bloque de asa indicado en la fiura se coloca sobre un soporte horizontal, éste se puede acelerar horizontalente hasta un valor a o antes que el bloque deslice sobre el soporte. Si se coloca el bloque sobre una cuña del iso aterial, (de ánulo ), calcule cuál es la áxia aceleración horizontal (a) que se puede dar a este soporte en el sentido indicado en la fiura para que el bloque no deslice sobre él (asua que si la cuña está en reposo el bloque no desliza). B.68.- Considere 2 anillos, abos de asa, que deslizan sin roce a lo laro de las barras dipuestas coo se uestra en la fiura, forando un ánulo 2 entre ellas. os anillos están unidos entre si ediante un resorte de constante elástica k. En el instante inicial la copresión del resorte es d y los anillos se encuentran en reposo a una altura h sobre el vértice que foran las dos barras. Cuando el sistea se libera, los anillos epiezan a subir por las barras. Deterine: a) la rapidez áxia que alcanzan los anillos una vez que el sistea se libera. b) el desplazaiento a lo laro de las barras hasta que se alcanzan la altura áxia sobre el vértice.

17 26 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. k M k M 2 h µ (Prob. B.68) (Prob. B.69) B.69.- Considere dos bloques de asa M cada uno, unidos por un resorte de constante elástica k y colocados sobre una superficie horizontal. El coeficiente de roce estático y cinético entre los bloques y la superficie horizontal es µ. Si uno de los bloques está apoyado sobre una pared vertical, calcule la copresión ínia (d in ) que hay que dar al resorte para que al soltarlo el bloque que se encuentra apoyado contra la pared eventualente se desprenda de ésta. B.70.- Considere un péndulo de laro y asa que se ueve en un edio viscoso. El péndulo se suelta desde el reposo con un ánulo inicial θ o respecto de la dirección vertical. a) calcule en fora aproxiada coo varia el ánulo θ en función del tiepo sabiendo que la fuerza viscosa es proporcional a la velocidad (F=-cv) donde el coeficiente c= b) calcule el periodo de las pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio. B.71.- Considere un sistea forado por dos bloques de asa cada uno, unidos por un resorte de constante elástica k. El sistea descansa en posición vertical sobre una superficie horizontal, tal coo se indica en la fiura. Deterine la copresión ínia del resorte con respecto a su laro natural, para que al liberar al sistea desde el reposo el bloque inferior eventualente se despeue del suelo. k C (Prob. B.71) B A 2 (Prob. B.72) B.72. Considere una partícula de asa colocada en el borde de una superficie horizontal de laro 2 cuyo otro extreo se prolona en una superficie cilíndrica de radio, coo se indica en la fiura. El roce entre la partícula y la superficie es despreciable. Deterine: a) la rapidez inicial ínia que debe tener la partícula para que lueo de deslizar entre los puntos A y B de la superficie horizontal, suba por la superficie cilíndrica hasta alcanzar el punto C. b) con la condición especificada en a) deterine a que distancia del punto A la partícula vuelve a ipactar la superficie horizontal.

18 27 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B.73.- Un lobo aerostático ríido de radio y asa, asciende verticalente desde el suelo (z = 0) donde inicialente se encuentra en reposo, ipulsado por el epuje proporcionado por el aire desplazado (principio de Arquíides). Debido a la disinución exponencial de la densidad del aire con la altura, la fuerza de epuje sobre el lobo tabién disinuye exponencialente siuiendo la relación F e = o e -az, donde o y a son constantes, o >, y es la aceleración de ravedad. El roce con el aire se considera despreciable. Encuentre: a) una relación para deterinar la altura áxia que alcanza el lobo. b) la altura donde la velocidad de ascenso del lobo es áxia y la anitud de ésta. c) la altura del punto de equilibrio y el periodo de las pequeñas oscilaciones en torno a el. B.74.- Considere un óvil de asa que es forzado a overse con rapidez constante sobre una trayectoria horizontal que en coordenadas polares está descrita por la expresión siuiente, partiendo de una condición inicial donde θ =0: ρ = ρ ο e aθ a) deterine el caino recorrido por el óvil cuando duplica su distancia al orien del sistea de coordenadas. b) si aluien fila al óvil desde el orien del sistea de coordenadas, deterine la velocidad anular de la cáara en función del tiepo. c) calcule la fuerza que se ejerce sobre el óvil en el punto cuando ha duplicado su distancia al orien. B.75. Considere una partícula de asa colocada sobre una cuña de asa M, altura H e inclinación, la cual a su vez se puede over con roce despreciable sobre una superficie horizontal. El roce entre la partícula y la cuña tabién es despreciable. El sistea se libera desde el reposo, con la partícula colocada en la parte ás alta de la cuña. Con respecto al sistea x-y especificado en la fiura: a) deterine las ecuaciones de oviiento para las posiciones x M, x y z en función de las fuerzas que actúan. b) deuestre que la fuerza de interacción entre la partícula y la cuña es constante. c) calcule el tiepo que deora la partícula en llear a la superficie horizontal. d) calcule la velocidad de la cuña en ese instante. y x H h x M z (Prob. B.75) x O O' (Prob. B.76) B.76.- Considere una cuña de ánulo, coo se uestra en la fiura, que oscila horizontalente de odo que: OO = A o sen ω t. Sobre la cuña, a una altura h, se encuentra una partícula de asa que tiene un coeficiente de roce estático µ e con la cuña. Si ésta estuviese en reposo, la partícula no caería. Si se fija la aplitud A o de la oscilación, deterine una condición para ω, de odo que la partícula no deslice sobre la cuña. B.77.- Considere un tubo de laro 2 que rota con velocidad anular constante w o alrededor de un eje vertical que pasa por su punto edio (ver fiura). En el interior del tubo se encuentran dos partículas de asa y 2, respectivaente, unidas por una cuerda de laro, e inicialente en reposo con respecto al tubo abas a una distancia /2 del eje. El roce entre las partículas y el tubo es despreciable. Si en un cierto instante las partículas se liberan, deterine:

