Unidad 6. Anualidades anticipadas. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:

Transcripción

1 Udad 6 Aualdades atcpadas Objetvos Al falzar la udad, el alumo: Calculará el moto producdo por ua aualdad atcpada. Calculará el valor presete de ua aualdad atcpada. Calculará el valor de la reta de ua aualdad atcpada. Determará el tempo o plazo de ua aualdad atcpada.

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3 Itroduccó Hasta el mometo se ha aalzado las aualdades vecdas y alguos casos dode se preseta; s embargo, e la realdad, o todas las stuacoes co pagos costates e tempos guales se refere a aualdades de este tpo, exste stuacoes tales como la reta de u departameto, la cual o se paga al térmo del mes so al prcpo, o la compra de u coche dode los pagos se realza el prmer día de cada mes y o los días de corte. E esta udad aalzaremos stuacoes como las mecoadas aterormete, efocaremos el estudo a las aualdades atcpadas, el cálculo del moto que represeta, su valor presete, el úmero de pagos y la reta que mplca Cálculo del moto E la udad cco se expuso la defcó de las aualdades atcpadas, como aquellas e las que los pagos se realza al prcpo de cada perodo y o al fal como ocurre e las aualdades vecdas. Para eteder esto veamos la represetacó gráfca de ua aualdad atcpada (fgura 6.1) para compararla co la de la aualdad vecda (fgura 6.2). Qué dfereca exste etre ua aualdad atcpada y ua vecda? R R R R R Fgura 6.1. Gráfca de ua aualdad atcpada. 179

4 matemátcas Faceras R R R R R Fgura 6.2. Gráfca de ua aualdad vecda. Como puedes observar comparado ambas gráfcas, el úmero de pagos es el msmo (), el valor de las retas es el msmo (R), lo que camba es el mometo de realzar el pago, ya que e las aualdades atcpadas éste se realza al prcpo del perodo de pago. Al gual que e las aualdades vecdas, el moto es la suma de los pagos e el mometo de vecmeto de la aualdad (fgura 6.3). R1 R 2 R 3 R Fgura 6.3. S recuerdas, e las aualdades vecdas el moto cocde co la fecha del últmo pago; s utlzamos esto como refereca para calcular el moto de ua aualdad atcpada, se tedría que trasladar esta catdad a u perodo más, tal como se puede observar e la fgura

5 udad 6 Moto de ua aualdad atcpada Moto de ua aualdad vecda R R R R R Perodos de pago 0 1 Fgura 6.4. De acuerdo a la fgura 6.4, para ecotrar las fórmulas que se aplca e el cálculo del moto de ua aualdad atcpada, se puede tomar como base la fórmula para calcular el moto de ua aualdad vecda. Moto de ua aualdad vecda M=R ( 1+ ) 1 fgura 6.5. Trasladado este moto u perodo más e el tempo, tal como lo muestra la Moto de ua aualdad vecda R R R R Perodos de pago 0 1 Fgura 6.5. Utlzado la fórmula para determar el moto compuesto M=C(1+), cosderado que C e realdad es el moto de la aualdad vecda R ( 1+ ) 1 y tomado e cueta que es 1, ya que úcamete hay que trasladarlo u perodo, teemos: 181

6 matemátcas Faceras M=R ( 1+ ) 1 (1+) Smplfcado esta expresó: M=R ( 1+ ) 1 ( 1 + ) M=R ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1 + ) M=R ( 1 ) M=R ( 1 ) M=R ( 1 ) ( 1+ ) 1 M=R 1 dode: M es el moto de la aualdad R es la reta es la tasa por perodo de captalzacó es el úmero de pagos Ejemplos 1. El señor Márquez deposta $1 500 al prcpo de cada mes e ua cueta bacara que paga ua tasa de terés de 32.4% aual captalzable mesualmete. Cuál es su saldo después del prmer año de ahorro? Solucó Se detfca los datos: 182

7 udad 6 Como los pagos se realza al prcpo de cada mes, sgfca que so pagos atcpados, por lo tato se trata de ua aualdad atcpada. R=$1 500 = = =u año=1 (12)=12 pagos mesuales Como la preguta es: cuál es el saldo al fal del prmer año?, sgfca que lo que se busca es el moto de los pagos (retas); por lo tato, susttuyedo e la fórmula para el moto de ua aualdad vecda, teemos: M=R ( 1 ) M= ( ) Realzado las operacoes: M=1 500 ( ) = = Sgfca que recbe e total al fal de u año $ La empresa Papel del Futuro, S. A. sabe que detro de 5 años requerrá cambar ua máqua, s decde realzar depóstos trmestrales atcpados de $ e ua cueta de ahorros que le paga 37.2% aual captalzable trmestralmete, cuál será el preco de la máqua cuado se compre? Solucó R=$

8 matemátcas Faceras = = (trmestral) =5 años=5(4)=20 pagos trmestrales Como la preguta es: cuál es el preco de la máqua cuado se compre?, y la máqua se comprará detro de 5 años, sgfca que lo que se busca es el moto de los pagos (retas); por lo tato, susttuyedo e la fórmula para el moto de ua aualdad vecda, teemos: M=R ( 1 ) M= (. ) Realzado las operacoes: M= ( ) = = M= ( )= Sgfca que la máqua costará $ Cálculo del valor actual E ocasoes, o es el moto lo que se requere coocer, so el valor presete o actual de ua aualdad atcpada, ya que esto represeta el preco de cotado, el valor de ua deuda al mometo de cotraerla, etcétera. Por qué la prmera reta o se regresa e el tempo? Para determar el valor actual o presete de ua aualdad atcpada (C), teemos que regresar e el tempo todas las retas meos ua (la prmera), ya que como podemos observar e la fgura 6.6, este pago se ecuetra ya e la fecha de evaluacó, que e este caso es el co de la aualdad. 184

9 udad 6 R 1 R 2 R Fgura 6.6. Recordado la fórmula para calcular el valor presete de ua aualdad vecda 1 ( 1+ ) (C =R ), s cosderamos que se cosdera 1 pagos, ya que el prmero está dode se ecesta y o hay que trasladarlo, tedríamos: ( ) 1 ( 1+ ) 1 ( 1+ ) C =R = R Sumado a este valor la reta que se ecuetra al co de la aualdad (fecha focal): 1 ( 1+ ) +1 C = R + R Se factorza la expresó utlzado el método de factor comú (revsado e Matemátcas 2, udad 2): C = R ( ) La fórmula para calcular el valor actual de ua aualdad atcpada es: C = R ( ) dode: C es el valor actual de la aualdad R es la reta es la tasa por perodo de captalzacó es el úmero de pagos 185

10 matemátcas Faceras Ejemplo Ua persoa alqula ua bodega por $ mesuales, realzado sus pagos el prmer día de cada mes. Propoe al propetaro pagarle el alquler de todo el año, al mometo de frmar el cotrato, s la tasa de terés e ese mometo es de 30% aual captalzable mesualmete. Cuál será el pago úco que realzará a la frma del cotrato? Solucó Se detfca los datos: R=$ = = =u año=1(12)=12 pagos mesuales De acuerdo co la preguta y las codcoes del problema, debemos buscar el valor actual o valor presete de los pagos (retas), por lo tato se susttuye los datos e la fórmula para el valor presete de ua aualdad atcpada: C = R ( ) C = ( ) Realzado las operacoes: C = ( ) C = = [ ] = ( ) = + 186