19 28 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. a) la aceleración de la partícula 2 relativa al tubo, en el oento que las partículas se liberan. b) la velocidad absoluta de la partícula 2 en el instante cuando llea al extreo del tubo. c) fuerza que el tubo ejerce sobre la partícula 2 en ese instante. ω o 2 ω o (Prob. B.77) (Prob. B.78) B.78.- Considere un tubo de laro 2 que ira con velocidad anular constante ω o con respecto a un eje vertical que pasa por su punto central, tal coo se indica en la fiura. Desde el extreo del tubo en rotación se lanza hacia una partícula de asa hacia el centro con una velocidad relativa al tubo. El roce entre la partícula y el tubo es despreciable. a) deterine el valor de para que la partícula lleue al centro con velocidad nula. b) deterine una expresión para la variación de la distancia radial r en función del tiepo. cuánto deora la partícula en llear al centro c) calcule el trabajo realizado por la fuerza neta que actúa sobre la partícula y que perite el oviiento entre el borde y el centro del tubo. B.79.- Una partícula de asa se ueve con roce despreciable sobre la superficie de un cono cuya eneratriz fora un ánulo con la vertical. a partícula está sujeta al vértice del cono por una cuerda ideal de laro, y describe un oviiento circunferencial con velocidad anular ω ο constante. a) calcule las anitudes de la tensión T de la cuerda y de la fuerza N que la superficie del cono ejerce sobre la partícula. b) deterine la velocidad anular w para la cual la fuerza N se anula. cuál es el periodo de rotación correspondiente?, qué pasa para velocidades anulares ayores? 2 P o P a v s o (Prob. B.79) (Prob. B.80) B.80.- Un proyectil de asa se dispara ediante un cañon de arie copriido, colocado en fora horizontal y fijo al suelo. Su laro es y el radio es. El proyectil es ipulsado desde el reposo por la expansión del aire copriido en una cáara de laro o a una presión P o. Considere que en el lado abierto del cañon hay una fuerza opuesta ejercida por la presión atosférica P a (conocida y constante). A edida que el aire de la cáara se expande, su presión P disinuye de odo tal que el producto de P por el voluen de aire en la cáara se antiene constante (P V = C). a) eterine la rapidez v s con que el proyectil sale del cañón. b) cuál es la condición para que la bala sala efectivaente del cañon? exprese el resultado en función de los paráetros del problea. c) cuál es el laro óptio del cañón que axiiza la rapidez de salida del proyectil, dadas las condiciones iniciales de P o y o? cuál es la rapidez áxia?