11 udad 6 C=28 000( )= El pago de la reta atcpada por u año es $ Ejercco 1 1. Ua persoa realza depóstos de $2 653 al prcpo de cada trmestre e ua cueta que le paga 16% aual compuesto trmestralmete de terés. Cuáto tedrá ahorrado e su cueta después de 4 años y medo? 2. La empresa Vos Perddos, S. A. detro de 3 años requerrá cambar ua de sus máquas; para poderla comprar decde realzar depóstos semestrales atcpados de $ e ua cueta de ahorros que le paga 28% aual captalzable semestralmete. Cuál será el preco de la máqua cuado se compre? 3. Cuáto reurá la señora Gozález, s deposta $3 035 al prcpo de cada trmestre durate 20 trmestres e ua cueta que paga 32% aual covertble trmestralmete? 4. La señora Ramírez adquere u automóvl, el cual acuerda pagar co $2 780 mesuales atcpados durate 3 años. S la tasa de terés que se acuerda es de 24% aual compuesto mesualmete, cuál es el preco de cotado del automóvl? 5. Cuál es el valor actual de ua reta de $1 600 depostada al prcpo de cada trmestre, durate 3 años, e ua cueta bacara que paga 16% covertble trmestralmete? 6. Calcula el preco de cotado de ua estufa que se compra co 24 pagos mesuales atcpados de $416, s la tasa de terés que se aplca es de 18% aual covertble mesualmete Cálculo de la reta Al gual que e las aualdades vecdas, e alguos casos se requere coocer el valor de la reta para lo cual se puede utlzar las fórmulas para calcular el valor presete o para el moto, depededo los datos co los que se cuete (valor futuro o moto). Ua vez que se detfca, s se cueta co el valor actual o el moto de la aualdad, juto co el resto de los datos, se susttuye éstos e la fórmula correspodete, se realza las operacoes que se pueda para smplfcar la operacó y por últmo se despeja el valor de la reta; para eteder mejor esto veamos alguos ejemplos. 187

12 matemátcas Faceras Ejemplos 1. Cuál es el valor de ua sere de depóstos que se debe realzar al prcpo de cada bmestre, e ua cueta de ahorros que paga 30% de terés co captalzacó bmestral, para que al fal de u año 6 meses se tega reudos $95 000? Solucó Se detfca los datos: M=$ Se trata de u problema de moto ya que se tee u ahorro = = =(1.5) 6=9 depóstos bmestrales El valor que se va a buscar es la reta, y como uo de los datos co los que se cueta es el moto de la aualdad, la reta se puede despejar de la fórmula para el cálculo del moto: + 1 ( 1+ ) 1 M = R 1 Se susttuye los valores y se smplfca: =R (. ) =R (. 105 ) =R

13 udad =R =R [ ] =R [ ] Se despeja el valor de la reta (R): R = = Cada depósto debe ser de $ por bmestre. 2. Roberto Martíez quere comprar ua bccleta cuyo preco es $ S la teda le da la oportudad de pagarla co 24 mesualdades atcpadas, de cuáto será cada pago mesual s le carga ua tasa de terés de 18% aual covertble mesualmete? Solucó Se detfca los datos: C=$ Se trata de u problema de valor actual, ya que se tee el preco de cotado = = =24 pagos mesuales Lo que se tee que buscar es el valor de las mesualdades (retas, R); ya que uo de los datos que se tee es el preco de cotado, es decr al valor actual (C), la reta se puede despejar de la fórmula para el cálculo del valor presete de ua aualdad atcpada: C = R ( ) 189

14 matemátcas Faceras Se susttuye los valores y se smplfca: = R ( ) = R ( ) = R =R =R [ ] =R [ ] Se despeja el valor de R: R = = Cada pago mesual debe ser de $ Ejercco 2 1. Qué catdad debe depostar el señor Flores al prcpo de cada mes e ua cueta bacara que geera 15% de terés captalzable mesualmete para que al cabo de 3 años recba $ ? 2. Margarta Díaz cosgue u crédto para la compra de u departameto cuyo costo es $ S el crédto se otorga para cubrr co pagos trmestrales atcpados durate 15 años co ua tasa de terés de 25.2% de terés compuesto trmestral, de cuáto debe ser los pagos trmestrales atcpados? 190