20 29 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B.81.- Considere la estructura forada por un resorte de constante elástica k y laro natural o y dos bloques de asa cada uno, unidos por una cuerda inextensible, en la fora que se indica en la fiura. El bloque colocado sobre la superficie horizontal tiene con ella un coeficiente de roce estático µ e < 1 y un coeficiente de roce cinético µ c < µ e. El sistea se libera desde el reposo con el resorte no deforado. a) deterine el estiraiento áxio que experienta el resorte. b) encuentre la rapidez áxia de los bloques. c) dependiendo del valor de µ c deterine el valor ínio de µ e para que los bloques queden en reposo una vez que el resorte alcance su áxio estiraiento. B.82.- Considere un tubo que ira con velocidad anular constante ω o alrededor de un eje vertical, coo se indica en la fiura. En el interior del tubo se colocan dos partículas de asa cada una, unidas por un resorte de laro natural o y constante elástica k. En el instante inicial las partículas están en reposo con el resorte sin deforar, y con una de las partículas colocada en el eje de rotación. Deterine: a) ecuaciones de oviiento para las distancias ρ 1 y ρ 2 al eje de rotación. b) evolución en el tiepo de la distancia entre las dos partículas, si se cuple que ω o 2 = 2k/ c) describa que sucede con la distancia entre las dos partículas si ω o 2 < 2k/ w o o, k ρ 2 ρ 1 (Prob. B.82) (Prob. B.83) B.83.- Considere un estanque cilíndrico de radio, lleno de un líquido que opone una fuerza de roce viscoso a una partícula que se ueve en su interior, que es proporcional a su velocidad (F r = -kv). Una partícula colocada en la base del estanque, es ipulsada con una velocidad a lo laro de la pared. El coeficiente de roce cinético entre la partícula y la pared del estanque es µ c y el roce con la base es despreciable. Deterine: a) la distancia total que recorre la partícula hasta su detención. b) copare el resultado anterior asuiendo que el roce viscoso es nulo. B.84.- Dos planetas de iual radio y de asas 1 y 2, respectivaente, converen debido a la fuerza utua de atracción ravitacional, partiendo desde el reposo con sus centros separados por una distancia a. a) escriba las ecuaciones de oviientos para los centros de abos planetas. b) deterine la posición x c donde entran en contacto. c) deterine las velocidades absolutas de los planetas en el oento del choque. 1 x c 2 F o a (Prob. B.84) (Prob. B.85)

21 30 Escuela de Ineniería. Facultad de Ciencias Físicas y Mateáticas. Universidad de Chile. B.85.- A lo laro de un aro de radio, colocado en posición horizontal, se ueven con roce despreciable dos anillos, de asa 1 y 2, respectivaente. El anillo de asa 1 es ipulsado por una fuerza de anitud constante F o en dirección tanente al aro, y a su vez, arrastra el anillo de asa 2 ediante una cuerda de laro = 2 1/2. os anillos inician su oviiento desde el reposo, con la cuerda tensa, copletando exactaente una vuelta en un tiepo t o. a) calcule la tensión de la cuerda en t = t o. b) supona que en el instante t = t o la cuerda se corta pero la fuerza F o continúa actuando sobre el anillo de asa 1. En estas condiciones deterine el tiepo que transcurre hasta que los anillos se juntan. B.86.- Un esquiador está bajando una ladera con una pendiente de ánulo a con la horizontal. Dos roces intervienen: el roce con la nieve, caracterizado por un coeficiente de roce cinético µ c y el roce viscoso con el aire, que es proporcional a la rapidez (F r = -kv). Inicialente el esquiador tiene una velocidad en la dirección de áxia pendiente. Analice bajo que condiciones le sucede lo siuiente al esquiador: a) se detiene en un tiepo finito. cuánto deora en hacerlo?. b) desciende cada vez ás rápido. c) desciende cada vez ás lento, pero sin nunca detenerse. d) antiene constante la velocidad inicial. B.87.- Considere una estructura forada por un resorte de constante elástica k y laro natural o y dos bloques de asa cada uno, unidos entre si por una cuerda inextensible, en la fora que se indica en la fiura. El bloque que se encuentra sobre la superficie horizontal tiene con ella coeficientes de roce estático µ e y cinético µ c (µ c 1). El sistea se libera desde el reposo en una posición en la cual el resorte no está deforado. Deterine: a) el estiraiento áxio del resorte. b) la rapidez áxia de los bloques c) relación entre µ e y µ c para que los bloques queden en reposo una vez que el resorte alcanza su áxio estiraento. k, o ρ o µ e, µ c M (Prob. B.87) (Prob. B.88) B.88.- Considere una partícula de asa que está irando sobre una superficie lisa (roce despreciable) con rapidez constante a lo laro de una trayectoria circular de radio ρ o, atada a una cuerda inextensible cuyo otro extreo está fijo a un bloque de asa M, que cuela por debajo de la superficie horizontal (ver fiura). a) deterine el valor de la asa M en función de, y ρ o. Experientalente se coprueba que al pear un eleento de asa desconocido al bloque de asa M la partícula altera su trayectoria circular, de odo que la distancia ínia que alcanza del aujero central es ρ o /2. b) escriba una ecuación de oviiento para la distancia ρ de la partícula al aujero. c) calcule la anitud de en función de M. B.89.- Una partícula se desplaza sobre una superficie horizontal atada ediante una cuerda de laro a un poste de sección circular de radio. El roce entre la partícula y la superficie es despreciable. Si se ipulsa la partícula con una velocidad inicial, en dirección perpendicular a la cuerda, estando ésta extendida en una dirección tanente al poste (ver fiura), deterine:

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