15 udad 6 3. Determa el valor de cada pago bmestral atcpado durate 4.5 años, co los que se cacelará ua deuda de $ , adqurda el día de hoy, co 15.36% de terés captalzable bmestralmete. 4. Joaquí se propoe reur $ para realzar u vaje, por lo cual decde realzar depóstos mesuales atcpados durate tres años e ua sttucó bacara que paga 12% aual compuesto mesualmete. De cuáto debe ser los depóstos mesuales atcpados para reur dcha catdad? 6.4. Cálculo del tempo Hay ocasoes e las que es ecesaro determar el úmero de pagos o de depóstos que se requere para cubrr ua aualdad atcpada. Al gual que co las aualdades vecdas, el úmero de retas se puede determar utlzado las fórmulas para calcular el moto o el valor actual, depededo de los datos co los que se cuete. De qué depede la fórmula que se utlza para calcular el tempo? S el moto es uo de los datos co los que se cueta, se utlza la fórmula del moto M=R ( 1 ) , despejado de ésta el valor de, que represeta el úmero de pagos a realzar. Despejemos de la fórmula del moto: M=R ( 1 ) R ( 1 ) =M + 1 ( 1+ ) 1 1 = M R + 1 ( 1+ ) 1 M = + 1 R 191

16 matemátcas Faceras + 1 M ( 1+ ) 1= + 1 R + 1 M ( 1+ ) = R + 1 M log( 1+ ) = log R M ( + 1)log( 1+ ) = log R M + log R + 1 = log( 1 + ) M + log R = 1 log( 1 + ) Cálculo del úmero de retas cuado se cooce el moto M + R + log 1 1 = 1 log( 1+ ) dode: es el úmero de pagos M es el moto de la aualdad R es la reta es la tasa por perodo de captalzacó De la msma maera podemos despejar el úmero de pagos cuado se cooce el valor presete: C = R ( ) R ( ) C = 192

17 udad ( ) = 1 ( 1+ ) + 1 C R C = 1 R + 1 C 1 ( 1+ ) = 1 R + 1 C ( 1+ ) = 1 1 R Como o se puede obteer logartmos de valores egatvos, se multplca toda la gualdad por 1: + 1 C (( 1+ ) = 1 1)( 1) R + 1 C ( 1+ ) = 1 1 R + 1 C log( 1+ ) = log 1 1 R C ( + 1)log( 1+ ) = log 11 1 R C log = R 1 log( 1 + ) C log 1 1 = R 1 log( 1 + ) Debdo a que o se puede teer u úmero de pagos egatvo, se multplca todo por 1: log C 1 1 ( = R 1)( 1) log( 1 + ) 193

18 matemátcas Faceras C log 1 1 R = + 1 log( 1 + ) Ordeado y acomodado la expresó podemos decr: Cálculo del úmero de retas cuado se cooce el valor actual C log 1 1 R = 1 log( 1+ ) dode: es el úmero de pagos o retas C es el valor actual de la aualdad R es la reta es la tasa por perodo de captalzacó Veamos cómo se aplca estas fórmulas co alguos ejemplos. Ejemplos 1. Ua compañía fabrcate de cocas tegrales ofrece uo de sus modelos co u preco de cotado de $ , medate pagos mesuales atcpados de $750 co u cargo de 18% de terés covertble mesualmete. Cuátos pagos ha de efectuarse para lqudar la coca? Solucó Se detfca los datos: R=$750 C=$ = = Se susttuye los datos: 194

19 udad 6 C log 1 1 R = 1 log( 1 + ) log = log( ) Se realza las operacoes: log = log( ) log[ 1( ). ] = 1 log( ) log[ 1 ( ) ] = 1 log( ) log[ ] = 1 log( ) log[ ] = 1 log( ) = =1 ( 19) =1+19=20 Por lo que podemos coclur que se requere 20 pagos mesuales. 2. Lupta desea reur $ para la compra de u departameto, para lo cual deposta $ mesuales atcpados e ua cueta bacara que paga 24% de terés 195

20 matemátcas Faceras aual covertble mesualmete. Cuátos depóstos debe efectuar Lupta para reur lo que ecesta? Solucó Se detfca los datos: R=$ M=$ = = Se susttuye los datos y se realza las operacoes: M + log R = 1 log( 1 + ) log = log( ) log[( ). + 1] = 1 log( 102. ) log[( ) ] = 1 log( 102. ) log[ ] = 1 log( 102. ) log[ ] = 1 log( 102. ) =

21 udad 6 = =21.73 ota: cuado el resultado es decmal, ormalmete se ajusta el valor del últmo pago y se redodea el úmero de pagos al etero medato. e este curso o se realzará el ajuste del últmo pago, smplemete se redodeará al etero medato. Podemos coclur que se requere aproxmadamete 22 pagos. Ejercco 3 1. Ua teda de electrócos poe a la veta mcompoetes cuyo costo de cotado es de $8 350 pagaderos medate mesualdades atcpadas de $600 co 9% de terés aual covertble mesualmete. Cuátos pagos debe hacer u comprador para adqurr uo de estos mcompoetes? 2. Cuátos depóstos bmestrales atcpados de $15 000, a ua tasa de 14.4% aual covertble bmestralmete, acumulará u moto de $ ? 3. Ua ageca poe a la veta u automóvl medate u sstema de pagos mesuales atcpados, para lo cual ofrece u preco de $ medate pagos de $7 200 co cargo de 18% aual covertble mesualmete. Cuátos pagos se requere para comprar el automóvl? 4. El señor Álvarez requere reur $ S pretede realzar depóstos semestrales vecdos por $ e ua cueta bacara que paga u terés de 21% aual compuesto semestralmete, cuátos depóstos tedrá que realzar para reur la catdad que ecesta? Problemas resueltos 1. Ua persoa deposta $900 al prcpo de cada mes e ua cueta bacara que paga ua tasa de terés de 36% aual captalzable mesualmete. Cuál es su saldo después de 4 años de ahorro? 197

22 matemátcas Faceras Solucó Se detfca los datos: R=$900 = = 003. =4 años=4(12)=48 pagos mesuales Se susttuye los datos e la fórmula para calcular el moto de ua aualdad atcpada y se realza las operacoes: + 1 ( 1+ ) 1 M = R M = (. ) (. 103) 1 M = = = M=900( )= Sgfca que recbe e total al fal de 4 años $ El señor Gozález alqula u departameto por $4 000 mesuales, realzado sus pagos el prmer día de cada mes. Propoe al propetaro pagarle el alquler de todo el año al mometo de frmar el cotrato. S la tasa de terés e ese mometo es de 24% aual captalzable mesualmete, cuál será el pago úco que realzará a la frma del cotrato? Solucó Se detfca los datos: R=$

23 udad 6 = = 002. =u año=1(12)=12 pagos mesuales Se susttuye los datos e la fórmula para el valor presete de ua aualdad atcpada y se realza las operacoes: C = R ( ) C = ( ) 002. C = ( ) = C = = 4 000[ ] = 4 000[ ] 002. C= El pago de la reta atcpada por u año es $ Cuáto se debe depostar al prcpo de cada bmestre, e ua cueta de ahorros que paga 11.4% de terés co captalzacó bmestral, para que al fal de 4 años se tega reudos $ ? Solucó Se detfca los datos: M=$ = = =(4) 6=24 depóstos 199

24 matemátcas Faceras El valor que se va a buscar es la reta, y como uo de los datos co los que se cueta es el moto de la aualdad, la reta se puede despejar de la fórmula para el cálculo del moto. + 1 ( 1+ ) 1 M = R 1 Se susttuye los valores y se smplfca: =R (. ) =R ( ) =R =R =R[ ] =R[ ] Se despeja el valor de la reta (R): R = = Cada depósto debe ser de $ por bmestre. 4. Rcardo Sosa quere comprar ua computadora cuyo preco de cotado es de $ S la teda le da la oportudad de pagarla co 18 mesualdades atcpadas, de cuáto será cada pago mesual s le carga ua tasa de terés de 24% aual covertble mesualmete? Solucó Se detfca los datos: 200

25 udad 6 C=$ = = 002. =18 pagos mesuales Lo que se tee que buscar es el valor de las mesualdades (retas, R), y debdo a que uo de los datos co los que se cueta es el preco de cotado, es decr, valor actual (C), la reta se puede despejar de la fórmula para el cálculo del valor presete de ua aualdad atcpada. C = R ( ) Se susttuye los valores y se smplfca: = R ( ) = R ( ) = R = R =R [ ] =R [ ] Se despeja el valor de R: R = = Cada pago mesual debe ser de $

26 matemátcas Faceras 5. Ua teda departametal ofrece telepatallas a u preco de cotado de $16 920, medate pagos mesuales de $2 100 co u cargo de 18% de terés covertble mesualmete. Cuátos pagos ha de efectuarse para lqudar la telepatalla? Solucó Se detfca los datos: R=$2 100 C=$ = = Se susttuye los datos: 1 C 1 log =1 R log( 1 + ) log = log( ) Se realza las operacoes: log[ 1( ). ] = 1 log( ) log[ 1 ( ) ] = 1 log( ) log[ ] = 1 log( ) log[ ] = 1 log( ) 202

27 udad 6 = =1 ( 7.51) =1+7.51=8.51 ota: cuado el resultado es decmal, ormalmete se ajusta el valor del últmo pago y se redodea el úmero de pagos al etero medato. e este curso o se realzará el ajuste del últmo pago, smplemete se redodeará al etero medato. Así, coclumos que se requere aproxmadamete 9 pagos mesuales. Problemas propuestos 1. Cuáto tedrás acumulado al cabo de 2 años 3 meses s depostas a partr de hoy $1 500 mesuales e ua cueta de ahorros que paga 8.6% de terés aual captalzable mesualmete? 2. Cuáto se ecesta pagar semestralmete por atcpado para saldar ua hpoteca de $ pactada a 14 años, s se cosdera ua tasa de terés de 12% aual covertble semestralmete? 3. De cuáto ecesta ser ms depóstos mesuales e ua caja de ahorros, empezado el día de hoy, durate u año 8 meses, para reur $29 300, s se cosdera u terés de 9% aual covertble mesualmete? 4. Ua ageca promueve la veta de autos medate el sstema de pagos mesuales, para lo cual ofrece autos co preco de $79 500, medate pagos atcpados de $3 600 y u cargo de 18% de terés aual covertble mesualmete. Cuátos pagos se requere para lqudar el automóvl? 5. Durate cuáto tempo se ecesta depostar $2 000 trmestrales atcpados e ua cueta bacara que paga 8.38% aual covertble trmestralmete s se requere reur $50 050? 203

28 matemátcas Faceras Respuestas a los ejerccos ejercco 1 1. $ $ $ $ $ $ ejercco 2 1. $ $ $ $ ejercco pagos aproxmadamete depóstos aproxmadamete pagos aproxmadamete depóstos aproxmadamete. Respuestas a los problemas propuestos 1. $ $ $ pagos aproxmadamete trmestres aproxmadamete. 204

29 Matemátcas aceras Udad 6. Aualdades atcpadas Nombre: Grupo: Profesor: Número de cueta: Campus: Autoevaluacó 1. El señor Ramírez deposta $500 mesuales atcpados e ua cueta de ahorros que paga 12% de terés aual captalzable mesualmete. La catdad que habrá reudo e 3 años es: a) $ b) $ c) $ d) $ El pago aual atcpado durate 5 años que debe hacer ua persoa para lqudar u préstamo de $ co terés de 11% aual captalzable aualmete es: a) $ b) $ c) $ d) $ El úmero de depóstos semestrales atcpados de $3 000 que se requere hacer para reur $ s la tasa de terés es de 9.1% covertble semestralmete: a) 25 depóstos. b) 26 depóstos. c) 27 depóstos. d) 28 depóstos. 4. El señor Martíez desea reur $ para detro de 10 años. S realza depóstos semestrales atcpados y la tasa de terés es de 18% aual co captalzacó semestral, el valor de los depóstos es: a) $ b) $

30 c) $ d) $ Armado compró u automóvl co valor de $ , el cual acordó pagar co 48 mesualdades atcpadas co ua tasa de terés de 24% aual captalzable mesualmete. El valor de cada uo de los pagos mesuales es de: a) $ b) $ c) $ d) $